备战2019中考初中数学六大题型专项突破

备战2019中考初中数学六大题型专项突破

备战2019中考初中数学六大题型专项突破（一）规律探索型问题

备战2019中考初中数学六大题型专项突破（二）分类讨论型问题

备战2019中考初中数学六大题型专项突破（三）创新画图型问题

备战2019中考初中数学六大题型专项突破（四）圆的综合型问题

备战2019中考初中数学六大题型专项突破（五）数学活动型问题

备战2019中考初中数学六大题型专项突破（六）二次函数综合题

专题一:规律探索型问题

【方法指导】

归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出的与图形有关的操作、变化过程，或是根据已知条件中所提供的若干特例，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴含的本质规律或者特征，进而类比、归纳或者猜想出一般的结论。

在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系。解决此类问题的关键是仔细审题、归纳规律、合理推测、认真验证，从而得到出问题的结论。 【典例解析】

类型一：数字中的规律

【例1】（2018山东淄博）（4分）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是 2018 ．

【考点】37：规律型：数字的变化类．

【分析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第8列的数是2025﹣7=2018； 【解答】解：观察图表可知：第n行第一个数是n， ∴第45行第一个数是2025，

∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2018， 故答案为2018．

【点评】本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．

2

类型二：数式中的规律问题：

【例2】（2018浙江衢州）（4分）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ（a，θ）变换．

如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形． 若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推…… △An﹣1Bn﹣1Cn﹣1经γ（n，180°）变换后得△AnBnCn，则点A1的坐标是 ，点A2018的坐标是 ．

【分析】分析图形的γ（a，θ）变换的定义可知：对图形γ（n，180°）变换，就是先进行向右平移n个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．向右平移n个单位变换就是横坐标加n，纵坐标不变，关于原点作中心对称变换就是横纵坐标都变为相反数．写出几次变换后的坐标可以发现其中规律． 【解答】解：根据图形的γ（a，θ）变换的定义可知：

对图形γ（n，180°）变换，就是先进行向右平移n个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．

△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，A1 坐标（﹣，﹣△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，A2坐标（﹣，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，A3坐标（﹣，﹣△A3B3C3经γ（3，180°）变换后得△A4B4C4，A4坐标（﹣，

） ） ） ）

依此类推……

可以发现规律：An横坐标存在周期性，每3次变换为一个周期，纵坐标为当n=2018时，有2018÷3=672余2 所以，A2018横坐标是﹣，纵坐标为故答案为：（﹣，﹣

）．

），（﹣，

【点评】本题是规律探究题，又是材料阅读理解题，关键是能正确理解图形的γ（a，θ）变换的定义后运用，关键是能发现连续变换后出现的规律，该题难点在于点的横纵坐标各自存在不同的规律，需要分别来研究． 类型三：图形中的规律问题：

【例3】（2018山东烟台）（3分）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为（ ）

A．28 B．29 C．30 D．31

【分析】根据题目中的图形变化规律，可以求得第个图形中玫瑰花的数量，然后令玫瑰花的数量为120，即可求得相应的n的值，从而可以解答本题． 【解答】解：由图可得， 第n个图形有玫瑰花：4n， 令4n=120，得n=30， 故选：C．

【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出题目中图形的变化规律．

【真题热身】

1. （2018湖北宜昌）（3分）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为（ ）

A．a=1，b=6，c=15 B．a=6，b=15，c=20 C．a=15，b=20，c=15 D．a=20，b=15，c=6

2. （2018山东枣庄）（4分）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：

第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 …

则2018在第 行．

25 10 24 9 11 23 2 8 12 22 1 3 7 13 21 4 6 14 20 5 15 19 16 18 17

3. （2018东营）（4.00分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=x+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果点A1（1，1），那么点A2018的纵坐标是 ．

4. （2018广西贵港）（3.00分）如图，直线l为y=

x，过点A1（1，0）作

A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点An的坐标为（ ）．

5. （2018广西桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）…按此规律，自然数2018记为

列 行 第1行 第2行 第3行 第4行 … 第n行

1 8 9 16 … … 2 7 10 15 … … 3 6 11 14 … … 4 5 12 13 … … 第1列 第2列 第3列 第4列 【参考答案】

1. （2018湖北宜昌）（3分）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为（ ）

A．a=1，b=6，c=15 B．a=6，b=15，c=20 C．a=15，b=20，c=15 D．a=20，b=15，c=6

【分析】根据图形中数字规模：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可得a、b、c的值．

【解答】解：根据图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和， ∴a=1+5=6，b=5=10=15，c=10+10=20， 故选：B．

【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

2. （2018山东枣庄）（4分）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：

第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 …

则2018在第 45 行．

【分析】通过观察可得第n行最大一个数为n2，由此估算2018所在的行数，进一步推算得出答案即可．

【解答】解：∵442=1936，452=2025，

25 10 24 9 11 23 2 8 12 22 1 3 7 13 21 4 6 14 20 5 15 19 16 18 17 ∴2018在第45行． 故答案为：45．

【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．

3. （2018东营）（4.00分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=x+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果点A1（1，1），那么点A2018的纵坐标是

．

【分析】因为每个A点为等腰直角三角形的直角顶点，则每个点A的纵坐标为对应等腰直角三角形的斜边一半．故先设出各点A的纵坐标，可以表示A的横坐标，代入解析式可求点A的纵坐标，规律可求．

【解答】解：分别过点A1，A2，A3，…向x轴作垂线，垂足为C1，C2，C3，…

∵点A1（1，1）在直线y=x+b上 ∴代入求得：b= ∴y=x+

∵△OA1B1为等腰直角三角形 ∴OB1=2

设点A2坐标为（a，b） ∵△B1A2B2为等腰直角三角形

∴A2C2=B1C2=b ∴a=OC2=OB1+B1C2=2+b 把A2（2+b，b）代入y=x+ 解得b= ∴OB2=5

同理设点A3坐标为（a，b） ∵△B2A3B3为等腰直角三角形 ∴A3C3=B2C3=b ∴a=OC3=OB2+B2C3=5+b 把A2（5+b，b）代入y=x+ 解得b=

以此类推，发现每个A的纵坐标依次是前一个的倍 则A2018的纵坐标是故答案为：

【点评】本题为一次函数图象背景下的规律探究题，结合了等腰直角三角形的性质，解答过程中注意对比每个点A的纵坐标变化规律． 4. （2018广西贵港）（3.00分）如图，直线l为y=

x，过点A1（1，0）作

A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点An的坐标为（ 2n﹣1，0 ）．

【分析】依据直线l为y=

x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，可得A2（2，0），

同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，依据规律可得点An的坐标为（2n﹣1，0）．

【解答】解：∵直线l为y=∴当x=1时，y=即B1（1，

）， ， ，

x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，

∴tan∠A1OB1=

∴∠A1OB1=60°，∠A1B1O=30°， ∴OB1=2OA1=2，

∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2， ∴A2（2，0），

同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…， ∴点An的坐标为（2n﹣1，0）， 故答案为：2n﹣1，0．

5. （2018广西桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）…按此规律，自然数2018记为 （505，2）

列 行 第1行 第2行 第3行 第4行 … 第n行 1 8 9 16 … … 2 7 10 15 … … 3 6 11 14 … … 4 5 12 13 … … 第1列 第2列 第3列 第4列 【分析】根据表格可知，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．用2018除以4，根据除数与余数确定2018所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可． 【解答】解：由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列． ∵2018÷4=504…2， 504+1=505，

∴2018在第505行，

∵奇数行的数字从左往右是由小到大排列， ∴自然数2018记为（505，2）． 故答案为（505，2）．

【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，通过观察得出表格中的自然数的排列规律是解题的关键．

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