线性方程组迭代法在建筑结构计算中的应用及实例分析 -

线性方程组迭代法在结构工程领域中的

应用及实例分析

一、背景介绍：

作为工程项目建设程序中必不可少的环节，结构设计关乎建筑物的投资、造价、承建、施工以及使用等全过程，因而显得尤为重要。而在结构设计中，内力（包括弯矩、剪力、轴力等）计算又是最关键的，因为它涉及到后期的配比和布置钢筋，而这又是直接关系到该结构是否稳定安全的最主要因素。所以，一直以来，内力计算的选择和优化始终是建筑界专家们的目标之一，也是实现专业技术创新的一个重要突破点。

几十年以来，建构结构的计算方法仍主要采用力法和位移法。但二者都需要组成和解算典型方程，当未知量较多时，解算联立方程的工作量是非常繁重的。为了寻求计算结构更简捷的途径，自20世纪30年代以来，又陆续出现了各种渐近法，例如力矩分配法、无剪力分配法、迭代法等。这些方法都是位移法的变体，共同特点是避免了组成和解算典型方程组，而以逐次渐进的方法计算结构内力，其结果的精确随计算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。这些方法的优点在于，其物理概念生动形象，每轮计算又是按同一步骤重复进行，因而易于掌握，在结构设计中被广泛采用。

本文着重介绍一个以弯矩作未知量的迭代法计算公式，具有收敛快和自动消误等优点，其数学实质为高斯-塞德尔迭代法解联立方程组。通过1.2吨升降机导轨架内力分析实例，证明其收敛性比弯矩分解法快，计算尚属简捷。本文公式对等截面、变截面均适用。

二、基本概念及迭代计算公式：

假设：连续梁（这里指刚性支座连续梁，下同）各跨具有不同的跨长及不同的惯性，弯矩正负号规定与弯矩分配法相同。令：

左右左右左右（（mn）、mn（1、mn 分别表示连续梁的n-1、n、n+1三个连续?1mn?1）、mn?1mn?1）支座嵌固时左边（右边）的固端弯矩。

2、sn、sn分别表示杆n-1、n，n+1、n的n端抗弯强度，sn?1、sn?1则分别表示杆n-1、n，杆n+1、n的n-1端、n+1端的抗弯劲度。

nn?1n?1ncn3、（n端至n-1端）、n端至n+1端（n+1?1(cn)、cn(cn?1)分别表示n-1端至n端

n?1n?1nn端至n端）的传递系数。

n?1左n右?mn?cn4、mn?1mn?1 n?1右n左?mn?cn mn?1mn?1

（5、Mn（、Mn(?Mn）、Mn?分别表示图1所示变截面连续梁-1-Mn?1）1-Mn?1）弯矩分配法计算结果的n-1、n、n+1支座左边（右边）的杆端弯矩。

图1

左n-1n?1n?1nMn?mn?Sn（?n?Cn?n?1) 由角变位移方程得：（1） nnn?1n-1 ?Mn?1?m右 n-1?Sn（-1?n-1?Cn?n) （2）n?1n?1n?1n?Cn?n?1) ?Mn?m右（3） n?Sn（?n左nnnn?1（ Mn?1?mn ?1?Sn?1?n?1?Cn?1?n) （4）

n?1nnn?1??根据（1）、（2）式消去?n，解出；（3）、（4）式消去，解出，由支?nn?1-1n座n的形变连续条件?n=?n得：

左n?1右右n左Mn?mn?Cn(?Mn?1?mn?Mn?mn?Cn?1?1(Mn?1?mn?1）? n?1nn?1n?1nn?1Sn(1?CnC)S(1?CC)?1nnn?1nn?1n?1化简得：SnCn?1Mn?1?(Sn式中：Snn?1?n?1?nn?1?n?1?n?1?nn?1?n?1n?1?n?1?Sn)Mn?SnCn?1Mn?1?Snmn?Snmn （5）

n?1nn?1n?1?n?1nn?1?Sn(1?Cn?Sn(1?Cn?1Cn),Sn?1Cn)

式（5）可视为当连续梁跨内为变截面时的三弯矩方程式。若各跨内EJi等于常数，则由（5）式可导出材料力学或结构力学中所陈述的著名的三弯矩方程式。令：

un?1nn?1?Sn?n?1?为杆n、n+1右端分配修正系数； n?1?Sn?Snn?1?Sn?n?1?为杆n、n-1左端分配修正系数； n?1?Sn?Snun?1n左nn?1Kn?Cn?1un为n支座左端的迭代系数； 右nn-1Kn?Cn?1un为n支座右端的迭代系数； n?1n?1n?1n?1mn?unmn?unmn为支座n不平衡力矩；

则由式（5）即可得出本文所求迭代计算公式：

左右Mn?mn?KnMn?1?KnMn?1 （6）

三、计算步骤及方法：

1、根据连续梁已知荷载、截面、支承等情况查有关图表得出形常数、载常数，从而计算出mn、

左右Kn和Kn。

2、按（6）式进行迭代计算。原则上可按任意顺序循环计算，一般为加快收敛宜从mn较大的支座开始。首次迭代假定n支座相邻支座的初始值为Mn?1?mn?1，Mn?1?mn?1，接着按所选顺序在其他支座计算，当该支座的相邻支座弯矩已迭代时取前次迭代结果，尚未迭代时仿照上述办法取初始值。依次类推，直至最后两次迭代结果十分接近为止，最后一次迭代结果即为所求弯矩值。 四、计算实例：

1.2吨升降机导轨架工作状态的计算工况，为一工作笼在地面，另一工作笼开到导轨架的最高位置。此时导轨架的主要荷载是风载、载重和自重。若近似视每跨上风载均布，则计算简图如图2，导轨架各支座弯矩如下：

支座迭代次序为8→7→6→5→4→3→2→1→0，迭代计算的有关参数和数据均列于计算栏内。

图2 0 4 2 3 5 1

6 7 8 9

五、结果分析：

由上例计算结果，不难看出，各支座处的弯矩在经过数次迭代之后，逐渐逼近某一数值（即准确值）。因⑤与④的结果已十分接近，故迭代运算到⑤次为止，此即为所求弯矩值的近似值。本题曾有其他文章介绍用弯矩分配法计算弯矩，需分配传递九次之后方可可到与本文数字基本一致的结果。由此可见，迭代法比弯矩分配法收敛性更好、计算简捷，可在结构工程，尤其是结构计算中得以广泛应用。

六、参考文献：

1、李廉锟，结构力学（第三版），北京，高等教育出版社，1996 2、刘鸿文，材料力学，北京，高等教育出版社，2004 3、龙熙华，数值分析，西安，陕西科学技术出版社，2005

4、沈蒲生，建筑工程毕业设计指南，北京，高等教育出版社，2007

5、梁兴文、史庆轩，土木工程专业毕业设计指导，北京，科学出版社，2002 6、卢兴江，解方程组迭代法的几何理论与方法及工程问题【期刊论文】 7、刘铁英，连续梁的迭代求解法【期刊论文】

8、于二青、王春江、赵金城等，矩阵重排序算法在结构分析快速求解中的应用【期刊论文】 9、杜恒吉、徐昆良，Jocabi和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组的分析及应用【期刊论文】 10、李萍、邓小鹏、相建华、李同录等，基坑开挖与支护模拟的位移迭代法【期刊论文】 11、王成、张毅刚，体内张拉成型空间网格结构的形态分析-几何位移迭代法【期刊论文】

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/i532.html