容斥原理

容斥原理

知识框架图 7-7-1两量重叠问题 7-7-2三量重叠问题 7 计数综合 7-7 容斥原理 7-7-3图形中的重叠问题 7-7-4容斥原理在数论问题中的应用 7-7-5容斥原理中的最值问题

教学目标

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．

知识要点

一、两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AB?A?B?AB(其中符号“

”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“

”读

作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，

B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．

1．先包含——A?B 重叠部分A B计算了2次，多加了1次； A?B?AB7-7.容斥原理.题库 学生版 page 1 of 15

1AB

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：

第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A?B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进

来，加在一起)；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C?AB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．

二、三量重叠问题

A类、B类与C类元素个数的总和?A类元素的个数?B类元素个数?C类元素个数?既是A类又是B类

的元素个数?既是B类又是C类的元素个数?既是A类又是C类的元素个数?同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：ABC?A?B?C?AB?BC?AC?ABC．图示如下：

图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，

C1．先包含：A?B?C 重叠部分AB、BC、C多加了1次． A重叠了2次，

2．再排除：A?B?C?AB?BC?AC

ABCAB?BC?AC3A?B?C?在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．

A?B?C?AB?BC?AC?ABC

例题精讲

模块一、两量重叠问题

【例 1】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小

组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？（2级）

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ACB

【巩固】 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画

的分别有多少人？（2级）

ACB

【巩固】 四(二)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文

数学都没写完的有6人．

⑴ 问语文数学都写完的有多少人？

⑵ 只写完语文作业的有多少人？ （2级）

【例 2】 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这

个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？（2级）

【巩固】 四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，一12人两项比赛都参加了．

班有多少人两项比赛都没有参加？（2级）

【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7

人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？（2级）

【例 3】 某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有

错，问两部分都有错的有多少人？（4级）

只做对第一部分的两部分全对的只做对第二部分的两部分都有错的

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【例 4】 对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的

有9人．这个班一共有多少人？（4级）

会游泳的A两项都会的B会打篮球的两项都不会的

【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都

参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？（4级）

只参加象棋比赛的两项比赛都参加的A只参加军棋比赛的B

【例 5】 在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又

没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？（4级）

A既采樱桃又采杏的B既没采樱桃又没采杏的

【例 6】 甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦

的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？（4级）

【例 7】 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、

六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？（4级）

乙A丙B甲

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【例 8】 47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两

门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？（4级）

语文95分以上的两门都不在95分以上的A两门95分以上的数学95分以上的B

【巩固】 (第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，

83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？ （4级）

【例 9】 一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作

业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？（4级）

【巩固】 四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师

到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？（4级）

【巩固】 科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清

点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？（4级）

ACB

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11【例 10】 一次数学测验，甲答错题目总数的，乙答错3道题，两人都答错的题目是题目总数的．求甲、

46乙都答对的题目数.（6级）

【例 11】 小赵、小钱、小孙、小李、小周、小吴、小郑、小王，这8名同学站成一排．其中小孙和小周不

能相邻，小钱和小吴也不能相邻，小李必须在小郑和小王之间(可相邻也可不相邻)．则不同的排列方法共有________种．（6级）

模块二、三量重叠问题

【例 12】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共

有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？（6级）

ACB

【巩固】 某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？（6级）

【例 13】 四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，

参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．（6级）

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【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35

人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．（6级）

【解析】 光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参

加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？（6级）

【例 14】 (2008年西城实验考题)新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果

只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人．（6级）

【巩固】 五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小

组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数．（6级）

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【巩固】 六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项．其中，爱好体育的55人，爱

好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人．问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？（6级）

【例 15】 在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人

带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕．2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕．问： ⑴ 三种都带了的有几人？

⑵ 只带了一种的有几个？（8级）

ABC

【巩固】 盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的

各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要．（8级）

【例 16】 全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，

至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格，那么，

⑴ 数学成绩优秀的有几个学生？

⑵ 有几个人既会游泳，又会滑冰？（8级）

【巩固】 五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组

的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参加B组的有_______人．（8级）

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【例 17】 五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个．其中仅参加数学与语文

小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？（8级）

【例 18】 在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的

人数多3个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人；50个人没有摘草莓；11个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子.如果参与采摘水果的总人数是100，你能回答下列问题吗？

① 有 人摘了山莓；

② 有 人同时摘了三种水果； ③ 有 人只摘了山莓；

④ 有 人摘了李子和草莓，而没有摘山莓； ⑤ 有 人只摘了草莓.（6级）

山莓AEGDBFC草莓李子

【例 19】 某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪

三个项目的人数分别为10、15、20人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？（8级）

体育55人17文艺56人15x4科学51人

模块三、图形中的重叠问题

【例 20】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多

长？（2级）

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【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多

长？（2级）

【例 21】 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方

厘米？（2级）

4厘米

【巩固】 如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为

（2级） 4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．

862厘米图346【巩固】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个

边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．（2级）

1284106图3

【例 22】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘

米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？（4级）

B10AC

【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，

5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．（4级）

【例 23】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总

和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？

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（6级）

【巩固】 如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在

外面的总面积为38．若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3．求A与C公共部分的面积是多少？（6级）

BCA

模块四、容斥原理在数论问题中的应用

【例 24】 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？（4级）

AB

【巩固】 在自然数1~100中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？（4级）

【巩固】 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？（4级）

【例 25】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?（4级）

【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．（4级）

【例 26】 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？（8级）

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【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.（8级）

【例 27】 (2008年西城实验考题)在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共

有 个．（6级）

【例 28】 在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？（6级）

【例 29】 50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报

数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?（6级）

【例 30】 有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，2000，然后

将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？（6级）

【巩固】写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次

把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？（6级）

【例 31】 在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：

（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；

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（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；

（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖； （4）其他标签号均奖1支铅笔．

那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?（8级）

【例 32】 在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；

第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成________段．（6级）

【例 33】 (2008年101中学考题)一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，

第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出 段．（8级）

【巩固】 一根1.8米长的木棍，从左端开始每隔2厘米画一个刻度，涂完后再从左端开始每隔3厘米画一个

刻度，再从左端每隔5厘米画一个刻度，再从左端每隔7厘米画一个刻度，涂过按刻度把木棍截断，

一共可以截成多少段小木棍？（8级）

模块五、容斥原理中的最值问题

【例 34】 将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个

圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？（8级）

【例 35】 如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在

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