2018届高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的

第三节 平面向量的数量积与平面向量的应用举例

☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆

考纲要求 真题举例 2016，全国卷Ⅰ，13,5分(向量的几何意义) 2016，全国卷Ⅱ，3,5分(向量数量积的坐标运算) 命题角度 理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 高考对本节内容的考查以向量掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运长度、夹角及数量积为主，以向； 数量积的运算为载体，综合三角能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个2016，全国卷Ⅲ，3,5分(向量夹角问题) 数、解析几何等知识进行考查，2016，天津卷，7,5分(向量的数量积和线性运算) 2015，全国卷Ⅰ，15,5分(向量的数量积运算) 面向量的垂直关系； 一种新的趋势，复习时应予以会用向量方法解决某些简单的平面几何问题； 注。以客观题为主，有时出现在答题中。分值5～12分。 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。 微知识 小题练

自|主|排|查

1．平面向量的数量积 (1)向量的夹角

→→

①定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角。 ②范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°。

③共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向共线；若θ＝180°，则a与b反向共线；若θ＝90°，则a与b垂直。

(2)平面向量的数量积

①定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0。

②几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角。 ①数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2。 ②模：|a|＝a·a＝x1＋y1。

22

a·bx1x2＋y1y2③夹角：cosθ＝＝22。 2|a||b|x1＋y1·x22＋y2④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0。

⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ x1＋y1·x2＋y2。 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)。

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)。 (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)。

微点提醒

1．a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不是一个概念，要加以区别。

2．对于两个非零向量a与b，由于当θ＝0°时，a·b>0，所以a·b>0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件；a·b＝0也不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b。

3．在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|；若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c。但对于向量a，b却有|a·b|≤|a|·|b|；若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c不一定成立，原因是

2

2

2

2

a·b＝|a||b|cosθ，当cosθ＝0时，b与c不一定相等。

4．向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线。

小|题|快|练

一 、走进教材

1．(必修4P107例6改编)已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝43，则a与b的夹角θ＝________。 【解析】 因为a·b＝|a||b|·cosθ，

a·b433

所以cosθ＝＝＝，

|a||b|2×42

又因为0°≤θ≤180°，故θ＝30°。 【答案】 30°

2．(必修4P105例4改编)已知a＝(1,2)，b＝(3,4)，若a＋kb与a－kb互相垂直，则实数

k＝________。

【解析】 由已知a＝(1,2)，b＝(3,4)， 若互相垂直，则(a＋kb)·(a－kb)＝0， 即a－kb＝0，

2

22

- 2 -

122

即5－25k＝0，即k＝，

5所以k＝±

5。 55 5

【答案】 ±

二、双基查验

1．下列四个命题中真命题的个数为( ) ①若a·b＝0，则a⊥b；

②若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c； ③(a·b)·c＝a·(b·c)； ④(a·b)＝a·b。 A．4个 C．0个

B．2个 D．3个

2

2

2

【解析】 a·b＝0时，a⊥b，或a＝0，或b＝0。故①命题错。 ∵a·b＝b·c，∴b·(a－c)＝0。

又∵b≠0，∴a＝c，或b⊥(a－c)。故②命题错误。

∵a·b与b·c都是实数，故(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共线的向量，

∴(a·b)·c不一定与a·(b·c)相等。故③命题不正确。

∵(a·b)＝(|a||b|cosθ)＝|a||b|cosθ≤|a|·|b|＝a·b。故④命题不正确。故选C。

【答案】 C

→→

2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB·AC＝( ) 3A．－

22C. 3

【解析】 在△ABC中，

2B．－

33D. 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

AB2＋AC2－BC29＋4－101

cos∠BAC＝＝＝，

2AB·AC2×3×24

→→→→13

∴AB·AC＝|AB||AC|cos∠BAC＝3×2×＝。故选D。

42【答案】 D

3．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝( )

- 3 -

A．－1 C．－2

【解析】 λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)。 ∵λa＋b与a垂直，

∴(λa＋b)·a＝10λ＋10＝0。∴λ＝－1。故选A。 【答案】 A

B．1 D．2

1

4．已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________。

3【解析】 ∵|a|＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2) 122

＝9|e1|－12e1·e2＋4|e2|＝9－12×1×1×＋4＝9

3∴|a|＝3。 【答案】 3

5．(2016·大连模拟)若a，b满足|a|＝2，a·(a＋b)＝1，|b|＝1，则a，b的夹角为________。

【解析】 因为|a|＝2，

所以a·(a＋b)＝a＋a·b＝2＋a·b＝1， 即a·b＝－1。 设a，b的夹角为θ，

22

a·b－12

则cosθ＝＝＝－。

|a||b|22×1

因为θ∈[0，π]， 3

所以θ＝π。

43

【答案】 π

4

- 4 -

第一课时 平面向量的数量积

微考点 大课堂

考点一 【典例1】 (1)已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为( ) A.13 C.

65

5

B.

13

5

平面向量数量积运算 D.65

(2)(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的→→

中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为( )

5A．－

81C. 4

【解析】 (1)|a|cosθ＝

1B. 8D.11 8

a·b＝|b|

－－＋3×71365

＝＝。故选C。 22

5＋765

→→→3

(2)如图，设AC＝m，AB＝n。根据已知得，DF＝m，所以

4

→→→31→

AF＝AD＋DF＝m＋n，BC＝m－n，

42

→

311311?31?AF·BC＝?m＋n?·(m－n)＝m2－n2－m·n＝－－＝

→

?42?

424428

1

。故选B。 8

【答案】 (1)C (2)B

反思归纳 1.当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cosθ。

2．当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b

- 5 -

＝x1x2＋y1y2。

→→→

【变式训练】 (1)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4。若点M，N满足BM→→→→→

＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM＝( )

A．20 C．9

B．15 D．6

→→

(2)(2016·蚌埠模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点。DE·DC的最大值为________。

【解析】 (1)在平行四边形ABCD内，易得， →→3→→1→1→AM＝AB＋AD，NM＝AB－AD，

434→→?→3→??1→1→?

所以AM·NM＝?AB＋AD?·?AB－AD?

4??34??1?→3→??→3→?

＝?AB＋AD?·?AB－AD? 3?4??4?1?→＝?AB3?

2

9→－AD16

2

3?1

?＝3×36－16×16＝12－3＝9。故选C。 ?

(2)如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，

→→→→

设E(t,0)，0≤t≤1，则D(0,1)，C(1,1)，DE＝(t，－1)，DC＝(1,0)，所以DE·DC＝t≤1。 【答案】 (1)C (2)1

考点二 平面向量的模与夹角问题 【典例2】 (1)(2017·长沙模拟)已知向量a＝(1,2)，a·b＝5，|a－b|＝25，则|b|等于( )

A.5 C．5

B．25 D．25

- 6 -

(2)(2016·东北三校联考)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于( )

A．150° C．60°

【解析】 (1)由a＝(1,2)，可得a＝|a|＝1＋2＝5。 因为|a－b|＝25， 所以a－2a·b＋b＝20， 所以5－2×5＋b＝20，

所以b＝25，所以|b|＝5。故选C。

122

(2)解法一：由于a·(a＋2b)＝a＋2a·b＝|a|＋2|a||b|cos60°＝4＋2×2×＝6，|a2＋2b|＝

2

2

2

2

2

2

2

2

B．90° D．30°

a＋2b2

＝a＋4a·b＋4b＝4＋4＋4＝23，所以cos〈a，a＋2b〉＝

22

aa＋2b63

＝＝，所以〈a，a＋2b〉＝30°。故选D。

|a|·|a＋2b|2×232

解法二：∵|a＋2b|＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos60°＝12， ∴|a＋2b|＝23，

∴a·(a＋2b)＝|a|·|a＋2b|·cosθ ＝2×23cosθ＝43cosθ。

又a·(a＋2b)＝a＋2a·b＝4＋4cos60°＝6， ∴43cosθ＝6，cosθ＝∴θ＝30°。故选D。 【答案】 (1)C (2)D

反思归纳 1.平面向量夹角的求法

若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cosθ＝面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题。

2．平面向量的模的解题方法

(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用|a|＝x＋y。

(2)若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|＝a＝a·a，或|a±b|＝(a±b)＝a±2a·b＋b，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解。

→?13?→?31?

【变式训练】 (1)(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA＝?，?，BC＝?，?，则∠ABC＝

?22??22?( )

A．30°

2

2

2

2

2

2

2

2

22

3

，θ∈[0°，180°]， 2

a·b(夹角公式)，所以平|a||b|

B．45°

- 7 -

C．60° D．120°

(2)(2016·衡水中学二调)已知单位向量a，b，若a·b＝0，且|c－a|＋|c－2b|＝5，则|c＋2a|的取值范围是( )

A．[1,3] C.?

B．[22，3] D.?

?65?

，22? ?5??65?

，3? ?5?

1331→→×＋×

2222BA·BC3

【解析】 (1)由两向量的夹角公式，可得cos∠ABC＝＝＝，→→1×12|BA|·|BC|则∠ABC＝30°。故选A。

(2)不妨设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，所以c－a＝(x－1，y)，c－2b＝(x，y－2)，所以

x－

2

＋y＋x＋y－

222

＝5，即(x，y)到A(1,0)和B(0,2)的距离和为5，

即表示点(1,0)和 (0,2)之间的线段，|c＋2a|＝x＋

2＋y，表示(－2，0)到线段AB上

6

65

＝，最大值55

2点的距离，最小值是点(－2，0)到直线2x＋y－2＝0的距离，|c＋2a|min＝

为(－2,0)到(1,0)的距离是3，所以|c＋2a|的取值范围是?

【答案】 (1)A (2)D

考点三 ?65?

，3?。故选D。 ?5?

平面向量的垂直问题 【典例3】 (1)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )

9

A．－

2C．3

B．0 D.15 2

→→→→→→→→→

(2)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2。若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________。

【解析】 (1)因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3。故选C。

→→→→→(2)BC＝AC－AB，由于AP⊥BC， →→

所以AP·BC＝0， →→→→即(λAB＋AC)·(AC－AB)

- 8 -

→2→2→→

＝－λAB＋AC＋(λ－1)AB·AC

7?1?＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×?－?＝0，λ＝。 12?2?7

【答案】 (1)C (2)

12

→→

【变式训练】 △ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是( )

A．|b|＝1 C．a·b＝1

→→→

【解析】 因为BC＝AC－AB＝(2a＋b)－2a＝b， 所以|b|＝2，故A错误；

→→12

由于AB·AC＝2a·(2a＋b)＝4|a|＋2a·b＝2×2×＝2，

2所以2a·b＝2－4|a|＝－2， 所以a·b＝－1，故B，C错误；

→?1?2

又因为(4a＋b)·BC＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|＝4×1×2×?－?＋4＝0，

?2?→

所以(4a＋b)⊥BC。故选D。 【答案】 D

2

B．a⊥b →

D．(4a＋b)⊥BC

- 9 -

微考场 新提升

1．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( ) A．－8 C．6

B．－6 D．8

解析 由向量的坐标运算得a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b，得(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8，故选D。

答案 D

π

2．(2017·衡水模拟)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，那么|4a－b|＝( )

3A．2 C．23

B．6 D．12

π222

解析 |4a－b|＝16a＋b－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cos＝12。∴|4a－b|＝23。

3故选C。

答案 C

3．(2016·成都模拟)△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上，且满足＝→→→→

若|AB|＝2，|AC|＝3，∠BAC＝90°，则AP·BC的值为( )

A．1 C.14 3

2B．－

31D．－

3

AMMP＝2，MCPB→→→→→→→2→→→→→2→2→2→

解析 由题知BC＝AC－AB，MB＝AB－AM＝AB－AC，AP＝AM＋MP＝AM＋MB＝AB＋AC，

3339→

→?2→2→?→→2→→2→22→22→→82

AP·BC＝?AB＋AC?·(AC－AB)＝AB·AC－AB＋AC－AB·AC＝－＋2＝－。故选

3399339??3

B。

答案 B

4．(2016·合肥联考)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a＋b在a方向上的投影为________。

1222

解析 ∵|a＋b|＝a＋b＋2a·b＝1＋4＋2×1×2×＝7，∴|a＋b|＝7，cos〈a＋b，

2

- 10 -

a〉＝

a＋ba1＋12727

＝＝。∴a＋b在a方向上的投影为|a＋b|·cos〈a＋b，a〉＝7×

|a＋b|·|a|777

＝2。

答案 2

→5．在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，3)，C(3,0)，动点D满足|CD|＝→→→

1，则|OA＋OB＋OD|的取值范围是________。

→→→→→→

解析 设D(x，y)，则(x－3)＋y＝1，OA＋OB＋OD＝(x－1，y＋3)，故|OA＋OB＋OD|

2

2

＝x－

2

＋y＋3

2

→→→22

，|OA＋OB＋OD|的最大值即为圆(x－3)＋y＝1上的点到点(1，

2

2

－3)距离的最大值，其最大值为圆(x－3)＋y＝1的圆心到点(1，－3)的距离加上圆的半径，即

－

2

＋＋3

2

＋1＝7＋1，最小值为－

2

＋＋3

2

－1＝7－

1，故取值范围为[7－1，7＋1]。

答案 [7－1，7＋1]

第二课时 平面向量的应用

微考点 大课堂 考点一 【典例1】 已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a，b的夹角的大小为________。

【解析】 由题意得|a＋xb|≥|a＋b|?a＋2xa·b＋xb≥a＋2a·b＋b?x＋2a·bx－

2

22

2

2

2

平面向量在函数、不等式中的应用 1－2a·b≥0，

所以Δ＝4(a·b)－4(－1－2a·b)≤0?(a·b＋1)≤0，所以a·b＝－1，cos〈a，b〉＝

2

2

a·b12π

＝－，即a与b的夹角为。

|a|·|b|23

2【答案】 π

3

反思归纳 平面向量沟通了几何与代数、函数、不等式的相关知识如：函数单调性、奇

偶性、不等式的解法、不等式的证明、不等式的恒成立等问题必然会与平面向量相关联，以

- 11 -

考查学生分析和解决问题的能力。

【变式训练】 (1)已知单位向量a，b，满足a⊥b，则函数f(x)＝(xa＋2b)(x∈R)( ) A．既是奇函数又是偶函数 B．既不是奇函数也不是偶函数 C．是偶函数 D．是奇函数

→→

(2)设e1，e2是平面内两个不共线的向量，AB＝(a－1)e1＋e2，AC＝be1－2e2(a>0，b>0)，12

若A，B，C三点共线，则＋的最小值是( )

2

abA．2 C．6

B．4 D．8

2

【解析】 (1)因为单位向量a，b，满足a⊥b，所以a·b＝0，所以f(x)＝(xa＋2b)＝

x2＋4xa·b＋4＝x2＋4。又f(－x)＝(－x)2＋4＝x2＋4＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数。故选

C。

(2)因为A，B，C三点共线，所以(a－1)×(－2)＝1×b，所以2a＋b＝2。因为a>0，b>0，122a＋b?12?2ab所以＋＝·?＋?＝2＋＋≥2＋2

ab2b2a?ab?1时取等号)。故选B。

【答案】 (1)C (2)B

考点二 【典例2】 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P→→→→

满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )

A．内心 C．重心

→

→

→

→

→

B．外心 D．垂心

平面向量在平面几何中的应用……母题发散 2ab2ab1

·＝4(当且仅当＝，即a＝，b＝b2ab2a2

→→

【解析】 由原等式，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法→→→

则，知AB＋AC是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心。故选C。

【答案】 C

→??→

→→ABAC?

＋【母题变式】 在本典例中，若动点P满足OP＝OA＋λ?，λ∈(0，＋∞)，→??→

?|AB||AC|?则点P的轨迹一定通过△ABC的________。

- 12 -

→??→

→→→ABAC??＋【解析】 由条件，得OP－OA＝λ，即AP＝λ

→??→

?|AB||AC|?→?→→?→ABACABAC??，而＋和→??→→→

|AB||AC||AB||AC|??

→→

→→→ABAC分别表示与AB，AC同向的单位向量，故＋平分∠BAC，即AP平分∠BAC，所以点P的

→→|AB||AC|轨迹必过△ABC的内心。

【答案】 内心

反思归纳 解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系。

【拓展变式】 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，其内切圆切AC边于D点，→→→→

O为圆心。若|AD|＝2|CD|＝2，则BO·AC＝________。

【解析】 以CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(分别以射线CA、CB的方向为x轴、y轴的正方向)，则C(0,0)，O(1,1)，

A(3,0)。

设直角三角形的内切圆与AB边切于点E，与CB边切于点F，则由圆的切线长定理可得BE＝BF，AD＝AE＝2，设BE＝BF＝x，在Rt△ABC中，有CB＋CA＝

2

2

AB2，即(x＋1)2＋9＝(x＋2)2，解得x＝3，故B(0,4)。

→→

∴BO·AC＝(1，－3)·(－3,0)＝－3。 【答案】 －3

考点三 角度一：平面向量在三角函数图象与性质中的应用

【典例3】 已知函数f(x)＝3sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若→→

OA·OB＝0，则函数f(x＋1)是( )

A．周期为4的奇函数

- 13 -

平面向量在三角函数中的应用……多维探究

B．周期为4的偶函数 C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数

→→π3π3π????， 3?，【解析】 由题图可得A?B?，－3?，由OA·OB＝0得2－3＝0，又ω>0，

4ω?2ω??2ω?

2

π

∴ω＝，

2

π

∴f(x)＝3sinx，

2

π?π?∴f(x＋1)＝3sin?x＋1?＝3cosx，它是周期为4的偶函数。故选B。 2?2?【答案】 B

角度二：平面向量在解三角形中的应用

【典例4】 (2016·山西四校联考)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝sin2C。

(1)求角C的大小；

→→→

(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且CA·(AB－AC)＝18，求c边的长。 【解析】 (1)m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA＝sin(A＋B)， 对于△ABC，A＋B＝π－C,0

∴m·n＝sinC，又m·n＝sin2C，

1

∴sin2C＝sinC，cosC＝，又∵C∈(0，π)，

2π∴C＝。

3

(2)由sinA，sinC，sinB成等差数列，可得2sinC＝sinA＋sinB，由正弦定理得2c＝a＋

b。

→→→→→

∵CA·(AB－AC)＝18，∴CA·CB＝18， 即abcosC＝18，ab＝36。

由余弦定理得c＝a＋b－2abcosC＝(a＋b)－3ab， ∴c＝4c－3×36，c＝36， ∴c＝6。

π

【答案】 (1) (2)6

3

反思归纳 1.解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化

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2222

222

简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决。

2．还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识。

【变式训练】 (1)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，π

|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最

2→→

高点和最低点，且OM·ON＝0(O为坐标原点)，则A等于( )

A. 7π 12

C.7

π 6

D.7π 3π 6B.

→→→→2

(2)在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|，则△ABC的形状一定是( ) A．等边三角形 C．直角三角形

B．等腰三角形 D．等腰直角三角形

→→π7?π??7?2

【解析】 (1)由题意知M?，A?，N?π，－A?，又OM·ON＝×π－A＝0，

1212?12??12?∴A＝

7

π。故选B。 12

→→→→2

(2)由(BC＋BA)·AC＝|AC|， →→→→

得AC·(BC＋BA－AC)＝0，

→→→→→→

即AC·(BC＋BA＋CA)＝0,2AC·BA＝0， →→

∴AC⊥BA，∴A＝90°。

→→

又根据已知条件不能得到|AB|＝|AC|， 故△ABC一定是直角三角形。故选C。 【答案】 (1)B (2)C

考点四

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平面向量在解析几何中的应用

【典例5】 过抛物线y＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，→→→→

与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若AF＝FB，BA·BC＝48，则抛物线的方程为( )

A．y＝8x C．y＝16x

22

2

B．y＝4x D．y＝42x

2

2

→→

【解析】 如图，AF＝FB?F为线段AB的中点，∵AF＝AC，∴∠ABC＝30°，→→1

由BA·BC＝48得BC＝43，则AC＝4。∴由中位线性质有p＝AC＝2，故抛物线的

2方程为y＝4x。故选B。

【答案】 B

反思归纳 向量在解析几何中的应用：

1．载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题。

2．工具作用：利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题。特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法。

【变式训练】 已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ2

?→1→??→1→?

⊥l，垂足为Q，且?PC＋PQ?·?PC－PQ?＝0。

2??2??

(1)求动点P的轨迹方程；

→→

(2)若EF为圆N：x＋(y－1)＝1的任一条直径，求PE·PF的最值。

2

2

【解析】 (1)设P(x，y)，则Q(8，y)。

→21→2

?→1→??→1→?

由?PC＋PQ?·?PC－PQ?＝0，得|PC|－|PQ|＝0，

42??2??

1xy2

即(x－2)＋y－(x－8)＝0，化简得＋＝1。

41612

2

2

2

2

所以点P在椭圆上，其方程为＋＝1。

1612

→→→→→→→→→→→2→2→2

(2)PE·PF＝(NE－NP)·(NF－NP)＝(－NF－NP)·(NF－NP)＝NP－NF＝NP－1，

x2y2

P是椭圆＋＝1上的任一点，设P(x0，y0)，

16

12

4y0

则有＋＝1，即x＝16－，又N(0,1)，

16123

2

0

x2y2

x20y20

2

- 16 -

→22122

所以NP＝x0＋(y0－1)＝－y0－2y0＋17

312

＝－(y0＋3)＋20。

3

→2→→

因为y0∈[－23，23]，所以当y0＝－3时，NP取得最大值20，故PE·PF的最大值为19；

→2→→

当y0＝23时，NP取得最小值为13－43(此时x0＝0)，故PE·PF的最小值为12－43。 【答案】 (1)＋＝1

1612

(2)最大值为19，最小值为12－43

微考场 新提升

1．已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，则|a－b|的最大值为( ) A．1 C.3

解析 ∵a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)， ∴a－b＝(0，sinθ－cosθ)， ∴|a－b|＝0＋

2

x2y2

B.2 D．2

θ－cosθ

2

＝1－sin2θ。

∴|a－b|的最大值为2。故选B。 答案 B

2．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有( ) A．a⊥b C．|a|＝|b|

解析 f(x)＝－(a·b)x＋(a－b)x＋a·b。 依题意知f(x)的图象是一条直线， ∴a·b＝0，即a⊥b。故选A。 答案 A

→1→→

3．(2016·郴州质检)已知△ABC的外心P满足AP＝(AB＋AC)，则cosA＝( )

31A. 21C．－

3

B.D.3 23 3

2

2

2

B．a∥b D．|a|≠|b|

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→→→1→→→

解析 取BC的中点D，连接AD，PD，则AP＝AD＋DP＝(AB＋AC)＋DP，

2→1→→

又AP＝(AB＋AC)，

3→1→→所以PD＝(AB＋AC)。

6

→→1→→→→

由PD·BC＝(AB＋AC)·(AC－AB)＝0，

6

→→→→

得|AB|＝|AC|。又AP＝2PD，所以P又是重心，所以△ABC是等边三角形，所以cosA＝1

cos60°＝。故选A。

2

答案 A

→→

4．(2017·唐山模拟)过点A(3,1)的直线l与圆C：x＋y－4y－1＝0相切于点B，则CA·CB2

2

＝________。

解析 由x＋(y－2)＝5，可知圆心C(0,2)，半径r＝－

22

2

5，所以|AC|＝

→

＋－

2→

＝10，所以|AB|＝10－5＝5，所以∠ACB＝45°，所以CA·CB＝

10×5×cos45°＝5。 答案 5

→→→

5．在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，CO＝xCA＋yCB，且x＋y＝1。若函数f(m)＝→→→3

|CA－mCB|(m∈R)的最小值为，则|CO|的最小值为________。

2

→→→→

解析 由CO＝xCA＋yCB，且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线，所以|CO|的最小值为AB→→3

边上的高，又AC＝BC＝1，即O为AB的中点，且函数f(m)＝|CA－mCB|的最小值为，

2

即点A到BC边的距离为1答案 2

→31

。又AC＝1，所以∠ACB＝120°，从而可得|CO|的最小值为。 22

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