2018届高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的
更新时间:2024-03-11 09:13:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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第三节 平面向量的数量积与平面向量的应用举例
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求 真题举例 2016,全国卷Ⅰ,13,5分(向量的几何意义) 2016,全国卷Ⅱ,3,5分(向量数量积的坐标运算) 命题角度 理解平面向量数量积的含义及其物理意义; 了解平面向量的数量积与向量投影的关系; 高考对本节内容的考查以向量掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运长度、夹角及数量积为主,以向; 数量积的运算为载体,综合三角能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个2016,全国卷Ⅲ,3,5分(向量夹角问题) 数、解析几何等知识进行考查,2016,天津卷,7,5分(向量的数量积和线性运算) 2015,全国卷Ⅰ,15,5分(向量的数量积运算) 面向量的垂直关系; 一种新的趋势,复习时应予以会用向量方法解决某些简单的平面几何问题; 注。以客观题为主,有时出现在答题中。分值5~12分。 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。 微知识 小题练
自|主|排|查
1.平面向量的数量积 (1)向量的夹角
→→
①定义:已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角。 ②范围:设θ是向量a与b的夹角,则0°≤θ≤180°。
③共线与垂直:若θ=0°,则a与b同向共线;若θ=180°,则a与b反向共线;若θ=90°,则a与b垂直。
(2)平面向量的数量积
①定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0。
②几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角。 ①数量积:a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2。 ②模:|a|=a·a=x1+y1。
22
a·bx1x2+y1y2③夹角:cosθ==22。 2|a||b|x1+y1·x22+y2④两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0?x1x2+y1y2=0。
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2+y1y2|≤ x1+y1·x2+y2。 3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律)。
(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律)。 (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)。
微点提醒
1.a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不是一个概念,要加以区别。
2.对于两个非零向量a与b,由于当θ=0°时,a·b>0,所以a·b>0是两个向量a,b夹角为锐角的必要而不充分条件;a·b=0也不能推出a=0或b=0,因为a·b=0时,有可能a⊥b。
3.在实数运算中,若a,b∈R,则|ab|=|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c。但对于向量a,b却有|a·b|≤|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c不一定成立,原因是
2
2
2
2
a·b=|a||b|cosθ,当cosθ=0时,b与c不一定相等。
4.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线。
小|题|快|练
一 、走进教材
1.(必修4P107例6改编)已知|a|=2,|b|=4,a·b=43,则a与b的夹角θ=________。 【解析】 因为a·b=|a||b|·cosθ,
a·b433
所以cosθ===,
|a||b|2×42
又因为0°≤θ≤180°,故θ=30°。 【答案】 30°
2.(必修4P105例4改编)已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a-kb互相垂直,则实数
k=________。
【解析】 由已知a=(1,2),b=(3,4), 若互相垂直,则(a+kb)·(a-kb)=0, 即a-kb=0,
2
22
- 2 -
122
即5-25k=0,即k=,
5所以k=±
5。 55 5
【答案】 ±
二、双基查验
1.下列四个命题中真命题的个数为( ) ①若a·b=0,则a⊥b;
②若a·b=b·c,且b≠0,则a=c; ③(a·b)·c=a·(b·c); ④(a·b)=a·b。 A.4个 C.0个
B.2个 D.3个
2
2
2
【解析】 a·b=0时,a⊥b,或a=0,或b=0。故①命题错。 ∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0。
又∵b≠0,∴a=c,或b⊥(a-c)。故②命题错误。
∵a·b与b·c都是实数,故(a·b)·c是与c共线的向量,a·(b·c)是与a共线的向量,
∴(a·b)·c不一定与a·(b·c)相等。故③命题不正确。
∵(a·b)=(|a||b|cosθ)=|a||b|cosθ≤|a|·|b|=a·b。故④命题不正确。故选C。
【答案】 C
→→
2.在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=10,则AB·AC=( ) 3A.-
22C. 3
【解析】 在△ABC中,
2B.-
33D. 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
AB2+AC2-BC29+4-101
cos∠BAC===,
2AB·AC2×3×24
→→→→13
∴AB·AC=|AB||AC|cos∠BAC=3×2×=。故选D。
42【答案】 D
3.已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b与a垂直,则λ=( )
- 3 -
A.-1 C.-2
【解析】 λa+b=(λ+4,-3λ-2)。 ∵λa+b与a垂直,
∴(λa+b)·a=10λ+10=0。∴λ=-1。故选A。 【答案】 A
B.1 D.2
1
4.已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cosα=,若向量a=3e1-2e2,则|a|=________。
3【解析】 ∵|a|=a·a=(3e1-2e2)·(3e1-2e2) 122
=9|e1|-12e1·e2+4|e2|=9-12×1×1×+4=9
3∴|a|=3。 【答案】 3
5.(2016·大连模拟)若a,b满足|a|=2,a·(a+b)=1,|b|=1,则a,b的夹角为________。
【解析】 因为|a|=2,
所以a·(a+b)=a+a·b=2+a·b=1, 即a·b=-1。 设a,b的夹角为θ,
22
a·b-12
则cosθ===-。
|a||b|22×1
因为θ∈[0,π], 3
所以θ=π。
43
【答案】 π
4
- 4 -
第一课时 平面向量的数量积
微考点 大课堂
考点一 【典例1】 (1)已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为( ) A.13 C.
65
5
B.
13
5
平面向量数量积运算 D.65
(2)(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的→→
中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AF·BC的值为( )
5A.-
81C. 4
【解析】 (1)|a|cosθ=
1B. 8D.11 8
a·b=|b|
--+3×71365
==。故选C。 22
5+765
→→→3
(2)如图,设AC=m,AB=n。根据已知得,DF=m,所以
4
→→→31→
AF=AD+DF=m+n,BC=m-n,
42
→
311311?31?AF·BC=?m+n?·(m-n)=m2-n2-m·n=--=
→
?42?
424428
1
。故选B。 8
【答案】 (1)C (2)B
反思归纳 1.当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cosθ。
2.当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b
- 5 -
=x1x2+y1y2。
→→→
【变式训练】 (1)设四边形ABCD为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4。若点M,N满足BM→→→→→
=3MC,DN=2NC,则AM·NM=( )
A.20 C.9
B.15 D.6
→→
(2)(2016·蚌埠模拟)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点。DE·DC的最大值为________。
【解析】 (1)在平行四边形ABCD内,易得, →→3→→1→1→AM=AB+AD,NM=AB-AD,
434→→?→3→??1→1→?
所以AM·NM=?AB+AD?·?AB-AD?
4??34??1?→3→??→3→?
=?AB+AD?·?AB-AD? 3?4??4?1?→=?AB3?
2
9→-AD16
2
3?1
?=3×36-16×16=12-3=9。故选C。 ?
(2)如图所示,以AB,AD所在的直线分别为x,y轴建立直角坐标系,
→→→→
设E(t,0),0≤t≤1,则D(0,1),C(1,1),DE=(t,-1),DC=(1,0),所以DE·DC=t≤1。 【答案】 (1)C (2)1
考点二 平面向量的模与夹角问题 【典例2】 (1)(2017·长沙模拟)已知向量a=(1,2),a·b=5,|a-b|=25,则|b|等于( )
A.5 C.5
B.25 D.25
- 6 -
(2)(2016·东北三校联考)已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=1,则向量a与向量a+2b的夹角等于( )
A.150° C.60°
【解析】 (1)由a=(1,2),可得a=|a|=1+2=5。 因为|a-b|=25, 所以a-2a·b+b=20, 所以5-2×5+b=20,
所以b=25,所以|b|=5。故选C。
122
(2)解法一:由于a·(a+2b)=a+2a·b=|a|+2|a||b|cos60°=4+2×2×=6,|a2+2b|=
2
2
2
2
2
2
2
2
B.90° D.30°
a+2b2
=a+4a·b+4b=4+4+4=23,所以cos〈a,a+2b〉=
22
aa+2b63
==,所以〈a,a+2b〉=30°。故选D。
|a|·|a+2b|2×232
解法二:∵|a+2b|=4+4+4a·b=8+8cos60°=12, ∴|a+2b|=23,
∴a·(a+2b)=|a|·|a+2b|·cosθ =2×23cosθ=43cosθ。
又a·(a+2b)=a+2a·b=4+4cos60°=6, ∴43cosθ=6,cosθ=∴θ=30°。故选D。 【答案】 (1)C (2)D
反思归纳 1.平面向量夹角的求法
若a,b为非零向量,则由平面向量的数量积公式得cosθ=面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题。
2.平面向量的模的解题方法
(1)若向量a是以坐标形式出现的,求向量a的模可直接利用|a|=x+y。
(2)若向量a,b是非坐标形式出现的,求向量a的模可应用公式|a|=a=a·a,或|a±b|=(a±b)=a±2a·b+b,先求向量模的平方,再通过向量数量积的运算求解。
→?13?→?31?
【变式训练】 (1)(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA=?,?,BC=?,?,则∠ABC=
?22??22?( )
A.30°
2
2
2
2
2
2
2
2
22
3
,θ∈[0°,180°], 2
a·b(夹角公式),所以平|a||b|
B.45°
- 7 -
C.60° D.120°
(2)(2016·衡水中学二调)已知单位向量a,b,若a·b=0,且|c-a|+|c-2b|=5,则|c+2a|的取值范围是( )
A.[1,3] C.?
B.[22,3] D.?
?65?
,22? ?5??65?
,3? ?5?
1331→→×+×
2222BA·BC3
【解析】 (1)由两向量的夹角公式,可得cos∠ABC===,→→1×12|BA|·|BC|则∠ABC=30°。故选A。
(2)不妨设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),所以c-a=(x-1,y),c-2b=(x,y-2),所以
x-
2
+y+x+y-
222
=5,即(x,y)到A(1,0)和B(0,2)的距离和为5,
即表示点(1,0)和 (0,2)之间的线段,|c+2a|=x+
2+y,表示(-2,0)到线段AB上
6
65
=,最大值55
2点的距离,最小值是点(-2,0)到直线2x+y-2=0的距离,|c+2a|min=
为(-2,0)到(1,0)的距离是3,所以|c+2a|的取值范围是?
【答案】 (1)A (2)D
考点三 ?65?
,3?。故选D。 ?5?
平面向量的垂直问题 【典例3】 (1)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=( )
9
A.-
2C.3
B.0 D.15 2
→→→→→→→→→
(2)已知向量AB与AC的夹角为120°,且|AB|=3,|AC|=2。若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实数λ的值为________。
【解析】 (1)因为2a-3b=(2k-3,-6),(2a-3b)⊥c,所以(2a-3b)·c=2(2k-3)-6=0,解得k=3。故选C。
→→→→→(2)BC=AC-AB,由于AP⊥BC, →→
所以AP·BC=0, →→→→即(λAB+AC)·(AC-AB)
- 8 -
→2→2→→
=-λAB+AC+(λ-1)AB·AC
7?1?=-9λ+4+(λ-1)×3×2×?-?=0,λ=。 12?2?7
【答案】 (1)C (2)
12
→→
【变式训练】 △ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论正确的是( )
A.|b|=1 C.a·b=1
→→→
【解析】 因为BC=AC-AB=(2a+b)-2a=b, 所以|b|=2,故A错误;
→→12
由于AB·AC=2a·(2a+b)=4|a|+2a·b=2×2×=2,
2所以2a·b=2-4|a|=-2, 所以a·b=-1,故B,C错误;
→?1?2
又因为(4a+b)·BC=(4a+b)·b=4a·b+|b|=4×1×2×?-?+4=0,
?2?→
所以(4a+b)⊥BC。故选D。 【答案】 D
2
B.a⊥b →
D.(4a+b)⊥BC
- 9 -
微考场 新提升
1.(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( ) A.-8 C.6
B.-6 D.8
解析 由向量的坐标运算得a+b=(4,m-2),由(a+b)⊥b,得(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8,故选D。
答案 D
π
2.(2017·衡水模拟)已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为,那么|4a-b|=( )
3A.2 C.23
B.6 D.12
π222
解析 |4a-b|=16a+b-8a·b=16×1+4-8×1×2×cos=12。∴|4a-b|=23。
3故选C。
答案 C
3.(2016·成都模拟)△ABC中,点M在线段AC上,点P在线段BM上,且满足=→→→→
若|AB|=2,|AC|=3,∠BAC=90°,则AP·BC的值为( )
A.1 C.14 3
2B.-
31D.-
3
AMMP=2,MCPB→→→→→→→2→→→→→2→2→2→
解析 由题知BC=AC-AB,MB=AB-AM=AB-AC,AP=AM+MP=AM+MB=AB+AC,
3339→
→?2→2→?→→2→→2→22→22→→82
AP·BC=?AB+AC?·(AC-AB)=AB·AC-AB+AC-AB·AC=-+2=-。故选
3399339??3
B。
答案 B
4.(2016·合肥联考)已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则a+b在a方向上的投影为________。
1222
解析 ∵|a+b|=a+b+2a·b=1+4+2×1×2×=7,∴|a+b|=7,cos〈a+b,
2
- 10 -
a〉=
a+ba1+12727
==。∴a+b在a方向上的投影为|a+b|·cos〈a+b,a〉=7×
|a+b|·|a|777
=2。
答案 2
→5.在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,3),C(3,0),动点D满足|CD|=→→→
1,则|OA+OB+OD|的取值范围是________。
→→→→→→
解析 设D(x,y),则(x-3)+y=1,OA+OB+OD=(x-1,y+3),故|OA+OB+OD|
2
2
=x-
2
+y+3
2
→→→22
,|OA+OB+OD|的最大值即为圆(x-3)+y=1上的点到点(1,
2
2
-3)距离的最大值,其最大值为圆(x-3)+y=1的圆心到点(1,-3)的距离加上圆的半径,即
-
2
++3
2
+1=7+1,最小值为-
2
++3
2
-1=7-
1,故取值范围为[7-1,7+1]。
答案 [7-1,7+1]
第二课时 平面向量的应用
微考点 大课堂 考点一 【典例1】 已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且对一切实数x,|a+xb|≥|a+b|恒成立,则a,b的夹角的大小为________。
【解析】 由题意得|a+xb|≥|a+b|?a+2xa·b+xb≥a+2a·b+b?x+2a·bx-
2
22
2
2
2
平面向量在函数、不等式中的应用 1-2a·b≥0,
所以Δ=4(a·b)-4(-1-2a·b)≤0?(a·b+1)≤0,所以a·b=-1,cos〈a,b〉=
2
2
a·b12π
=-,即a与b的夹角为。
|a|·|b|23
2【答案】 π
3
反思归纳 平面向量沟通了几何与代数、函数、不等式的相关知识如:函数单调性、奇
偶性、不等式的解法、不等式的证明、不等式的恒成立等问题必然会与平面向量相关联,以
- 11 -
考查学生分析和解决问题的能力。
【变式训练】 (1)已知单位向量a,b,满足a⊥b,则函数f(x)=(xa+2b)(x∈R)( ) A.既是奇函数又是偶函数 B.既不是奇函数也不是偶函数 C.是偶函数 D.是奇函数
→→
(2)设e1,e2是平面内两个不共线的向量,AB=(a-1)e1+e2,AC=be1-2e2(a>0,b>0),12
若A,B,C三点共线,则+的最小值是( )
2
abA.2 C.6
B.4 D.8
2
【解析】 (1)因为单位向量a,b,满足a⊥b,所以a·b=0,所以f(x)=(xa+2b)=
x2+4xa·b+4=x2+4。又f(-x)=(-x)2+4=x2+4=f(x),所以函数f(x)为偶函数。故选
C。
(2)因为A,B,C三点共线,所以(a-1)×(-2)=1×b,所以2a+b=2。因为a>0,b>0,122a+b?12?2ab所以+=·?+?=2++≥2+2
ab2b2a?ab?1时取等号)。故选B。
【答案】 (1)C (2)B
考点二 【典例2】 已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P→→→→
满足OP=OA+λ(AB+AC),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.内心 C.重心
→
→
→
→
→
B.外心 D.垂心
平面向量在平面几何中的应用……母题发散 2ab2ab1
·=4(当且仅当=,即a=,b=b2ab2a2
→→
【解析】 由原等式,得OP-OA=λ(AB+AC),即AP=λ(AB+AC),根据平行四边形法→→→
则,知AB+AC是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心。故选C。
【答案】 C
→??→
→→ABAC?
+【母题变式】 在本典例中,若动点P满足OP=OA+λ?,λ∈(0,+∞),→??→
?|AB||AC|?则点P的轨迹一定通过△ABC的________。
- 12 -
→??→
→→→ABAC??+【解析】 由条件,得OP-OA=λ,即AP=λ
→??→
?|AB||AC|?→?→→?→ABACABAC??,而+和→??→→→
|AB||AC||AB||AC|??
→→
→→→ABAC分别表示与AB,AC同向的单位向量,故+平分∠BAC,即AP平分∠BAC,所以点P的
→→|AB||AC|轨迹必过△ABC的内心。
【答案】 内心
反思归纳 解决向量与平面几何综合问题,可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系,然后通过向量运算研究几何元素之间的关系。
【拓展变式】 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,其内切圆切AC边于D点,→→→→
O为圆心。若|AD|=2|CD|=2,则BO·AC=________。
【解析】 以CA所在的直线为x轴,CB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(分别以射线CA、CB的方向为x轴、y轴的正方向),则C(0,0),O(1,1),
A(3,0)。
设直角三角形的内切圆与AB边切于点E,与CB边切于点F,则由圆的切线长定理可得BE=BF,AD=AE=2,设BE=BF=x,在Rt△ABC中,有CB+CA=
2
2
AB2,即(x+1)2+9=(x+2)2,解得x=3,故B(0,4)。
→→
∴BO·AC=(1,-3)·(-3,0)=-3。 【答案】 -3
考点三 角度一:平面向量在三角函数图象与性质中的应用
【典例3】 已知函数f(x)=3sinωx(ω>0)的部分图象如图所示,A,B分别是这部分图象上的最高点、最低点,O为坐标原点,若→→
OA·OB=0,则函数f(x+1)是( )
A.周期为4的奇函数
- 13 -
平面向量在三角函数中的应用……多维探究
B.周期为4的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数
→→π3π3π????, 3?,【解析】 由题图可得A?B?,-3?,由OA·OB=0得2-3=0,又ω>0,
4ω?2ω??2ω?
2
π
∴ω=,
2
π
∴f(x)=3sinx,
2
π?π?∴f(x+1)=3sin?x+1?=3cosx,它是周期为4的偶函数。故选B。 2?2?【答案】 B
角度二:平面向量在解三角形中的应用
【典例4】 (2016·山西四校联考)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),m·n=sin2C。
(1)求角C的大小;
→→→
(2)若sinA,sinC,sinB成等差数列,且CA·(AB-AC)=18,求c边的长。 【解析】 (1)m·n=sinA·cosB+sinB·cosA=sin(A+B), 对于△ABC,A+B=π-C,0 ∴m·n=sinC,又m·n=sin2C, 1 ∴sin2C=sinC,cosC=,又∵C∈(0,π), 2π∴C=。 3 (2)由sinA,sinC,sinB成等差数列,可得2sinC=sinA+sinB,由正弦定理得2c=a+ b。 →→→→→ ∵CA·(AB-AC)=18,∴CA·CB=18, 即abcosC=18,ab=36。 由余弦定理得c=a+b-2abcosC=(a+b)-3ab, ∴c=4c-3×36,c=36, ∴c=6。 π 【答案】 (1) (2)6 3 反思归纳 1.解决平面向量与三角函数的交汇问题,关键是准确利用向量的坐标运算化 - 14 - 2222 222 简已知条件,将其转化为三角函数中的有关问题解决。 2.还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识。 【变式训练】 (1)若函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,π |φ|<)在一个周期内的图象如图所示,M,N分别是这段图象的最 2→→ 高点和最低点,且OM·ON=0(O为坐标原点),则A等于( ) A. 7π 12 C.7 π 6 D.7π 3π 6B. →→→→2 (2)在△ABC中,(BC+BA)·AC=|AC|,则△ABC的形状一定是( ) A.等边三角形 C.直角三角形 B.等腰三角形 D.等腰直角三角形 →→π7?π??7?2 【解析】 (1)由题意知M?,A?,N?π,-A?,又OM·ON=×π-A=0, 1212?12??12?∴A= 7 π。故选B。 12 →→→→2 (2)由(BC+BA)·AC=|AC|, →→→→ 得AC·(BC+BA-AC)=0, →→→→→→ 即AC·(BC+BA+CA)=0,2AC·BA=0, →→ ∴AC⊥BA,∴A=90°。 →→ 又根据已知条件不能得到|AB|=|AC|, 故△ABC一定是直角三角形。故选C。 【答案】 (1)B (2)C 考点四 - 15 - 平面向量在解析几何中的应用 【典例5】 过抛物线y=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,→→→→ 与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线的准线上的射影为C,若AF=FB,BA·BC=48,则抛物线的方程为( ) A.y=8x C.y=16x 22 2 B.y=4x D.y=42x 2 2 →→ 【解析】 如图,AF=FB?F为线段AB的中点,∵AF=AC,∴∠ABC=30°,→→1 由BA·BC=48得BC=43,则AC=4。∴由中位线性质有p=AC=2,故抛物线的 2方程为y=4x。故选B。 【答案】 B 反思归纳 向量在解析几何中的应用: 1.载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题。 2.工具作用:利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题。特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法。 【变式训练】 已知平面上一定点C(2,0)和直线l:x=8,P为该平面上一动点,作PQ2 ?→1→??→1→? ⊥l,垂足为Q,且?PC+PQ?·?PC-PQ?=0。 2??2?? (1)求动点P的轨迹方程; →→ (2)若EF为圆N:x+(y-1)=1的任一条直径,求PE·PF的最值。 2 2 【解析】 (1)设P(x,y),则Q(8,y)。 →21→2 ?→1→??→1→? 由?PC+PQ?·?PC-PQ?=0,得|PC|-|PQ|=0, 42??2?? 1xy2 即(x-2)+y-(x-8)=0,化简得+=1。 41612 2 2 2 2 所以点P在椭圆上,其方程为+=1。 1612 →→→→→→→→→→→2→2→2 (2)PE·PF=(NE-NP)·(NF-NP)=(-NF-NP)·(NF-NP)=NP-NF=NP-1, x2y2 P是椭圆+=1上的任一点,设P(x0,y0), 16 12 4y0 则有+=1,即x=16-,又N(0,1), 16123 2 0 x2y2 x20y20 2 - 16 - →22122 所以NP=x0+(y0-1)=-y0-2y0+17 312 =-(y0+3)+20。 3 →2→→ 因为y0∈[-23,23],所以当y0=-3时,NP取得最大值20,故PE·PF的最大值为19; →2→→ 当y0=23时,NP取得最小值为13-43(此时x0=0),故PE·PF的最小值为12-43。 【答案】 (1)+=1 1612 (2)最大值为19,最小值为12-43 微考场 新提升 1.已知向量a=(1,sinθ),b=(1,cosθ),则|a-b|的最大值为( ) A.1 C.3 解析 ∵a=(1,sinθ),b=(1,cosθ), ∴a-b=(0,sinθ-cosθ), ∴|a-b|=0+ 2 x2y2 B.2 D.2 θ-cosθ 2 =1-sin2θ。 ∴|a-b|的最大值为2。故选B。 答案 B 2.设a,b是非零向量,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线,则必有( ) A.a⊥b C.|a|=|b| 解析 f(x)=-(a·b)x+(a-b)x+a·b。 依题意知f(x)的图象是一条直线, ∴a·b=0,即a⊥b。故选A。 答案 A →1→→ 3.(2016·郴州质检)已知△ABC的外心P满足AP=(AB+AC),则cosA=( ) 31A. 21C.- 3 B.D.3 23 3 2 2 2 B.a∥b D.|a|≠|b| - 17 - →→→1→→→ 解析 取BC的中点D,连接AD,PD,则AP=AD+DP=(AB+AC)+DP, 2→1→→ 又AP=(AB+AC), 3→1→→所以PD=(AB+AC)。 6 →→1→→→→ 由PD·BC=(AB+AC)·(AC-AB)=0, 6 →→→→ 得|AB|=|AC|。又AP=2PD,所以P又是重心,所以△ABC是等边三角形,所以cosA=1 cos60°=。故选A。 2 答案 A →→ 4.(2017·唐山模拟)过点A(3,1)的直线l与圆C:x+y-4y-1=0相切于点B,则CA·CB2 2 =________。 解析 由x+(y-2)=5,可知圆心C(0,2),半径r=- 22 2 5,所以|AC|= → +- 2→ =10,所以|AB|=10-5=5,所以∠ACB=45°,所以CA·CB= 10×5×cos45°=5。 答案 5 →→→ 5.在△ABC中,∠ACB为钝角,AC=BC=1,CO=xCA+yCB,且x+y=1。若函数f(m)=→→→3 |CA-mCB|(m∈R)的最小值为,则|CO|的最小值为________。 2 →→→→ 解析 由CO=xCA+yCB,且x+y=1,可知A,O,B三点共线,所以|CO|的最小值为AB→→3 边上的高,又AC=BC=1,即O为AB的中点,且函数f(m)=|CA-mCB|的最小值为, 2 即点A到BC边的距离为1答案 2 →31 。又AC=1,所以∠ACB=120°,从而可得|CO|的最小值为。 22 - 18 - 百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。百度文库的文档由百度用户上传 ,需要经过百度的审核才能发布,百度自身不编辑或修改用户上传的文档内容。网友可以在线阅读和下载这些文档。百度文库的文档包括教学资料、考试题库、专业资料、公文写作、法律文件等多个领域的资料。百度用户上传文档可以得到一定的积分,下载有标价的文档则需要消耗积分。当前平台支持主流的doc(.docx)、.ppt(.pptx)、.xls(.xlsx)、.pot、.pps、.vsd、.rtf、.wps、.et、.dps、.pdf、.txt文件格式。 本文档仅用于百度文库的上传使用。 - 19 -
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