(7)刚体运动学、转动惯量、定轴转动

物理化学

(7)刚体运动学、转动惯量、定轴转动 )刚体运动学、转动惯量、

一、刚体、刚体的运动 刚体、 二、定轴转动(回忆角量系统) 定轴转动(回忆角量系统) 刚体定轴转动时角动量 角动量的形式 三、 刚体定轴转动时角动量的形式 四、转动惯量 教材：5.1与5.3节(回忆角量系统) 教材： 与 节 回忆角量系统) 作业：练习7 作业：练习

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(7)刚体运动学、转动惯量、定轴转动 )刚体运动学、转动惯量、

一、刚体、刚体的运动 刚体、 刚体：在外力作用下， 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物 任意两质点间距离保持不变的特殊质点组 特殊质点组) 体 . (任意两质点间距离保持不变的特殊质点组) 刚体的运动形式： 刚体的运动形式：平动(Translation )、转动( rotation)平动： 平动：若刚体中所有点的运 动轨迹都保持完全相同， 动轨迹都保持完全相同，或者说 刚体内任意两点间的连线总是平 行于它们的初始位置间的连线

刚体平动

质点运动

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转动： 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .

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(7)刚体运动学、转动惯量、定轴转动 )刚体运动学、转动惯量、

A

刚体的一般运动C A C A C B

B′

oA′

C′ B′

oB

o′B

o′A′

C′

o→ o′轮子的平动

加

绕过o′ 轴的转动

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刚体的一般运动= 刚体的一般运动

质心的平动

+

绕质心的转动

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二、刚体的定轴转动(Fixed-axis rotation)角量系统

约定 v 沿逆时针方向转动 θ r 角位移

角坐标 θ = θ (t )

z

θ (t )

>0 v r 沿顺时针方向转动 θ < 0θ = θ (t + t ) θ (t )角速度矢量

x参考平面 参考轴

ω ωv

v

ω 方向 方向:

θ dθ ω = lim0 = t → t dt v

右手螺旋方向 右手螺旋方向

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(7)刚体运动学、转动惯量、定轴转动 )刚体运动学、转动惯量、

角加速度 β = dω dt v v 加速转动 β ω方向一致 v v 减速转动 β ω方向相反

r

v

角量

角速度 角加速度

v v v v = ω ×r

v r线量 速度 加速度

v v

定轴转动的特点 定轴转动的特点

1) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； ) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；

v v v r 2) 任一质点运动 θ , ω , β 均相同，但 v, a 不同； 均相同， 不同； )3) 运动描述仅需一维(类似质点的直线运动) ) 运动描述仅需一维(类似质点的直线运动)

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(7)刚体运动学、转动惯量、定轴转动 )刚体运动学、转动惯量

、

刚体定轴转动 刚体定轴转动(类 定轴似质点的直线运动只需一维 坐标来描述) 坐标来描述)

方向始终平行于转轴， 方向始终平行于转轴， 始终平行于转轴 可以用角速度ω的正负来表示 可以用角速度 的正负来表示 具体的方向

ω

v

ωω >0ω >0 ω <0

z v

zωω <0

v

方向也始终平行于转轴 也始终平行于转轴， β 方向也始终平行于转轴， 的正负来表示ω是变 可以用的正负来表示 是变 大还是变小。 大还是变小。dθ ω= dtdω d 2θ β= = 2 dt dt

r

β >0

β <0

(其中θ 、ω、都为 、 代数量，有正负) 代数量，有正负)

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(7)刚体运动学、转动惯量、定轴转动 )刚体运动学、转动惯量、 质点直线运动或刚体平动 位移 速度 加速度 匀速直线运动 匀变速直线运动 刚体的定轴转动 角位移 角速度 角加速度 匀角速定轴转动 匀变角速定轴转动

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注意

定轴转动时， 定轴转动时，角量与线量的关系式

β=

dθ ω= dt 2 dω d θdt = dt2

ω

v

v av v an r

v v v = rω eta t = rβ a n = rω2

v et v vv at

v v 2v a = rβ et + rω en

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例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为 、 转速为150rmin-1, 因 受制动而均匀减速， 试求： ) 受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：(1) 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；( ;(2) 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；( )制动开 时飞轮的角速度；( ;(3) 始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；( )t = 6 s 时飞轮边缘 上一点的线速度、 上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .

ω ω 解 (1) 0 = 5 π rad s , t = 30 s 时， = 0. )1

设 t = 0 s 时， 0 = 0 .飞轮做匀减速运动 飞轮做匀减速运动 θβ = ω ω0t

05π π = = rad s 2 30 6

飞轮 30 s 内转过的角度

ω 2 ω 02 (5 π ) 2 = = 75 π rad θ= 2β 2 × ( π 6)

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转过的圈数 (2)t )

75 π N= = = 37.5 r 2π 2π

θ

= 6s 时，飞轮的角速度π ω = ω0 + βt = 5 π × 6 = 4 π rad s 1 6

t (3) )

= 6s 时，飞轮边缘上一点的线速度大小 2 2 v = rω = 0.2 × 4π m s = 2.5 m s

该点的切向加速度和法向加速度

π 2 at = rβ = 0.2 × ( ) = 0.105 m s 6 2 2 2 an = rω = 0.2 × (4 π ) = 31.6(m s )

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三、定轴转动刚体的角动量转轴 z ,角速度 ω

z转动 平面

r

ω

r

刚体上任一质点 mi 转轴与其转动平面交点 O mi 绕 O 圆周运动半径为 r i m i 对 O的角动量： 的角动量：

r r vi o rimi

r r r L io = r

i × m i v ir 大小： L io = r i m i v i = m i r i 2 ω 大小： L io r 方向：沿 ω 方向：

即：

r 2 r L io = m i ri ω

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(7)刚体运动学、转动惯量、定轴转动 )刚体运动学、转动惯量、 在轴上确定正方向，角速度ω表示为代数量，则定义质点对 在轴上确定正方向，角速度ω表示为代数量，则定义质点对 z 轴的角动量(即质点对参考点 的角动量在 轴上的投影) 轴的角动量( 质点对参考点o的角动量在 轴上的投影) 的角动量在z轴上的投影 r 为: 2 z r Liz = ± Lio = mi ri ω ω 转动 轴的总角动量为： 刚体对 z 轴的总角动量为：L z = ∑ Liz = ∑ ri 2 miω = ω ∑ ri 2 mii i i

平面

对质量连续分布的刚体： 对质量连续分布的刚体：L z = ∫ d L z = ∫ r 2ω d m = ω ∫ r 2 d m

r r odm

r v

令

J = ∑ri2mii

J = ∫ r 2dm

轴的总角动量为 即质点对轴上某参考点o 刚体对 z 轴的总角动量为: (即质点对轴上某参考点 的角动量在z轴上的投影 轴上的投影) 的角动量在 轴上的投影)

Lz = Jω

转动惯量J 转动惯量

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(7)刚体运动学、转动惯量、定轴转动 )刚体运动学、转动惯量、

四、新概念：转动惯量(Moment of inertia ) 新概念： 转动惯量： 转动惯量：对某一转轴的转动惯量等于每个质元的 质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和 单个质点的转动惯量 质点系的转动惯量 质量连续分布的 刚体的转动惯量

z

J = ∑(mi ri2 )i=1

n

转动 平面

ω

r

J = ∫ r2dmm

r r vi o rimi

国际单位制中转动惯量的 单位为千克米 单位为千克 米2(kgm2)

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(7)刚体运动学、转动惯量、定轴转动 )刚体运动学、转动惯量、

J = ∫ r 2 dm积分元选取： 积分元选取：λdlσ dSρ dV线密度： 线元： 线密度： λ , 线元： d l面密度： 面元： 面密度： σ , 面元： dS体密度： 体元： 体密度： ρ , 体元： dV

dm =

dm dm

dm

注意刚体对轴的转动惯量 J

与刚体总质量有关 与刚体质量分布有关 与转轴的位置有关

只有对于几何形状规则、 只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 的刚体， 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量

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几 种 常 见 刚 体 的 转 动 惯 量

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竿 子 长 些 还 是 短 些 较量

全 ？

安

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(7)刚体运动学、转动惯量、定轴转动 )刚体运动学、转动惯量、

讨论1 讨论

对同轴的转动惯量具有可加减性。 对同轴的转动惯量具有可加减性。 同轴圆柱r1 r2 o m2 m1

J z = J 2 + J1 m 2 r22 m1 r12 = + 2 2

zm 1 r1 m 2 r2

空心圆盘J z = J 2 J1 m 2 r22 m1 r12 = 2 2

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(7)刚体运动学、转

动惯量、定轴转动 )刚体运动学、转动惯量、

讨论2 讨论

两个常用定理(证明略) 两个常用定理(证明略) 正交轴定理

平行轴定理dD

zmC

x2

o

y

J D = J C + md

对平面刚体

Jz = Jx + J y轴垂直于厚度为无限小的刚 若z 轴垂直于厚度为无限小的刚 体薄板板面, 平面与板面重合, 体薄板板面 xy 平面与板面重合 则 此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯 量有如上关系

式中J 式中 C 为刚体对通过质心的轴的 转动惯量, 是刚体的质量 是刚体的质量， 是两 转动惯量 m是刚体的质量，d是两 平行轴之间的距离 。

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(7)刚体运动学、转动惯量、定轴转动 )刚体运动学、转动惯量、

求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的 例、求长为 、质量为 的均匀细棒对图中不同轴的 微元到转轴的 转动惯量。 转动惯量。 取如图坐标取线元dm=λdx做微元 解：取如图坐标取线元 做微元r为x 为 A L r为(L/2-x) 为 A L/2 r为x 为 C L/2 B X B X 距离r实际的表 距离 实际的表 达式和积分范 围必须要与所 取的坐标符合

J A = ∫ r2dm=∫L

L

0

mL2 x2λdx = 3

2 L mL 2 JC = ∫ ( x) λdx = 0 2 12

改变坐标， 结果不变 改变坐标，

JC = ∫

L 2 L 2

mL x λdx = 122

2

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