2012年高考试题文科数学解析汇编8圆锥曲线 - 图文

2012高考试题分类汇编：8：圆锥曲线 一、选择题

x2y21.【2012高考新课标文4】设F1F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为直线

abx?

3a上一点，?F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（ ） 212??(A) (B) (C) (D)

23??的等腰三角形，则有

【答案】C

【解析】因为?F2PF1是底角为30F2F1?F2P,，因为

?PF1F2?300，所以

113a1PF2?F1F2，即?c??2c?c，22223ac33所以?2c，即?，所以椭圆的离心率为e?，选C.

2a44?PF2D?600,?DPF2?300，所以F2D?2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y?16x的准线交于A,B两点，AB?43；则C的实轴长为（ ）

2(A)2 (B) 22 (C)? (D)?

【答案】C

【解析】设等轴双曲线方程为x?y?m(m?0)，抛物线的准线为x??4，由

22AB?43,则yA?23,把坐标(?4,23)代入双曲线方程得m?x2?y2?16?12?4，

x2y2??1，所以a2?4,a?2，所以实轴长2a?4，所以双曲线方程为x?y?4，即4422选C.

x2y23.【2012高考山东文11】已知双曲线C1：2?2?1(a?0,b?0)的离心率为2.若抛物线

abC2:x2?2py(p?0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为

(A) x2?【答案】D

83163y (B) x2?y (C)x2?8y (D)x2?16y 33【解析】抛物线的焦点 (0,bbp)，双曲线的渐近线为y??x，不妨取y?x，即

aa2a?bx?ay?0，焦点到渐近线的距离为

p2a2?b2?2，即ap?4a2?b2?4c，所以

cpccp?双曲线的离心率为?2，所以??2，所以p?8，所以抛物线方程为a4aa4x2?16y，选D.

4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x??4，则该椭圆的方程为

x2y2x2y2??1 （B）??1 （A）

1612128x2y2x2y2??1 （D）??1 （C）84124 【答案】C

【解析】椭圆的焦距为4，所以2c?4,c?2因为准线为x??4，所以椭圆的焦点在x轴上，

a2??4，所以a2?4c?8，b2?a2?c2?8?4?4，所以椭圆的方程为且?cx2y2??1，选C. 845.【2012高考全国文10】已知F1、F2为双曲线C:x?y?2的左、右焦点，点P在C上，

22|PF1|?2|PF2|，则cos?F1PF2?

（A）

1334 （B） （C） （D） 4545 【答案】C

x2y2??1，所以a?b?2,c?2，因为|PF1|=|2PF2|，所以点【解析】双曲线的方程为22P在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a=22,所以解得|PF2|=22，|PF1|=42，所以根

据余弦定理得cosF1PF2?(22)2?(42)2?142?22?42?3,选C. 46.【2012高考浙江文8】 如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点。若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A.3 B.2 C.

3 D. 2

【答案】B

【解析】设椭圆的长轴为2a，双曲线的长轴为2a?，由M，O，N将椭圆长轴四等分，则2a?2?2a?，即a?2a?，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c，则双曲线的离心率为e??cce?a，e?，??2. a?aea?7.【2012高考四川文9】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点

M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|?（ ）

A、22 B、23 C、4 D、25 【答案】B

2 【解析】根据题意可设设抛物线方程为y?2px，则点M(2,?2p)Q焦点??p?,0?，点M?2?到该抛物线焦点的距离为3，

p??? ?2???4P?9， 解得p?2，所以OM?4?4?2?23.

2??8.【2012高考四川文11】方程ay?bx?c中的a,b,c?{?2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）

A、28条 B、32条 C、36条 D、48条 【答案】B

【解析】本题可用排除法，a,b,c?{?2,0,1,2,3}，5选3全排列为60，这些方程所表示的曲线要是抛物线，则a?0且b?0,，要减去2A4?24，又b??2或2时，方程出现重复，重复次数为4，所以不同的抛物线共有60-24-4=32条.故选B.

9.【2012高考上海文16】对于常数m、n，“mn?0”是“方程mx?ny?1的曲线是椭圆”

222222的（ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】B.

?m?0,?m?0,mn【解析】∵＞0，∴?或?。

n?0,n?0,??方程mx?ny=1表示的曲线是椭圆，则一定有?表示的是椭圆”的必要不充分条件。

22?m?0,22故“mn＞0”是“方程mx?ny=1

?n?0,x2y210.【2012高考江西文8】椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点

ab分别是F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 A.

511 B. C. D.

5425-2

【答案】B

【解析】椭圆的顶点A(?a,0),B(A,0),焦点坐标为F1(?c,0),F2(c,0)，所以

AF1?a?c,F1B?a?c，F1F2?2c,又因为AF1，F1F2，F1B成等比数列，所以有

4c2?(a?c)(a?c)?a2?c2，即5c2?a2，所以a?5c，离心率为e?c5?，选B. a5x2y211.【2012高考湖南文6】已知双曲线C ：2-2=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐

ab近线上，则C的方程为

x2y2x2y2x2y2x2y2A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1

20520805208020【答案】A

[w~#ww.zz&st^ep.com@] x2y2【解析】设双曲线C ：2-2=1的半焦距为c，则2c?10,c?5.

ab又

C 的渐近线为y??222bbx，点P （2,1）在C 的渐近线上，?1?2，即a?2b. aax2y2又c?a?b，?a?25,b?5，?C的方程为-=1.

205【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想

和基本运算能力，是近年来常考题型.

x2y212.【2102高考福建文5】已知双曲线2-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于

a5A

3143234 B C D 14423【答案】C.

【解析】根据焦点坐标(3,0)知c?3，由双曲线的简单几何性质知a2?5?9，所以a?2，因此e?3.故选C. 2二 、填空题

x2y2?1(a为定值，13.【2012高考四川文15】椭圆2?且a?5)的的左焦点为F，直线x?ma5与椭圆相交于点A、B，?FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。

2 【答案】，

3【解析】当直线x?m过右焦点时?FAB的周长最大，最大周长为4a?12,?a?3； ?c2?a2?b2?4，即c?2，?e?2 32

2

14.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x ? y =1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________. 【答案】23 【解析】由双曲线的方程可知a?1,c?2,?PF1?PF2?2a?2,

?PF1?2PF1PF2?PF2?4

22PF1?PF2,?PF1?PF2?(2c)2?8,?2PF1PF2?4,?(PF1?PF2)?8?4?12,?PF1?PF2?23222

【点评】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。

x2y215.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线??1的离心率

mm2?4为5，则m的值为 ▲ ． 【答案】2。

【考点】双曲线的性质。

x2y2【解析】由?2?1得a=m，b=m2?4，c=m?m2?4。

mm?4cm?m2?4=5，即m2?4m?4=0，解得m=2。 ∴e==am16.【2012高考陕西文14】右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.

【答案】26.

【解析】设水面与桥的一个交点为A，如图

2建立直角坐标系则，A的

坐标为（2，-2）.设抛物线方程为x??2py，带入点A得p?1，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为(x0,?3)，则x0??2??3,x0??6，所以水面宽度为26.

2x2y2b17.【2012高考重庆文14】设P为直线y?x与双曲线2?2?1(a?0,b?0) 左支的交

ab3a点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e? 【答案】

32 4?b?32y?xx??a??323a??4xPFa?c，即离心率【解析】由?2得，又垂直于轴，所以?124?x?y?1?y??2b???a2b24?为e?c32?。 a4218.【2012高考安徽文14】过抛物线y?4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点，若

|AF|?3，则|BF|=______。

【答案】

3 2【解析】设?AFx??(0????)及BF?m；则点A到准线l:x??1的距离为3， 得：3?2?3cos??cos??123 又m?2?mcos(???)?m??。 31?cos?2x2y219.【2012高考天津文科11】已知双曲线C1:2?2?1(a?0,b?0)与双曲线

abx2y2C2:??1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(5,0),则a? b?

416【答案】1，2

x2y2x2y2b??1渐近线为y??2x，而2?2?1的渐近线为y??x，【解析】双曲线的

416aabx2y2b所以有?2，b?2a，又双曲线2?2?1的右焦点为(5,0)，所以c?5，又

aabc2?a2?b2，即5?a2?4a2?5a2，所以a2?1,a?1,b?2。

三、解答题

20.（本小题满分14分） 已知椭圆

（a>b>0）,点P（

,

）在椭圆上。

（I）求椭圆的离心率。

（II）设A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ的斜率的值。

【答案】

21.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆

xy??1(a?b?0)的22ab22

?3?左、右焦点分别为F1(?c，e)和?e，?都在椭圆上，其中e为椭圆的0)，F2(c，0)．已知(1，?2???离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．

6，求直线AF1的斜率； 2（ii）求证：PF1?PF2是定值．

（i）若AF1?BF2?

【答案】解：（1）由题设知，a2=b2?c2，e=c，由点(1，e)在椭圆上，得 a，

12e21c222222222??1??=1?b?c=ab?a=ab?b=1a2b2a2a2b2∴c2=a2?1。

?3?由点?e，?在椭圆上，得

?2????3??3?????2222eca2?13????422??1???1???1?a?4a?4=0?a=2224414abaax2∴椭圆的方程为?y2?1。

2（2）由（1）得F1(?1，0)，F2(1，0)，又∵AF1∥BF2， ∴设

22AF1、BF2的方程分别为m=y?，x1?m=y，xA?x1，y1?，B?x2，y2?，y1>0，y2>0。

?x12m?2m2?2?y12?1?22?m?2y1?2my1?1=0?y1= ∴?2。 2m?2?my=x?1?11??

∴AF1=?x1?1???y1?0?22=?my1?22222m?1?mm?1??m?2m?222?y1=m?1??。①

m2?2m2?2 同理，BF2=2?m2?1??mm2?1m2?2。②

2mm2?12mm2?16= （i）由①②得，AF1?BF2?。解得m2=2。 22m?2m?22 ∵注意到m>0，∴m=2。 ∴直线AF1的斜率为

12。 =m2AF1∥

（ii）证明：∵

BF2，∴

PBBF2?PF1AF1，即

BFPB?PF1BF?AFPB2?1?2?1??。 PF1AF1PFAF11 ∴PF1=1AF1BF1。

AF1?BF2 由点B在椭圆上知，BF1?BF2?22，∴PF1=AF122?BF2。

AF1?BF2?? 同理。PF2=

∴PF1+PF2=BF222?AF1。

AF1?BF2??AF1BF22AFBF222?BF2?22?AF1?22?

AF1?BF2AF1?BF2AF1?BF2???? 由①②得，AF1?BF= ∴PF1+PF2=22?22m2?1m2?2??，AFBF=m?1， 2m?2223=2。 22 ∴PF1?PF2是定值。

【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。

?3?【解析】（1）根据椭圆的性质和已知(1，都在椭圆上列式求解。 e)和?e，???2??6，用待定系数法求解。 222.【2012高考安徽文20】（本小题满分13分）

（2）根据已知条件AF1?BF2?x2y2如图，F1,F2分别是椭圆C：2+2=1（a?b?0）

ab的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，?F1AF2=60°.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）已知△AF1B的面积为403，求a, b 的值. 【解析】

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:2x?y?1

（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若MF?22，求点M的坐标； （2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为k（k?2）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x?y?1相切，求证：

2222OP⊥OQ

【

答

案

】

28．【2012高考新课标文20】（本小题满分12分）

设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.

（I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；

（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值. 【答案】

29.【2012高考浙江文22】本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，物线C：y=2px（P＞0）的准线的距离为动点，且线段AB被直线OM平分。

21）到抛25。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两4

（1）求p,t的值。

（2）求△ABP面积的最大值。 【答案】

【解析】

1?2pt?1???p?（1）由题意得?2. p5，得?1?????24?t?1（2）设A(x1,y1),B?x2,y2?，线段AB的中点坐标为Q(m,m) 由题意得，设直线AB的斜率为k（k?0）.

2??y1?2px1由?，得(y2?y1)(y1?y2)?k(x2?x1)，得k?2m?1

2??y2?2px2所以直线的方程为y?m?1(x?m)，即x?2my?2m2?m?0. 2m2??x?2my?2m?m?022由?，整理得y?2my?2m?m?0，

2??y?x2所以?4m?4m2，y1?y2?2m，y1y2?2m?m.从而得

AB?1?122y?y?1?4m4m?4m， 122k设点P到直线AB的距离为d，则

d?1?2m?2m21?4m2，设?ABP的面积为S，则S?1AB?d?1?2(m?m2)?m?m2. 2由??4m?4m2?0，得0?m?1.

12，则S?t(1?2t). 212设S?t(1?2t)，0?t?，则S??1?6t2.

2令t?m?m，0?t?2由S??1?6t2?0，得t?666?1?，故?ABP的面积的最大值为. ??0,?，所以Smax?996?2?30.【2012高考湖南文21】（本小题满分13分） 在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的圆心.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

中国教育出%版网^@*&]1的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=02（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为切时，求P的坐标.

1的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相2【答案】

【解析】（Ⅰ）由x?y?4x?2?0，得(x?2)?y?2.故圆Ｃ的圆心为点

2222x2y2(2,0),从而可设椭圆Ｅ的方程为2?2?1(a?b?0),其焦距为2c，由题设知

abc?2,e?c1?,?a?2c?4,b2?a2?c2?12.故椭圆Ｅ的方程为： a2x2y2??1. 1612（Ⅱ）设点p的坐标为(x0,y0)，l1,l2的斜分率分别为k1,k2.则l1,l2的方程分别为

l1:y?y0?k?xl:y?1(x0),2切，得

y?kx02(?1x),且kk?.由l1与圆c:(x?2)2?y2?2相01222k1?y0?k12?1k1x0?2，

222即 ??(2?x0)?2??k1?2(2?x0)y0k2?y0?2?0.

同理可得 ??x0?(222)??2k2??2. 2?2(x2y0?k)2?y?000022?从而k1,k2是方程?(2?x)?2k?2(2?x)yk?y?2?0的两个实根，于是 0000???(2?x0)2?2?0,? ? ① 22????8(2?x)?y?2?0,00????2y0?2且k1k2??2. 2(2?x2)?222?x0y0??1,?10?16122x?2,5x?8x?36?0.由?得解得或x?. 00002y?2150??2?(2?x)?220?由x0??2得y0??3;由x0?5718,它们满足①式，故点Ｐ的坐标为 得y0??5518571857)，或(,?). (?2,3)，或(?2,?3)，或(,5555

【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、

函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出c,a,b即得椭圆E的方程，第二问设出点P坐标，利用过P点的两条直线斜率之积为

1，得出关于点P坐标的一个2方程，利用点P在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P坐标. 31.【2012高考湖北文21】（本小题满分14分）

设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。

（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。

（2）过原点斜率为K的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m,使得对任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。 21. 【答案】

【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.

32.【2012高考全国文22】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知抛物线C:y?(x?1)与圆M:(x?1)2?(y?)2?r2(r?0)有一个公共点A，且在点A处两曲线的切线为同一直线l. （Ⅰ）求r；

212（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。

【答案】

33.【2012高考辽宁文20】(本小题满分12分)

222如图，动圆C1:x?y?t,1

x22与椭圆C2：?y?1相交于A，B，C，D四点，点A1,A29分别为C2的左，右顶点。

(Ⅰ)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并

求出其最大面积；

(Ⅱ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程。 【答案】

【解析】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。 34.【2012高考江西文20】（本小题满分13分） 已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x,y）满足

（1）求曲线C的方程；

（2）点Q（x0,y0）(-2

35.【2012高考四川文21】(本小题满分12分)

如图，动点M与两定点A(?1,0)、B(1,0)构成?MAB，且直线MA、MB的斜率之积为

yMA4，设动点M的轨迹为C。（Ⅰ）求轨迹C的方程；

OBx

（Ⅱ）设直线y?x?m(m?0)与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|?|PR|，求

|PR|的取值范围。 |PQ|【答案】

【解析】

36.【2012高考重庆文21】本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 已知椭圆的中心为原点O，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为

F1,F2 ，线段OF1,OF2 的中点分别为B1,B2 ，且△AB1B2是面积为4的直角三

角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B1 作直线交椭圆于P,Q，

PB2?QB2，求△PB2Q的面积

x2y21610 【答案】（Ⅰ）+=1（Ⅱ） 9204

37.【2012高考陕西文20】（本小题满分13分）

x2?y2?1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率。 已知椭圆C1:4（1）求椭圆C2的方程；

（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB?2OA，求直线AB的方程。 【答案】

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