2017 - 2018版高中数学第三章圆锥曲线与方程4.1曲线与方程（二）

4.1 曲线与方程(二)

学习目标 1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念.

知识点一 坐标法的思想

思考1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？

思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？

梳理 (1)坐标法：借助于______，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法. (2)解析几何研究的主要问题：

①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出__________. ②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究________. 知识点二 求曲线的方程的步骤

1

类型一 直接法求曲线的方程

例1 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程. 引申探究

若将本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程.

反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法

(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.

(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明. 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.

→→→→→→

跟踪训练1 已知两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使MP·MN，PM·PN，NM·NP成公差小于零的等差数列.求点P的轨迹方程.

类型二 代入法求解曲线的方程

例2 动点M在曲线x＋y＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程.

反思与感悟 代入法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0).

2

2

2

??x0＝f(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系?

?y0＝g?

x，y，x，y

(3)代入相关动点的轨迹方程. (4)化简、整理，得所求轨迹方程.

跟踪训练2 △ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程.

类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点

例3 过点M(1,2)的直线与曲线y＝(a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围.

反思与感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.即两曲线C1和C2的方程分别为F(x，y)＝0和G(x，y)＝0，则

??F它们的交点坐标由方程组?

?G?

axx，y＝0，x，y＝0

的解来确定.

2

2

跟踪训练3 直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x＋y＝16相交于A，B两点，O为圆心，当

k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程.

1

1.曲线y＝与xy＝2的交点是( )

xA.(1,1) B.(2,2)

3

C.直角坐标系内的任意一点 D.不存在

2.方程x＋y＝1(xy<0)表示的曲线是( )

2

2

3.直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是________________.

a2－a4.已知⊙O的方程是x＋y－2＝0，⊙O′的方程是x＋y－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________.

5.M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且AP∶PM＝3，求动点P的轨迹方程.

求解轨迹方程常用方法

(1)直接法：直接根据题目中给定的条件进行确定方程.

(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程.

(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫作相关点法或代入法.

(4)参数法：将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法. (5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数.

提醒：完成作业 第三章 §4 4.1(二)

2

2

2

2

xy 4

答案精析

问题导学 知识点一

思考1 只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.

思考2 不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准. 梳理 (1)坐标系 (2)①表示曲线的方程 ②曲线的性质知识点二

有序实数对(x，y) P＝{M|p(M)}

p(M) f(x，y)＝0 f(x，y)＝0

方程的解 题型探究

例1 解 设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|. 则|8－x|＝2x－

2

＋y－

2

，

化简，得3x2

＋4y2

＝48，

故动点P的轨迹方程为3x2

＋4y2

＝48. 引申探究

解 据题意设P(x，y)，

则P到直线y＝8的距离d＝|y－8|， 又|PA|＝x－2

＋

y－

2

，

故|y－8|＝2x－

2

＋

y－2

，

化简，得4x2

＋3y2

－16x＋16y－48＝0.

故动点P的轨迹方程为4x2

＋3y2

－16x＋16y－48＝0. 跟踪训练1 解 设点P(x，y)， 由M(－1,0)，N(1,0)， 得→PM＝－→

MP＝(－1－x，－y)， →PN＝－NP→

＝(1－x，－y)， →

MN＝－NM→

＝(2,0).

∴→MP·→

MN＝2(x＋1)，

→PM·→

PN＝x2＋y2－1，

5

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