2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-四川卷

高考数学真题

2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式

P(A B) P(A) P(B) S 4 R

2

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径

P(A B) P(A) P(B) 球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V

43

R

3

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

Pn(k) CnP(1 P)

k

k

n k

一、选择题

(1)设集合M={4,5,6,8},集合N={3,5,7,8}那么M∪N= (A){3,4,5,6,7,8} (B){5,8} (C){3,5,7,8}

(D){4,5,6,8}

(2)函数f(x)=1+log2x与g（x）=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是

(3)某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，

152，153，

149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是 (A)150.2克 (B)149.8克 (C)149.4克 (D)147.8克 (4)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 ．．(A）BD∥平面CB1D1 (B)AC1⊥

BD

高考数学真题

(C)AC1⊥平面CB1D1 (D)异面直线AD与CB所成的角为60° （5）如果双曲线是

(A)

436

x24

y

2

2

＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离

(B)

23

6

(C)2

6

(D)2

3

（6）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的 球面距离都是

2

，且二面角B-OA-C的大小是

3

，则从A点沿球面经B、C

两点再回到A点的最短距离是

(A)

7 6

(B)

5 4

(C)

4 3

(D)

3 2

（7）等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其降n项和Sn=100,则n= (A)9 (B)10 (C)11 (D)12

(8)设A（a,1）,B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为

A.4a-5b=3 B.5a-4b=3 C.4a+5b=14 D.5a+4b=12 (9)用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有 A.48个 B.36个 C.24个 D.18个

(10)已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于

A.3 B.4 C.32 D.42

（11）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的

23

倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得

0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为

A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元 D.24万元

(12)如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2与l3同的距离是2， 正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是 A.23 B.

463

C.

3 4

7

D.

2

3

21

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题横线上.

1

（13）. x 的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值是 .

x

n

14、在正三棱柱ABC

A1B1C1，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面

ACC1A1所成的角是____________

2222

15、已知 O的方程是x y 2 0， O'的方程是x y 8x 10 0，由动点P向

高考数学真题

O和 O'所引的切线长相等，则运点P的轨迹方程是__________________

16、下面有5个命题：

①函数y sinx cosx的最小正周期是 ； ②终边在y轴上的角的集合是{ |

k 2

,k Z}；

4

4

③在同一坐标系中，函数y sinx的图象和函数y x的图象有3个公共点； ④把函数y 3sin(2x

3

)的图象向右平移

6

得到y 3sin2x的图象；

⑤角 为第一象限角的充要条件是sin 0

其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）

三、解答题：本大题共6小题。共74分，解答应写出文字说明。证明过程或运算步骤 （17）（本小题满分12分）

厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家对一般产品致冷商家的，商家符合规定拾取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这些产品.

（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.3，从中任意取出4种进行检验，求至少要1件是合格产品的概率.

(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家计算出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率。

（18）（本小题满分12分）

已知cosα=

17

,cos(α-β)＝

1314

，且0<β<α<

π2

,

(Ⅰ)求tan2α的值； （Ⅱ）求β.

(19) (本小题满分12分)

如图，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90° (Ⅰ)求证：AC⊥BM;

(Ⅱ)求二面角M-AB-C的大小； （Ⅲ）求多面体PMABC的体积.

（20）(本小题满分12分)

设函数f（x）=ax3+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1,f（1））处的切线与直线x－6y

－

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7=0垂直，导函数f＇（x）的最小值为－12. （Ⅰ）求a，b，c的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在〔－1,3〕上的最大值和最小值.

（21）(本小题满分12分) 求F1、F2分别是横线

x

2

4

y 1的左、右焦点.

2

2 2

5

（Ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的一点，PF1 PF2 ，求点P的作标；

4

（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围.

（22）(本小题满分14分)

已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,u）（u,N +），其中为正实数. （Ⅰ）用xx表示xn+1； （Ⅱ）若a1=4，记an=lg

xn 2xn 2

，证明数列｛a1｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；

（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3.

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文科数学参考答案(含详细解析)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1、设集合M {4,5,6,8}，集合N {3,5,7,8}，那么M N （ ）

（A）{3,4,5,6,7,8}

M {4,5,6,8}

（B）{5,8} （C）{3,5,7,8} （D）

解析：选A．

2、函数f(x) 1 log2x与g(x) 2

x 1

在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）

解析：选C．

3、某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是（ ）

（A）150.2克 （B）149.8克 （C）149.4克 （D）147.8克 解析：选Ｂ．

4、如图，ABCD A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ） ．．

（A）BD//平面CB1D1 （B）AC1 BD （C）AC1 平面CB1D1

（D）异面直线AD与CB1所成的角为60° 解析：选Ｄ． 5、如果双曲线（ ）

x

2

4

y

2

2

1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是

高考数学真题

（A

3

（B

3

（C

） （D

）解析：选A．由点P

到双曲线右焦点0)的距离是2知P在双曲线右支上．又由双曲线

3

3

的第二定义知点P

，

双曲线的右准线方程是x ，故点

P到y

轴的距离是

3

．

6、设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是

2

，且二面角B OA C的大小是

3

，则从A点沿球面经B、C两点再回

到A点的最短距离是（ ）

（A）（C）

7 64 3

（B）（D）

5 43 2

C C A 4 ．本题考查球面距离． AB B解析：选C．d

2

3

2

3

7、等差数列{an}中，a1 1，a3 a5 14，其前n项和Sn 100，则n （ ） （A）9 （B）10 （C）11 （D）12

解析：选Ｂ．

8、设A(a,1)，B(2,b)，C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC方

向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（ ）

（A）4a 5b 3 （B）5a 4b 3 （C）4a 5b 14 （D）5a 4b 14

解析：选A．由OA与OB在OC方向上的投影相同，可得：OA OC OB OC即

4a 5 8 5b，4a 5b 3．

9、用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）

（A）48个 （B）36个 （C）24个 （D）18个 解析：选Ｂ．个位是2的有3A3 18个，个位是4的有3A3 18个，所以共有36个．

2

10、已知抛物线y x 3上存在关于直线x y 0对称的相异两点A、B，则AB等

3

3

于（ ）

（A）3 （B）4 （C

） （D

）解析：选C．设直线AB的方程为y x

b，由

高考数学真题

y x 32

x x b 3 0 x1 x2 1，进而可求出AB的中点

y x bM(

12, 12

b)，又由M(

12,

2

12

b)在直线x y 0上可求出b 1，∴x x 2 0，

2

由弦长公式可求出AB 本题考查直线与圆锥曲线的位置关

系．自本题起运算量增大．

11、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的

23

倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4

万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（ ）

（A）36万元 （B）31.2万元 （C）30.4万元 （D）24万元 解析：选B．对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万元．因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍）尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的

23

23

倍时可

获最大利润．这是最优解法．也可用线性规划的通法求解．注意线性规划在高考中以应用题型的形式出现．

12、如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则⊿ABC的边长是（ ）

4633

（A）23 （B）

（C

）

4

（D

）

解析：选D．过点Ｃ作l2的垂线l4，以l2、l4为x轴、y轴建立平面直角坐标系．设A(a,1)、

B(b,0)、C(0, 2)，由AB BC AC知(a b) 1 b 4 a 9 边长，检验A：

2

2

2

2

(a b) 1 b 4 a 9 12，无解；检验B：(a b) 1 b 4 a 9

222222

323

，无

解；检验D：(a b) 1 b 4 a 9

222

283

，正确．本题是把关题．在基础中考能力，

在综合中考能力，在应用中考能力，在新型题中考能力全占全了．是一道精彩的好题．可惜区分度太小．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上．

高考数学真题

13、(x

1x

)的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值是

n

解析：n 8．

14、在正三棱柱ABC

A1B1C1，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面

ACC1A1所成的角是____________

2

12

解析：BC1 B到平面ACC1A

1，∴sin ， 30 ．

2222

15、已知 O的方程是x y 2 0， O'的方程是x y 8x 10 0，由动点P向

O和 O'所引的切线长相等，则运点P的轨迹方程是__________________

解析： O：圆心O(0,0)，

半径r 由切线长相等得

x y 2 x y 8x 10，x

2

2

2

2

O'：圆心O'(4,0)，

半径r' 设P(x,y)，

32

．

16、下面有5个命题：

①函数y sinx cosx的最小正周期是 ； ②终边在y轴上的角的集合是{ |

k 2

,k Z}；

4

4

③在同一坐标系中，函数y sinx的图象和函数y x的图象有3个公共点； ④把函数y 3sin(2x

3

)的图象向右平移

6

得到y 3sin2x的图象；

⑤角 为第一象限角的充要条件是sin 0

其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）

解析：①y sinx cosx sinx cosx cos2x，正确；②错误；③y sinx，

y tanx和y x在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．

4

4

2

2

三、解答题：本大题共6小题，共74分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这些产品．

（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4种进行检验，求至少要1件是合格产品的概率．

（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家计算出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率。

解析：本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力．

高考数学真题

（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A．用对立事件A来算，有

P(A) 1 P(A) 1 0.2 0.9984

4

（Ⅱ）记“商家任取2件产品检验，其中不合格产品数为i件” (i 1,2)为事件Ai．

C17C3C20C3

221

1

P(A1)

511903

P(A2)

C20

2

190

∴商家拒收这批产品的概率

P P(A1) P(A2)

51190

3190279517 2795

．

故商家拒收这批产品的概率为

．

18、（本小题满分12分）已知cos （Ⅰ）求tan2 的值； （Ⅱ）求 ．

，cos( )

1314

，且0

π2

．

解析：本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号、已知三角函数值求角以及计算能力． （Ⅰ）由cos

17

，0

π2

，得sin

．

7

∴tan

sin cos

7

71

于是tan2

2tan 1 tan π2

2

47

．

（Ⅱ）由0 ，得0

1314

2

．

又∵cos( ) ，

14

∴sin( )

由 ( )，得

高考数学真题

co s c o s[ (

cos cos( ) sin sin(

)

17

1314

7

14

12

∴

π3

．

19、（本小题满分12分）如图，平面PCBM 平面ABC， PCB 90 ，PM//BC，直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC 1，BC 2PM 2， ACB 90 ． （Ⅰ）求证：AC BM；

（Ⅱ）求二面角M AB C的大小； （Ⅲ）求多面体PMABC的体积．

解析：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．

（Ⅰ）∵平面PCBM 平面ABC，AC BC，AC 平面ABC．

∴AC 平面PCBM 又∵BM 平面PCBM ∴AC BM

（Ⅱ）取BC的中点N，则CN 1．连接AN、MN．

∵平面PCBM 平面ABC，平面PCBM 平面ABC BC，PC BC．

∴PC 平面ABC．

∵PM//CN，∴MN//PC，从而MN 平面ABC．

作NH AB于H，连结MH，则由三垂线定理知AB MH． 从而 MHN为二面角M AB C的平面角． ∵直线AM与直线PC所成的角为60°， ∴ AMN 60 ．

在

ACN中，由勾股定理得AN

3

3

在Rt

AMN中，MN AN cot AMN ．

在Rt

BNH中，NH BN sin ABC BN

ACAB

1

1

5

．

高考数学真题

在Rt

MNH中，tan MHN

MNNH

53

3

故二面角M AB

C的大小为arctan

（Ⅱ）如图以C为原点建立空间直角坐标系C xyz． 设P(0,0,z0)(z0 0)，

有B(0,2,0)，A(1,0,0)，M(0,1,z0)．

AM ( 1,1,z0)，CP (0,0,z0)

由直线AM与直线PC所成的角为60°，得

AM CP AM CP cos60

即z0

2

z0，解得z0

3

．

∴AM ( 3

，AB ( 1,2,0)

设平面MAB的一个法向量为n1 (x1,y1,z1)，则

n AM 0z 0 x y

由 ，取z1

3

x 2y 0 n AB 0

，得n1 (4,2,

取平面ABC的一个法向量为n2 (0,0,1)

n n2

则cos n1,n2 1

n1 n2

13

由图知二面角M AB C为锐二面角，故二面角M AB C的大小

为

arccos

13

（Ⅲ）多面体PMABC就是四棱锥A

BCPM

1111 (PM CB) CP AC (2 1) 1

332323

VPMABC VA PMBC

SPMBC AC 1

6

高考数学真题

．

20、（本小题满分12分）设函数f(x) ax bx c(a 0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x 6y 7 0垂直，导函数f'(x)的最小值为 12． （Ⅰ）求a，b，c的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[ 1,3]上的最大值和最小值． 解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力． （Ⅰ）∵f(x)为奇函数，

∴f( x) f(x)

即 ax bx c ax bx c ∴c 0

∵f'(x) 3ax b的最小值为 12 ∴b 12

又直线x 6y 7 0的斜率为因此，f'(1) 3a b 6 ∴a 2，b 12，c 0． （Ⅱ）f(x) 2x 12x．

f'(x )

23

2

3

3

3

16

6x 1 2，列表如下：)(2)

所以函数f(x)的单调增区间是( ,和 )

∵f( 1) 10，f f(3) 18

∴f(x)在[ 1,3]上的最大值是f(3) 18，最小值是f

高考数学真题

21、（本小题满分12分）设F1、F2分别是椭圆

x

2

4

y 1的左、右焦点．

2

5

（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1 PF2 ，求点P的作标；

4

（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且 AOB为锐角（其中O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知a 2，b

1，c

∴F1(

0)，F20)．设P(x,y)(x 0,y 0)．则

PF1 PF2 (2

2

x, yx, y) x y 3

54

，又

x

2

4

y 1，

2

7 222

x 1x y x 1

4

P(1,． 联立 2，解得 23 ，2 y y x y2 1

4

2

4

（Ⅱ）显然x 0不满足题设条件．可设l的方程为y kx 2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)．

x2

y 1 2222

x 4(kx 2) 4 (1 4k)x 16kx 12 0 联立 4

y kx 2

2

∴x1x2

121 4k

2

2

，x1 x2

2

16k1 4k

2

由 (16k) 4 (1 4k) 12 0

16k 3(1 4k) 0，4k 3 0，得k

2

2

22

34

．①

又 AOB为锐角 cos AOB 0 OA OB 0，

∴OA OB x1x2 y1y2 0

又y1y2 (kx1 2)(kx2 2) kx1x2 2k(x1 x2) 4 ∴x1x2 y1y2 (1 k)x1x2 2k(x1 x2) 4

2

2

高考数学真题

(1 k)

2

121 4k

2

2k (

16k1 4k

2

) 4

12(1 k)1 4k

2

2

2k 16k1 4k

2

4

14

4(4 k)1 4k

2

2

0

∴ k

2

4．② 34

综①②可知

k

2

4，∴k

的取值范围是( 2,

2

2

2)．

22、（本小题满分14分）已知函数f(x) x 4，设曲线y f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn 1,0)(n N*)，其中x1为正实数． （Ⅰ）用xn表示xn 1； （Ⅱ）若x1 4，记an lg

xn 2xn 2

2

，证明数列{an}成等比数列，并求数列{xn}的通项公式；

（Ⅲ）若x1 4，bn xn 2，Tn是数列{bn}的前n项和，证明Tn 3．

解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．

（Ⅰ）由题可得f'(x) 2x．

所以曲线y f(x)在点(xn,f(xn))处的切线方程是：y f(xn) f'(xn)(x xn)． 即y (xn 4) 2xn(x xn)．

令y 0，得 (xn 4) 2xn(xn 1 xn)． 即xn 4 2xnxn 1． 显然xn 0，∴xn 1

xn2 2xn

2

2

2

．

（Ⅱ）由xn 1

xn2

2xn

，知xn 1 2

xn2

2xn

2

(xn 2)2xn

2

，同理xn 1 2

(xn 2)2xn

2

．

高考数学真题

故

xn 1 2xn 1 2

(

xn 2xn 2

)．

2

从而lg

xn 1 2xn 1 2

n 1

2lg

xn 2xn 2x1 2x1 2

，即an 1 2an．所以，数列{an}成等比数列．

故an 2a1 2

n 1

lg 2

n 1

lg3．

即lg

xn 2xn 2xn 2xn 2

2

n 1

lg3．

从而 3

2

n 1

所以xn

2(33

2

2

n 1

1) 12(33

22

n 1

n 1

（Ⅲ）由（Ⅱ）知xn

1) 1

n 1

，

∴bn xn 2

2

n 1

43

2

n 1

0 1

∴

bn 1bn

3 1 1

3

2

n

3

1

2

n 1

1

3

1

2

n 1

3

1

2

1 1

13

当n 1时，显然T1 b1 2 3． 当n 1时，bn

1

121n 1

bn 1 ()bn 2 ()b1 333

∴Tn b1 b2 bn

b1

1

1n 1

b1 ()b1 33

1n

b1[1 ()]

11

3

1n

3 3 () 3．

3

综上，Tn 3(n N*)．

高考数学真题

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