八年级（下册）二次根式知识点总结和练习题和答案

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二次根式的知识点汇总

知识点一： 二次根式的概念

形如

（

）的式子叫做二次根式。

注：

在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以

等是二次根式，而

知识点二：取值范围

1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，

有意义，是二

，是

为二次根式的前提条件，如等都不是二次根式。

，

，

次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，知识点三：二次根式

（0（注：

因为二次根式

（

）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的

）的算术平方根是非负数，即

0（

），这

（

）的非负性

（

）是一个非负数，即

没有意义。

）表示a的算术平方根，也就是说，）。

算术平方根是0，所以非负数（

个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（

（

）的性质 ）

，则a=0,b=0；若

，则a=0,b=0；若

，

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：

二次根式的性质公式

（

）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也

可以反过来应用：若，则，如：，.

知识点五：二次根式的性质

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文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简

时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于

；若a是负数，则等于a的相反数-a,即

；

2、3、化简知识点六：1、不同点：

方，而

中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，

时，先将它化成

与与

一定有意义；

a本身，即

，再根据绝对值的意义来进行化简。

的异同点

表示的意义是不同的，

表示一个正数a的算术平方根的平

中

，而，

中a可以。因而

表示一个实数a的平方的算术平方根；在

与

都是非负数，即

是正实数，0，负实数。但

它的运算的结果是有差别的，2、相同点：当被开方数都是非负数，即

而

.

时，

，而

=

；

时，

无意义，

知识点七：二次根式的运算

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

ab=a·b（a≥0，b≥0）；

bb（b≥0，a>0）． ?aa（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

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《二次根式》练习题（一）

一、选择题（共12分）

1．在根式15、111最简二次根式有（ ） a2?b2、3ab、6、2a2b中，

3a-baA．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2532612．在二次根式，-，1，1和中，与6是同类根式的有（ ）

3492256A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

3．在下列各式中，等号不成立的是（ ）

A．

1?a＝-

a B．2xy＝4x2y(x＞0) a(x+y)＝x+y xy+y)÷

C．

-2a3＝a-2a D．

4．在下列各式的化简中，化简正确的有（ ）

①a3＝aa ②5xx-x＝4xx ③6a

13aa＝＝106 2ab ④24+

6b2bA．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知二条线段的长分别为2cm、3cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条

线段的长是（ ） A．

．5

．5cm D．1cm或5cm

6．已知a＜0，化简：

a2?a2a的结果是 （ ）

A．1 B．-1 C．0 D．2a

二、填空题（每题2分，共20分）

7．2?5的绝对值是__________，它的倒数__________ 8．当x___________时，?1是二次根式． 1?3x2?x有意义，则x______。 x9．当x______时，2x?5有意义，若

a21?? 10．当m>n时，(n?m)＝______，当a_______时，3a32 WORD格式可编辑版

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11．化简225?0.04?_________，1172?1082?_________。 12．计算：35a?210b?___________．

13．若最简二次根式25x2?1与－7x2?1是同类二次根式，则x=______。 14．把根式a?1根号外的a移到根号内，得___________。 a15．二次根式?33x与2ax的和是一个二次根式，则正整数a的最小值为 ；．．

其和为 。 16．观察下列各式：2?223344?2?；3??3?；4??4?；……33881515则依次第四个式子是 ；用n(n?2)的等式表达你所观察得到的规律应是 。

三、解答题（共68分）

17．（5分）计算：

aa?ab?ba?b

18．（5分）计算：

21(212?4?348) 2819．（5分）解方程：15x?80?4x?53 20．（5分）解不等式：2(x?3)?6(x?1)

21．（5分）已知：x?22．（5分）化简并求值

20?412，求x?2的值． 2x1?2a?a2a2?2a?11?a? 其中

a?1a2?a2?323．（5分）已知实数a满足|2003－a|+a－2004 =a，则a－20032的值是多少？ 24．（5分）已知正数a和b，有下列命题：（1）若a?b?2，则ab≤1； （2）若a?b?3，则ab≤

3； 2（3）若a?b?6，则ab≤3；

根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a?b?9，则ab≤ 。

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25．（6分）阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答。

已知m为实数，化简：?解：原式＝?m?m?m?＝??m?1??m

26．（6分）如图，?ABC中，?ACB?Rt?，AB?的高CD．

27．（8分）观察下列等式：①

?m3?m?1 m1?m m8,BC?2，求斜边AB上

12?1?2?1(2?1)(2?1)?3?2；

?2?1；

②

13?214?3?3?2(3?2)(3?2)4?3(4?3)(4?3)③

??4?3；……

回答下列问题：

（1）利用你观察到的规律，化简：

123?1113?2

（2）计算：

11?2?12?3??......?13?10

28．（8分）水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡

坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长。

D C

《二次根式》练习题（二）

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A

E F

B

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一、选择题 1、如果－3

是二次根式，则x的取值范围是（ ） x+5

A、x≠－5 B、x>－5 C、x<－5 D、x≤－5

2、等式x2－1 =x+1 ·x－1 成立的条件是（ ） A、x>1 B、x<－1 C、x≥1 D、x≤－1

11

3、已知a= ,b= ，则a2+b2+7 的值为（ ）

5 －25 +2A、3 B、4 C、5 D、6

4、下列二次根式中，x的取值范围是x≥2的是（ ） A、2－x B、x+2 C、x－2 D、1

x－2

5、在下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A、a2 +1 B、2x+1 C、2b

D、0.1y 4

6、下面的等式总能成立的是（ ）

A、a2 =a B、aa2 =a2 C、a ·b =ab D、ab =a ·b 7、m为实数，则m2+4m+5 的值一定是（ ） A、整数 B、正整数 C、正数 D、负数 8、已知xy>0,化简二次根式xy

－2 的正确结果为（ ） x

A、y B、－y C、－y D、－－y

9、若代数式(2－a)2 +(a－4)2 的值是常数2，则a的取值范围是（ ） A、a≥4 B、a≤2 C、2≤a≤4 D、a=2或a=4 10、下列根式不能与48 合并的是（ ） A、0.12 B、18 C、

1

1 D、－75 3

11、如果最简根式3a－8 与17－2a 是同类二次根式，那么使4a－2x 有意义的x的范围是（ ）

A、x≤10 B、x≥10 C、x<10 D、x>10 12、若实数x、y满足x2+y2－4x－2y+5=0,则x +y3y－2x

的值是（ ）

3

A、1 B、 +2 C、3+22 D、3－22

2二、填空题 1、要使x－1 3－x

有意义，则x的取值范围是 。

2、若a+4 +a+2b－2 =0，则ab= 。

3、若1－a2 与a2－1 都是二次根式，那么1－a2 +a2－1 = 。 4、若y=1－2x +2x－1 +(x－1)2 ，则(x+y)2003= 。

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...

3

5、若2 x>1+3 x，化简(x+2)2 －(x+3)3 = 。 6、若(a+1)2 =(a－1)2 ，则a= .

7、比较大小：⑴35 26 ⑵11 －10 14 －13 8、若最简根式m2－3 与5m+3 是同类二次根式，则m= . 9、已知22 =23

2 ,3

33 =38

3 ,8

44 =415

4 ,…请你用含n的式子将其中15

蕴涵的规律表示出来： .

1

10、若5 的整数部分是a，小数部分是b，则a－ = 。

b11、已知x =

1

－a ，则4x+x2 = 。 a

12、已知a=3－5 －3+5 ，则化简a得 . 三、计算与化简

3－

1、(3 +2 )1+(－2)2 +－8 2、

111

+ + 3 +15 －3 5 +3

11

+ a3 a2a

a

3、(1+2 －3 )(1－2 +3 )+26 4、9a + 3四、先化简再求值

a －b 4a +b

1、已知a=3,b= 4，求[ + ]÷ 的值。

(a +b )(a －b )ab (b －a )ab 2、化简： － 取自己喜爱的a的值计算。

a+2－a2－4 a+2＋a2－4 3、当a=

3 －2 3 +2

，b= 时，求a2－3ab+b2 的值。

3 －2 3 ＋2

a2＋2a+1 1

－ 的值。 2aa＋a

a+2+a2－4

a+2－a2－4

a2－12

4、当a= 时，求 －

a－11－3 五、解答下列各题

1、解方程：3 (x－1)= 2 (x+1) xy = 2、解方程组：

2 6 3、已知直角三角 x+y=4 形两直角边长分别为a= 求斜边的长。

【参考答案】

11

,b= ,

23 －11 23 ＋11

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同步学习检测（一）

一、选择题

1．C 2．B 3．C 4．B 5．D 6．B 二、填空题

7．5?2,?2?5 8．＞

15 9．≥?，x≤2且x?0 10．m-n，＜0 11．3，45 3255?5?，42412．302ab 13．?1 14．??a 15．6 10 16.5?n?nn?n? n2?1n2?1三、解答题

17．1 18．1?46 19．3xy 20．x??3?3 21．18 22．a?1?1,3 23．2009 a24．

691 25．原式＝?(?m)?m?m?(?)?m＝?m?1??m 26． 27．（1）

22m23?11；（2）9 28．(98?305?634)米．

同步学习检测（二）

一、选择题

1、C 2、C 3、C 4、C 5、D 6、C 7、C 8、D 9、C 10、B 11、A 12、C 二、填空题

1、1≤x<3 2、－12 3、0 4、1 5、－2x－5 6、0 7、>> 8、6 9、

n

n+2 =nn－1

n

(n≥2且n为整数) n－1

21

10、－5 11、 －a 12、－2

a三、计算与化简

23

1、3 －2 2、3 +1 3、－4+46 4、 a

6四、先化简再求值

1、3 －2 2、a 3、95 4、－3 五、解答下列各题

1、x=5+26 2、x=23 －2 y=6－23 3、46

4、⑴7 －6 ⑵5 －2 ⑶

2 －6

我们对服务人员的配备以有经验、有知识、有技术、懂管理和具有高度的服务2

意识为准绳，在此基础上建立一支高素质的物业管理队伍，为销售中心的物业管理创出优质品牌。在物业人员配备中，我们遵循如下原则： 1、本着精简、高效原则根据项目实际服务、管理 WORD格式可编辑版

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和经营的需要，推行统一目标、分解责任、责权利相结合。2、职责、权限明确原则日常工作由综合服务主管直接对各服务人员即集指挥和职能于一身，便于综合服务主管全面掌握日常工作及人员状况，减小失控。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/i45x.html