简谐振动的研究，实验报告

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实验5-2 简谐振动的研究

自然界中存在着各种各样的振动现象，其中最简单的振动是简谐振动。一切复杂的振动都可以看作是由多个简谐振动合成的，因此简谐振动是最基本最重要的振动形式。本实验将对弹簧振子的简谐振动规律和有效质量作初步研究。

【实验目的】

1．观察简谐振动现象，测定简谐振动的周期。 2．测定弹簧的劲度系数和有效质量。 3．测量简谐振动的能量，验证机械能守恒。 【实验器材】

气轨、滑块、天平、MUJ-5B型计时计数测速仪、平板档光片1个，“凹”形挡光片1个、完全相同的弹簧2个、等质量骑码10个。 【实验原理】

1. 振子的简谐振动

本实验中所用的弹簧振子是这样的：两个劲度系数同为k1的弹簧，系住一个装有平板档光片的质量为m的滑块，弹簧的另外两端固定。系统在光滑水平的气轨上作振动，如图5-2-1所示。

图5-2-1 弹簧振子 当m处于平衡位置时，每个弹簧的伸长量为x0，如果忽略阻尼和弹簧的自身质量，当m距平衡位置x时，m只受弹性回复力－k1（x+x0）和－k1（x－x0）的作用，根据牛顿第二定律得

?k1(x?x0)?k1(x?x0)?mdxdt22

令 k?2k1 （5-2-1） 则有 ?kx?m该方程的解为

x?Acos(?t??0) （5-2-2）

dxdt22

即物体系作简谐振动。其中

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??是振动系统的固有圆频率。

km （5-2-3）

由于弹簧总是有一定质量的，在深入研究弹簧振子的简谐振动时，必须考虑弹簧自身的质量。由于弹簧各部分的振动情况不同，因此不能简单地把弹簧自身的质量附加在振子（滑块）的质量上。可以证明，一个质量为ms的弹簧与质量为m的振子组成的振动系统，其振动规律与振子质量为（m+m0）的理想弹簧振子的振动规律相同。其振动周期为 T?2?m?m0k （5-2-4）

其中m0?cms，称为弹簧的有效质量，c为一常数。对绕制均匀圆筒状的弹簧，c的理论值为1/3，即弹簧的自身质量是其有效质量的3倍。在本实验中，k?2k1，m0?2m01，

ms?2ms1。m01和ms1分别为一个弹簧的有效质量和一个弹簧的自身质量。

本实验通过改变滑块（振子）质量m测出相应的振动周期T，求出k和m0 ，从而求得一个弹簧的劲度系数k1和有效质量m01。

2．简谐振动的运动学特征

把式（5-2-2）两端对时间求一阶导数，有 v?dxdt???Asin(?t??0) （5-2-5）

由式（5-2-2）和（5-2-5）式消去t ，有

v??(A?x) （5-2-6） 由上式可见，当x?0时，v的数值最大，即

vmax??A （5-2-7） 利用式（5-2-3）、式（5-2-4）和式（5-2-7）可求出k k?(m?m0)3．振动的能量

本实验中，任何时刻系统的振动动能为 Ek?12(m?m0)v （5-2-9）

22222vmA2ax2 （5-2-8）

系统的弹性势能为两个弹簧的弹性势能之和（以平衡位置处为零势能点），即

(x?0x)? Ep??k12?2?121?12?kx?10??2??(k1?x12)x?0221?k?0x??2112kx? kx5-2-10）（ 2由式（5-2-3）、（5-2-9）及（5-2-10）得系统的总机械能 E?Ek?Ep?12(m?m0)v?212kx?212kA （5-2-11）

2其中k、A均不随时间变化，说明简谐振动的机械能守恒。本实验通过测定在不同位置x处滑块的运动速度v，从而求得Ek及Ep，观测它们之间的相互转换并验证机械能守恒。

【实验内容】

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一、测量弹簧的劲度系数和有效质量。 1．准备工作

（1）用酒精棉球擦拭气轨表面（在供气时）以及滑块内表面，用薄的小纸条检查气孔是否有堵塞。

（2）记下不带挡光片的滑块的净质量（由实验室给出），并用天平称量平板挡光片以及两个弹簧的质量。将平板挡光片固定在滑块上，其总质量即为滑块质量m，两根弹簧质量的一半即为ms1。

（3）将滑块放在气轨中央，静态调节气轨水平（参阅实验5-1），打开气源，挂接上两个弹簧。

2．测定弹簧振子的振动周期

（1）将MUJ-5B型计时计数测速仪的“功能”选为“T周期”（ MUJ-5B型计时计数测速仪的使用参阅实验5-1）。

（2）使滑块离开平衡位置一定距离（10cm左右）自由释放，待振动稳定时，测出它振动20个周期所需的时间t，重复5次，求出振动周期的平均值T。

（3）在滑块上加2个骑码，即使滑块的质量增加10.00g ，按照上述方法测量其振动周期。然后依次增加2个骑码，共加5次，测出各次的振动周期，填入表5-2-1。

二、测量简谐振动的能量，验证机械能守恒。

1．称量“凹”形挡光片的质量，将“凹”形挡光片固定在滑块上，其总质量即为滑块质量m。

2．按MUJ-5B计时计数测速仪的“转换”键输入“凹”形挡光片两前沿之间的距离?x。 3．令弹簧振子的振幅A?10.00cm，当滑块位于极大位置处（即x?10.00cm）时，速度为零，弹簧振子的总能量E0?12kA。

24．将光电门放在平衡位置处，测出滑块通过平衡位置（即x?0.00cm）时的速度vmax，反复测量5次，将测量数据填入表5-2-2中。

5．将光电门移至x?2.50cm处，保持弹簧振子的振幅不变，测出滑块通过该处的速度，测量5次。用同样的办法测出滑块通过x?5.00cm和7.50cm时的速度。将测量数据填入表5-2-2中。 【数据处理】

1．计算一个弹簧的劲度系数k1和有效质量m01。

表5-2-1 利用振动周期与质量的关系测k和m0的数据表

m?_____g,ms1?_____g

i mi/g 1 2 3 4 5 6 t1/s t2/s t3/s t4/s t5/s t/s Ti/s Ti/s2 2 计算k和m0的方法如下：

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由式（5-2-4）可得 T?4?(m?m0)/k，因此可以用逐差法处理数据，求出平均值

k，除以2就是一个弹簧的劲度系数k1。将k代入式（5-2-4）求出平均值m0，除以2就是

22一个弹簧的有效质量m01，与一个弹簧的自身质量ms1比较一下，看比值是不是1/3。

2．利用式（5-2-8）计算k值并与前面的结果比较。

表5-2-2 测量简谐振动能量的数据表

m?m0?_____g，A?10.00cm v/m/s x/cm 0．00 2．50 5．00 7．50 10．00 v1 v2 v3 v4 v5 v 3．验证机械能守恒。

将表5-2-2中求得的v填入表5-2-3，然后按表格要求进行数据处理。研究实验结果得出结论。

表5-2-3 验证机械能守恒的数据表

m?m0?_____g， A?10.00cm x/cm v/m/s Ep?12kx/J2 Ek?12?m?m0?v2/J E?Ep?Ek/J E?E0E0?100% 0．00 2．50 5．00 7．50 10．00 【注意事项】

1．测量振动周期，挡光片用平板形。 2．测量滑块速度，挡光片用“凹”形。

3．测量简谐振动的能量验证机械能守恒时，各次实验要严格保持振幅不变。 4．气垫导轨的相关注意事项请参阅实验5-1。 【思考题】

1． 本实验通过计算求得弹簧的劲度系数k和有效质量m0，能用作图法求出k和m0吗？

2．如果两个弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1?k2，这样的振动是否是简谐振动？在这种情况下，测量k和m0的方法是否要改变？

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/i3zr.html