玉林师院近世代数2009级期末考试试卷

近世代数期末考试试卷 玉林师范学院期末课程考试试卷

课程名称：近世代数 考试专业：数学与应用数学

一 填空题（每空2分，共24分）

1. 在整数集Z中定义等价关系a~b：a~b?a≡b(mod3).则由a~b所决定的等价分类为p={[1]、[2]、[0] }

2. 设G=（a）是循环群，若|a|=∞，则G与整数加群同构。 3. 设G为一个6阶群，则G的真子群的一切可能的阶数是1，2，3。

4. 设G是一个10阶群，H是G的一个5阶子群，则H在G里的指数是2.

5. 设R是一个特征为13的交换环，则对于a，b∈R，有(a+b)^13= a^13+b^13。

6. 对于模n的剩余类环Z[n]=｛[0],[1],[2]···[n-1]｝，当n是素数时，Z[n]是域。

7. 已知整数集R=Z关于运算a⊕b=a+b-1，a⊙b=a+b-ab，做成一个有单位元的环（R，⊕，⊙），则环R的单位元为_0_,零元为_1_。

8. 剩余类环Z[6]=｛[0],[1],[2],[3],[4],[5]｝中，它的零因子有[2],[3],[6]

9. 若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么R/I是是一个域当且仅当I是R的一个极大理想。

10. 整数环Z的单位是1，-1,元素5的相伴元是正负5

二，单项选择题（每小题2分，共10分）

1设整数集Z，Z的代数运算是普通乘法，下列映射是Z到Z的同态满射的有（C）

A x→-x； B x→|x| C x→x

2 设H是群G的子群，a，b∈G，则aH=bH，则aH=bH的充分必要条件是（A）

A b^-1a∈H B ab^-1 ∈H C ab∈H 3 下列正确的命题是（A）

A 欧式环必是唯一分解环； B主理想环必是欧式环； C 唯一分解环必是主理想环；

4 在有1的环R中，下列命题正确的有（B） A R的单位必是单位元 B R的单位元必是单位 C R的零元必是零因子。

5 若R是有单位元的交换环，则R的主理想（a）中元素的形式是（C）

A ∑x[i]ay[i](x[i],y[i]∈R); B ra+na(r∈R,n∈Z); C ra(r∈R)

三 计算题（15+10+10=35分）

1（15分）设9元置换π=（1对3 2对1 3对2 4对55对66对47对78对99对8），σ=（1对52对13对74对65对

26对47对98对89对3），（由于本人不会打小括号内有两行数字的，所以大家请见谅） ① 求πσ：

② 将π表示为不相连的循环置换的乘积； ③ 求π的逆元。

解：①πσ=（1对3 2对1 3对2 4对55对66对47对78对99对8）（1对52对13对74对65对26对47对98对89对3）=（1对62对33对74对45对16对57对88对99对2）

② π=（132）（456）（89） ③ π的逆等于（98）（654）（231） 2

（

10

分

）

设

剩

余

类

环

Z[8]={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7]},求Z[8]的所有理想，并指出哪些是最大理想。

解：Z[8]的加法群是个循环群且|Z[8]|=8 对于8的正整数因子有1，2，4，8

I[1]=([1])={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6,][7]} I[2]=([2])={[0],[2],[4],[6]} I[3]=([4])={[0],[4]} I[4]=([8])={[0]}

由于I[1]、I[4]是Z[8]的平凡理想

对于I[i](i=2,3)，任意的[a]∈I[I],有[r]∈Z[8]有

[a][r]=[r][a]=[ar]∈I[i] ∴I[i](i=2,3)也是Z[8]的理想

∴Z[8]的所有理想有I[1],I[2],I[3],I[4], 其中最大理想为I[2]={[0],[2],[4],[6]}

3(10分)设高斯整环R=｛a+bi|a，b∈Z｝，求商环R/1+i，并指出此商环的零元及单位元。

解：令I=（1+i）=｛x+yi|x,y同奇同偶｝ R/(1+i)=R/I={a+bi+I|a,b∈Z } ①?? 若a，b同奇偶性，则a+bi∈I =>

A+bi+I=0+I=>[a+bi]=[0]

②若a，b不同奇偶性，则a-1与b同奇偶性

=>a-1+bi+I=0+I=>(a+bi)+I=1+I =>[a+bi]=[1]

∴R/(1+i)={[0],[1]}={0+I,1+I} 零元：0+I 单位元：1+I

四 证明题（6+16+9=31分）

1（6分）假设I[1]和I[2]是环R的两个理想，证明：I[1]∩I[2]也是R的理想。

证明： 显然0∈I[1]∩I[2],从而I[1]∩I[2]≠φ。又任意的a，b∈I[1]∩I[2]，有a，b∈ I[1]，a，b∈I[2]，由于I[1],I[2]都是R的理想，于是a-b∈I[1], a-b∈I[2],且对任意的r∈R，有

Ar,ra∈I[1],ar,ra∈I[2],

∴a-b∈I[1]∩I[2]且ar，ra∈I[1]∩I[2] 所以 I[1]∩I[2]是R的理想

一般地，设R是一个环，I是一个指标集（可以是有限集，也可以是无限可数集或无限不可数集），A[i](i∈I)是R的理想，则A[i]的任意个交也是R的理想。

2（16分）已知R=｛a+b√2i |a,b∈Z｝关于普通数的加法及乘法作成一个环，

⑶ 证明R是整环； ⑵求R的所有单位； ⑶求2+√2i 的相伴元；⑷证明1+√2i是R的素元 证明：⑴设a+b√2i是R的单位元，则对于任意的c+d√2i∈R,有（a+b√2i）（c+d√2i）=1

即|c+d√2i|=1, c^2+2d^2=1 ∵c,d∈Z, ∴c=1,-1,d=0 ∴单位元为1，-1

设a+b√2是R的零因子，则找到c+d√2i∈R≠0

使（a+b√2i）（c+d√2i）=0 =>|a+b√2i|^2*|c+d√2i|^2=0 若|a+b√2i|^2=0，又因为a^2+2b^2=0 =>a,b都为零因子与a+b√2i为零因子矛盾。

若|c+d√2i|^2=0，c^2+2d^2=0，=> c,d都为零因子与c+d√2i为零因子矛盾。 所以R没有零因子

又因为数关于乘法满足交换律 ∴综上所述，R是整环

（2）设a+b√(2)i是R的单位，则找到c+d√(2)i使得 （a+b√(2)i）（c+d√(2)i）=1 |a+b√(2)i|^2乘以|c+d√(2)i|^2=1 又∵a,ba,c,d都是整数

(a^2)+2(b^2)=1 =>a=+1,-1,b=0 ∴R的单位是+1，-1.

（3）2-√2i的相伴元是2-√2i和-2+√2i （4）c^2+2d^2=3或c^2+2d^2=1 若c^2+2d^2=1时，c+d√2i为单位

若c^2+2d^2=3时，a^2+2b^2=1，即a+b√2i为单位 ∴c+d√2i=（1+√2i）（a+b√2i） ∴c+d√2i是相伴元 ∴1+√2i只有平凡因子 ∴1+√2i是不可约元

3、（9分）在二阶矩阵构成的环(Z^2*2)（运算为矩阵的加法与乘法，矩阵中元素为整数）中，令S=｛（0 2a 0 0）|a∈Z｝， 证明：（1）S是Z^2*2的子环；

（2）映射ψ（a）=[0 2a 0 0](a∈Z),是整数加群Z到加群S的同构映射。

证明：（1）显然（0 2 0 0）∈S，∴S不空

任取S1=（0 2a1 0 0）,S2=(0 2a2 0 0)∈S, S1-S2=(0 2a1-2a2 0 0)∈S,S1*S2=(0 0 0 0)∈S 故S是******的子环

（2）任意的a,b∈Z,有ψ（a+b）=[0 2(a+b) 0 0]=[0 2a 0 0]+[0 2b 0 0]= ψ（a）+ψ（b）

又∵任意的a,b∈Z，若ψ（a）=ψ（b）,即[0 2a 0 0]=[0 2b 0 0 ],则有a=b ∴ψ是单射

又任意的A∈S都存在a∈Z，使得A=（0 2a 0 0），其中a∈Z ∴ψ是满射 ∴ψ是双射

综上所述映射ψ（a）=[0 2a 0 0](a∈Z),是整数加群Z到加群S的同构映射

注：由于本人电脑没有公式编辑器，所以遇到矩阵打不出来，写法是按照平时习惯，m行n列，所以做题时你把它弄成正确的再做吧。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/i3vx.html