长沙理工大学概率论与数理统计试题精选
更新时间:2023-04-07 05:28:01 阅读量: 教育文库 文档下载
长沙理工大学数计学院概率论与数理统计试题一
考试类别:闭 考试时量:120 分钟
一.填空题(每空2分,共32分):
1.设7.0)(,4.0)(=?=B A P A P ,若B A ,互不相容,则=)(B P ; 若B A ,独立,则
=)(B P .
2.若)4,1(~N X ,则~21-=X Y .
3.已知
6.0)(,8.0)(=-=B A P A P ,则
=?)(B A P ,=)|(A B P .
4.从(0,1)中随机地取两个数b a ,,则b a -大于0的概率为 . 5.若
],2,0[~π
U X 则12-=X Y 的概率密度函数为=)(y f . 6.随机变量),2(~2σN X ,若3.0)40(=< 7.设X 的分布列为5.0)1()1(===-=X P X P ,则X 的分布函数为=)(x F . 8.设随机变量X 有分布函数?????≥<≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x A x x F , 则=A 1 , =<)6|(|πX P 0.5 . 9.一颗均匀骰子被独立重复地掷出10次,若X 表示3点出现的次数,则X ~ B(10,1/6) . 10.设),(Y X 的联合分布列为 则=a ,Y 的分布列为 ;若令2)2(-=X Z ,则Z 的分布列为 . 11.若)9,2(~N X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c 2 . 二.选择题(每题3分,共12分): 1.设B A ,为两事件,且1)(0< A. B A ,独立)|()|(A B P A B P =? B. B A ,独立?B A ,互不相容 C. B A ,独立?Ω=?B A D. B A ,独立?0)(=AB P 2.设 ???????≥<≤<=1,110,2 0,0)(x x x x x F , 则 ( C ) A . )(x F 是一个连续型分布函数 B. )(x F 是一个离散型分布函数 C. )(x F 不是一个分布函数 D. 5.0)1(==X P 3.设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对任 意实数a ,有 ( B ) A. ?-=-a dx x f a F 0)(1)( B. ?-=-a dx x f a F 0)(21)( C. )()(a F a F =- D. 1)(2)(-=-a F a F 4.设随机变量 }5{},4{).5,(~),4,(~2122+≥=-≤=u Y P p u X P p u N Y u N X ,则 ( A ) A . 对任意实数21,p p u = B. 对任意实数21,p p u < C. 只对u 的个别值才有21p p = D. 对任意实数21,p p u > 三.某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%, 40%,废品率分别为5%,4%和2%.产品混在一起,求总的废品率及抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率. (9分) 四.箱中装有5个黑球,3个白球,无放回地每次取一球,直至取到黑球为止.若X 表示取球次 数,求X 的分布列,并求)31(≤ 五.设随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为 ???<<<<=,010,10,),(2y x c x y y x f , 求: 1)常数c ; 2) )241,210(<<< 3 )43(>X P ); 4))(Y X P >. (16分) 六.在一盒子里有12张彩票,其中有2张可中奖.今不放回地从中抽取两次,每次取一张,令 Y X ,分别表示第一、第二次取到的中奖彩票的张数,求),(Y X 的联合分布列. 七.设12,,,,n X X X ???是来自下列两参数指数分布的样本: ()()1121211,120;,x e x x f x θθθθθθθ--≥≤??=??? 其中 ()1,θ∈-∞+∞,()20,θ∈+∞,试求出1θ和2θ的最大似然估计. (16分) 其它 长沙理工大学数计学院 一.填空题 0.8 0.25 0.35 )1,10(B 三.解3={产品由丙厂生产}, 2分 =?0345 .002.040.0, 6分 36.. 9分 四. 561= . 7分 )3(=X P . 9分 6|3122|21110310210210210102c y c dy y c dy x cy dxdy cxy =?==?==????, Y p Z p 6=∴ c ; 4分 2)????==<<<<21 4 12 141012026),()241,210(dydx xy dydx y x f Y X P =25663)411(2|31630 130 1 11=-=???dx x dx y x ; 8分 3)dx dy y x f Y X P X P ??+∞+∞∞-=+∞<<∞->=>3),(),43 ()43( 1672|3166111103102333==?==????dx x dy y x dydx xy ; 12分 4)??????===>>10031002|3166),()(dx y x dydx xy dxdy y x f Y X P x x y x 52 21 4= =?dx x . 16分 六.解: 每次只取一张彩票,要么取到中奖彩票,要么没取到中奖彩票,所以Y X ,的可能取值均为0或1,那么),(Y X 的联合分布列为 ,2215)0,0(11119112110=?===C C C C Y X P 335 )1,0(1111 2112110= ?===C C C C Y X P , ,335)0,1(11111011212=?===C C C C Y X P . 661 )1,1(1111111212=?===C C C C Y X P 6分 七.解:似然函数 ()()1212121 ,,,;,;,n n i i L x x x f x θθθθ=???=∏()[)() 12 1 11 ,21 min n i i x i n e I x θθθ=- -+∞∑= (4分) 要使()1212,,,;,n L x x x θθ???最大,必须min i x 1θ≥且 ()11 n i i x θ=-∑应最小.故1θ的最大似然估计值 为1 θ=min i x . (8分) 而2θ的最大似然估计值是使 2 1 2 1 n L e λ θ- = 取最大值的点. 此处 () 11 n i i x λθ==-∑. (12分) 故2θ=1n λ. 所以2θ的最大似然估计值为min i x x - 最大似然估计量为 1?θ= min i X , 2?θ =min i X X -. (16分) 长沙理工大学数计学院概率论与数理统计试题二 卷 一.填空题(每空2分,共40分) 1. 已知6.0)(,8.0)(=-=B A P A P ,则=?)(B A P , =)|(A B P . 2. 从9,,2,1,0 这十个数字中任选三个不相同的数字,1A ={三个数字中不含0和5}, 2A ={三个数字中含有0和5},则=)(1A P ,=)(2A P . 3. 设X ~)1(P ,Y ~)2(P ,且X 与Y 独立,则==+)2(Y X P . 4. 若X ~)1,0(N ,Y ~)8,2(N ,X 与Y 独立,则32 -+Y X ~ . 5.设X 与Y 独立,2,1==DY DX ,则=-)32(Y X D . 6.已知 ,4.0,36,25,===Y X DY DX ρ则=),(Y X Cov , =+)(Y X D . 7. 设X 的分布函数=)(x F ?????>≤<--≤1,111,5.01,0x x x ,则X 的分布列为 . 8. 随机变量),2(~2σN X ,若3.0)40(=< 则=a ,Y 的分布列 为 ;若令2)2(-=X Z ,则 =EZ . 10. 若)9,2(~N X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c . 11. 设随机变量X 的期望,1=EX 方差2=DX ,由车贝晓夫不等式知 ><-)3|1(|X P . 12. 设Y X ,独立同分布,有共同的概率密度函数)(x f ,则=<)(Y X P . 13. 设 ,,,1n X X 独立同分布,且11=EX ,则?→?∑=P n i i X n 11 . 14. 设 74)0()0(,73)0,0(=≥=≥=≥≥Y P X P Y X P ,则=≥)0),(max(Y X P . 15. 设 ,,,1n X X 独立同分布, ]2,0[~1U X , 则=≤∑=∞→)11(lim 1n i i n X n P . 二. 单选题(在本题的每一小题的备选答案中,请把你认为正确答案的题号,填入题干的括号内,多选不给分.每题3分,共15分) 1. 设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对 任意实数a ,有 ( ) ①. ?-=-a dx x f a F 0)(1)( ②. ?-= -a dx x f a F 0)(21)( ③. )()(a F a F =- ④. 1)(2)(-=-a F a F 2. 设8.0)|(,7.0)(,8.0)(===B A P B P A P ,则 ( ) ①. A,B 互不相容 ②. A,B 相互独立 ③. B ?A ④. P(A-B)=0.1 3. 如果随机变量Y X ,满足)()(Y X D Y X D -=+,则必有 ( ) ①. X 与Y 独立 ②. X 与Y 不相关 ③. 0)(=Y D ④. 0)(=X D 4. 4次独立重复实验中,事件A 至少出现一次的概率为80/81,则 ( ) ①. 21 ②. 31 ③. 32 ④. 41 5. 设随机变量X 服从指数分布)3(E ,则=),(DX EX ( ) ①. (31,31) ②. )3,3( ③. )91,31( ④. )9,3( 三. 计算题(共45分) 1. 一仓库有10箱同种规格的产品,其中由甲,乙,丙三厂生产的分别为5箱,3箱,2箱,三厂 产品的次品率依次为0.1,0.2,0.3,从这10箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件,求取 得正品的概率?若确实取得正品,求正品由甲厂生产的概率. (8分) 2. 设随机向量),(Y X 的联合密度函数为: ???≤≤≤≤+=,020,10,),(2y x bxy x y x f 求①常数b; ②)1(≥+Y X P ; ③ )21|1(<>X Y P ; ④讨论Y X ,的独立性. (12分) 3. 袋中有5个红球,3个白球,无放回地每次取一球,直到取出红球为止,以X 表示取球的次数,求①X 的分布列,②))31(≤ 4. 某教室有50个座位,某班有50位学生,学号分别为1到50.该班同学上课时随机地选择座位,X 表示该班同学中所选座位与其学号相同的数目,求X 的期望EX . 其它 (8分) 5.设12,,,n X X X 为总体X 的一个样本,X 的密度函数: (1),01()0, x x f x ββ?+<<=??其他, 0β>, 求参数β的矩估计量和极大似然估计量。 (8分) 长沙理工大学数计学院 一) 7. 97 二 三取中次品}, 2分 5分 54.0=. 分 )dx bx 分 分 X P Y P ③ )2/1()1,2/1()21|1(<><=<>X P Y X P X Y P ???????+??+?=++=2/1020222/1021222/102022/102 12|)2131(|)2131()31()31(dx y y x dx y x y x dydx xy x dydx xy x 8561161241|)3132(|)4131()322()21(2/10232/10232/1022/102=+=++=++=??x x x x dx x x dx x x ; 14分 ④ 10,322|)2131()31()(22022202≤≤+=?+?=+=?x x x y x y x dy xy x x f X , 20,6131|)213131()31()(1023102≤≤+=?+=+=?y y x y x dx xy x y f Y , 显然),()()(y x f y f x f Y X ≠?,所以X 与Y 不独立. 18分 3. ① X 的可能取值为1,2,3, 4. ,85)1(==X P ,56157583)2(=?==X P ,565657283)3(=??==X P 56155617283)4(=???==X P ; 5分 ② 1455655615)3()2()31(=+==+==≤ 235614565356152851=?+?+?+?=EX . 9分 4. 设 i X 表示学号为i 的同学坐对座位号与否的情况,即 ()1=i X ={学号为i 的同学坐i 号座位},()0=i X ={学号为i 的同学没坐i 号座位}, .50,,1 =i 显然 ∑==501i i X X .而 50,,1,5049!50!491)0(,501!50!49)1( ==-=====i X P X P i i . 5分 ∑∑∑====?+?===5015015011)504905011()(i i i i i EX X E EX . 8分 5. ()101(1)2E X x x dx ββββ+=+=+? 1分 由()12X E X ββ+==+知矩估计量为1?21X β=-- 3分 ()1(1),010,n n i i i x x L βββ=?+<=???∏其它 4分 ()1ln ln(1)ln n i i L n x βββ==++∑ 5分 ()1ln 0ln 1n i i L n x βββ=?==+?+∑ 7分 故极大似然估计量为 11ln n i i n x β=-=-∑ 8分 长沙理工大学数计学院概率论与数理统计试题三 卷 一.填空题(每空2分,共40分) 1. 设7.0)(,4.0)(=?=B A P A P ,若B A ,互不相容,则=)(B P ; 若B A ,独立,则=)(B P . 2. 从15,,2,1 中任选三个不相同的数字,1A ={三个数字中最小的是5},2A ={三个数字中最大的是5},则=)(1A P ,=)(2A P . 3. 设X ~)1(P ,Y ~)2(P ,且X 与Y 独立,则Y X +的分布列为 . 4. 若随机变量)4,1(~N X , 则~21-X . 5.设X ,Y ,Z 相互独立,)5,4(~), 4,3(~),6,2(~N Z N Y N X ,令W = Z Y X -+23,则期望=EZ ,标准差)(W σ= . 6.已知随机变量X ,Y 的方差分别为,64,36==DY DX 相关系数为2.0,=Y X ρ,则 =),(Y X Cov , =-)(Y X D . 7. 设随机变量X 的分布函数 =)(x F ?????>≤<≤2/,12/0,sin 0,0ππx x x A x ,则A = , )6/|(|π 8. 随机变量),2(~2σN X ,若3.0)40(=< 9. 设),(Y X 的联合分布列为 则=a ,X 的分布列为 . 10. 在两次独立重复实验中,事件A 至少出现一次的概率为0.64,则)(A P = . 11. 设Y X ,独立同分布,有共同的概率密度函数)(x f ,则=<)(Y X P . 12. 设 ,,,1n X X 独立同分布,且11=EX ,则?→?∑=P n i i X n 11 . 13. 设 74)0()0(,73)0,0(=≥=≥=≥≥Y P X P Y X P ,则=≥)0),(max(Y X P . 14. 设 ,,,1n X X 独立同分布, ]2,0[~1U X ,则=≤∑=∞→)11(lim 1n i i n X n P . 二. 单选题(在本题的每一小题的备选答案中,请把你认为正确答案的题号,填入题干的括号内,多选不给分.每题3分,共15分) 1. 设B A ,为两事件,且1)(0< ③.B A ,独立?Ω=?B A ④.B A ,独立?0)(=AB P 2. 设X 的分布列为5.0)1()1(===-=X P X P ,则X 的分布函数为 ( ) ①.=)(x F ?????>≤<--≤1,111,5.01,0x x x ②. =)(x F ?????≥<≤--<1,111,5.01,0x x x ③.=)(x F ???>≤1,11,5.0x x ④. =)(x F ???≥<1,11,5.0x x 3. 设随机变量X 的期望,1=EX 方差2=DX ,由车贝晓夫不等式知 ( ) ①. 92)3|1(|≥≥-X P ②. 92)3|1(|≥<-X P ③. 97)3|1(|><-X P ④. 92)3|(|≤≥X P 4. 设随机变量X 服从指数分布)3(E ,则=),(DX EX ( ) ① . (31,31) ②. )91,31( ③. )3,3( ④. )9,3( 5. 若),(~2σμN X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c . ( ) ①. 0 ②. -μ ③. μ ④. σ 三. 计算题(共45分) 1. 某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%,40%,废品率分别 为5%,4%和2%.产品混在一起,求总的废品率及抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率. (8分) 2. 设随机向量),(Y X 的联合密度函数为: ???≤≤≤≤=,010,10,),(2y x cxy y x f 求①常数c; ②)1(<+Y X P ; ③ )21|41(> 3. 袋中有5个红球,3个白球,无放回地每次取一球,直到取出红球为止,以X 表示取球的次数,求①X 的分布列,②))31(≤ 4. 某秘书将50封写好的信随机地装入写有这50个收信人地址的信封,X 表示该秘书将信装对信封的数目,求X 的期望EX . (8分) 5.设X 服从参数为λ的泊松分布,试求参数λ的矩估计与极大似然估计。 (8分) 其它 长沙理工大学数计学院 一 ,1,0=k 0.5 2/9 二 三}, 2分 0345 .0, 5分 分 分 -102|dy y 分 ????2/110222/102|266dy x y dxdy xy X P 161316312/121 2/12==??dy y dy y ; 9分 ④ 10,2|3166)(103102≤≤=?==?x x y x dy xy x f X , 10,3|2166)(21032102≤≤=?==?y y x y dx xy y f Y , 显然),()()(y x f y f x f Y X =?,所以X 与Y 独立. 12分 3. ① X 的可能取值为1,2,3, 4. ,85)1(==X P ,56157583)2(=?==X P ,565657283)3(=??==X P 56155617283)4(=???==X P ; 5分 ② 1455655615)3()2()31(=+==+==≤ 235614565356152851=?+?+?+?=EX . 9分 4. 设i X 表示第i 封信装对信封与否的情况,即 ()1=i X ={第i 封信装对了信封},()0=i X ={第i 封信没装对信封},.50,,1 =i 显然∑==501i i X X .而 50,,1,5049!50!491)0(,501!50!49)1( ==-=====i X P X P i i . 5分 ∑∑∑====?+?===5015015011)504905011()(i i i i i EX X E EX . 8分 5.解:∵X ~()πλ ∴E(X)=λ (1分) 矩估计: ()E X λX == ^ λλ?= (3分) 似然函数:111()!!n i i i x x n n n i i i i L e e x x λλλλλ=--==∑==∏∏ (5分) 111ln ()1ln ln !0n n n i i i i i i L x n x x n λλλλλλ===????=?--=-=??????∑∑∏ (7分) ∴^ 11n i i x λ===X ∑n (8分) 长沙理工大学数计学院概率论与数理统计试题四 一.填空题(每空3分,共48分): 1.已知3.0)(,6.0)(,8.0)(==-=B P B A P A P ,则=?)(B A P ,=)|(A B P . 2.若10各产品中有7个正品,3个次品.现在不放回地从中随机取出两个产品,则第一次取出的是正品的概率是 , 第一次取出的是正品而第二次取出的是次品的概率是 . 3.设3 21321,,,31 )()()(A A A A P A P A P ===独立,则321,,A A A 至少出现一个的概率 是 . 4.设X ~)1(P ,Y ~)1(P ,且X 与Y 独立,则==+)2(Y X P . 5.设X 与Y 独立,2,1==DY DX ,则=-)32(Y X D . 6.若X ~)1,0(N ,Y ~)8,2(N ,X 与Y 独立,则32 -+Y X ~ . 7.设X 与Y 独立,且X ~)2,0(N ,Y ~)2,1(N ,则),(Y X 的联合密度为=),(y x f . 8 . 设 X 的密度 函数为 ?? ?≤≤=, 01 0,)(x cx x f ,则 c= , = <<-)2121(X P . 9.若),(Y X 的联合分布X 列为 则 a= ,==+)3(Y X P ,=EX . 10.设 ,,21X X 是一独立同分布的随机变量序列,则 ,,21X X 服从大数定理的充要条件是 . 11.若X ~)4,2(N ,则=>)2(X P . 二.选择题(每题3分,共12分): 1 .设 ?? ? ??≥≤≤<=1,11 0,2/10,0)(x x x x F ,则 ( ) A. )(x F 是一个连续型分布函数 B. 5.0)1(==X P C. )(x F 是一个离散型分布函数 D. )(x F 不是一个分布函数 其它 X Y 2.设 B A ,为两事件,且1)(0< ( ) A . B A ,独立)()()(B P A P AB P =? B. B A ,独立)()|(B P A B P =? C. B A ,独立0)(=?AB P D. B A ,独立)|()|(A B P A B P =? 3.设随机变量X 的密度函数为)(x f ,且满足),(),()(+∞-∞∈-=x x f x f ,)(x F 为X 的分布函 数,则对任意的实数x 有 ( ) A . )(1)(x F x F -=- B. )(2/1)(x F x F -=- C. )()(x F x F =- D. 1)(2)(-=-x F x F 4.设2,1==DX EX , 则 ( ) A. 2/1)2|(|≥>X P B. 2/1)2|1(|≥≥-X P C. 2/1)2|1(|≤<-X P D. 2/1)2|1(|≤≥-X P 三.一仓库有10箱同种规格的产品,其中由甲,乙,丙三厂生产的分别为5箱,3箱,2箱,三厂产品的次品率依次为0.1,0.2,0.3,从这10箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件,取得正品,求该件产品由甲厂生产的概率. (8分) 四.某人有12粒弹子,其中有2粒为绿色的.今从中不放回地取两次,每次取一粒,Y X ,分别表示第一次,第二次取中绿色弹子的粒数,求EXY . ( 7分) 五.设随机向量),(Y X 的联合密度函数为: ?????≤≤≤≤+=,020,10,31),(2y x xy x y x f 1)Y X ,是否独立; 2)求)1(>+Y X P ; 3)求 )21|1(= 六.在一家保险公司里有10000人投保,每人每年付12元保险费.在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡时其家属可从保险公司得到1000元赔偿.求该保险公司一年的利润不少于60000元的概率. (6分) 七.设甲乙两车间加工同一种产品,其产品的尺寸分别为随机变量为ηξ,,且 ),(~),,(~222211σμησμξN N ,今从它们的产品中分别抽取若干进行检测,测得数据如下: 397.4,50.21,7,216.2,93.20,82222111======s y n s x n (查表:12.5)7,6(,70.5)6,7(025.0025 .0==F F ) 求21μμ-的置信度为90%的置信区间。)7709 .1)13((05.0=t (7分) 其它 长沙理工大学数计学院概率论与数理统计试题四答案 A 卷 二.填空题 1. 0.9 0.5 2. 0.7 7/30 3. 19/27 4. 22-e 5. 22 6. )1,0(N 7. 4)1(2 241-+-y x e π 8. 2 1/4 9. 5/18 4/9 29/18 10. 1EX 存在(有限) 11. 0.5 二.选择题 C C A D 三.解: 设1A ={取中甲厂产品},2A ={取中乙厂产品},3A ={取中丙厂产品},B ={取中次品}, B ={取中正品},由题意 102)(,103)(,105)(110123110132110151======C C A P C C A P C C A P , 1.0)|(1=A B P , 2.0)|(2=A B P , 3.0)|(3=A B P . 4分 由全概率公式 ∑==?+?+?==3117 .03.02.02.03.01.05.0)|()()(i i i A B P A P B P , 6分 83.017.01)(1)(=-=-=∴B P B P . )()|()()()()()|(11111B P A B P A P A P B P B A P B A P -== 54.0834583.01.05.05.0==?-=. 8分 四. 解: 由题意知Y X ,的取值均为0和1,所以XY 的取值也为0和1. ?==?=1,11Y X XY 第一次,第二次均取到绿色弹子 661)1|1()1()1(1111121112=======C C C C X Y P X P XY P , 5分 661)1()1(1)0(0====?+=?=∴XY P XY P XY P EXY . 7分 五.解: 1)10,322|)2131()31()(22022202≤≤+=?+?=+=?x x x y x y x dy xy x x f X , 20,6131|)213131()31()(1023102≤≤+=?+=+=?y y x y x dx xy x y f Y . 显然 ),()()(y x f y f x f Y X ≠?, Y X ,∴不独立; 5分 2)dydx xy x dxdy xy x Y X P x y x ????->++=+= >+1021212)31()31()1( =7265)213465(|)2131(2310212210 =++=?+???-dx x x x dx y x y x x , 或者7265)31()31(2110210112=+++=????-dxdy xy x dxdy xy x y ; 9分 3)?????≤≤+=≤≤??????+??+==,020,5110320,,0)(2)()(),()21|(21322212131221212 1|y y y y f y f y f X X Y . 52)51103()21|()21|1(101|=+===?∞-dy y dx y f X Y P X Y . 12分 六.解: 设X 表示一年内死亡人数,Y 表示一年的利润,则 X Y 10001210000-?= 2分 由题意 )006.0,10000 (~B X , 64.59)006.01(006.010000,60006.010000=-??==?=∴DX EX 4分 由中心极限定理 )60()600001000120000()60000(≤=≥-=≥X P X P Y P )64.596060()60(-≤-=-≤-=DX EX X P DX EX DX EX X P 5.0)0(=≈φ. 6分 七、因2221σσσ==未知,置信区间:)7181) 13(05.0+?±-t S y x w ((2分) )7(]351.2,521.3[)951.257.0()5(7 1817709 .1223.357.0分分-=±-=+?±-= 其它 其它 长沙理工大学数计学院概率论与数理统计 模拟试题五答案 一.填空题(每空3分,共48分): 1.已知 3.0)(,6.0)(,8.0)(==-=B P B A P A P ,则=?)(B A P ,=)|(A B P . 2.从9,,2,1,0 这十个数字中任选三个不相同的数字,1A ={三个数字中不含0和5},2A ={三 个数字中含有0和5},则=)(1A P ,=)(2A P . 3.设321321,,,31)()()(A A A A P A P A P ===独立,则321,,A A A 至多出现一个的概率 是 . 4.设X ~)1(P ,Y ~)2(P ,且X 与Y 独立,则==+)0(Y X P . 5.设X 与Y 独立,2,1==DY DX ,则=-)2(Y X D . 6.若X ~)2,0(N ,Y ~)2,1(N ,X 与Y 独立,则21 -+Y X ~ . 7.若X 为连续型随机变量,则==)2(X P . 8.设X 的分布列为5.0)1()1(===-=X P X P ,则X 的分布函数为=)(x F , =<<-)5.05.0(X P . 9.若),(Y X 的联合分布X 列为 则 a= ,==+)2(Y X P ,,21X 服从大数定理的充要条件是 . 11.设X 与Y 独立,且X ~)1,0(N ,Y ~)4,1(N ,则),(Y X 的联合密度为=),(y x f . 二.选择题(每题3分,共12分): 1.设 B A ,为两事件,且1)(0< ( ) A . B A ,独立B A ,?互不相容 B. B A ,独立Ω=??B A C. B A ,独立0)(=?AB P D. B A ,独立)|()|(A B P A B P =? 2.设随机变量X 的密度函数为)(x f ,且满足),(),()(+∞-∞∈-=x x f x f ,)(x F 为X 的分布函 数,则对任意的实数x 有 ( ) A . )(1)(x F x F -=- B. )(2/1)(x F x F -=- C. )()(x F x F =- D. 1)(2)(-=-x F x F 3.设 ?????≥<≤<=1,110,2/0,0)(x x x x x f ,则 . ( ) A. )(x f 是一连续型随机变量的分布函数 B. )(x f 是一密度函数 C. )(x f 是一离散型随机变量的分布函数 D. )(x f 是一分布函数 4.设3,2==DX EX , 则 ( ) A. 3/1)3|(|≥>X P B. 3/1)3|2(|≥≥-X P C. 3/1)3|2(|≤<-X P D. 3/1)3|2(|≤≥-X P 三.有三个盒子,甲盒装有个2红球,4个白球;乙盒装有个4红球,2个白球; 丙盒装有个3红球,3个白球.设到三个盒子取球的机会相等.今从中任取一球,若是红球,此球来自甲盒的概率为多少? (8分) 四.在一个盒子里有12张彩票,其中有2张有奖.今从中不放回地抽取两次,每次取一张,Y X ,分别表示第一次,第二次取中有奖彩票的张数,求EXY . ( 9分) 五.设随机向量),(Y X 的联合密度函数为: ???<<<<+=,010,10,),(y x y x y x f . 1)Y X ,是否独立; 2)求)1(<+Y X P ; 3)求 )21|21(= 六.设一个系统由100个相互独立起作用的部件组成,每个部件损坏的概率为0.1,必须有85个以上的部件才能使整个系统正常工作,求整个系统工作的概率.( 952 .0)35(,712.0)95(==φφ) (6分) 七.设22~(,),,X N μσμσ为未知参数,12n ,,,x x x 是来自X 的一个样本值。求2,μσ的 最大似然估计量。 (5分) 其它 长沙理工大学数计学院概率论与数理统计 模拟试题五答案 B 卷 三.填空题 1. 0.9 1/4 2. 7/15 1/15 3. 20/27 4. 3-e 5. 6 6. )1,0(N 7. 0 8. ?????≥<≤--<=1,111,5.01,0)(x x x x F 0 9. 5/18 1/6 5/3 10. 1EX 存在(有限) 11. 2 81221)1(41---y x e π 二.选择题 D A D D 三.解: 设1A ={取出的球来自甲盒},2A ={取出的球来自乙盒},3A ={取出的球来自丙盒}, B ={取出的球为红球}. 由题意 3/1)()()(321===A P A P A P , 3/1)|(1=A B P , 3/2)|(2=A B P , 2/1)|(3=A B P . 4分 由全概率公式 ∑==++?==3121)213231(31)|()()(i i i A B P A P B P , 6分 由贝叶斯公式,取到的红球来自甲盒的概率为 92213131)()|()()|(111=?==B P A B P A P B A P . 8分 四. 解: 由题意知Y X ,的取值均为0和1,所以XY 的取值也为0和1. ?==?=1,11Y X XY 第一次,第二次均取到有奖彩票 661)1|1()1()1(1111121112=======C C C C X Y P X P XY P , 5分 661)1()1(1)0(0====?+=?=∴XY P XY P XY P EXY . 9分 五.解: 1)10,21|)21()()(1021 0<<+=+?=+=?x x y y x dy y x x f X , 10,21|)21()()(10210<<+=+?=+=?y y x x y dx y x y f Y . 显然),()()(y x f y f x f Y X ≠?, Y X ,∴ 不独立; 5分 2)dydx y x dxdy y x Y X P x y x ????-<++=+=<+10101)()()1(
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