二次函数知识点集锦（带详细解析答案）

二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)

一、中考要求：

1．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．

2．能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考和语言表达能力；能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系．

3．会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验．

4．能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标． 5．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．

6．能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测． 二、中考卷研究

(一)中考对知识点的考查：

2009、2010年部分省市课标中考涉及的知识点如下表: 序所考知识点 比率 号 二次函数的图象和性1 2.5~3% 质 二次函数的图象与系2 6% 数的关系 二次函数解析式的求2.5~10.53 法 % 二次函数解决实际问4 8~10% 题 (二)中考热点： 二次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容，本章主要考查二次函数的概念、图象、性质及应用，这些知识是考查学生综合能力，解决实际问题的能力．因此函数的实际应用是中考的热点，和几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题．

三、中考命题趋势及复习对策

二次函数是数学中最重要的内容之一，题量约占全部试题的10％～15％，分值约占总分的10％～15％，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法，全面地考查学生的计算能力，逻辑思维能力，空间想象能力和创造能力。

针对中考命题趋势，在复习时应首先理解二次函数的概念，掌握其性质和图象，还应注重其应用以及二次函数与几何图形的联系，此外对各种函数的综合应用还应多加练习.

★★★(I)考点突破★★★

考点1：二次函数的图象和性质

一、考点讲解：

2y?ax?bx?c（a≠0，a，b，c1．二次函数的定义：形如

为常数）的函数为二次

函数．

2．二次函数的图象及性质：

⑴ 二次函数y=ax2 (a≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大．y=a(x－h)2＋k的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。 ⑵

2b二次函数y?ax?bx?c的图象是一条抛物线．顶点为（－

4ac?b2，对称2a，4a）

b轴x=－2a；当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞－2a，y随x的增大而增大，x＜－2a，y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x＞－2a，y随x的增大而减小，x＜－2a，y随x的增大而增大．

注意：分析二次函数增减性时，一定要以对称轴为分界线。首先要看所要分析的点是否是在对称轴同侧还是异侧，然后再根据具体情况分析其大小情况。 解题小诀窍：二次函数上两点坐标为（x1,y），（x2,y），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线x?x1?x2。

2bbbb⑶ 当a＞0时，当

4ac?b2bx=－2a时，函数有最小值4a；当

a＜0时，当 x=－2a时，

b4ac?b2。

函数有最大值4a

3．图象的平移：将二次函数y=ax2 (a≠0）的图象进行平移，可得到y=ax2＋c，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2＋k的图象．

⑴ 将y=ax2的图象向上(c＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax2＋c的图象．其顶点是（0,c），形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同． ⑵ 将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x－h)2的图象．其顶点是（h，0），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．

⑶ 将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x－h)2 +k的图象，其顶点是（h，k），

2

对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax相同．

注意：二次函数y=ax2 与y=－ax2 的图像关于x轴对称。平移的简记口诀是“上加下减，左加右减”。 一、 经典考题剖析：

【考题１】.抛物线y=?4(x+2)2+5的对称轴是______

【考题2】函数y= x2－4的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A.（2，0） B.（－2，0）

C.（0，4） D.（0，－4）

【考题３】在平面直角坐标系内，如果将抛物线y?2x2向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后二次函数的关系式是（） Ａ．y?2(x?2)2?3 Ｂ．y?2(x?2)2?3 Ｃ．y?2(x?2)2?3 Ｄ．y?2(x?2)2?3 答案：Ｂ。

【考题４】（2009、贵阳）已知抛物线y?3(x?4)象再次与x轴相交时的坐标是（ ） A．（5，0） B.（6，0） C．（7，0） D.（8，0）

解：C 点拨：由y?3(x?4)1212?3 的部分图象（如图

1-2-1），图

?3，可知其对称轴为x=4,而图象与x轴已交于(1，0)，

则与x轴的另一交点为(7，0)。参考解题小诀窍。

2y?ax?bx?c 【考题５】（深圳）二次函数

图像如图所示，若点Ａ（１，y1），Ｂ（２，y2）是它的图像上两点，则y1与

y2的大小关系是（）

y ｘ＝－３ O Ａ．y1＜y2 Ｂ．y1＝y2 Ｃ．y1＞y2 Ｄ．不能确定 答案：Ｃ。点Ａ，Ｂ均在对称轴右侧。

三、针对性训练：( 分钟) (答案： )

1．已知直线y=x与二次函数y=ax2 －2x－1的图象的一个交点 M的横标为1，则a的值为（ ）

A、2 B、1 C、3 D、 4

k

2．已知反比例函数y= x 的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则二次函数y=2kx2 －x+k2的图象大致为图1－2－3中的（ ）

4．抛物线y=x2－４x＋5的顶点坐标是（ ） A．（－2，1） B．（－2，－1） C．（2，l） D．（2，－1）

2

５．二次函数 y=2（x－3）+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3,5） B．开口向下，对称轴x＝3，顶点坐标为（3，5） C．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,5) D．开口向上，对称轴x=－3，顶点(－3,－5）

６．二次函数y?x2?bx?c的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） A． x?4 B. x?3 C. x??5 D. x??1

7．在平面直角坐标系内，如果将抛物线y?3x2 向右平移3个单位，向下平移4个单位，平移后二次函数的关系式是（ ） Ａ．y?3(x?3)2?4 Ｂ．y?3(x?3)2?4 Ｃ．y?3(x?3)2?4 Ｄ．y?3(x?3)2?4

8..已知，点A（－1，y1），B（?2，y2），C（－5，y3）在函数y??x2的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是（） A . y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y2＞y1 D. y2＞y1＞y3

2y?ax?bx?c(a≠0）与一次函数19．已知二次函数

y2=kx+m(k≠0）的图象相交于

点A（－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所示，能使y1＞y2成立的x取值范

围是_______

yx=1 O3 x 10.（襄樊）抛物线y??x2?bx?c的图像如图所示，则抛物线的解析式为_______。 11.若二次函数y??x2?bx?c的顶点坐标是（2，－1），则b=_______，c=_______。 12直线y=x+2与抛物线y=x2 +2x的交点坐标为____．

13读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化． 例如：由抛物线y?x2?2mx?m2?2m?1①，有y=(x?m)2?2m?1②，所以抛物线的

?x?m,顶点坐标为（m，2m－1），即?③④。

y?2m?1? 当m的值变化时，x、y的值随之变化，因而y值也随x值的变化而变化，将

③代人④，得y=2x—1l⑤．可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足y=2x－1，回答问题：（1）在上述过程中，由①到②所用的数学方法是________，其中运用了_________公式，由③④得到⑤所用的数学方法是______；（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线

22y?x?2mx?2m?3m?1顶点的纵坐标与横坐标

x之间的关系式_________.

14抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

1

15 已知M、N两点关于 y轴对称，且点 M在双曲线 y= 2x 上，点 N在直线上，设点M的坐标为(a，b)，则抛物线y=－abx2+(a＋b）x的顶点坐标为___. 16当b＜0时，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是图1－2－9中的（ ）

考点2：二次函数的图象与系数的关系 一、考点讲解：

1、a的符号：a的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，则a＞0；抛

C．（2，－5） D．（－2，5）

1

【备考3】把抛物线y=－ （x－2）2－1经平移得到（ ）

2 A．向有平移2个单位，向上平移1个单位 B．向右平移2个单位，向下平移1个单位 C．向左平移2个单位，向上平移1个单位 D．向左平移2个单位，向下平移1个单位 【备考4】函数y?2x2?8x?3的对称轴为（ ）

A、y=－2 B、y=－2 C、x=2 D、x=－2

【备考5】某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ） A．y=x2+a B．y= a（x－1）2 C．y=a（1－x）2 D．y＝a（l+x）2

【备考6】设直线 y=2x—3，抛物线 y=x2－2x，点 P（1，－1），那么点P（1，－1）（ ） A．在直线上，但不在抛物线上 B．在抛物线上，但不在直线上 C．既在直线上，又在抛物线上

D．既不在直线上，又不在抛物线上

【备考7】函数 y=x2 +px+q的图象是(3，2）为顶点的抛物线，则这个函数的解析式是（ ）

A．y=x2＋6x+11 B．y=x2－6X－11 C．y=x2－6x+11 D．y=x2－6x+7 【备考8】如图1－2－51，把一段长1．6米的铁丝围长方形ABCD，设宽为x，面积为y．则当y最大时，x所取的值是（ ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0．6 【备考9】二次函数y=1－6x－3x2 的顶点坐标和对称轴分别是（ ）

A．顶点（1，4）， 对称轴 x=1 B．顶点（－1，4），对称轴x=－1 C．顶点（1，4）， 对称轴x=4 D．顶点（－1，4），对称轴x=4 【备考10】若直线 y=ax－6与抛物线y=x2－4x+3只有一个交点，则a的值为（ ） A．a=2 B．a=10

C．a=2或a=－10 D、a=2或a=10 （二）填空题（每题2分，共18分）

【备考11】已知 y＝（a－3）x2+2x－l是二次函数；当a______时，它的图象是开口向上的抛物线，抛物线与y轴的交点坐标是________．

1

【备考12】通过配方把函数y=－ x2－2x－1表示为y____________,它的图象的

2顶点坐标是__________.

3

【备考13】抛物线y=－ x2 的开口，在对称轴左边，y随x的____________而

4增大．

【备考14】若二次函数y=2x2的图象向下平移 3个单位，向右平移4个单位，得到的抛物线的关系式为 _______________.

【备考15】某涵洞是抛物线型，它的截面如图l上52，得水面宽AB=1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为 2．4m，在图中直角坐标系中，涵洞所在抛物线的函数关系式是_____________-． 【备考16】若将二次函数 y=x2－2x+3配方为y=（x—h）2＋k的形式_______________ 【备考17】行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用， 还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离S(m）与车速工（km／h）间有下述的函数关系式：S=0.01x+0.002x，现该车在限速140km/h的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46．5m．请推测刹车时汽车（是、否）_________超速．

2【备考18】已知抛物线y?ax?bx?c的对称轴为x=2，且经过点(0，4）和点（5，

0），则该抛物线解析式为__________.

【备考19】已知两个正数的和是60，它们的积最大是 _____________. （三）解答题 【备考20】利用二次函数的图象求下列方程的近似根：（1）x2＋x－12＝0； （2）

2

2 x－x－3=0．

二、学科内综合题（8分） 【备考21】已知如图 1－2－53，△ABC的面积为2400cm2，底边BC长为多80cm，若点D在BC边上，E在AC边上，F在AB边上，且四边形BDEF为平行四边形，设BD=xcm，S□BDEF=y cm2． 求：（1）y与x的函数关系式； （2）自变量 x的取值范围； （3）当x取何值时，y有最 大值？最大值是多少？

三、跨学科渗透题(8分）

【备考22】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时， 身体（看成一点）在空中的运动路线如图l－2－54所示直角坐标系下经过原点O的一条抛物线（图1－2－54）中标出的数据为已知条件,在跳某个规定动作时，正常情况下，运动员在空中的最高处距离水 面10千米，人水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定翻腾动作，并调整好人水姿势，否则就会出现失误． ⑴求这条抛物线的关系式； ⑵在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是⑴中的抛物线，且运动员在空中调整好人水姿势时，距池边的水平距离为3千米，问

此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由． 四、实际应用题(8分） 【备考23】用 6m长的铝合金型材料做一个形状如图1－2－55所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？

五、渗透新课标理念题（每题10分，共30分） 【备考24】（新情境题）有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．（1）建立如图1－2－56所示直角坐标系，求此抛物线的解析式； （2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥 280km（桥长忽略不计）货车正以 40km／h的速度开往乙地，当行驶1小时，忽然接到通知；前方连降暴雨，造成水位以每小时0．25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位到达最高点O时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

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