15届工大都柏林高数期中习题和答案

大一第二学期高等数学期中考试试卷

一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。

1、已知球面的一条直径的两个端点为?2，?3，5?和?4，1，?3?，则该球面的方

程为______________________

2、函数u?ln(x?y2?z2)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数为

3、曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面方程为

4、

(x,y)?(0,0)lim(1?cos(x2?y2))sinxy(x?y)e2222x2?y2?

?2z5、设二元函数z?xy?xy，则?_______________

?x?y3二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。

1、旋转曲面x2?y2?z2?1是（ ）

xz坐标面上的双曲线绕Ox轴旋转而成； （A）．O （B）．xOy坐标面上的双曲线绕Oz轴旋转而成； （C）．xOy坐标面上的椭圆绕Oz轴旋转而成；

xz坐标面上的椭圆绕Ox轴旋转而成． （D）．O2、微分方程y???y?2xcosx?3x2的一个特解应具有形式（ ） 其中a1,b1,a2,b2,d1,d2,d3都是待定常数.

(A).x(a1x?b1)cosx?x(a2x?b2)sinx?d1x; (B).x(a1x?b1)cosx?x(a2x?b2)sinx?d1x (C).x(a1x?b1)(a2cosx?b2sinx)?d1x222?d2x?d3;

2?d2x?d3;

(D).x(a1x?b1)(cosx?sinx)?d1x?d2x?d3

y?1z与平面?:x?2y?? z?4,则 （ ） ?22?2? (A).L在?内; (B).L与?不相交; (C).L与?正交; (D).L与?斜交. 4、下列说法正确的是（ ）

????(A)两向量a与b平行的充要条件是存在唯一的实数?，使得b??a；

?2z?2z(B) 二元函数z?f?x,y?的两个二阶偏导数2,2在区域D内连续，则在该区

?x?y域内两个二阶混合偏导必相等；

3、已知直线L:x?2?(C) 二元函数z?f?x,y?的两个偏导数在点?x0,y0?处连续是函数在该点可微的

充分条件； (D) 二元函数z?f?x,y?的两个偏导数在点?x0,y0?处连续是函数在该点可微 的必要条件.

?2z5、设z?f(2x?y,x?2y),且f?C（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则??x?y2（ ）

(A)2f11?2f22?3f12; (B)2f11?f22?3f12; (C)2f11?f22?5f12; (D)2f11?2f22?f12.

三、计算题（本大题共29分） 1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。

(1)（6分）y??1?x?y2?xy2

(2)（7分）y???3y??2y?xe2x

2t2、（本题8分）设z?uv?tcosu，u?e，v?lnt，求全导数

dz。 dt

3、（本题8分）求函数f?x,y??e2xx?y2?2y的极值。

??四、应用题（本题8分）

1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为

x台和y台，成本函数为

c(x,，若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何y)?x2?2y2?xy （万元）

安排生产使其总成本最少？最小成本为多少？

五、综合题（本大题共21分）

?yz?xz???1???11、（本题10分）已知直线l1：?bc，l2：?ac，求过l1且平行于l2的

???x?0?y?0平面方程．

2、（本题

11

分）设函数f(x,y,?z)?lnx在球z面?lynx2?y2?z2?5R2(x?0,y?0,z?0)上求一点，使函数f(x,y,z)取到最大值．

六、证明题（本题共12分）

1、设函数u?xkF??z,x?y??，其中k是常数，函数F具有连续的一阶偏导数．试x?y?? x?证明:x

?u?u?u?z?y?z?kxkF?,?x?y?z?x

第二学期高等数学期中考试试卷答案

一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分） 1.、 ?x?3???y?1???z?1??21

2222、

1． 23、2x?4y?z?5?0． 4、0 5、2y?3x2；

二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）

1（A） 2（B） 3（C） 4（C） 5（A）

三、计算题（本大题共29分）

1、（1）解：将原微分方程进行分离变量，得：

dy?(1?x)dx

1?y2dyx2 上式两端积分得??arctany??(1?x)dx?x??c

21?y2x2?c其中c为任意常数． 即 ： arctany?x?2（2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为r2?3r?2?0,特征根为r1?1,r2?2,于是，该齐次方程的通解为Y?C1x?C2e2x,因??2是特征方程的单

根，故可设题设方程的特解：y*?x(b0x?b1)e2x.代入题设方程,得

2b0x?b1?2b0?x,比较等式两端同次幂的系数,得b0?1,b1??1, 2 于是，求得题没方程的一个特解y*?x(x?1)e2x.

从而，所求题设方程的通解为y?C1ex?C2e2x?x(x?1)e2x. 2、解：

?z??uv2?tcosu?v2?tsinu， ?u?u1212??

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