2018届高考数学大一轮复习 不等式选讲 第二节 不等式证明的基本方法教师用书 理 选修4-5

第二节 不等式证明的基本方法

☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆

考纲要求 真题举例 2016，全国卷Ⅱ，24,10分(比较法证 了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法。 明不等式) 2015，全国卷Ⅱ，24,10分(分析法、综合法证明不等式) 2014，全国卷Ⅰ，24,10分(放缩法、反证法证明不等式) 微知识 小题练 自|主|排|查 1．比较法

作差比较法与作商比较法的基本原理： (1)作差法：a－b>0?a>b。

命题角度 本部分主要考查比较法、综合法、分析法证明不等式，往往应用完全平方式、基本不等式等知识点，有时与函数、数列相结合。 a(2)作商法：b>1?a>b(a>0，b>0)。

2．综合法与分析法

(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过推理论证而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法。

(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立。这是一种执果索因的思考和证明方法。

3．反证法

先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法。

4．放缩法

证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法。

5．柯西不等式

设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号当且仅当ad＝bc时成立。

微点提醒

1．作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系。

2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立。

小|题|快|练

1．设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明： 1

(1)ab＋bc＋ac≤3；

a2b2c2

(2)b＋c＋a≥1。

【证明】 (1)由a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ac得

2

2

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2

2

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。

由题设得(a＋b＋c)＝1，

即a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca＝1。

1

所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤3。

2

2

2

2

a2b2c2

(2)因为b＋b≥2a，c＋c≥2b，a＋a≥2c， a2b2c2

故b＋c＋a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， a2b2c2

即b＋c＋a≥a＋b＋c。 a2b2c2

所以b＋c＋a≥1。

a|2x＋y－4|

a2．设a>0，|x－1|<3，|y－2|<3，求证：

aaaa【证明】 因为|x－1|<3，|y－2|<3，

所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|<2×3＋3＝a。

微考点 大课堂

考点一 比较法证明不等式 ?1??1????【典例1】 (2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝??x－2?＋?x＋2?，M为不等式f(x)<2的

解集。

(1)求M；

(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|。

??11

【解析】 (1)f(x)＝?1，－2

1??2x，x≥2。11

当－2

1

－2x，x≤－2，

1

当x≤－2时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1；

1

当x≥2时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1。 所以f(x)<2的解集M＝{x|－1

(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1

－ab－1＝(a－1)(1－b)<0。

因此|a＋b|<|1＋ab|。

【答案】 (1)M＝{x|－1

1．作差；2.变形；3.判断差的符号；4.下结论。其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负。

【变式训练】 设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)。 【证明】 由a，b是非负实数，作差得

22

2

2

a3＋b3－ab(a2＋b2)

＝a2

a(a－b)＋b2b(b－a)

＝(a－b)[(a)5－(b)5]。 当a≥b时，a≥b， 从而(a)5≥(b)5，

得(a－b)[(a)5－(b)5]≥0； 当a

得(a－b)[(a)5－(b)5]>0。 所以a＋b≥ab(a＋b)。 考点二 综合法、分析法证明不等式 2

3

3

2

2

1【典例2】 (1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋x－2xy＋y2≥2y＋3。 (2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥3。 【证明】 (1)因为x>0，y>0，x－y>0， 11

2x＋x2－2xy＋y2－2y＝2(x－y)＋x－y＝(x－y)＋(x－y)＋

3≥3

1x－y2

2

x－y2

2

1x－y2

＝3，(当且仅当x－y＝1时，等号成立)

1

所以2x＋x－2xy＋y2≥2y＋3。

(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥3， 只需证(a＋b＋c)2≥3。

即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 而ab＋bc＋ca＝1，

故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)。 即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。

a2＋b2b2＋c2c2＋a2

而ab＋bc＋ca≤2所以原不等式成立。

＋2

＋2

＝a＋b＋c(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立。

222

反思归纳 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法。综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野。

1

【变式训练】 (1)已知n≥2，求证：n>n－ n－1。

(2)(2016·银川质检)已知a，b，c全为正数，且a＋b＋c＝1，求证： ①ab＋bc＋ca≤1； 1

②a＋b＋c≥3。

2

2

2

1

1

1

1

【证明】 (1)要证n>n－n－1，只需证n>即n>n＋n－1， 只需证 n＋n－1>n， 只需证n－1>0， 只需证n>1，

1

因为n≥2>1，所以n>n－n－1。 (2)①∵a，b，c全为正数，且a＋b＋c＝1， ∴a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时等号成立)；

n－n－1n＋n－1

。 n＋n－1

b＋c≥2bc(当且仅当b＝c时等号成立)； c＋a≥2ca(当且仅当c＝a时等号成立)，

∴2(a＋b＋c)≥2ab＋2bc＋2ca(当且仅当a＝b＝c时等号成立)。 ∴ab＋bc＋ca≤1(当且仅当a＝b＝c时等号成立)。 1

222

②a＋b＋c≥3?a2＋b2＋c2≥

a＋b＋c3

2

?a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。

a2＋b2≥2ab当且仅当a＝b时等号成立??22

∵?b＋c≥2bc当且仅当b＝c时等号成立??c2＋a2≥2ac当且仅当a＝c时等号成立

2

2

2

2

2

2

∴2(a＋b＋c)≥2ab＋2bc＋2ac?a＋b＋c≥ab＋bc＋ac， 1

∴a＋b＋c≥3(当且仅当a＝b＝c时等号成立)。

2

2

2

考点三 柯西不等式的应用 【典例3】 (2015·陕西高考)已知关于x的不等式|x＋a|

(2)求at＋12＋bt的最大值。

【解析】 (1)由|x＋a|

??－b－a＝2，则??b－a＝4，?

??a＝－3，

解得??b＝1。?

(2)－3t＋12＋t＝3·4－t＋t ≤

3

2

＋124－t2

＋t2

]

＝24－t＋t＝4，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/i3gf.html