2021-2022年高中数学 第二章 推理与证明测试题 新人教A版选修1-2

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一 选择题（5×12=60分）

1. 如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗

珠子应是什么颜色的（ ）

A ．白色

B ．黑色

C ．白色可能性大

D ．黑色可能性大

2．“所有9的倍数（M ）都是3的倍数（P ），某奇数（S ）是9的倍数（M ），故某奇数（S ）是

3的倍数（P ）.”上述推理是（ ）

A ．小前提错

B ．结论错

C ．正确的

D ．大前提错

3．F （n ）是一个关于自然数n 的命题，若F （k ）（k ∈N ＋）真，则F （k ＋1）真，现已知F （7）

不真，则有：①F （8）不真；②F （8）真；③F （6）不真；④F （6）真；⑤F （5）不真；⑥F

（5）真.其中真命题是（ ）

A ．③⑤

B ．①②

C ．④⑥

D ．③④

4.下面叙述正确的是（ ）

A ．综合法、分析法是直接证明的方法

B ．综合法是直接证法、分析法是间接证法

C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的

D ．综合法、分析法所用语气都是假定的

5．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可知正四面体的下列哪些性质，

你认为比较恰当的是（ ）

① 各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；

② 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；

③ 各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。

A ．①

B ．①②

C ．①②③

D ．③

6．（05·春季上海，15）若a ，b ，c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对x ∈R ，有ax

2＋bx ＋c ＞0”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．不充分不必要条件

7．（04·全国Ⅳ，理12）设f （x ）（x ∈R ）为奇函数，f （1）＝12

，f （x ＋2）＝f （x ）＋f （2），f （5）＝（ ）

A ．0

B ．1

C ．52

D ．

5

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8．设S （n ）＝1n ＋1n ＋1 ＋1n ＋2 ＋1n ＋3 ＋…＋1

n

2 ，则（ ）

A ．S （n ）共有n 项，当n ＝2时，S （2）＝12 ＋13

B ．S （n ）共有n ＋1项，当n ＝2时，S （2）＝12

＋13

＋14

C ．S （n ）共有n 2－n 项，当n ＝2时，S （2）＝12

＋13

＋14

D ．S （n ）共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S （2）＝12

＋13

＋14

9．在R 上定义运算⊙：x ⊙y ＝

x

2－y

，若关于x 的不等式（x －a ）⊙（x ＋1－a ）＞0的解集

是集合｛x ｜－2≤x ≤2，x ∈R ｝的子集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．－2≤a ≤2 B ．－1≤a ≤1 C ．－2≤a ≤1 D ．1≤a ≤2

10．已知f （x ）为偶函数，且f （2＋x ）＝f （2－x ），当－2≤x ≤0时，f （x ）＝2x

，若n ∈N *，a n ＝f （n ），则a xx ＝（ ）

A ．xx

B ．4

C ．1

4

D ．－4

11．函数f （x ）在［－1，1］上满足f （－x ）＝－f （x ）是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（ ）

A ．f （sin α）＞f （sin β）

B ． f （c o s α）＞f （sin β）

C ．f （c o s α）＜f （c o s β）

D ．f （sin α）＜f （sin β）

12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。四位歌手的话只有两名是对的，则奖的歌手是（ ）

A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

二 填空题（4×4=16分） 13．“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：12 ,-12 ,38 ,-14 ,5

32

,它的第8个数可以是 。

14．在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 边上的射影，则AB 2

=BD .

BC .

拓展到空间,在四面体A —BCD 中，DA ⊥面ABC ，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在面BCD 内，类比平面三角形射影定理，△ABC ，△BOC ，△BDC 三者面积之间关系为 。

15．（05·天津）在数列｛a n ｝中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋（－1）n ，n ∈N *

，S 10＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

16．（05黄冈市一模题）当a 0，a 1，a 2成等差数时，有a 0－2a 1＋a 2＝0，当a 0，a 1，a 2，a 3成等差数列时，有a 0－3a 1＋3a 2－a 3＝0，当a 0，a 1，a 2，a 3，a 4成等差数列时，有a 0－4a 1＋6a 2－4a 3＋a 4

＝0，由此归纳：当a 0

，a 1

，a 2

，…，a n

成等差数列时有C 0n

a 0

－C 1n

a 1

＋C 2n

a 2

－…＋C n n

a n

＝0. 如

果a 0，a 1，a 2，…，a n 成等差数列，类比上述方法归纳出的等式为＿＿＿。 三 解答题（74分）

17 已知△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列，求证：1a+b +1b+c =3a+b+c

（12分）

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18．若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2x ＋π2，b ＝y 2－2y ＋π3，c ＝z 2

－2z ＋π6

，求证：a 、b 、

c 中至少有一个大于0. （12分）

19．数列｛a n ｝的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝

n ＋2

n

S n （n ＝1，2，3，…）. 证明：⑴数列｛S n

n

｝是等比数列；⑵S n ＋1＝4a n . （12分）

20．用分析法证明：若a ＞0，则

a 2＋1a 2－2≥a ＋1

a

－2.(12分)

21．设事件A 发生的概率为P ，若在A 发生的条件下B 发生概率为P ′，则由A 产生B 的概率为P ·P ′.根据这一事实解答下题.

一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0、1、2、…、100，共101站，一枚棋子开始在第0站（即P 0＝1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次.若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站.直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束.已知硬币出现正、反面的概率相同，设棋子跳到第到第n 站时的概率为P n .

（1）求P 1，P 2，P 3；

（2）设a n =P n －P n －1（1≤n ≤100），求证：数列｛a n ｝是等比数列 (12分) 22．(14分) 在ΔABC 中（如图1），若C E 是∠ACB 的平分线，则AC BC ＝AE BE

.其证明过程：作EG ⊥AC 于点G ，EH ⊥BC 于点H ，CF ⊥AB 于点F ∵C E 是∠ACB 的平分线， ∴EG ＝EH.

又∵

AC BC ＝AC ·EG BC ·EH ＝S ΔAE C

S ΔBE C

， AE BE ＝AE ·CF BE ·CF ＝S ΔAE C

S ΔBE C

， ∴

AC BC ＝AE BE

. （Ⅰ）把上面结论推广到空间中：在四面体A －BCD 中（如图2），平面CD E 是二面角A －

CD －B 的角平分面，类比三角形中的结论，你得到的相应空间的结论是＿＿＿＿＿＿

（Ⅱ）证明你所得到的结论.

F E A C

E B

D

图2

F h 2

h 11

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答案：

一 1 A 2 C 3 A 4 A 5 C 6 A 7 C 8 D ９Ｃ１０Ｃ １１Ｂ １２ C

11 分析：因为锐角三角形，所以α+β＞π2 ，所以0＜π2 -α＜β＜π2 ， sin （π2

-α）＜sin β，0＜cos α＜sin β＜1，函数f （x ）在［－1，1］上满足是减函数

所以f （c o s α）＞f （sin β）。

12分析：先猜测甲、乙对，则丙丁错，甲、乙可看出乙获奖则丁不错，所以丙丁中必有一个是对的，设丙对，则甲对，乙错，丁错. ∴答案为C .

二 13 -132

14 （S △ABC ）2= S △BOC . S △BDC 15. 35 16 a 0C 0n ·a 1－C 1n ·a 2 C 2n ·…·a n （－1）n C n

n ＝1. ［解析］解此题的关键是对类比的理解.通过对所给等差数列性质的理解，类比去探求等比数列相应的性质.实际上，等差数列与等比数列类比的裨是运算级别的类比，即等差数列中的“加、减、乘、除”与等比数列中的“乘、除、乘方、开方”相对应.

三 解答题

17 (分析法) 要证 1a+b +1b+c =3a+b+c 需证: a+b+c a+b +a+b+c b+c

=3 即证:c(b+c)+a(a+b)= (a+b) (b+c)

即证:c 2+a 2=ac+b 2

因为△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列,所以B=600,由余弦定理b 2= c 2+a 2-2cacosB

即b 2= c 2+a 2-ca 所以c 2+a 2=ac+b 2

因此 1a+b +1b+c =3a+b+c 18 (反证法).证明：设a 、b 、c 都不大于0，a ≤0，b ≤0，c ≤0，∴a ＋b ＋c ≤0，

而a ＋b ＋c ＝（x 2－2y ＋

π2）＋（y 2－2z ＋π3）＋（z 2－2x ＋π6） ＝（x 2－2x ）＋（y 2－2y ）＋（z 2－2z ）＋π＝（x －1）2＋（y －1）2＋（z －1）2＋π－3，

∴a ＋b ＋c ＞0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.

19(综合法)．证明：⑴由a n ＋1＝n ＋2n

S n ，而a n ＋1＝S n ＋1－S n 得 ∴n ＋1n S n ＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1＝2（n ＋1）n S n ，∴S n ＋1

n ＋1S n n

＝2，∴数列｛S n n

｝为等比数列. ⑵由⑴知｛S n n ｝公比为2，∴S n ＋1n ＋1＝4S n －1n －1＝4n －1·a n （n －1）n ＋1

，∴S n ＋1＝4a n .

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20(分析法).证明：要证

a 2＋1a 2－2≥a ＋1

a

－2，只需证

a 2＋1a 2＋2≥a ＋1

a

＋ 2.

∵a ＞0，∴两边均大于零，因此只需证（a 2＋1

a 2＋2）2≥（a ＋1

a

＋2）2，

只需证a 2

＋1a

2＋4＋4

a 2＋1

a 2≥a 2＋1

a 2＋2＋22（a ＋1

a

），

只需证

a 2＋1

a 2≥2

2（a ＋1

a ），只需证a 2＋1

a 2≥1

2（a 2

＋1

a

2＋2），

即证a 2

＋1a

2≥2，它显然是成立，∴原不等式成立.

21.（1）解:P 0＝1，∴P 1＝12 , P 2＝12 ×12 ＋12 ＝34 ，P 3＝12 ×12 ＋34 ×12 ＝5

8

.

（2）证明:棋子跳到第n 站，必是从第n －1站或第n －2站跳来的（2≤n ≤100），所以P n =1

2

P n －1＋1

2

P n －2

∴P n －P n －1＝－P n －1＋12 P n －1＋12 P n －2=－1

2 （P n －1－P n －2），

∴a n =－12 a n －1（2≤n ≤100），且a n ＝P 1－P 0＝－1

2

.

故｛a n ｝是公比为－12 ，首项为－1

2 的等比数列（1≤n ≤100）.

22．结论:

S ΔACD S ΔB CD ＝AE BE 或S ΔACD S ΔB CD ＝S ΔAE C S ΔBE C 或S ΔACD S ΔB CD ＝S ΔAE D

S ΔBED

证明：设点E 是平面ACD 、平面BCD 的距离分别为h 1，h 2，则由平面CD E 平分二面角A －

CD －B 知h 1＝h 2.

又∵S ΔACD S ΔB CD ＝h 1S ΔAC D h 2S ΔBCD ＝V A －CDE

V B －CDE

AE BE ＝S ΔAE D S ΔBED ＝V C －AED V C －BED ＝V A －CDE V B －CDE

∴S ΔACD S ΔB CD ＝AE

BE

A G

F E

B

H

C

图1

A

C E

B

D 图2

F h 2

h 11

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/i3fj.html