高三第一学期第二次月考数学试卷.

1 高三第一学期第二次月考数学试卷

(时间：2016-10-22 120分钟 满分：150分)

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分).

1．已知集合{}2,0x M y y x ==>

，{}lg()N x y x x ==-22，则M N = ( )

.(1,2)A .(1,)B +∞ .[2,)C +∞ .[1,)D +∞

2．平面向量a ，b 共线的充要条件是( )

A . a ，b 方向相同

B . a ，b 两向量中至少有一个为零向量

C . R λ?∈，b a λ=

D . 存在不全为零的实数1212,,0a b λλλλ+=

3．在ABC ?中，C ∠=90，0A <<45，则下列各式中正确的是( )

.sin cos A B B > .sin cos B B A > .sin cos C A B > .sin cos D A A >

4．已知向量(cos ,sin )a θθ=,向量(3,1)b =-则2a b -的最大值，

最小值分别是( )

A ．4,02

B ．4,42

C ．16,0

D ．4,0

5．设角α的终边经过点(sin ,cos )P 22, 则(1sin )α-2的值等于( )

.sin1A .cos1B .sin1C 2 .cos1D 2

6．设函数()sin cos f x x x x =+的图像在点(,())t f t 处切线的斜率为k ，则函数()k g t = 的图像为( )

7．函数cos()(0,0)y x ωφωφπ=+><<为奇函数，该函数的部分图象如图所表示， ,A B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为22( )

2 .1A x =

.2B x π= 2.C x π= .2D x = 8．等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为,,n n S T 若231n n S n T n =+,则n n

a b =( )

A ．231n n +

B ．2131n n --

C ．2131

n n ++ D ．2134n n -+ 9．已知cos()6π

α-=33，则sin ()cos()ππαα--+2566

的值是( ) .A +233 .B +-233 .C -233 .D -+233

10．在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，

则()PA PB PC ?+等于( )

4.9A - 4.3B - 4.3C 4.9

D 11．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移(0)2π

??<<个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足

12()()2f x g x -=的1,,x x 2，有1min x x π-=

23，则?= ( ) A.512π B.3π C.4π D.6

π 12．已知()f x 是定义在R 上的减函数，其导函数'()f x 满足

()1'()f x x f x +<，则下列结论正确的是( )

A ．对于任意x R ∈，()0f x <

B ．对于任意x R ∈，()0f x >

C ．当且仅当(,1)x ∈-∞，()0f x <

D ．当且仅当(1,)x ∈+∞，()0f x >

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)

3 13．设向量(,)a =33，(1,1)b =-. 若()()a kb a kb +⊥-，则实数k =_____.

14．已知数列{}{},n n a b 满足11,2a =1n n a b +=，11n n n b b a +=-2，*n N ∈， 则2016b =________．

15．若在ABC ?中，060,1,3,ABC A b S ?∠===则sin sin sin a b c A B C

++++=_______。 16．设{}n a 是等比数列，公比2q =，n S 为{}n a 的前n 项和．记21,*.n n n n S S T n N a +-=

∈17 设n B 为数列{}n T 的最大项，则n = ．

17．（本大题12分）

已知函数1()(sin cos )cos (0)f x x x x ωωωω=-?+

>32，若()f x 的一条对称轴 离最近的对称中心的距离为4

π． (1)求()y f x =的单调递增区间；

(2)在ABC ?中角,,A B C 的对边,,a b c 满足()cos cos b a C c A -=?2，且()f B 恰是 ()f x 的最大值，试判断ABC ?的形状．

18．（本大题12分）

设数列{}n a 的前n 项和n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足,*n n T S n n N =-∈22。

(1)求1a 的值；

(2)求数列{}n a 的通项公式．

19．（本大题12分）

已知在递增等差数列{}n a 中，12a =，3a 是1a 和9a 的等比中项．

(1)求数列{}n a 的通项公式；

(2)若1(1)n n

b n a =+，n S 为数列{}n b 的前n 项和，是否存在实数m ， 使得n S m <，对于任意的*n N ∈恒成立？若存在，请求实数m 的

4 取值范围，若不存在，试说明理由．

20．（本大题12分）

设ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(1,1)m =-，3(cos cos ,sin sin )2n B C B

C =-，且m n ⊥．

(1)求A 的大小；

(2)现在给出下列三个条件：① 1a =；②2(31)0c b -+=；③45B =，

试从中选择两个条件以确定ABC ?，求出所确定的ABC ?的面积．

21．（本大题12分）

已知函数()(0)a f x ax a a x -=++->2

22．

(1)当1a =时，求函数()f x 在点(,())P f 22处的切线方程；

(2)求函数()f x 的单调区间；

(2)若()ln f x x ≥2在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围．

【选修4-1：几何证明选讲】

22．如图，正方形ABCD 边长为2，以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为 直径的半圆O 交于点F ，连结CF 并延长交AB 于点E ．

（Ⅰ）求证：AE EB =；（Ⅱ）求EF FC ?的值．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1x t

y

t =+??=-?3(t 为参数)，在以直角 坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标

5 方程为cos sin θρθ=22．

（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程; （Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AOB ?的面积．

【选修4-5：不等式选讲】

24．设函数()f x x a a =-+22．

（Ⅰ）若不等式()f x ≤6的解集为{}x x -≤≤64，求实数a 的值; （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式()(1)f x k x ≤--25的解集非空， 求实数的取值范围．

6 国兴中学2016—2017学年度高三第一学期第二次月考数学试卷参考答案 (时间：2016-10-21 120分钟 满分：150分)

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分).

1．解：A . (1,)M =+∞,(0,)N =2，所以(1,)(0,)(1,)M N =+∞=22

2．解：D . A .a ，b 共线不一定同向；B . a ，b 是非零向量也可以共线； C . R λ?∈，b a λ=，当0,0a b =≠时b a λ=不成立。

3．解：A . 09090A B B <=-<<，所以cos(90)cos B B ->

也就是sin cos B B >

4．解： D. 24484(cos sin )a b a b a b θθ-=+-?=--2223

1

(cos sin )sin()π

θθθ=--=--3

8888223

5．解：C . 点P 在单位圆上，故sin cos α=2，

1sin 1cos 1(1sin 1)sin 1α-=-=--=22222。

6．解：B . 由()sin cos f x x x x =+得'()cos f x x x =，即()cos g t t t =，易见， ()cos g t t t =为奇函数，且在(0,)2π

上，()0g t >。 7．解：A . cos()(0,0)y x ωφωφπ=+><<为奇函数，故2π

φ=，代入得

sin y x ω=-，而4()A B AB x x =+-=22

8,所以A B x x -=2，

也就是11T π

ω=?=2222，π

ω=2，sin y x π

=-2。

8．解：B . 1212121121

21

()22(21)2122123(21)131

()2n n n n n n n n n a a a a S n n n b b T n n b b -----+--=====--+-+

9．解：A . cos()cos()66π

παα-=-=33,所以sin ()πα-=22

63

cos()cos ()cos()π

ππαπαα??+=--=--=????53

666

10．解：A . ∵M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，

7 又由点P 在AM 上且满足AP PM =2

∴P 是三角形ABC 的重心∴()PA PB PC PA AP PA ?+=?=-2 又∵1AM = ∴PA =23 ∴()PA PB PC ?+=-4

9

11．解：D . ()sin()g x x ?=-22，11()()sin sin()f x g x x x ?-=--=222222， 不妨取1,,,x k x n k n Z πππ?π=+-=-∈22222222，则有

1,,x k x n π

πππ?=+=-+2441,x x k n πππ?-=-+-22

1min ,(0)x x k n π

π

π

π

???-=-=-====22236

12．解：B . ∵()

1'()f x x f x +<，()f x 是定义在R 上的减函数，∴'()0f x <，

∴()'()'()f x f x x f x +?>，()'()(1)0f x f x x +->，

即[](1)()'0x f x ->，∴函数()(1)()g x x f x =-在R 上单调递增，

而1x =时，(1)0g =，则1x <时，()(1)0g x g <=，

即当(1,)x ∈+∞时，10x ->，()(1)()(1)0g x x f x g =->=，

此时()0f x >；

又()f x 是定义在R 上的减函数，∴1x ≤时，()0f x >也成立。

∴()0f x >对任意x R ∈成立。

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)

13．解：()()()()0a kb a kb a kb a kb +⊥-?+?-=

即0a k b -=222，所以180k -=22,k =±3

14．解：因为11

,b =211

,11(1)n n n n n n

b b b a b b +===----22

2

11

1,,,b b b b b ====???=--2320162232016

所以23242017

8

15

．解：1

sin 1,60,2

ABC S bc A b A ?=

===所以4,c =由余弦定理得：

116214cos 60,a a =+-???=2

，由正弦定理可得：

sin sin sin sin a a b c A A B C ++===

++3 16

．解：1111n

n n a a T ????--=217

n n =21716

n ??=

????

1617，

因为n

+≥168，

当且仅当4n =，即4n =时取等号，所以当4n =时n T 有最大值．

17．解

:(1)11()cos )cos cos cos f x x x x x x x ωωωωωω=-?+

=?-+222

11

(cos 1)cos x x x x ωωωω=

--=-222222222

sin()x π

ω=-26

，

∵()f x 的对称轴离最近的对称中心的距离为4π，∴, 1.T π

πωω

=

==22T=π， ∴()sin()f x x π

=-26

． 由k x k π

ππ

ππ-

+≤-

≤

+2222

62

得：k x k π

π

ππ-

+≤≤

+6

3

，

∴函数()f x 单调增区间为,()k k k Z ππππ??

-

++∈????

63；

(2)∵()cos cos b a C c A -=?2，由正弦定理可得

(sin sin )cos sin cos B A C C A -=?2，

sin cos sin cos sin cos sin()B C C A A C A C =?+=+2

而sin()sin()sin 0A C B B π+=-=>，故有sin cos sin B C B =2， ∴1sin (cos 1)0,cos ,.B C C C π-==

=223

9 0,0,B B ππ<<<<24此时233∴,B πππ

-<-<72666

根据正弦函数的图象可知，()f B 无最小值，有最大值max 1y =， 此时B ππ

-=262，即B π

=3，∴A π

=3，ABC ?为等边三角形．

18．解：(1)当1n =时由n n T S n =-2

2得111a a =-2，解得11a =。

(2)当1n >时有n n T S n =-22①，11(1)n n T S n --=--22② ①-②得：1n n S a n =-+22③，则有11(1)1n n S a n --=--+22 ④ ③-④得：1n n n a a a -=--222，1()n n a a -+=+222，故1n n a a -+=+2

22 所以{}n a +2是以3为首项，公比为2的等比数列， 代入通项公式得1n n a -+=?232，所以1

n n a -=?-322

19．解：(1)由{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，

∵a 3是a 1和a 9的等比中项，

∴1a a a =?239，即()()d d +=+2

22228，

解得0d =（舍）或d =2，∴(1)n a n n =+-=222．

(2)存在1

2m ≥．

1

111()(1)1

n n b n a n n ==-++2，

∴{}n b 的前n 项和11

1

1

11(1)()()1n S n n ?

?

=-+-+???+-??+??2223

111

(1)1n =-<+22，

∴存在实数1,m ??

∈+∞????2，使得n S m <对于任意的n N +∈恒成立．

20．解：(1)因为m n ⊥，所以3

cos cos sin sin 02B C B C -+-=，

10

所以cos()B C +=，

因为A B C π++=，所以cos()cos B C A +=-

，所以cos 302A A ==．

(2)方案一：选择①②，可以确定ABC ?，

因为30A =，1a =

，21)0c b -=，

由余弦定理得：111()b b b b =+-??2222222，

整理得：b =22

，b =

c =2，

所以1

111

sin 4ABC S bc A ?===2222．

方案二：选择①③，可以确定ABC ?，

因为30A =，1a =，45B =，105C =， 又62

sin105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 60+

=+=+= 由正弦定理得：sin 1sin105

sin sin a c

c A ?

==

=6

302，

所以11

1

sin 14ABC S ac B ?==???=2222．

21．解：(1)当1a =时，1()f x x x =-，1'()1f x x =+2，(),'()f f ==352224

所以函数()f x 在点(,())P f 22处的切线方程为()y x -=-35

224 即：440x y --=5

(2)函数的定义域为：{}0x x ≠，()

'()(0)a ax a f x a a x x -+-=-=>2

2222

当0a <≤2时，'()0f x ≥恒成立，

所以()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增。

11 当a >2时，令'()0f x =

即0ax a +-=22解得1,a a x x a a --=-=222，

由'()0f x >得1x x x x <>2或；由'()0f x <得100x x x x <<<<2或； 所以()f x 单调递增区间为(,)(,)a a a a ---∞-+∞2

2

和； 单调递减区间为(,0)(0,)a a a a ---2

2

和。

(3)因为()ln f x x ≥2在[)1,+∞ 上恒成立，令()()ln g x f x x =-2， 则[]

(1)()()'()x ax a a ax x a g x a x x x x -+-----=--==222222222，

令'()0g x =则11,a x x a -==22，若1a

a -=2即1a =时，'()0g x ≥，

函数()g x 在[)1,+∞上单调递增，又(1)0g =，

所以()ln f x x ≥2在[)1,+∞上恒成立； (1)

a ->2即01a <<时，当(0,1)(,)a

x x a -∈∈+∞2或时，

'()0g x >，()g x 单调递增；

当(1,)a

x a -∈2时，'()0g x <，()g x 单调递减；

所以()g x 在[)1,+∞上的最小值为()a

g a -2，

因为(1)0g =，所以()0a

g a -<2不合题意。

1a

a -<2即1a >时，当(0,)(1,)a

x x a -∈∈+∞2或时，

'()0g x >，()g x 单调递增；

当(,1)a

x a -∈2时，'()0g x <，()g x 单调递减，

所以()g x 在[)1,+∞上的最小值为(1)0g =，所以()ln f x x ≥2恒成立。 综上所述可知，实数a 的取值范围是[)1,+∞。

12 22。证明：（Ⅰ）由以D 为圆心DA 为半径作圆，而ABCD 为正方形，

∴EA 为圆D 的切线

依据切割线定理得2EA EF EC =?，

另外圆O 以BC 为直径，∴EB 是圆O 的切线，

同理依据切割线定理得EB EF EC =?2， 故AE EB =． 解：（Ⅱ）连结BF ，∵BC 为圆

O 直径，∴BF EC ⊥，

由11BCE S BC BE CE BF ?=?=?22，得1BF ?==22555

， 又在Rt BCE ?中，由射影定理得245

EF FC BF ?==．

23．解：

（Ⅰ）由曲线C 的极坐标方程是：cos sin θρθ=22，得sin cos ρθρθ=222． ∴由曲线C 的直角坐标方程是：y x =22．由直线l 的参数方程1x t y t =+??=-?3

，得t y =+3

代入1x t =+中消去t 得：40x y --=，所以直线l 的普通方程为：40x y --=。 （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角方程y x =22得0t t -+=287， 设,A B 两点对应的参数分别为1,t t 2，所以有：

111()44AB t t t t t t =-=+-?=-?=222222228762，

而原点O 到直线40x y --=的距离4

11d -==+22，所以AOB ?

13 的面积：11AOB S AB d ?=?=??=62221222 24．解：（Ⅰ）∵x a a -+≤226，∴x a a -≤-262，a x a a -≤-≤-26262，

∴a

a x -≤≤-33322．而()f x ≤6的解集为{}x x -≤≤64，

故有 1.50.54a a -=-??-=?

36

3，解得a =-2. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()f x x a =--24∴由(1)x k x +-≤--22245

化简1(1)x k x ++≤-222

令,1

()11,1x x g x x x x +≥-?=++=?--<-?

23 222，()y g x =的图象如下。 要使不等()(1)f x k x ≤--25的解集非空，只需1k ->22，或11k -≤-2， ∴k 的取值范是{}0k k k k ><-=3或3或．

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