幻方问题探究

幻方问题探究

桂林师范专科学校数学与计算机科学系 刘锡萍

]

[摘 要]：本文探究了幻方的起源和各种构造方法，并论述了幻方的更完美对称性和一些不同形式的数阵及其简单应用。

[关键词]：河图，洛书，幻方，幻和，数阵。

幻方的起源

2

幻方是一种古老的流行的数学游戏。n阶幻方就是把整数1，2，3，?，n排列成n*n阵列，使得每行中的各数之和，每列中的各数之和以及两条主对角线中的各数之和都是同一个数Sn。数Sn称为n阶幻方的幻和。图1是几个幻方的例子：

n2(n2?1)在n阶幻方中所有整数之和是1+2+3+??+n=。n阶幻方的幻和

22

n(n2?1)Sn=，具体地说，3阶幻方的幻和S3=15，4阶幻方的幻和S4=34，5阶幻方的幻和

2S5=65，??。

幻方起源于何时何地？我国《易·系辞》中有这样的表述：“河出图，洛出书，圣人则（仿效）之。”（如图2）。相传，在远古时代，大禹带领百姓治理好波涛汹涌的水患之后，有一匹龙马从河中跃出，它背上的毛旋自然的组成一组花纹，叫做“河图”，在洛水边有一只神龟，龟背上有一些奇妙的斑点，称为“洛书”。（如图3） 河图、洛书被认为是上天用来启示人类智慧的天机所在，包含许多治理国家的大道理，并被作为辟邪的吉祥物。传说孔子就因为当时时风日下，没有圣人之治，而感叹“河不出图”。

（如图4）河图是有1到10这十个数两两成对分列四方及中央组成，它的构成符合《易·系辞》中的数观念：“天数五，地数五，五位相得而各有合，天数二十有五，地数三十，凡天地之数五十有五，此所以成变化而行鬼神也。”

洛书，也称九宫，是由整数1到9这九个数的排列，它的特点是，不论沿正方位（各行）还是沿对角线，每三个数得和都是15，这正是一个三阶幻方。

河图洛书虽无一字，但它体现了和谐、均衡的结构，蕴涵着数理关系。

我国南宋数学家杨辉将幻方称为纵横图。他于1275年在《续古摘奇算经》一书中写道：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足。”清楚地表述了三阶幻方的构造方法。充分证明他对幻方有了深入研究。（如图5）

实际上，杨辉的斜排法是一种适合于制作奇数阶幻方的一般方法，利用这一方法可以构造出任意奇数阶幻方。

在国外，也有关于幻方的记载。欧洲中世纪，幻方的奇异性质也被认为幻方有不可思议的神奇魔力，同样被用来作为护身符，以保护佩戴者免遭祸害。较早地记载在A·丢勒（Albrecht Durer,1471-1528年）的版画《忧郁》（Melancholia）有一个四阶幻方。（如图6） 这个四阶幻方最后一行中间的两个数代表1514年，丢勒的这幅版画正是作于这一年。

可以认为欧洲人开始研究幻方的时间大约是在15世纪前期。当时还有一个人阿格利帕（Agrippa）作出了3至9阶幻方。

因此可以认为，幻方起源于我国古代的洛书。

幻方的构造方法

幻方因具有神奇的均衡结构，看似很难构造。实际上，幻方的种类是很多的，如果不计算那些通过旋转或者反射而得到的幻方种类，不同的四阶幻方共有880种，不同的五阶幻方有275305224种，人们对幻方的一般构造方法进行了探究。这里给出幻方的构造方法。 一、奇数阶幻方的构造方法 1，斜排法

斜排法就是杨辉方法的推广。下面以构造五阶幻方为例对斜排法进行介绍：

首先将1，2，3，??25斜排，如图7-a，之后“上下对易”平移，将1，6，2平移到幻方的下部，将25，24，20平移到幻方上部；再“左右相更”，将21，26，2平移到幻方的右边，将5，4，10平移到幻方的左边，如图7-b，最后形成一个五阶幻方，如图7-c。这种排斜法有这样的特征，就是有一条主对角线上的几个数是整个数集中正中间的几个连续数，

n2?1

正中间的小方格中的数对五阶幻方来说是13，对一般的n是奇数的n阶幻方来说是。

2

仿此可构造出7，9，??阶幻方。如图8和图9，构造的分别是一个7阶幻方和一个9阶幻方。

2，劳伯尔（De la Loubere）构造法。

首先把1放在顶行正中间的方格上，然后把后？的整数按自然顺序放置在右斜上的对角线上并且做如下调整：

当到达顶行（非右端）时，下一个数右移一格放在底行，好象它在顶行的上面；

当到达右端列（非上端）时，下一个数上移一格放在左端列，好象它在紧靠右端列的右方；

当到达的方格已经填上数或到达右上角的方格时，下一个数放在刚填写的方格的正下方的方格中。

如图10，给出了按照此法构造的一个5阶幻方和一个7阶幻方。 仿此可作出任何奇数阶幻方。它的特点仍是正中间方格所填的数是整个数集中大小居正

n2?1中间的那一个数，有一条主对角线上是中间的几个连续整数。

2

2， 麦哲里克（Bachet de Meziriac）构造法

这种构造方法与劳伯尔构造方法相似。填数的方法遵从劳伯尔构造方法的对角线法则。不同的是，数1放在正中央方格的正上方一格中，按对角线右斜上，遇到被占据的情况时上升两格重新进行，在右上角的方格填数后，下一个数填在右端列从下往上数的第二格。图11 一个用麦哲里克构造方法制作的5阶 幻方和7阶 幻方。

仿此，可作出任意奇数n阶幻方。 二、偶数阶幻方的构造方法

偶数阶幻方的构造总的来说要比较困难一些，这里介绍两种特殊的方法和一种一般的方法。

对于偶数阶幻方，有两种基本类型，一种是n=4m+2(m属于正整数)型的单偶阶幻方，一种是n=4m(m属于正整数)的双偶阶幻方。 1， 斯特拉兹（Ralph Strachey）构造方法

这种构造方法可用来构造单偶阶的n阶幻方，下面以一个6阶幻方（n=6,m=1）为例来

介绍，它是以构造奇数阶幻方为基础的。

如图12，将6阶幻方形式上分成四块，每四分之一都是一个用1-36这些数字中的9个连续数组成的幻方，而且这个“块”幻方是用劳伯尔方法构造的。在这里，方块A中的数是1到9，方块B中的数是10到18，方块C中的数是19到27，方块D中的数是28到36。注意，这里的B、C、D三块幻方的最小数不是1，相当于方块A中每小格中的数再加一个基数。

现在A块的中间行取m（=1）个小格，而后在A的其它行的左侧边缘也各取m个小格，并将他们与D块中相应方格内的数进行交换；接着，交换B与C接边右侧边缘的m-1（=0）列，所得结果就是一个6阶幻方。如图13。注意m=1，对于m-1=0，就是无交换。 图14给出的是用这种方法构造的10阶幻方。（10=4*2+2，n=10，m=2）

双偶阶幻方（n=4m）的构造方法更容易一些。下面以一个4阶幻方为例，说明其构造方法。如图15—a所示，是先按横向的次序依次填好数1到16，再把对角的数相互转换，就得到一个4阶幻方。如图15—b。 再看看8阶幻方的情形，如图16。 2， 海尔（Dela Hire）构造方法

海尔构造法是构造偶数阶幻方的一般方法，下面以构造一个4阶幻方为例进行介绍。 首先，像图17—a那样在两条主对角线上依次写从1到4的数，然后像图17—b那样用同样的数填写其他方格，使得每行每列的和都是（1+2+3+4=10）。对于任意n阶偶数阶幻方，我们要在n*n方阵中填写1到n各数，使每行每列的和都是

n(n?1)(?1?2?3???n)，现在调换行列的位置，通过17—b变化为图17—c，我们2将图17—b和图17—c中出现的数称为原数（或原始数）。

现在图17—c中用“根数”去替换原始数，根数的计算公式是q=n（p-1）（q为根数，p为原数）（n为幻方的阶数）得到图17—d，之后将图17—b与图17—d中对应的数相加，就得到一个4阶幻方，如图17—e。

仿此，可作出更多的任意的偶数阶n阶幻方。图18是一个8阶幻方。 8阶幻方的原数： 1 2 3 4 5 6 7 8 8阶幻方的根数： 0 8 16 24 32 40 48 56

更完美的幻方

n(n2?1)使得每行、每列及两条主对角线上的数和都是的n*n数阵（数阵中所填的数

2是1，2，3，??，n）称为幻方。这就是说，幻方都具有这样的性质：每行每列及两条主对角线的数和是常数。但是，有些 幻方，除具有这样的基本性质外，还具有更加完美的性质。如图19是一个4阶幻方。这个幻方还具有以下性质：副对角线上的四数之和是34；任何一个2*2的阵列，其和都为34。这种具有更完美性质的幻方称为纳西克（Nasik）幻方、魔鬼幻方、全幻方或全对角幻方。相对而言，一般的幻方称为简单幻方、标准幻方。

图20是四种5阶魔鬼幻方。（密克萨（Miksa）由此入手做出了3600种5阶魔鬼幻方。） 如图21是一个9阶幻方，这个9阶幻方具有一个奇妙的性质，就是以它的中心为中心的3阶、5阶、7阶方阵仍是幻方。这是一个9阶同心魔鬼幻方。 S1=41；S3=123；S5=205；S7=287；S9=369。（Sk=41k，k=1，3，5，7，9。） 图22是同心5阶幻方。（Sk=13k，k=1，3，5。） 还有一种有趣的多重幻方，这类幻方一方面具有通常幻方的性质，另一方面把幻方里数各自平方（或更高的方幂）后所组成的阵列，依然是 幻方。如图23展示的就是这样一个双

2

重幻方，它的幻和为260。如果把它的数各自平方后将得到一个新的幻方，它的幻和为11180。

三重幻方是指原幻方的各数，不仅各自平方后所构成的阵列是幻方，而且各自立方后所得的阵列还是幻方。已知能够实现上述条件的最小的一个幻方是64阶的。

本杰明·弗兰克林（Benjamin Franklin）是一个幻方迷，为了消磨乏味的办公时间，他填出了一些特殊的幻方，他的幻方为人所知并显其异彩。有这样一个有趣的故事：弗兰克林有一个叫洛根（logan）的朋友，一天他给弗兰克林看几本关于幻方的书，并说他不相信任何一个英国人曾经做出过任何这类出色的事来。后来，弗兰克林在文集中写道：\他在这本书中指给我看了几个不常见的、较为奇妙的幻方，但当我认为它们中，没有一个同我记得我曾作的一些幻方一样时，他要求看看我的这些幻方，于是，下次我去拜访他时，就带了一个在我的旧文件中找到的8阶幻方给他??，然后，洛根先生给我看一本古老的四开本的算术书，我记得是一个叫史坦非留斯的人写的，这本书中有一个16阶幻方，他说，这一定是一项花费了巨大的劳动力的工作，但是，如果我没有忘记的话，这个幻方具有最普通的性质??，我不愿在构造幻方上，让史坦非留斯先生胜过我，即使仅仅在幻方的大小上，当晚我回家后，就做出了一个16阶幻方，它除了具有前面的那个8阶幻方所有的性质外，还有这样的性质：在一张纸上挖去这样大小的一个正方形孔，使其放在较大的正方形上时，恰好露出16个小方格，那么不管我们把这张纸如何放在这个较大的正方形上，从这个孔中出现的16个数之和必是2056。”

图24和图25分别是弗兰克林做出的8阶幻方和16阶幻方。

如图24，幻和S8=260。每半行每半列各数之和为半幻和130；角上四数和为130；中间四数和为130；从16到10再从23到17所成折线上数之和为260，同样与此平行的折线上的数之和仍为260。

如图25，幻和S16=2056。幻方中任意一个4*4局部方阵的16个数的和也为幻和2056。

其他数阵

弗兰克林不仅填出了一些特殊的幻方，甚至填出了一些其它形式的特殊数阵，譬如幻圆——在按一定规则分布的互相相交的圆的交点处，填上一定的数，使得每个圆上的数的和相等。图26就是弗兰克林制作的幻圆的复制品，他的彩色原作在纽约的一次拍卖中被一个私人收藏家买去了。

下面介绍一些其他形式的数阵，包括幻圆、马的路径、质数幻方、魔术星星、魔术数轮、魔术多边形、立体幻方等等。

1、幻圆

如图27—a，1+6=2+5=3+4=7，同时每一个圆与另一个圆都有成对的交点，因此，只要把和为7的数填入成对的交点中，就可得到幻和为14的幻圆；如图27—b，1+12=2+11=??=6+7=13，这是一个幻和为39的幻圆 2、魔术多边形（幻多边形）

如图28-a到图28—h是各种魔术三角形；图29—a到图29—f是各种魔术正方形。 图30 魔术五边形 图31 魔术六边形 图３２ 魔术数轮 图３３ 魔术星星

图３４ 魔术蜂巢六边形

（英国《Ｔ。Ｖ（kers（维克斯）发表与1958年12月号《数学公报》） 图３５ 质数幻方

图３６ 立体幻方

有编号为１到27的27个单方小立方体，将其排列成３＊３＊３的立方体，使得与大立方体的边平行的任一列小立方体的数之和为４２，同时大立方体的长对角线上的数之和也为４２。（各面的对角线的数和并不一定是４２）。这就是一种立方体幻方。 幻方的简单应用

爱因斯坦曾给一家杂志社设计过这样的一个填数题如图所示，９个圆圈构成三个小的三角形，一个较大的三角形，还有三个大的三角形。将１---９这九个数填入圆圈，使每个三角形三个顶点数字之和相等。（可利用三阶幻方进行思考）

1453年之后，土耳其君士坦丁保的学者玛·摩西得利斯米。出了一个填数题

两个立方体，一个含与另一个之中，且相应的顶点处有连线，请在其顶点处分别填上１---１６这１６个数，而使用图中的没个面（有２４个）上的四个顶点的数之和为３４（可利用四阶幻方进行思考）

三阶幻方的一个实际应用

曾有第一台电子计算机发明者之称的冯·诺一曼提出如下的一个取牌游戏问题: 九张扑克牌，分别是A（作为１点），２，３，??,9翻放在桌子上，两人轮流取牌，已取走的牌不能重新放回去，谁手中有三张牌点加起来等于15，谁就赢，（如果你是两人中的一人，你怎么决定呢）可利用三阶幻方，三阶幻方手里有8组数之和为15。这样，对游戏双方，要尽可能的占据三阶幻方中的某行、某列或是对角线上的三个位置，而同时要竭力阻拦对方形成这种局面。实际上，这就是中国古老的“吃井字”，如右图，两人轮流在一个井字框里分别打“0”和“X”，谁能把自己的 “0”和“X”连成一条线，谁就赢，

请注意，在和为15的8组数中，含有5的有4组，含有2，4，6，8的各有3组，而含有1，3，5，7，9的各有2组。由此可见，取牌者应先取“5”，“吃井字”应先填正中间的位置。“5”被取后，则应先占偶数数字所在位置，若取奇数所在位置，则必输。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/i3d2.html