2017全国数学竞赛一试word打印版

2017年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）

一，填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分

1. 设f?x?是定义在R上的函数，对任意实数x有f?x?3??f?x?4???1.又当0?x?7时，

f?x??log2?9?x?，则f??100?的值为__________.

2. 若实数x,y满足x2?2cosy?1，则x?cosy的取值范围是___________.

x2y2??1，F为C的上焦点，A为C的右顶点，P是C3. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为

910上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积最大值为____________.

4. 若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是__________.

过AB的平面?将其面积平分，则棱PC与平面?所成角5. 正三棱锥P?ABC中，AB?1，AP?2，的余弦值为________.

?x,y?丨x,y??1,0,1?.在K中随机取出三个点，则这三个6. 在平面直角坐标系xOy中，点集K??点中存在两点之间距离为5的概率为_________.

7. 在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若?A?最小值为________.

8. 设两个严格递增的正整数数列?an?,? bn?满足：a10?b10?2017，对任意整数n,有an?2?an?1?an，

?3,△ABC的面积为3，则AM?AN的

bn?1?2bn,则a1?b1的所有可能值为______.

二，解答题：本大题共三小题，满分56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

29. （本题满分16分）设k,m为实数，不等式x?kx?m?1对所有x??a,b?成立。

证明：b?a?22

10. （本题满分20分）设x1,x2,x3,是非负实数，满足x1?x2?x3?1求

x2x3??x1?3x2?5x3??x???的最小值和最大值. ?1?35?2211. （本题满分20分）设复数z1,z2满足Re?z1??0,Re?z2??0，且Rez1?Rez2?2（其中Re?z?表

????示复数z的实部）.

（1）求Re?z1z2?的最小值；

（2）求z1?2?z2?2?z1?z2的最小值

参考答案及解析

一，填空题： 1. 【答案】?1 2【解析】由条件知，f?x?14???1?f?x?，

f?x?7?所以f??100?f??100?14?7??f??2???111???? f?5?log2422. 【答案】?1，,3?1

??1?x2?【解析】由于x?1?2cosy???1,3?，故x??3,3，由coys可知，

22???1?x212x?cosy?x???x?1??1.因此当x??1时，x?cosy有最小值-1（这时y可以取）；当

222x?3时，x?cosy有最大值3?1?这时y可以取??.由于

1?x?1?2?1的值域是?1，3?1，从而2??x?cosy的取值范围是?1，,3?1

3. 【答案】

??311 2【解析】：易知A?3,0?,F?0，1?.设P的坐标是?3cos?,???10sin?,???0,?则

?2??1???SOAPF?S?OAP?S?OFP??3?10sin?,???0,?2?2??331110cos??sin??sin?????22??

其中??arctan4. 【答案】75

10311.当??arctan10时，四边形OAPF面积的最大值为 102【解析】考虑平稳数abc

若b?0,则a?1,c??0,1?,有2个平稳数

若b?1，则a??1,2?,c??0,1,2?,有2?3?6个平稳数

若2?b?8,则a,c??b?1,b,b?1?,有7?3?3?63个平稳数 若b?9，则a,c??8，9?,有2?2?4个平稳数

综上可知，平稳数的个数是2+6+63+4=75

5. 【答案】

35 10【解析】设AB,PC,的中点分别为K,M，则易证平面ABM就是平面?，由中线长公式知

AM2?11113AP2?AC2?PC2?22?12??22? 24242????所以KM?AM2?AK2?3?1?5???? 2?2?22又易知直线PC在平面?上的射影是直线MK，而CM=1，KC?3,所以 253?1?KM?MC?KC4?35 cos?KMC??42KM?MC105222故棱PC与平面?所成角的余弦值为

35 106. 【答案】

4 7【解析】易知K中有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为

3C9?84种.

将K中的点按右图标记为A1，A2，?，A8,O,其中有8对点之间的距离为5.由对称性，考虑取A1，A4两点的情况，则剩下的一个点有7种取法，这样有7?8?56个三点组（不计每组中三点的次序）.对每个Ai?i?1,2,?，8?，K中恰有Ai?3,Ai?5两点与之距离为5（这里下

标按模8理解），因而恰有?Ai,Ai?3,Ai?5??i?1,2,?,8?这8个三点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为56-8=48，进而所求概率为

7. 【答案】3?1

484? 847【解析】由条件知，AM?1AB?AC,2??AN?31AB?AC,故 441AM?AN?AB?AC2由于

??221?3?1???AB?AC???3AB?AC?4AB?AC??.

4??4?8?3?S?ABC13??AB?AC?sinA??AB?AC,所以AB?AC?4，进一步可得 24AB?AC?AB?AC?cosA?2,从而

22?1??AM?AN??23AB?AC?4AB?AC??8??

?31AB?AC?AB?AC?3?14224,AC?2?3时，AM?AN的最小值为3?1 43当AB?

8. 【答案】13,20

【解析】有条件可知：a1,a2,b1均为正整数，且a1?a2，由于2017?b10?29?b?512b1，故

b1??1,2,3?.反复运用?an?的递推关系知

a10?a9?a8?2a8?a7?3a7?2a6?5a6?3a5?8a5?5a4?13a4?8a3?21a3?13a2?34a2?21a1

因此21a1?a10?b10?512b1?2b1?mod34?

而13?21?34?8?1，故有a1?13?21a1?13?2b1?26b1?mod34?， ① 另一方面，注意到a1?a2,有55a1?34a2?21a1?512b1,故

a1?512b1 ② 55512,无解 551024当b1?2时，①，②分别化为a1?52?mod34?,a1?得到唯一的正整数a1?18

55当b1?1时，①，②分别化为a1?26?mod34?,a1?,此时a1?b1?20

当b1?3时，①，②分别化为a1?78?mod34?,a1?1536，得到唯一正整数a1?10，此时 55a1?b1?13

综上所述，a1?b1的所有可能值为13,20

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/i37f.html