线性代数习题集(全21)

第一章 行列式

一、单项选择题

1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).

(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351

2．如果n阶排列j1j2?jn的逆序数是k, 则排列jn?j2j1的逆序数是( ). (A)k (B)n?k (C)

n!2?k (D)n(n?1)2?k

3. n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有( )项.

(A) 0 (B)n?2 (C) (n?2)! (D) (n?1)!

00014．

00100100?( ). 1000(A) 0 (B)?1 (C) 1 (D) 2

00105.

01000001?( ). 1000(A) 0 (B)?1 (C) 1 (D) 2

2xx?116．在函数f(x)??1?x1232?x3中x3项的系数是( ).

0001 (A) 0 (B)?1 (C) 1 (D) 2

a11a12 a132a11a13 a11?2a127. 若D?a21a22a123?，则D1?2a21a23a21?2a22? ( ). a31a32a2332a31a33a31?2a32

1

(A) 4 (B) ?4 (C) 2 (D) ?2 8．若

a11a12a?a，则12a21a22a11ka22? ( ). ka21 (A)ka (B)?ka (C)k2a (D)?k2a

9． 已知4阶行列式中第1行元依次是?4,0,1,3, 第3行元的余子式依次为

?2,5,1,x, 则x?( ).

(A) 0 (B)?3 (C) 3 (D) 2

?87436?23?110. 若D?，则D中第一行元的代数余子式的和为( ).

111143?75(A)?1 (B)?2 (C)?3 (D)0

30411111. 若D?0?1053?201，则D中第四行元的余子式的和为( ). 02(A)?1 (B)?2 (C)?3 (D)0

?x1?x2?kx3?0?12. k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组?x1?kx2?x3?0有非零解.

?kx?x?x?023?1( )

(A)?1 (B)?2 (C)?3 (D)0

二、填空题

1. 2n阶排列24?(2n)13?(2n?1)的逆序数是2．在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26所带的符号是

.

.

2

3．四阶行列式中包含a22a43且带正号的项是

.

4．若一个n阶行列式中至少有n2?n?1个元素等于0, 则这个行列式的值等于

.

105. 行列式

0000111010001011020001?10??00.

6．行列式

0n????n?1?0?.

a11?a1(n?1)a1n00a11a13?3a12 3a12a23?3a22a33?3a323a22?3a327．行列式

a21?a2(n?1)??an1?a11a12 a22a32?.

0a138．如果D?a21a31a23?M，则D1?a21a33a31.

9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为

.

1?11x?11?1x?1?110．行列式?1x?11?1x?1?11?1.

3

1??111??11．n阶行列式

?11则该行列式的值为

.

?1?1???1??.

12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，

1513．设行列式D?482637372648，A4j(j?1,2,3,4)为D中第四行元的代数余子式，15.

则4A41?3A42?2A43?A44?ac14．已知D?babbaccaab， D中第四列元的代数余子式的和为ccbd23513462.

1315．设行列式D?1144??6，A4j为a4j(j?1,2,3,4)的代数余子式，则72.

?2n?1?0?0nA41?A42?，A43?A44?1132050316．已知行列式D?1，D中第一行元的代数余子式的和为

???100?.

4

?kx1?2x2?x3?0??0仅有零解的充要条件是17．齐次线性方程组?2x1?kx2?x?x?x?023?1.

?x1?2x2?x3?0?2x2?5x3?0有非零解，则k=18．若齐次线性方程组?.

???3x1?2x2?kx3?0

三、计算题

abcd

a21.b2c2d2a3b3c3d3; b?c?da?c?da?b?da?b?c

01x13．解方程

101xx110?0； 1x10a011?11a11?15. 11a2?1(aj?1,j?0,1,?,n)；???111?an

xyx?y2．yx?yx；x?yxyxa1a2?an?2a1xa2?an?24．a1a2x?an?2????a1a2a3?xa1a2a3?an?1

；

5

11 111

111?11131?b1?12?b?6. 1

???111?(n?1)?b

111?1b1a1a1?a17. b1b2a2?a2； ???b1b2b3?an

1?x21x1x2?x1xn9.

x2x11?x22?x2xn??; xnx1xnx2?1?x2n

1?aa00?11?aa011．D?0?11?aa00?11?a000?1

四、证明题

6

xa1a2?ana1xa2?an 8．a1a2x?an; ???a1a2a3?x210?00121?00 10.

012?00????000?21000?12000.

a?a

1

1a21b2?a2?ab1a1111．设abcd?1，证明：

b2b?0. c2?1c2c1c1d2?11d2dd1

a1?b1xa1x?b1c1a1b1c12．a2?b2xa2x?b2c2?(1?x2)a2b2c2. a3?b3xa3x?b3c3a3b3c3

11113．abcda2b2c2d2?(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)(d?c)(a?b?c?d). a4b4c4d4

11?1a1a2?an4．

a21a22?a2nn????aiaj?ai).

i?11??(i?j?nan?21an?2n?22?anan1an?an2n

1115．设a,b,c两两不等，证明abc?0的充要条件是a?b?c?0. a3b3c3

参考答案

7

一．单项选择题

A D A C C D A B C D B B 二．填空题

1.n; 2.“?”; 3.a14a22a31a43; 4.0; 5.0; 6.(?1)n?1n!; 7.(?1)n(n?1)2a1na2(n?1)?an1; 8.?3M; 9.?160; 10.x4; 11.(??n)?n?1; 12.?2;

n113.0; 14.0; 15.12,?9; 16.n!(1??); 17.k??2,3; 18.k?7

k?1k三．计算题

1．?(a?b?c?d)(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)(d?c)； 2. ?2(x3?y3)； 3. x??2,0,1; 4.

nn?(x?ak?1n?1k)

5.

?(ak?1)(1??k?0n1); 6. ?(2?b)(1?b)?((n?2)?b);

k?0ak?1nn7. (?1)?(bk?1nk?ak); 8. (x??ak)?(x?ak);

k?1k?19. 1??xk; 10. n?1;

k?1n11. (1?a)(1?a2?a4). 四. 证明题 (略)

8

第二章 矩阵

一、单项选择题

1. A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是( )。 (a)

A2?A2(b)

A2?B2?(A?B)(A?B) (c)

(A?B)A?A2?AB

(d)(AB)T?ATBT 2.设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足( )时，B=C。

(a) AB =BA (b) A?0 (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B、C可逆 3.若A为n阶方阵，k为非零常数，则kA?( )。 (a) kA (b)

kA (c) knA (d) kA

n4.设A为n阶方阵，且A?0，则( )。

(a) A中两行(列)对应元素成比例 (b) A中任意一行为其它行的线性组合 (c) A中至少有一行元素全为零 (d) A中必有一行为其它行的线性组合 5.设A，B为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( )。 (a) (A?B)?1?A?1?B?1 (b) (AB)T?AB

(c) (A?1?B)T?A?1?B (d) (A?B)?1?A?1?B?1 6.设A为n阶方阵,A*为A的伴随矩阵,则( )。 (a) (a) A*?A?1 (b) A*?A (c) A*?An?1 (d) A*?An?1

7. 设A为3阶方阵,行列式A?1,A*为A的伴随矩阵,则行列式

(2A)?1?2A*?( )。

(a) ?278278 (b) ? (c) (d) 8278279

8. 设A，B为n阶方矩阵,A2?B2,则下列各式成立的是( )。

(a) A?B (b) A??B (c) A?B (d) A?B 9. 设A，B均为n阶方矩阵,则必有( )。

(a) A?B?A?B (b) AB?BA (c) AB?BA (d) A?B 222210.设A为n阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（ ）。 （a）2A?2AT (b) (2A)?1?2A?1

(c) [(A?1)?1]T?[(AT)T]?1 (d) [(AT)T]?1?[(A?1)T]T

?a11a12a13??a11?3aa12?3a32a13?3a33?11.如果A??aaa?2122a??3123???a22a?23?，则A?（?a31a32a33???21?a31a32a33???100??10?3??00?3??1 （a）??010?? (b) ??010?? (c) ??010?? (d) ?001????301????001????101????0?3?131?12.已知A???220??，则（ ）。

??311?? （a）AT?A (b) A?1?A*

?100??113??100??113? （c）A??001?????202?? （d）??001??A???202??

??010????311????010????311??13.设A,B,C,I为同阶方阵，I为单位矩阵，若ABC?I，则（ ）。

（a）ACB?I （b）CAB?I （c）CBA?I （d）BAC?I 14.设A为n阶方阵，且|A|?0，则（ ）。 （a）A经列初等变换可变为单位阵I

（b）由AX?BA，可得X?B

10

）。

0?0?? 1??

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