90题突破高中数学圆锥曲线1

90题突破高中数学圆锥曲线

x2y21.如图，已知直线L：x?my?1过椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点F，且交椭圆

abC于A、B两点，点A、B在直线G:x?a2上的射影依次为点D、E。 （1）若抛物线x2?43y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；

（2）（理）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定

点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。

????????a2?1,0)为x轴上一点,求证:AN??NE （文）若N(2

2.如图所示，已知圆C:(x?1)2?y2?8,定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM?2AP,NP?AM?0，点N的轨迹为曲线E。

（1）求曲线E的方程；

（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足FG??FH,求?的取值范围。

x2y23.设椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直

aby 8线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且 AP?PQ 5⑴求椭圆C的离心率；

⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线

F A P O Q x l： x?3y?5?0相切，求椭圆C的方程.

x2y224.设椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为e=

2ab （1）椭圆的左、右焦点分别为F1、F2、A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之

和为4,求椭圆的方程.

（2）求b为何值时，过圆x+y=t上一点M（2，2）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，

而且OQ1⊥OQ2．

5.已知曲线c上任意一点P到两个定点F1(-3，0)和F2(3，0)的距离之和为4． （1）求曲线c的方程；

（2）设过(0，-2)的直线l与曲线c交于C、D两点，且OC?OD?0(O为坐标原点），求直

2

2

2

线l的方程．

y26.已知椭圆x?2?1(0?b?1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、

bB、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．

（Ⅰ）当m＋n>0时，求椭圆离心率的范围； （Ⅱ）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．

7.有如下结论：“圆x2?y2?r2上一点P(x0,y0)处的切线方程为x0y?y0y?r2”，类比

2x2y2也有结论：“椭圆2?2?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程为

abx0xy0yx2?2?1”，过椭圆C：?y2?1的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，24ab切点为 A、B.

（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积 x2y28.已知点P（4，4），圆C：(x?m)?y?5(m?3)与椭圆E：2?2?1(a?b?0)有一个

ab公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．

22（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；

????????（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求AP?AQ的取值范围．

9.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为A(0,2)，右焦点F与点B(2,2)的距离为2。

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在斜率k?0的直线l：y?kx?2，使直线l与椭圆相交于不同的两点M,N满足|AM|?|AN|，若存在，求直线l的倾斜角?；若不存在，说明理由。

x2y2610.椭圆方程为2?2?1(a?b?0)的一个顶点为A(0,2)，离心率e?。

3ab（1）求椭圆的方程；

（2）直线l：y?kx?2(k?0)与椭圆相交于不同的两点M,N满足

MP?PN,AP?MN?0，求k。

y211.已知椭圆x?2?1(0?b?1)的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C

b2三点作?P，其中圆心P的坐标为(m,n)．

(1) 若椭圆的离心率e?3，求?P的方程； 2（2）若?P的圆心在直线x?y?0上，求椭圆的方程．

x2y2O为12.已知直线l:y?x?1与曲线C:2?2?1(a?0,b?0)交于不同的两点A,B，

ab坐标原点．

（Ⅰ）若|OA|?|OB|，求证：曲线C是一个圆；

（Ⅱ）若OA?OB，当a?b且a?[610 ,]时，求曲线C的离心率e的取值范围．

22x2y2?1(a?0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，且13.设椭圆C:2?a21AF2?F1F2?0，坐标原点O到直线AF1的距离为|OF1|．

3（1）求椭圆C的方程；

（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P(?1,0)，较y轴于点M，若

MQ?2QP，求直线l的方程．

14.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点P(x0,y0)(x0?0)的切线方程为y?y0?2ax0(x?x0)(a为常数）. （I）求抛物线方程；

（II）斜率为k1的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为k2的直线PB与抛物线的另

一交点为B（A、B两点不同），且满足k2??k1?0(??0,???1),若BM??MA，求证线段PM的中点在y轴上；

（III）在（II）的条件下，当??1,k1?0时，若P的坐标为（1，－1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.

15.已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2，点P在线段AB上，且 AP?tPB(t是不为零的常数).设点P的轨迹方程为c。

（1）求点P的轨迹方程C；

（2）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点（M、N不在坐标轴上），点Q

坐标为(,3),求△QMN的面积S的最大值。

32y2x216.设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆2?2?1(a?b?0)上的两点，

abxyxy??3??已知m?(1,1)，n?(2,2)，若m?n?0且椭圆的离心率e?,短轴长为2，Obaba2为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；

（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由

x2y217.如图，F是椭圆2?2?1(a>b>0)的一个焦点，A,B是椭圆的

ab两个顶点，椭圆的离心率为

1．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，2F三点确定的圆M恰好与直线l1：x?3y?3?0相切． （Ⅰ）求椭圆的方程：

（Ⅱ）过点A的直线l2与圆M交于PQ两点，且

MP?MQ??2，求直线l2的方程．

18.如图，椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AF?FB?1OF?1． （1）求椭圆的标准方程；

（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为?PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由.

y 319.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(4,1). 直线M 2l:y?x?m交椭圆于A,B两不同的点.

(1)求椭圆的方程;(2)求m的取值范围;(3)若直线l不过点M,求证:直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形.O B l x A 20.设F(1,0)，点M在x轴上，点P在 y轴上，且MN?2MP,PM?PF （1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；

（2）设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲线C上的点，且|AF|,|BF|,|DF|成等差数

????????????????21.已知点B??1,0?,C?1,0?,P是平面上一动点，且满足|PC|?|BC|?PB?CB

（1）求点P的轨迹C对应的方程；

（2）已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD?AE，

判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.

22.已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(?2,0)、B(2,0)、C?1,?三点．

列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时，求B点坐标.

?3??2?

（1）求椭圆E的方程：

（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F(?1,0),H(1,0)，当?DFH内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；

（3）若直线l:y?k(x?1)(k?0)与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线

BN的交点在直线x?4上．

23.过直角坐标平面xOy中的抛物线y2?2px?p?0?的焦点F作一条倾斜角为

与抛物线相交于A，B两点。 （1）用p表示A，B之间的距离；

（2）证明：?AOB的大小是与p无关的定值，

并求出这个值。

?的直线4x2y224.设F1,F2分别是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左右焦点

ab3)到F1,F2两点距离之和等于4，(1)设椭圆C上的点(3,写出椭圆C的方程和焦点坐标 2(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程

(3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，

PN的斜率都存在，并记为kPM,KPN 试探究kPM并证明你的结论。

?KPN的值是否与点P及直线L有关，

x2y2325.已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的离心率为，直线l:y?x?2与以原点为圆

ab3心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.

（I）求椭圆C1的方程；

（II）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直

线l2垂直l1于点P，线段PF2垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；

???????????? （III）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R,S在C2上，且满足QR?RS?0,求QS的

取值范围.

22xy26.如图所示，已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)，F1、F2为

ab其左、右焦点，A为右顶点，l为左准线，过F1的直线l：

/x?my?c与椭圆相交于P、

M l P F1 y Q两点，且有：AP?AQ???1(a?c)2（c为椭圆的半焦距） 2O （1）求椭圆C的离心率e的最小值；

N A x Q l/

（2）若e?(,)，求实数m的取值范围； （3）若AP?l?M,AQ?l?N，

求证：M、N两点的纵坐标之积为定值；

1223y227.已知椭圆x?2?1?b??0,1??的左焦点为F，左右顶点分别为A、C，上顶点为B，

b过F,B,C三点作圆P，其中圆心P的坐标为?m,n? （1）当m?n＞0时，椭圆的离心率的取值范围 （2）直线AB能否和圆P相切？证明你的结论

228.已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.C:y2?4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.

?????????（I）证明: OM?OP为定值;

（II）若△POM的面积为

5，求向量OM与OP的夹角； 2(Ⅲ) 证明直线PQ恒过一个定点.

x2y2??1上动点P到定点M?m,0?,其中29.已知椭圆C：420?m?2的距离PM的最小值为1.

（1）请确定M点的坐标

（2）试问是否存在经过M点的直线l,使l与椭圆C的两个交点A、B满足条件

第22题

????????????OA?OB?AB（O为原点）,若存在,求出l的方程,若不存在请说是理由。

30.已知椭圆x?3y?5，直线l:y?k(x?1)与椭圆相交于A，B两点.

221，求直线AB的方程； 2????????（Ⅱ）在x轴上是否存在点M(m,0)，使MA?MB的值与k无关？若存在，求出m的

（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是?值；若不存在，请说明理由.

31.直线AB过抛物线x?2py?p?0? 的焦点F，并与其相交于A、B两点。Q是线段AB

2的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点．O是坐标原点． (I)求MA?MB 的取值范围；

(Ⅱ)过 A、B两点分剐作此撒物线的切线，两切线相交于N点．求证：MN?OF?0,NQ∥OF ;

(Ⅲ) 若P是不为1的正整数，当MA?MB?4P ，△ABN的面积的取值范围为

2?55,205 时，求该抛物线的方程．

1的椭圆c2与抛物线c1在x轴上方的一个交点为P. 2?32.如图，设抛物线c1：y2?4mx（m?0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2；以F1、F2为焦点，离心率e?（Ⅰ）当m?1时，求椭圆的方程及其右准线的方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线l经过椭圆c2的右焦点F2，与抛物线c1交于A1、A2，如果以线段A1A2为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；

（Ⅲ）是否存在实数m，使得?PF1F2的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．

33.已知点A(?1,0),B(1,0)和动点P满足：?APB?2?,且存在正常数m，使得

PA?PBCOS2??m。

（1）求动点P的轨迹C的方程。

（2）设直线l:y?x?1与曲线C相交于两点E，F，且与y轴的交点为D。若

DE?(2?3)DF,求m的值。

x2y234.已知椭圆2?2?1(a?b?0)的右准线l1:x?2与x轴相交于点D，右焦点F到上

ab顶点的距离为2，点C(m,0)是线段OF上的一个动点. （I）求椭圆的方程;

(Ⅱ)是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点,使得(CA?CB)?BA,并说明理由.

x2y235.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0).

ab（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为

yRP3，求椭圆的标准方程； 2SOQx（2）在（1）的条件下，设过定点M?0,2?的直线l与椭圆C交于不同

的两点A、B，且?AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围;

x2y2（3）如图，过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于

abP,S,R,Q四点，设原点O到四边形PQSR一边的距离为d，试求d?1时a,b满足的条件. ????36.已知i?(1,0),c?(0,2),若过定点A(0,2)、以i??c(??R)为法向量的直线l1与

??过点B0,?2以c??i为法向量的直线l2相交于动点P．

??(1)求直线l1和l2的方程; 定值；

????????(2)求直线l1和l2的斜率之积k1k2的值，并证明必存在两个定点E,F,使得PE?PF恒为

?????????(3)在（2）的条件下，若M,N是l:x?22上的两个动点，且EM?FN?0，试问当MN?????????????取最小值时，向量EM?FN与EF是否平行，并说明理由。

37.已知点B(0,t),点C(0,t?4)(其中0?t?4)，直线PB、PC都是圆

M:(x?1)2?y2?1的切线．

（Ⅰ）若?PBC面积等于6，求过点P的抛物线y2?2px(p?0)的方程； （Ⅱ）若点P在y轴右边，求?PBC面积的最小值．

38.我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭

圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。

x2y2??1的两个焦点， （1）设F1、F2是椭圆M:点F1、F2到直线L:2x?y?5?0259的距离分别为d1、d2，试求d1·d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。

x2y2（2）设F1、F2是椭圆M:2?2?1(a?b?0)的两个焦点，点F1、F2到直线

abL:mx?ny?p?0（m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，

试求d1·d2的值。

（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。

（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证

明）。 39.已知点F为抛物线C:y?4x的焦点，点P是准线l上的动点，直

y2线PF交抛物线C于A,B两点，若点P的纵坐标为m(m?0)，点D为准线l与x轴的交点．

（Ⅰ）求直线PF的方程；（Ⅱ）求?DAB的面积S范围；

PADOFx????????????????（Ⅲ）设AF??FB，AP??PB，求证???为定值．

x2y2340.已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的离心率为，直线

ab3l:y?x?2与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.

（I）求椭圆C1的方程；

lB （II）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直

线l2垂直l1于点P，线段PF2垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；

???????????? （III）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R,S在C2上，且满足QR?RS?0,求QS的

取值范围.

41.已知以向量v?(1,)为方向向量的直线l过点(0,)，抛物线C：y2?2px(p?0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上． （1）求抛物线C的方程； （2）设A、B是抛物线C上的两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若OA?OB?p2?0（O为坐标原点，A、B异于点O），试求点N的轨迹方程。

42.如图，设抛物线c1：y2?4mx（m?0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2；以F1、F2为焦点，离心率e?12541的椭圆c2与抛物线c1在x轴上方的一个交点为P. 2（Ⅰ）当m?1时，求椭圆的方程及其右准线的方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线l经过椭圆c2的右焦点F2， 与抛物线c1交于A1、A2，如果以线段A1A2为直径作圆， 试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；

（Ⅲ）是否存在实数m，使得?PF1F2的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．

x2y243.设椭圆C:2?2?1(a?b?0)的一个顶点与抛物线C:x2?43y的焦点重合，

ab1F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e??且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交

2于M、N两点.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)是否存在直线l，使得OM?ON??2.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理

由.

|AB|2(Ⅲ)若AB是椭圆C经过原点O的弦， MN//AB，求证：为定值．

|MN|?244.设F是抛物线y?4mx(m?0)的焦点，过点M(－1，0)且以n???,1?为方向向量的直

线顺次交抛物线于A,B两点。

????????2?（Ⅰ）当??2时，若FA与FB的夹角为，求抛物线的方程；

????1?????????（Ⅱ）若点A,B满足FA?(FM?FB)，证明m?2为定值，并求此时△AFB的面积

245.已知点R(?3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满

3足2PM??MQ?0,RP?PM?0.

（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设A(x1,y1)、B(x2,y2)为轨迹C上两点，且x1>1, y1>0,N(1,0)，求实数?，

使AB??AN，且AB?16. 3x2y21a?b?0)的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN46.已知椭圆C1:2?2?（ab是圆C2:x2?(y?3)2?1的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为3?2的直线l恰

好与圆C2相切。

（1）已知椭圆C1的离心率；

????????? （2）若PM?PN的最大值为49，求椭圆C1的方程.

x2y2??1交于A,B两点，AB的中点为M，若直线AB和47.已知直线l与曲线C：

mnOM(O为坐标原点)的斜率都存在，则kAB?kOM??n. m这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”. （Ⅰ）证明有心圆锥曲线的“垂径定理”；

（Ⅱ）利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：

x2y2??1交于A,B两点，求AB的中点M的轨迹W① 过点P(1,1)作直线l与椭圆42的方程；

② 过点P(1,1)作直线l?与有心圆锥曲线C?:kx2?y2?1(k?0)交于E、F两点，是

否存在这样的直线l?使点P为线段EF的中点？若存在，求直线l?的方程；若不存

在，说明理由.

48.椭圆的中心为原点O，焦点在y轴上，离心率e?6，过P(0,1)的直线l与椭圆交于A、3????????B两点，且AP?2PB，求?AOB面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程．

49.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e =

2

，椭圆上的点到焦点的最短2

??????距离为1-e, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且AP ＝?PB．

学科网?????????（1）求椭圆方程； （2）若OA＋?OB ＝ 4OP，求m的取值范围．

2

学科网50.已知点A是抛物线y＝2px（p>0）上一点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交于点K，已知｜AK｜＝2｜AF｜，三角形AFK的面积等于8．

（1）求p的值；

（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1，l2，与抛物线相交得两条弦，两条弦 的中点分别为G，H.求｜GH｜的最小值．

51.已知点R(?3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足2PM??MQ?0,RP?PM?0.

（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设A(x1,y1)、B(x2,y2)为轨迹C上两点，且x1>1, y1>0,N(1,0)，求实数?， 使AB??AN，且AB?16. 352.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线L在y轴上的截距为m(m≠0)，L交椭圆于A、B两个不同点。

（1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围； （3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。

x2y253.已知椭圆2?2?1(a?b?0)上的点到右焦点

abF的最小距离是2?1，F到上顶点的距离为2，点C(m,0)是线段OF上的一个动点. （I）求椭圆的方程;

(Ⅱ)是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点,

使得(CA?CB)?BA,并说明理由.

x2y2??1的上、下焦点分别为M、N，点P为坐标平面内的动点，满足54.已知椭圆

1216??????????????????|MN|?|MP|?MN?NP?0

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点A(3,?2)作曲线C2的两条切线，切点分别为H、I，求直线HI的方程： （3）在直线l:x?y?0上否存在点Q，过该点作曲线C的两条切线，切点分别为

????????????????B、C，使得|QB?QC|?|QB?QC|，若存在，求出该点的坐标；若不存在，试说明理由。

????????255.已知抛物线x?8y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点，且AF??FB(??0),过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M

?????????（1）证明线段FM被x轴平分 （2）计算FM?AB的值

2（3）求证|FM|?|FA|?|FB|

x2y256.已知A1,A2,B是椭圆2?2?1(a?b?0)的顶点（如图）,直线l与椭圆交于异于顶点

ab的P,Q两点,且l//A2B．若椭圆的离心率

yBP3是,且|A2B|?5．

2（１）求此椭圆的方程；

A1OA2Qlx（２）设直线A1P和直线BQ的倾斜角分别为?,?．试判断???是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．

57.已知椭圆E中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(?2,0)、B(2,0)、C?1,?三点．

过椭圆的右焦点F任做一与坐标轴不平行的直线l与椭圆E交于M、N两点，AM与BN所在的直线交于点Q. （1）求椭圆E的方程：

（2）是否存在这样直线m，使得点Q恒在直线m上移动？ 若存在,求出直线m方程,若不存在,请说明理由.

A O N F M B Q ?3??2?xy2?58.已知方向向量为v?(1,3)的直线l过点(0,?23)和椭圆C:2?2?1(a?b?0)ab的右焦点，且椭圆的离心率为（I）求椭圆C的方程；

26． 3?????????（II）若已知点D(3,0)，点M,N是椭圆C上不重合的两点，且DM??DN，求实数?的取值范围．

x2y259.已知F1,F2是椭圆C: 2?2?1（a>b>0）的左、右焦点，点P(?2,1)在椭圆上，

ab??????????线段PF2与y轴的交点M满足PM?F2M?0。

（1）求椭圆C的方程。

（2）椭圆C上任一动点M(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为M1（x1,y1）,求3x1-4y1的取值范围。

x2260.已知A,B,C均在椭圆M:2?y?1(a?1)上，直线AB、AC分别过椭圆的左右焦

a?????????29AF1?AF2?AF1. 点F1、F2，当AC?F1F2?0时，有

(Ⅰ)求椭圆M的方程;

(Ⅱ)设P是椭圆M上的任一点，EF为圆N:x2??y?2??1的任一条直径，求PE?PF2的最大值. 61.已知离心率为

4的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短5轴为虚轴，且焦距为234。

（I）求椭圆及双曲线的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，在第二象限内取双曲线上一点P，连结BP交椭

?????????N圆于点M，连结PA并延长交椭圆于点，若BM?MP。求四边形ANBM的面积。

y2?1，过点M(0, 3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B. 62.已知椭圆C :x?42 （Ⅰ）若l与x轴相交于点N，且A是MN的中点，求直线l的方程；

????????????（Ⅱ）设P为椭圆上一点, 且OA?OB??OP (O为坐标原点). 求当|AB|?3时，实

数?的取值范围.

y2?1，过点M(0, 1)的直线l与椭圆C相交于两点A、B. 63.已知椭圆C:x?42（Ⅰ）若l与x轴相交于点P，且P为AM的中点，求直线l的方程；

????????1 （Ⅱ）设点N(0,)，求|NA?NB|的最大值.

2x2y2??1的左、右焦点，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，64.已知F1,F2分别为椭圆32动直线l2垂直于直线l1，垂足为D，线段DF2的垂直平分线交l2于点M。 (Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程；

→→

(Ⅱ)过点F1作直线交曲线C于两个不同的点P和Q，设F1P ＝?F1Q ，若?∈[2，3]，→→

求F2P ?F2Q 的取值范围。

3x与椭圆C在第一象限内的交点2是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，另一个焦点是F1，且

65.已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y???????????9MF1?MF2?。

4（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l过点(?1,0)，且与椭圆C交于P,Q两点，求?F2PQ的内切圆面积的最大值

x2y266.椭圆2?2?1(a?b?0)的长轴为短轴的3倍,直线y?x与椭圆交于A、B两点，

abC为椭圆的右项点，OA?OC? （I）求椭圆的方程；

（II）若椭圆上两点E、F使OE?OF??OA,??(0,2),求?OEF面积的最大值

y2x267.已知椭圆E：2?2?1(a>b>0),以F1（-c,0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0,b）

ab3. 2作圆F1的两条切线，设切点为M、N.

(1)若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1(0,-b)时，求此椭圆的离心率;

(2)若直线MN的斜率为-1,且原点到直线MN的距离为4（2-1）,求此时的椭圆方程； 3(3)是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间(-2,?)内取值？若存在，求出

23椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由.

68.已知A,B是抛物线x2?2py?p?0?上的两个动点，O为坐标原点，

????????????????非零向量满足OA?OB?OA?OB．

（Ⅰ）求证：直线AB经过一定点；

25时，求p的值 5269.如图，已知直线l：y?kx?2与抛物线C：x??2py(p?0)交于A，B两点，O为坐

（Ⅱ）当AB的中点到直线y?2x?0的距离的最小值为????????标原点，OA?OB?(?4,?12)。

（Ⅰ）求直线l和抛物线C的方程；

（Ⅱ）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值． 70.已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B恰好是抛物线y=点.

（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；

(Ⅱ) 椭圆Γ的右焦点F是否可以为?BMN的垂心？若可以,求出直线l的方程；若不可以,请说明理由.

12

x的焦点，离心率等于2.直线l与椭圆Γ交于M,N两4271.记平面内动点M到两条相交于原点O的直线l1,l2的距离分别为d1,d2,研究满足下列条件下动点M的轨迹方程C． （1）已知直线l1,l2的方程为：y??2x， 22（a）若d12?d2?6，指出方程C所表示曲线的形状；

（b）若d1?d2?4，求方程C所表示的曲线所围成区域的面积； （c）若d1d2?12，研究方程C所表示曲线的性质，写出3个结论．

2（2）若d12?d2试用a,b表示常数d及直线l1,l2的方程，使得动点M的轨迹方程C?2d2，

x2y2恰为椭圆的标准方程2?2?1（a?b?0）．

ab222xy72.已知椭圆C:2?2?1(a?b?0) 的离心率为, 并且直线y?x?b是抛物线

2ab1（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点S(0,?)的动直线L交椭圆C于A、y2?4x的一条切线。

3B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。

x2y273.已知点P （4，4），圆C：(x?m)?y?5(m?3)与椭圆E：2?2?1(a?0,b?0)ab22的一个公共点为A（3，1），F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切。 （1）求m的值与椭圆E的方程；

（2）设D为直线PF1与圆C 的切点，在椭圆E上是否存在点Q ，使△PDQ是以PD为底的等腰三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由。

1x2y274.已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的长轴长为4，离心率为，F1,F2分别为其左右

2ab焦点．一动圆过点F2，且与直线x??1相切．

(Ⅰ) (ⅰ)求椭圆C1的方程； (ⅱ)求动圆圆心轨迹C的方程；

(Ⅱ) 在曲线C上有四个不同的点M,N,P,Q，满足MF2与NF2共线，PF2与QF2共线，且PF2?MF2?0，求四边形PMQN面积的最小值．

1x2y275.如图，已知椭圆2?2?1(a?b?0)长轴长为4，高心率为.过点(0,?2)的直线l交

2ab椭圆于A,B两点、交x轴于P点，点A关于x轴的对称点为C，直线BC交x轴于Q点。

（I）求椭圆方程；

| （Ⅱ）探究：|OP|?|OQ是否为常数？

x2y276.设椭圆C:2?2?1(a?b?0)的上顶点为A，椭圆C上两

ab

点P,Q在x轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2，直线PQ的斜率为

3，过点A且与2AF1垂直的直线与x轴交于点B，?AF1B的外接圆为圆M．

(1)求椭圆的离心率；

????????1212(2)直线3x?4y?a?0与圆M相交于E,F两点，且ME?MF?? a，求椭圆方程；

42(3)设点N(0,3)在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于62，求椭圆C的短轴长的取值范围．

77.已知直线l：y?kx?2（k为常数）过椭圆

ylBxy??1（a?b?0）的上顶点B和左焦点F，直线22abl被圆x2?y2?4截得的弦长为d．

（1）若d?23，求k的值；

FO22x45，求椭圆离心率e的取值范围． 5?y?0?78.已知可行域?x?3y?2?0的外接圆 C 与 x 轴交于点 Al 、 A2 ，椭圆 Cl 以线段

??3x?y?23?0（2）若d?A1A2为长轴，离心率e?2 2（I）求圆 C 及椭圆 Cl 的方程； （Ⅱ）设椭圆C1的右焦点为 F ，点 P 为圆 C 上异于 A 1、 A2的动点，过原点O作直线 PF 的垂线交直线 x =22于点Q ，判断直线 PQ 与圆C的位置关系，并给出证明．

abx2y2x2y279.若椭圆E1:2?2?1和椭圆E2: 2?2?1满足1?1?ma2b2a1b1a2b2这两个椭圆相似，m称为其相似比。

x2y2??1相似的椭圆方程。（1）求经过点(2,6)，且与椭圆 42（2）设过原点的一条射线l分别与（1）中的两个椭圆交于A、B

1两点（其中点A在线段OB上），求OA?的最大值和最小值.

OB80.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e?(m?0)，则称

2，2椭圆上的点到焦点的最短距离为1?e,直线l与y轴交于P点（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且AP??PB. （1）求椭圆方程；

（2）若OA??OB?4OP,求m的取值范围.

????????81.设x,y?R，i，j为直角坐标系中的单位向量，a?xi?(y?2)j，b?xi?(y?2)j，

??|a|?|b|?8。

（1）求动点M(x,y)的轨迹C的方程；

????????????（2）过点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点，若OP?OA?OB，是否存在直线l使

得OAPB为矩形?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 82.如图，中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率e?3，A、B分别是椭圆的长轴、2短轴的端点，原点O到直线AB的距离为(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

65。 5(Ⅱ)已知E(3,0)，设点M、N是椭圆上的两个动点，

??????????满足EM?EN,求EM?NM的取值范围.

83.已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0，-1）。若右焦点到直线

x?y?22?0的距离为3.

（1）求椭圆的方程;

（2）设椭圆与直线y?kx?m(k?0)相交于不同的两点M、N.当AM?AN时，求m的取值范围.

2

84.已知直线L过抛物线x=2py(p>0)的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，0是坐标原点

（1） 若直线L与x轴平行，且直线与抛物线所围区域的面积为6，求p的值.

（2） 过A,B两点分别作该抛物线的切线，两切线相交于N点，求证：NQ//OF,MN?OF （3） 若p是不为1的正整数，当MA?MB?4p2,△ABN的面积的取值范围为55,205时，求：该抛物线的方程.

85.已知曲线C的方程为x?2y，F为焦点。

2??（1）过曲线上C一点P(x0,y0)（x0?0）的切线l与y 轴交于A，试探究|AF|与|PF|之间的关系；

（2）若在（1）的条件下P点的横坐标x0?2，点N在y轴上，且|PN|等于点P到直线

2y?1?0的距离，圆M能覆盖三角形APN，当圆M的面积最小时，求圆M的方程。

x2y2a2?1(a?22)的右焦点为F1,直线l:x?86.设椭圆M:2?与x轴交于点

28aa?8A,

O为坐标原点）若OF． 1?2AF1?0（其中

（1）求椭圆M的方程；

（2）设P是椭圆M上的任一点，EF为圆N:x2??y?2??1的任意一条直径，求

2PE?PF的最大值．

y2x287.已知Fy 1、F2分别为椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的上、下焦点,其中F1也是抛物线ab5C2:x2?4y的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且|MF1|?. 3· M (Ⅰ)求椭圆C1的方程. F1 (Ⅱ)已知点P(1,3)和圆O:x2?y2?b2,过点P的动

直线l与圆O相交于不同的两点A,B,在线段AB上取一点

O F·2 x ????????????????Q,满足:AP???PB,AQ??QB,(??0且???1). 求证:点Q总在某定直线上.

288.设P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线C:y?2px(p?0)上相异两点，且OP?OQ?0，直线QP与x轴相交于E．

（1）若Q、P到x轴的距离的积为4，求该抛物线方程及?OPQ的面积的最小值. （2）在x轴上是否存在一点F，使直线PF与抛物线的另一交点为R（与点Q不重合），而直线RQ与x轴相交于T，且有TR?3TQ，若存在，求出F点的坐标（用p表示），若不存在，说明理由． y A 第20题图 x2y289.如图，A为椭圆2?2?1(a?b?0)上的一个动点， ab弦AB、AC分别过焦点F1、F2，当AC垂直于x轴时， 恰好有AF1：AF2＝3：1. (Ⅰ) 求椭圆的离心率； ??????????????????(Ⅱ) 设AF1??1F1B,AF2??2F2C. B F1 F2 C x ①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时， 求?1??2的值；

②当A点为该椭圆上的一个动点时，试判断是

?1??2否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由.

x2y90.已知F1,F2分别是双曲线2?2=l（a>0，b>0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，

ab0若 ?F,且?F1PF2的三边长成等差数列．又一椭圆的中心在原点，短轴的PF?90122一个端点到其右焦点的距离为3，双曲线与该椭圆离心率之积为 （I）求椭圆的方程；

56。 3 （Ⅱ）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为

的最大值．

答案及解析

3，求△AOB面积21.解：（1）易知b?3?b2?3,又F(1,0) ?c?1?a2?b2?c2?4

x2y2?1 ?椭圆C的方程为?43 （2）?F(1,0),k?(a,0) 先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由

2a2?1,0) 对称性知，AE与BD相交于FK中点N ,且N(2a2?1,0) 猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N(2 证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),E(a2,y2),D(a2,y1)，当m变化时首先AE过定点N

?x?my?12222222??22即(a?bm)y?2mby?b(1?a)?0....8分2222?bx?ay?ab?0??4a2b2(a2?m2b2?1)?0(?a?1)?y1?y2又KAN?2,KEN?a?11?a2?my122a2?1(y1?y2)?my1y2而KAN?KEN?222?01?aa?1(?my1)22a2?1(这是?(y1?y2)?my1y22a2?12mb2b2(1?a2)??(?2)?m?22a?m2b2a?m2b2(a2?1)?(mb2?mb2)??0)222a?mb

∴KAN=KEN ∴A、N、E三点共线 同理可得B、N、D三点共线

a2?1,0) ∴AE与BD相交于定点N(2(文)解：（1）易知b?3?b2?3,又F(1,0) ?c?1?a2?b2?c2?4

x2y2?1 ?椭圆C的方程为?43（2）(文)?F(1,0),k?(a,0) 设A(x1,y1),B(x2,y2),E(a2,y2)

2?x?my?12222222??22即(a?bm)y?2mby?b(1?a)?02222 ?bx?ay?ab?0 ??4a2b2(a2?m2b2?1)?0(?a?1)又KAN?而KAN?y1?y2,K?ENa2?11?a2?my122 a2?1(y1?y2)?my1y2?KEN?222?01?aa?1(?my1)22

?x2y2?1??消去y可得59x2?5010x?100?0； 联立方程?259?2x?y?5?0? ??(5010)2?4?59?100?0,所以直线L与椭圆M相交。

?x2y2?1?? （2）联立方程组?a2b2,

?mx?ny?p?0? 消去

y可得(a2m2?b2n2)x2?2a2mpx?a2(p2?b2n2)?0,(*)????6分??(2a2mp)2?4(a2m2?b2n2)a2(p2?b2n2)?4a2b2n2(a2m2?b2n2?p2)?0即p2?a2m2?b2nn.????8分因为椭圆焦点F1(?c,0),F2(c,0),其中c2?a2?b2;|?mc?p||mc?p||p2?m2c2|d1?d2???2222m2?n2m?nm?n|a2m2?b2n2?m2c2|??b2.????10分22m?n

x2y2 （3）设F1、F2是椭圆M:2?2?1(a?b?0)的两个焦点，点F1、F2到直线

ab L:mx?ny?p?0(m,n不同时为0)的距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧。

那么直线L与椭圆相交的充要条件为：d1?d2?b；直线L与椭圆M相切的充要条件为：d1?d2?b；直线L与椭圆M相离的充要条件为：d1?d2?b

证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交?(*)中??0?p?am?bn

22222222p2?m2c2a2m2?b2n2?m2c2?d1?d2?????b2;2222m?nm?nm2?n2m2?n22 同理可证:直线L与椭圆M相离?d1?d2?b

?mc?pmc?p直线L与椭圆M相切?d1?d2?b2.????16分 命题得证。

x2y2 （4）可以类比到双曲线：设F1、F2是双曲线M:2?2?1的两个焦点，点F1、F2到

ab直线L:mx?ny?p?0(m,n不同时为0)距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的充要条件为：d1?d2?b；直线L与双曲线M相切的充要

2条件为：d1?d2?b2；直线L与双曲线M相离的充要条件为：d1?d2?b2 39.解：（Ⅰ）由题知点P,F的坐标分别为(?1,m)，(1,0)，于是直线PF的斜率为?mm， 所以直线PF的方程为y??(x?1)，即为22yPADOFxmx?2y?m?0．

?y2?4x,?（Ⅱ）设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，由?my??(x?1),??2得m2x2?(2m2?16)x?m2?0，

lB2m2?164m2?16所以x1?x2?，x1x2?1．于是|AB|?x1?x2?2?．

m2m2点D到直线mx?2y?m?0的距离d?2|m|m?42，所以

114(m2?4)2|m|4. S?|AB|d??41?2222m2mm?4因为m?R且m?0，于是S?4，所以?DAB的面积S范围是(4,??)．

????????????????（Ⅲ）由（Ⅱ）及AF??FB，AP??PB，得

(1?x1,?y1)??(x2?1,y2)，(?1?x1,m?y1)??(x2?1,y2?m)，

于是??1?x1?1?x1，??（x2??1）.所以x2?1x2?1????1?x1?1?x12?2x1x2???0． x2?1x2?1(x2?1)(x2?1)所以???为定值0．

3c2a2?b21222,?e?2??,?2a?3b40.解：（Ⅰ）∵e? 23ac32222?b,?b?2,b2?2 ∴∵直线l:x?y?2?0与圆x?y?b相切，∴2a2?3

x2y2??1 ∵椭圆C1的方程是 32（Ⅱ）∵MP=MF2，∴动点M到定直线l1:x??1的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，

∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 ∴点M的轨迹C2的方程为

y2?4x

22y12y2y12y2?y12,y1),S(,y2) ∴QR?(,y1),RS?(,y2?y1) （Ⅲ）Q（0，0），设R(44442y12(y2?y12)?y1(y2?y1)?0∵y1?y2,y1?0，化简得 ∵QR?RS?0 ∴

16

1625622∴y2??(y1?) ∴y2?y1?2?32?2256?32?64

y1y125622当且仅当 y1?2,y1?16,y1??4时等号成立

y12y21222∵|QS|?()2?y2?(y2?8)2?64，又?y2?64

442∴当y2?64,y2??8时，|QS|min?85，故|QS|的取值范围是[85,??)

41.解：（1）由题意可得直线l：y?②

由①、②得x??∴?15x? ① 过原点垂直于l的直线方程为y??2x 241 ∵抛物线的顶点（即原点）关于直线l的对称点在该抛物线的准线上。 2p1???2，p?2 ∴抛物线C的方程为y2?4x 22（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，N(x,y)，由OA?OB?p2?0，得x1x2?y1y2?4?0 又y1?4x1，y2?4x2，解得y1y2??8 ③ 直线ON：y?22y24x，即y?x ④

y2x2由③、④及y?y1，得点N的轨迹方程为x??2(y?0)

1， 2x2y2??1. ∴椭圆的长半轴的长a?2m，短半轴的长b?3m. 椭圆方程为

4m23m2x2y2??1， 右准线方程为：x?4. （Ⅰ）当m?1时，故椭圆方程为43?y2?4x?（Ⅱ）依题意设直线l的方程为：x?ky?1，k?R 联立?x2y2 得点P的坐标为

?1??3?4?226?. P??3,3????42.解∵c1：y2?4mx的右焦点F2?m,0? ∴椭圆的半焦距c?m，又e?将x?ky?1代入y2?4x得y2?4ky?4?0.

设A1?x1,y1?、A2?x2,y2?，由韦达定理得y1?y2?4k，y1y2??4.

???????226?????226?又PA1??x1?,y1?，. ???PA2???x2?3,y2?3??33?????????????242624PA1?PA2?x1x2??x1?x2???y1y2??y1?y2??39392

?6?24k????252224k?246k?11? ?????99?????????∵k?R，于是PA1?PA2的值可能小于零，等于零，大于零。即点P可在圆内，圆上或圆外. ?8′

?y2?4mx?226??22（Ⅲ）假设存在满足条件的实数m，由?x解得：P?m,. m?y?3?3??1?2???4m3m22576∴PF2?m?m?m，PF1?4m?PF2?m，又F1F2?2m?m.

3333567即?PF1F2的边长分别是m、m、m .∴m?3时，能使?PF1F2的边长是连续的自然数

33343.解：椭圆的顶点为(0,3)，即b?3，e?c1?，所以a?2，?椭圆的标准方程a2x2y2??1 为43（2）由题可知,直线l与椭圆必相交.

①当直线斜率不存在时，经检验不合题意。

②设存在直线l为y?k(x?1)(k?0)，且M(x1,y1)，N(x2,y2).

?x2y2?1??由?4得(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0， 3?y?k(x?1)?8k24k2?12x1?x2?，x1?x2?，

3?4k23?4k2OM?ON?x1x2?y1y2?x1x2?k2[x1x2?(x1?x2)?1]

24k2?128k2?5k2?1224k?12?k(??1)???2 =22223?4k3?4k3?4k3?4k所以k??2，故直线l的方程为y?2(x?1)或y??2(x?1) 7分 （3）设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4)

2由（2）可得： |MN|=1?k|x1?x2|?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]

8k224k2?1212(k2?1) =(1?k)[( )?4()]?3?4k23?4k23?4k22?x2y212?1??2x?由?4消去y，并整理得： ， 323?4k?y?kx?48(1?k2)2|AB|23(1?k2)23?4k??4 为定值 |AB|=1?k|x3?x4|?4， ∴

|MN|12(k2?1)3?4k23?4k244.解：（1）当??2时，直线AB的方程为y?1?x?1?，代入抛物线方程得：212x2??2?16m?x?1?0，由???2?16m??4?0 且m?0,得m?

4设Ax1,y1,Bx2,y2，则x1?x2?16m?2,x1x2?1

2故y1y2?16mx1x2?4m， F?m,0? ， FA??x1?m,y1?,FB??x2?m,y2?,

????FA?FB??15m2?6m?1， 又FAFB??x1?m??x2?m??17m2?2m?1

cosFA,FB?15m2?6m?12?1??cos??， 217m?2m?1321,?m?1故抛物线方程为y2?4x 41（2）直线AB的方程为y??x?1?，代入抛物线方程得13m2?10m?3?0,m??x2??2?4m?2?x?1?0,???2?4m?2??4?0,?m?0,?2?0,?m?2?1

211FM?FB,?A是线段MB的中点，故MB?2MA, 22122x?,x2?2,于是， 即?x2?1,y2???x1?1,y1?，y1?4mx代入得,y?4mx1122

25994m?2?2?x1?x2?,?m?2??1?m?2?，（定值）。

2881则S?AFB?S?MBF?S?MAF??m?1?2m

2yx45.解：（Ⅰ）设点M(x,y)，由2PM?3MQ?0得P(0,?),Q(,0).由RP?PM?0,

23y3y)?0，即y2?4x.又点Q在x轴的正半轴上，∴x?0. 得(3,?)?(x,22x1?x2?4m?2?2， ?FA???2故点M的轨迹C的方程是y?4x(x?0).

2（Ⅱ）由题意可知N为抛物线C：y?4x的焦点，且A、B为过焦点N的直线与抛物

线C的两个交点,所以直线AB的斜率不为0.

a2?1(这是?(y1?y2)?my1y22a2?12mb2b2(1?a2)??(?2)?m?2 22222a?mba?mb(a2?1)?(mb2?mb2)??0)222a?mb???????? ∴KAN=KEN ∴A、N、E三点共线?AN??NE

2.解：（1）?AM?2AP,NP?AM?0. ∴NP为AM的垂直平分线， ∴|NA|=|NM|

又?|CN|?|NM|?22, ?|CN|?|AN|?22?2. ∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为2a?22,焦距2c?2.?a?2,c?1,b2?1.

x2?y2?1. ∴曲线E的方程为2x22（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为y?kx?2,代入椭圆方程?y?1,

213?k2)x2?4kx?3?0.由??0得k2?. 22

?4k3设G(x1,y1),H(x2,y2),则x1?x2?又?FH??FH, ,x1x1?11?k2?k222

得(2?(x1,y1?2)??(x2,y2?2) ?x1??x2, ?x1?x2?(1??)x2,x1x2??x2

?(x1?x22xx?4k232)?x2?12()?,

11??? 1?k2?k2222?(1??)1616316(1??)22?4??. ?整理得 ?k?,3132 ??33(2?1)2k22k 1611.解得???3.又?0???1, ????1.

?333

11又当直线GH斜率不存在，方程为x?0,FG?FH,??.

3311????1,即所求?的取值范围是[,1)

33?4????2?13. 解：⑴设Q（x0，0），由F（-c，0） （0，b）知FA?(c,b),AQ?(x0,?b)

b28b258,y1?b ?FA?AQ,?cx0?b?0,x0?设P(x1,y1),由AP?PQ，得x1?13c135c

28b225()(b)213c?13?1 因为点P在椭圆上，所以

a2b2整理得2b=3ac，即2(a－c)=3ac，2e2?3e?2?0,故椭圆的离心率e=

2

2

2

1 2b23⑵由⑴知2b?3ac，得?a；c22又1c11， ?，得c?a，于是F（－a，0）

2a22Q(a,0)

321|a?5|11△AQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a 所以2解得a=2，∴c=1，?a，

222b=3，

x2y2??1 所求椭圆方程为43x2y2??1 4.（1）椭圆的方程为42（2）解: 过圆x2?y2?t2上的一点M（2,2）处的切线方程为2x+2y－6=0.

令Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2), 则??2x?2y?6?0

?222??x?2y?2b

化为5x－24x+36－2b=0, 由⊿>0得：b?322

10

52436?2b218?4b2x1?x2?,x1x2?,y1y2?2x1x2?6(x1?x2)?18?

555由OQ1?OQ2知，x1x2?y1y2?0?即b=3∈（310,+∞），故b=3

55.解：（1）根据椭圆的定义，可知动点M的轨迹为椭圆，其中a?2，c?3，则b2?9,

b?a2?c2?1．

x2所以动点M的轨迹方程为?y2?1．

4（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?kx?2，设C(x1,y1)，D(x2,y2)，

????????∵OC?OD?0，∴x1x2?y1y2?0． ∵y1?kx1?2，y2?kx2?2，

∴y1y2?k2x1?x2?2k(x1?x2)?4．∴ (1?k2)x1x2?2k(x1?x2)?4?0．? ①

?x216k??y2?1,22由方程组?4得?1?4k?x?16kx?12?0．则x1?x2?，21?4k?y?kx?2.?

x1?x2?1216k122，代入①，得1?k??2k??4?0． ??2221?4k1?4k1?4k即k2?4，解得，k?2或k??2．所以，直线l的方程是y?2x?2或y??2x?2． 6. 解：（Ⅰ）设F、B、C的坐标分别为（－c，0），（0，b），（1，0），则FC、BC的中垂

线分别为

1?c?x?,?1?cb11?2，y??(x?)．联立方程组，解出? x?2b?c22b2?y?.?2b?1?cb2?c（b－c）>0，∴ b>c． m?n???0，即b?bc?b2?c?0，即（1＋b）

22b从而b2?c2即有a2?2c2，∴e2?21．又e?0，∴0?e?．

22（Ⅱ）直线AB与⊙P不能相切．由kAB?b，kPBb2?cb?b2?c2b＝． ?1?cb(c?1)0?2b2?c如果直线AB与⊙P相切，则b·＝－1．

b(c?1)解出c＝0或2，与0＜c＜1矛盾，所以直线AB与⊙P不能相切．

xx43,t)(t?R),A(x1,y1),B(x2,y2),则MA的方程为1?y1y?1 3433∵点M在MA上∴x1?ty1?1 ① 同理可得x2?ty2?1②

333由①②知AB的方程为x?ty?1,即x?3(1?ty)

3易知右焦点F（3,0）满足③式，故AB恒过椭圆C的右焦点F（3,0）

7.【解】（1）设M(x2?y2?1,化简得7y?6y?1?0 （2）把AB的方程x?3(1?y)代入443||2336?28163?? 又M到AB的距离d?∴|AB|?1?3? 3771?3∴△ABM的面积S?1163?|AB|?d? 2218. 【解】（Ⅰ）点A代入圆C方程， 得(3?m)?1?5．∵m＜3，∴m＝1． 圆C：(x?1)2?y2?5．设直线PF1的斜率为k， 则PF1：y?k(x?4)?4，即kx?y?4k?4?0． ∵直线PF1与圆C相切，∴|k?0?4k?4|k?122 yPAF2?5．

F1OCQx解得k?当k＝

111,或k?． 2211时，直线PF1与x轴的交点横坐标为236，不合题意，舍去． 11当k＝

1时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）． 22

2

x2y2?1．2a＝AF1＋AF2＝52?2?62，a?32，a＝18，b＝2．椭圆E的方程为：?

182????????????????（Ⅱ）AP?(1,3)，设Q（x，y），A，AP?AQ?(x?3)?3(y?1)?x?3y?6． Q?x(?,3y?)1x2y2?1，即x2?(3y)2?18，而x2?(3y)2≥2|x|?|3y|，∴－18≤6xy≤18． ∵?182则(x?3y)2?x2?(3y)2?6xy?18?6xy的取值范围是[0，36]．x?3y的取值范围是[－6，6]． ????????∴AP?AQ?x?3y?6的取值范围是[－12，0]．

x2y29.【解】（1）依题意，设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，则其右焦点坐标为

abF(c,0),c?a2?b2 ，由|FB|?2，得(c?2)2?(0?2)2?2，

即(c?2)2?2?4，解得c?22。

22xy222??1。 又 ∵b?2 ，∴ a?c?b?12，即椭圆方程为124（2）由|AM|?|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，

?y?kx?2?2222由?x2消去y得x?3(kx?2)?12 即(1?3k)x?12kx?0 （*） y2?1???124由k?0，得方程（*）的??(?12k)2?144k2?0，即方程（*）有两个不相等的实数根。 设M(x1,y1)、N(x2,y2)，线段MN的中点P(x0,y0)， 则x1?x2?x1?x212k6kx??，， ?02221?3k1?3k6k2?2(1?3k2)6k?2?2P(,) ?，即? y0?kx0?2?1?3k21?3k21?3k21?3k2?2?22?2?2(1?3k2)1?3k， ?k?0，∴直线AP的斜率为k1??6k6k1?3k2?2?2(1?3k2)?k??1， 由AP?MN，得

6k∴ 2?2?6k?6，解得：k??又0????，故 ??233，即tan???， 335??，∴ 存在直线l满足题意，其倾斜角??，或66?6，或????5?。 610.【解】（1）设c?a2?b2?b?2?，依题意得?ce???a?a2?b26 即

?a3?b?2 ?222?6a?9a?9b22xy22??1。 ∴ a?3b?12，即椭圆方程为124（2） ?MP?PN,AP?MN?0 ∴ AP?MN，且点P线段MN的中点，

?y?kx?2?22222由?x消去y得x?3(kx?2)?12 即(1?3k)x?12kx?0 （*） y2?1???12422由k?0，得方程（*）的??(?12k)?144k?0，显然方程（*）有两个不相等的实数

根。

设M(x1,y1)、N(x2,y2)，线段MN的中点P(x0,y0)，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/i2vf.html