2011年最新中考模拟试题（几何篇）分类汇编36.相似形（教师版）

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中考模拟分类汇编

相似形

一、选择题 1、（2011年北京四中模拟26）在比例尺1：6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15㎝，这两

地的实际距离是（）

A．0.9㎞ B. 9㎞ C.90㎞ D.900㎞答案：D

2、（2011杭州模拟26）如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，?第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长…………………( )

A.63?3 B.43 C. 63 D.3?23

答案：B

AB的垂直平，BC?3，AC?4，3．（ 2011年杭州三月月考）．如图，在Rt△ABC中，?ACB?90°A 分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（） (A)

3725 (B)(C) 266 (D)2

D B E 答案：B C 4．（2011年三门峡实验中学3月模拟）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB 、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③ADAB?；其中正确的有（） AEACDBAEC(第4 题)

A、3个 B、2个 C、1个 D、0个答案：A

5.（安徽芜湖2011模拟）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（）典学教育万科城校区咨询热线：0755 - 8958 0101 典学教育万科城校区电子邮箱：dianxue_edu@126.com 典学教育万科城校区地址：深圳坂田万科城南门商业街C7#-114~119 在这里… 学会做人学会共处学会求知学会生存第1页

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A．9 B．12 C．15 D．18 答案: A

6.（2011深圳市三模）为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案.小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中。如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度(精确到0.01m，参考数据：错误！未找到引用源。≈1.414，错误！未找到引用源。≈1.732，错误！未找到引用源。≈2.236)是（）

A.0.62m B.0.76m C.1.24m D.1.62m 答案：C

7、（2011杭州模拟20）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）

第7题答案：B

（A）．（B）．（C）．

（D）．

8、（2011年黄冈浠水模拟1）如图，AB//CD，AE//FD，AE、FD分别交于点G、H，则图中共有相似三角形（）.

A.4对 B.5对 C. 6对 D.7对答案：C

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9.（2011年海宁市盐官片一模）视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（） A．平移答案：D

10.（2011年浙江杭州三模）（）

答案：C 二、填空题

1．（2011年杭州市上城区一模）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的

方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．答案：4 ，

B E 标准对数视力表 0.1 0.12 0.15

4.0 4.1 4.2

B．旋转 C．对称 D．相似

第10题图

B′

24 7F C

（第1题）

2、（北京四中模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD?2，AE?3，BD?4，则AC? ．

答案：9

3.（2011年浙江杭州二模）如图，光源P在横杆AB的正上方， P AB在灯光下的影子为CD，AB//CD,AB?2,CD?6m， A B 典学教育万科城校区咨询热线：0755 - 8958 0101 典学教育万科城校区电子邮箱：dianxue_edu@126.com 典学教育万科城校区地址：深圳坂田万科城南门商业街C7#-114~119 在这里… 学会做人学会共处学会求知学会生存第3页

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点P到CD的距离是2.7m，则AB与CD间的距离是______m。 C D 答案：1.8

4．（2011杭州上城区一模）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．

E B′

24答案：4 ，

B F C

（第4题） 5、（2011年北京四中34模）已知三个边长分别为2、3、5的正三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为答案：

6（2011深圳市中考模拟五）.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长，面积．答案:90，270

7. （浙江杭州金山学校2011模拟）（浙江杭州金山学校2011模拟）（原创）2?3与2?3的比例中项是 ▲ .答案：±1

8.（浙江杭州进化2011一模）已知a:b?3:2，且a?b?10，则b=.

答案：4 三、解答题 1、（2011年北京四中模拟26）

已知：如图，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G， ∠1=∠2。

（2）探索线段BF、FG、EF之间的关系，并说明理由。

3 8典学教育万科城校区咨询热线：0755 - 8958 0101 典学教育万科城校区电子邮箱：dianxue_edu@126.com 典学教育万科城校区地址：深圳坂田万科城南门商业街C7#-114~119 在这里… 学会做人学会共处学会求知学会生存第4页

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答案：解：（2）BF?FG?EF.理由：??1??E,?1??2,??2??E。又??GFB??BFE,??BFG∽?EFB.?

2、(2011年浙江省杭州市中考数学模拟22)（本小题满分6分）

如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线

2BFFG2?，即BF?FG?EF。 EFBFAP于点P，连结AC。

（1）求证：△ABC∽△POA；

（第2题）

7OP?（2）若OB?2，，求BC的长．

2答案：（1）证明：∵AP⊙O切于A，AB是⊙O直径∴∠OAP=∠C 2分 ∵PO∥BC∴∠AOP=∠B 1分 ∴△ABC∽△POA； 1分 ABBC?（2）∵△ABC∽△POA? 1分

POOA 716?OB?2,OP?,?BC? 1分 27

3、（2011杭州模拟）如图，已知等边三角形△AEC，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）。连结EB，过E作EF⊥ AB，交AB的延长线为F。

（1）猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想。典学教育万科城校区咨询热线：0755 - 8958 0101 典学教育万科城校区电子邮箱：dianxue_edu@126.com 典学教育万科城校区地址：深圳坂田万科城南门商业街C7#-114~119 在这里… 学会做人学会共处学会求知学会生存第5页

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（2）证明：△BEF∽△ABC，并求出相似比。解：(1)猜测BE和直线AC垂直…………1分

证明△AEB≌△CEB(SSS) …………2分说明EB是∠AEC的平分线，再利用等腰△三线合一即可…………2分（2）证明∠EBF=45°即可证明△BEF∽△ABC \\…………2分延长EB交AC于G，设AC为2a，则BG=a，EB=3a,

所以相似比：EB3a?a3?1…………3分 ??AC2a24．（ 2011年杭州三月月考）如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点

(1)尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；

(2)求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；

(3)若过A，D，C三点的圆的半径为3,则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由.

答案：解：（1）作出圆心O，

以点O为圆心，OA长为半径作圆. （2）证明：∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°.

∴AD是⊙O的直径连结OC，∵∠A=∠B=30°, ∴∠ACB=120°,又∵OA=OC, ∴∠ACO=∠A =30°,

∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°. ∴BC⊥OC, ∴BC是⊙O的切线. （3）存在.

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∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°, ∴∠BCD=∠B, 即DB=DC.

又∵在Rt△ACD中，DC=AD?sin30??3, ∴BD=

解法一：①过点D作DP1// OC，则△P1DB∽△COB, ∵BO=BD+OD=23,

∴P1D=

3. P1DBD， ?COBOBD333OC=×3 =. BO32P2DBD?， OCBC②过点D作DP2⊥AB,则△BDP2∽△BCO,∴∵BC＝BO2?CO2?3,

BD3?OC??3?1. BC3解法二：①当△B P1D∽△BCO时，∠DP1B=∠OCB=90°.

∴P2D?在Rt△B P1D中， DP1=BD?sin30??3. 2②当△BDP2∽△BCO时，∠P2DB=∠OCB=90°. 在Rt△B P2D中，

DP2=BD?tan30??1.

，OA?2，OB?4．5．（ 2011年杭州三月月考）已知一个直角三角形纸片OAB，其中?AOB?90°如

图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．（1）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（2）若折叠后点B落在边OA上的点为B?，设OB??x，OC?y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；

（3）若折叠后点B落在边OA上的点为B?，且使B?D∥OB，求此时点C的坐标．

y B B y B y O A x O A x O A x 第7页典学教育万科城校区咨询热线：0755 - 8958 0101 典学教育万科城校区电子邮箱：dianxue_edu@126.com 典学教育万科城校区地址：深圳坂田万科城南门商业街C7#-114~119 在这里… 学会做人学会共处学会求知学会生存

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答案：

解（1）如图①，折叠后点B与点A重合，则△ACD≌△BCD.

设点C的坐标为?0，m??m?0?. 则BC?OB?OC?4?m. 于是AC?BC?4?m.

在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC?OC?OA，

22即?4?m??m?2，解得m?22223. 2?3??点C的坐标为?0，?

?2?（2）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B?, 则△B?CD≌△BCD. 由题设OB??x，OC?y，则B?C?BC?OB?OC?4?y，

在Rt△B?OC中，由勾股定理，得B?C?OC?OB?.

222??4?y??y2?x2，

即y??212x?2 8由点B?在边OA上，有0≤x≤2，

1? 解析式y??x2?2?0≤x≤2?为所求.

8? ?当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，

3?y的取值范围为≤y≤2.

2（3）如图③，折叠后点B落在OA边上的点为B??，且B??D∥OB. 典学教育万科城校区咨询热线：0755 - 8958 0101 典学教育万科城校区电子邮箱：dianxue_edu@126.com 典学教育万科城校区地址：深圳坂田万科城南门商业街C7#-114~119 在这里… 学会做人学会共处学会求知学会生存第8页

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则?OCB????CB??D.

??OCB????CBD，有CB??∥BA. 又??CBD??CB??D，?Rt△COB??∽Rt△BOA. 有

OB??OC?，得OC?2OB??. OAOB在Rt△B??OC中，

设OB???x0?x?0?，则OC?2x0. 由（2）的结论，得2x0??12x0?2， 8解得x0??8?45．?x0?0，?x0??8?45. 85?16. ?点C的坐标为0，

y B C x B D C O y D B C y D ??x x O B′ B′ O A

图① 图② 图③

6．（2011年三门峡实验中学3月模拟）已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．

（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求

AP的值； PC（2）如图2，当OA=OB， BAD1=时，求tan∠BPC； AO4AADPPDCOBCO图 1 典学教育万科城校区咨询热线：0755 - 8958 0101 典学教育万科城校区电子邮箱：dianxue_edu@126.com 典学教育万科城校区地址：深圳坂田万科城南门商业街C7#-114~119 在这里… 图 2 学会做人学会共处学会求知学会生存第9页

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答案：

（1）过C作CE∥OA交BD于E，则△BCE∽△BOD得CE=

11OD=AD； 22再由△ECP∽△DAP得

APAD??2； PCCE（2）过C作CE∥OA交BD于E，设AD=x，AO=OB=4x，则OD=3x，

由△BCE∽△BOD得CE=

13OD=x， 22再由△ECP∽△DAP得

PDAD2??； PECE35PD2?，可得PD=AD=x， x，则

2DE?PD3CO1?。 AO2由勾股定理可知BD=5x，DE=

则∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A=

7. （浙江杭州靖江2011模拟）(本小题满分6分)

如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°

（1）只用直尺和圆规作图，首先在BC上截取BD＝AB，再作BD的中垂线，交AB于E，连结AD，DE。

（2）与△BDE相似的三角形有______________。（直接写出答案）（原创）

ABC

答案：（1）图如下，作出弧AD得1分，作出BD的中垂线得2分，连结AD，DE得1分。

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AEBDC

（2）△ADC和△ABC……………………………2分

8.已知a,b,c均不为0，且

a?2b3b?c2c?ac?2b??，求的值。（原创） 5372b?3a答案：解：设

a?2b3b?c2c?a??＝k，则.............................1分 537a?2b?5k……………①

3b?c?3k……………②.....................................1分

2c?a?7k……………③

由①+③得，2b+2c=12k,∴b+c=6k……………④……………………………1分

由②＋④，得4b=9k, ∴b=

9115k，分别代入①，④得，a=k,c=k………2分 4241593k?k?kc?2b2?4??1……………………………………………1分 ∴?4932b?3a6k8k?k22

9．（安徽芜湖2011模拟）（本题满分10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：

（1）D是BC的中点；

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（2）△BEC∽△ADC；（3）BC2=2AB·CE．答案:

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，

即AD是底边BC上的高．………………………………………1分又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，

∴D是BC的中点；………………………………………………………3分 (2) 证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，

∴∠CBE=∠CAD．…………………………………………………5分又∵ ∠BCE=∠ACD，

∴△BEC∽△ADC；…………………………………………………6分（3）证明：由△BEC∽△ADC，知

CDCE?， ACBC即CD2BC=AC2CE．…………………………………………………8分 ∵D是BC的中点，∴CD=

1BC． 21BC2BC=AB2CE 2又∵AB=AC，∴CD2BC=AC2CE=

即BC=2AB2CE．……………………………………………………10分 10. （安徽芜湖2011模拟）（本题满分12分）

如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF

的顶点都在方格纸的格点上．

(1) 判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；

(2) P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三

角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结

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相应线段，不必说明理由)．

P1 A

P2 P3 C

…………1分

答案: 解：(1) △ABC和△DEF相似．

根据勾股定理，得 AB?25，AC?5，BC=5 ；

DE?42，DF?22，EF?210． ∵

ABACBC5???， DEDFEF22 …………5分

…………6分

∴ △ABC∽△DEF．

(2) 答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．

P1 A

P2 P3 C

(第23题)

D P5

△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，

△ P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD．…………12分

11.（河南新乡2011模拟）（10分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．

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（1）求证：△CDF∽△BGF；

（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB?6cm，EF?4cm，求CD的长．答案：

（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，

∴?CDF??FGB，?DCF??GBF， ……………. ∴△CDF∽△BGF．…………………………. （2）由（1）△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，BF?FC ∴△CDF≌△BGF，

∴DF?FG，CD?BG…………………………. 7分又∵EF∥CD，AB∥CD，

∴EF∥AG，得2EF?BG?AB?BG． ∴BG?2EF?AB?2?4?6?2，

∴CD?BG?2cm． ……………………………………………………………10分

12.（浙江杭州金山学校2011模拟）（ 14分）（根据历城市2011年中考第一次模拟考试数学试卷改编）已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D．E，连结AD、BD、BE。

(1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形。．．．．．．．．．．．．．．．．_____________________，______________________ 。典学教育万科城校区咨询热线：0755 - 8958 0101 典学教育万科城校区电子邮箱：dianxue_edu@126.com 典学教育万科城校区地址：深圳坂田万科城南门商业街C7#-114~119 D E A

2 分 4分

A E C F B

D C F B

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(2)直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线

y?ax2?2ax?3a(a?0)经过点A．B．D，且B为抛物线的顶点。

①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）___________。 ②求抛物线的解析式。

③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

答案：（1）△OAD∽△CDB. △ADB∽△ECB……………………………………………4分（2）①（1，－4a）…………………………………………………………1分

②∵△OAD∽△CDB

∴

图2

DCCB?…………………………………………………………1分 OAOD∵ax2－2ax－3a=0，可得A（3，0）…………………………………2分又OC=－4a，OD=－3a，CD=－a，CB=1， ∴

1?a2∴a??3a3?1 ∵a?0 ∴a??1

故抛物线的解析式为：y??x2?2x?3………………………………2分

③存在，设P（x，－x2+2x+3）典学教育万科城校区咨询热线：0755 - 8958 0101 典学教育万科城校区电子邮箱：dianxue_edu@126.com 典学教育万科城校区地址：深圳坂田万科城南门商业街C7#-114~119 在这里… 学会做人学会共处学会求知学会生存第15页

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∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形 ∴PN=AN

当x<0（x<－1）时，－x+3=－(－x2+2x+3)，x1=－2，x2=3(舍去)，

∴P（－2，－5）………………………………………………………………………2分当x>0（x>3）时，x－3= －(－x2+2x+3)， x1=0，x2=3(都不合题意舍去)…………1分

符合条件的点P为（－2，－5）………………………………………………1分

13. （浙江杭州进化2011一模）(本小题满分8分)

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．

A 求证：（1）△DEF∽△BDE；

（2）DG?DF?DB?EF．

答案：(本小题满分8分)

证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．…………………………………………1分

∵DE∥BC，∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°． ∴∠BDE=∠CED．…………………………………………1分 ∵∠EDF=∠ABE，∴△DEF∽△BDE．…………………………………………1分（2）由△DEF∽△BDE，得

B C

D G E F DBDE． ?DEEFA ∴DE2?DB?EF．…………………………………………1分

由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE． D ∵∠GDE=∠EDF，∴△GDE∽△EDF．…………………………………1分 ∴

．…………………………………………1分

B 典学教育万科城校区咨询热线：0755 - 8958 0101 典学教育万科城校区电子邮箱：dianxue_edu@126.com 典学教育万科城校区地址：深圳坂田万科城南门商业街C7#-114~119 E G F C 第16页在这里… 学会做人学会共处学会求知学会生存

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∴DE2?DG?DF．…………………………………………1分

∴DG?DF?DB?EF．…………………………………………1分

14.（2011年杭州市模拟）（本题6分）如图，?ABC是正方形网格中的格点三角形（顶点在格上），请在

正方形网格上按下列要求画一个格点三角形与?ABC相似，并填空：（1）在图甲中画?A是?ABC的周长的2倍，则1B1C1，使得?A1B1C1的周长．．

A1B1=； ABA2B2=； AB（2）在图乙中画?A2B2C2，使得?A2B2C2的面积是?ABC的面积的2倍，则．．

AABCBC

图甲图乙

答案：（1）2；（2）2 (每个填空题正确得1分，每个图形画正确得2分)

15．（2011年海宁市盐官片一模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，典学教育万科城校区咨询热线：0755 - 8958 0101 典学教育万科城校区电子邮箱：dianxue_edu@126.com 典学教育万科城校区地址：深圳坂田万科城南门商业街C7#-114~119 在这里… 学会做人学会共处学会求知学会生存第17页

成功总青睐于有准备的人

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AE?ED，DF?1DC，连结EF并延长交BC的延长线于点G． 4A

（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

答案：⑴在正方形ABCD中，?A??D?90? AB=AD=CD

∵AE=ED , DF=

1DC 4∴AE=ED=

11AB , DF=AB 24∴

ABAE? DEDF∴△ABE∽△DEF （2）

?AB?4 ,AE?2 ?BE?4?2?25∴?ABE??DEF

?AEB??ABE??AEB??DEF?90?

∴?BEG?90?