对数的换底公式

课 题：2.1 对数的换底公式及其推论

教学目的：

1．掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题 2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力； 教学重点：换底公式及推论 教学难点：换底公式的证明和灵活应用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入：对数的运算法则

如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有：

loga(MN)?logaM?logaN(1)Mloga?logaM?logaN(2)

NlogaMn?nlogaM(n?R)(3)二、新授内容：

1.对数换底公式：

logaN?logmN ( a > 0 ,a ? 1 ，m > 0 ,m ? 1,N>0) logma证明：设 loga N = x , 则 a = N x 两边取以m 为底的对数：logmax?logmN?xlogma?logmN 从而得：x?logmNlogmN ∴ logaN? logmalogma2.两个常用的推论:

①logab?logba?1， logab?logbc?logca?1 ② logamb?nnlogab（ a, b > 0且均不为1） m证：①logab?logba?lgblga??1 lgalgblgbnnlgbn ②logamb???logab mmlgamlgan三、讲解范例：

例1 已知 log23 = a， log37 = b, 用 a, b 表示log42 56

解：因为log23 = a，则 ∴log 42 56?例2计算：①51?log32 , 又∵log37 = b, alog356log37?3?log32ab?3 ??log342log37?log32?1ab?b?1 ② log43?log92?log1241?log0.2332 解：①原式 =

55log0.23?551log53?5?15 13 ②原式 =

115153log23?log32?log22??? 224442例3设x,y,z?(0,??) 且3?4?6 1? 求证

xyz111?? ； 2? 比较3x,4y,6z的大小 x2yzxyz 证明1?：设3?4?6?k ∵x,y,z?(0,??) ∴k?1

取对数得：x?lgklgklgk ， y?， z? lg3lg4lg6 ∴

11lg3lg42lg3?lg42lg3?2lg2lg61??????? x2ylgk2lgk2lgk2lgklgkzlgklg64lg64?lg813481?0 lgk??)lgk? 2? 3x?4y?(lg3lg4lg3lg4lg3lg4 ∴3x?4y

9lg36?lg644616?0 lgk??)lgk? 又：4y?6z?(lg2lg6lg2lg6lg4lg6lgk?lg ∴4y?6z ∴3x?4y?6z 例4已知logax=logac+b，求x 分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形

式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将logac移到等式左端，或者将b变为对数形式 解法一：

由对数定义可知：x解法二：

由已知移项可得logax?logac?b ，即loga由对数定义知：解法三：

bbb?b?logaab ?logax?logac?logaa?logac?a ?x?c?a

?alogac?b?alogc?ab?c?ab ax?b cx?ab ?x?c?ab c四、课堂练习：

①已知 log18 9 = a , 18 = 5 , 用 a, b 表示log3645 解：∵ log18 9 = a ∴log18bb18?1?log182?a ∴log182 = 1?a 2 ∵ 18 = 5 ∴ log185 = b ∴ log3645?log1845log189?log185a?b ??log18361?log1822?a②若log83 = p , log3 5 = q , 求 lg 5

解：∵ log83 = p ∴log233 ＝p ?log23?3p?log32?1 3p 又∵log35?q ∴ lg5?log35log353pq ? ?1?3pqlog310log32?log35三、小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论

四、课后作业： 1．证明：

logax?1?logab

logabx 证法1： 设 logax?p ，logabx?q，logab?r

qqq 则：x?a x?(ab)?ab b?a

pqq(1?r)pr ∴a?(ab)?a ∵ q?0 ∴

从而 p?q(1?r)

logaxp?1?r 即：?1?logab（获证） qlogabx证法2： 由换底公式 左边＝

logaxlogxab??logaab?1?logab＝右边

logabxlogxa 2．已知loga1b1?loga2b2????loganbn?? 求证：loga1a2?an(b1b2?bn)?? 证明：由换底公式

lgbnlgb1lgb2??????? 由等比定理得： lga1lga2lgan

lgb1?lgb2???lgbnlg(b1b2?bn)?? ∴??

lga1?lga2???lganlg(a1a2?an)lg(b1b2?bn)??

lg(a1a2?an) ∴loga1a2?an(b1b2?bn)?五、板书设计（略） 六、课后记：

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