简化解析几何运算方法

简化解几运算八法

解析几何的本质特征是几何问题代数化，就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代

数问题，这提供了许多便利；但也不可避免地造成许多计算的繁琐，同时对运算能力提出较高要求。其实，只要有简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结，许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至避免的。

1.回归定义

圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性。许多美妙而有趣的性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简。

例1 过椭圆左焦点倾斜角为60?的直线交椭圆于点A,B且FA?2FB，则此椭圆离心率为_____.

2?x2y?2?1,2解析 本题的常规解法是：联立?再结合条件FA?2FB求解，运算量大，b?a?y?3(x?c)?作为填空题，不划算！如图1，考虑使用椭圆的定义和有关平面几何性质来求解：

FM?BB??13(AA??BB?)?13(AA??2BB?) ?1AF2BF(?)， 3eey另一方面，在Rt?BC?F中?BFC??60??BF?2FC?, 故FM?FC??C?M?BFe?BF2.于是

A?MB?CC?FBAxO1AF2BFBFBF， (?)?FM??3eee2又FA?2FB，所以可得e?23图1.

例2 一种酒杯是抛物线x2?2py(y?0)绕y轴旋转而成的，将长为l的玻璃棒（质地均匀）随意的放入酒杯内（杯壁足够高，能没入玻璃棒），试确定玻璃棒的平衡位置。 y解析：确定平衡位置即求玻璃棒中点M到x轴距离的最小值， 如图2，应用抛物线的定义进行简捷求解：当AB?l?2p时弦 AAB可以经过焦点F，如图2所示：BB??BF,AA??AF，所以

l?AB?AF?BF?AA??BB??2MM??2(d?p2)?dmin?l?p2.

BlMF 显然当AB?l?2p时平行于x轴时最小为dmin?l2Ox8p.

B?M?A?2．活用平几性质

图2解决解析几何的运算问题，往往需要求解涉及含多个参数的两个以上方程组成的方程组，运算较为复杂，运算能力稍差的同学难以准确迅速求解，甚至半途而废；若能联想题目所涉及图形的几何性质，并利用有关几何性质来解决问题，常常可以峰回路转，收简捷巧妙解题之效果.

例3 已知点P到两定点M(?1,0),N(1,0)的距离比为2，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程。(02年全国高考题)

解析 本题若按常规做法为： 设P(a,b)，则 PM的方程为y?ba?1y(x?1)P， Hx 1

MONC

即bx?(a?1)y?b?0，于是 1?NH?PMPN2bb?(a?1)22?a?1??3b.①

22又2??(a?1)?b(a?1)?b22?(a?3)?b22?8②

（注：满足上述条件2?PMPN的点P的轨迹为阿波罗尼奥圆即圆C）

3?1).于是kPN?将①代入②可得a?2?3，b??(ba?1??1.

因此直线PN的方程为y??(x?1).

若能进一步观察题设条件：如图3，在Rt?MNH中斜边MN?2，直角边NH?1 可得 ?HMN?30?，在?PMN中由正弦定理得

?sin?PNM?PMPNsin30??PMsin?PNM??PNsin?PMN

22??PNM?45或135.

?于是kPN?tan?PNM??1.因此直线PN的方程为y??(x?1).

评注：本题为02年全国高考文科第21题，分值为14分，重点考查学生通过联立①②消参解方程组的运算能力，对文科学生的运算能力提出了较高的要求；通过上述通法与巧法对比，读者容易看出：运用平面图形的有关几何性质来分析解决一些解析几何的问题，可以有效地避免复杂的解几运算，以达简捷解题之目的。

例4 某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图4所示，塔高BC?80米，塔所在的山高OB?220米，OA?200米，图中所示的 Cl(山坡)山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为 B?,tan??12，试问此人距离水平地面多高时，观看塔的视角

PO?BPC最大（不计此人身高）？（05年天津卷高考题）

A?4水平地面

解析 解析法可详参高考评分标准，

这里给出利用平面几何知识的简捷解法：

如图5，作圆M过点B,C且与直 线l相切，切点P的纵坐标即为所求。

设直线l与y轴交于点Q，则易 得Q(0,?100).由圆幂定理得

QP2图yCMlNPABMOPB?OQxA?QB?QC?320?400?QP?1605. 12?sin??15.

图5图6tan??于是yP?100?QPsin??1605?15?yP?60为所求.

注：这道源于生活实际的高考试题，具有深厚的科学背景---来源于几何学史上著名的米勒问题：“设点M,N是锐角?AOB的一边OA上的两点，试在OB边上找一点

P，使得?MPN最大。”

如图6，其结论是：点P为过M,N两点且和射线OB相切的圆的切点（证明略） 以米勒问题为背景改造的高考题和竞赛题还有

①０４年全国联赛题第１２题：在平面直角坐标系中，给定两点M(?1,2),N(1,4)，

2

点P在X轴上移动，当?MPN取最大时，点P的横坐标为________.

②05年浙江卷理第17题：如图7，已知椭圆的中心 在坐标原点，焦点F1,F2在x轴上，长轴A1A2 的长为4， 左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线l1：x＝m(|m|＞1)，P 为l1上的动点，使?F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的

坐标(用m表示)(文科为：若点P为l上的动点，求∠F1PF2最大值)

上述试题若使用圆幂定理来求解，都极为简单（略）。

例5 已知内接于圆x2?y2?9的?ABC的顶点为A(3,0),?BAC?60?，求?ABC的重心G的轨迹方程。

22 解析 本题若设B(x1,y1),C(x2,y2),G(x,y)，则有x12?y12?9，x2?y2?9，

Plyl1P0xF1OF2图7x?3?x1?x23，y?y2?y1?y23y1x1?3?y1，

DCyC(B)GOyDAxDBO再由夹角公式得3?x2?31?y2，

BE(C)xAx2?3x1?322图8图9由以上5个等式消去参数x1,y1,x2,y2得(x?1)?y?1。

值得注意的是：消参具有很高的技巧，一般学生难以做到！这里给出以下做法：

如图8，设D为BC的中点，连结OD，则由?BOC?2?BAC?120?得

OD?12OC?32.故点D(x0,y0)的轨迹方程为x02?y02?3?3x?294.①

设重心G(x,y),??ADDG2??3, 则x0?2,y0??3y?2

代入①式可得(x?1)?y?1.

12下面用运动变化的观点考察点D(x0,y0)的横坐标x0的取值范围：如图9,点C运动

?的极限位置是A,这时?AOB?120，OD?BC于点D，则

OD?OB?且

??AOD?60，作DE?OA于点E得xD?34.点D最靠左的位置为?AOB?120时，

此时xD??32.于是解?32?x0?232(x?1)?234得0?x?32).

32.

故所求轨迹方程为(x?1)?y?1(0?x? 注 1?本题若用三角法可解如下：设B(3cos?,3sin?),C(3cos?,3sin?)，

由?BOC?120知???3cos??3cos??3x?322??120?，设G(x,y)则

32,y?3sin??3sin?，

于是(x?1)?y?(cos??cos?)?(sin??sin?)2?2?2cos(???)?1。 又x?cos??cos??1?1?cos(60???),而0????240?，60??60????300?，

?1?cos(60??)??12,0?x?32.

3

故所求轨迹方程为(x?1)2?y2?1(0??x?32).

2 若是用通法，结合图形的几何性质可简解如下：

22由 x12?y12?9，x2?y2?9，x?3?x1?x23，y?y1?y23

得9[(x?1)2?y2]?(x1?x2)2?(y1?y2)2?18?2(x1x2?y1y2) 而由?BOC?2?BAC?120?得，x1x2?y1y2?OB?OC?3?3?cos120故(x?1)2?y2?1。（限制变量x的取值范围方法同上）

???92

3．数形结合

对于某些几何特征比较明显的问题，常可从分析图形本身所固有的几何特征入手，或从运动变化的观点来分析考察图形中某些量的变化规律，往往可简捷获解。

例6 A,B是已知椭圆于点P?x0,0?，求证：?2xaa22?2yb22?1?a?b?0?上的两点，线段AB垂直平分线与x轴交

a?ba22a?b?x0?（92年全国卷）

简析 着眼于寻求“线段AB垂直平分线”的几何意义，可考虑构造圆 y?x?x0?2?y2它与椭圆

xa22?ryb222?r?PA（如图10）①，

A?l??1②有四个不同交点（或3个， Br当A、B之一为长轴端点时），由①②消去y得

xoP?a2?b2?x22?2ax0x?ab22222-ar?ax0?0③， 2方程③有两个不同实根，则x1??a?x1?x2292?x2?2ax0a22?b2，即x0?2?a?ba222?2x1?x222。 图y10?a，又a?b?0，?在椭圆

x18a?ba22?x0?a?ba. P例7 设点P(0,)，动点A,B?y29?1上且满足 OA(B)A(B)xPA??PB，试求?的取值范围。

解析 本题简捷的解法是从数形结合的角度用运动

变化的观点进行考察：如图11所示，三点P,A,B共线，当 A(0,3),B(0,?3)时??15B(A)图11为最小；将直线PA绕点P逆时针旋转至相切（A,B重合）有

1??1；回转至A(0,?3),B(0,3)有??5为最大，故有??[,5].

54．巧设参数

若涉及较为复杂的动点关系，可以通过设置参数沟通其联系。如何巧设参数？应视题目具体特点而定，或多或少，并讲究消参技巧。如上例7：

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1(x1,y1?(?x2)182218?y19222x2y2①，??1②， ?118992)??(x2,y2?929(??1)]292)?x1??x2，y1?x2292??(y2?94292).代入①式得

[?y2???1??(134218??54?y292)??(??1)y2?(??1)?1

?

y2?1?[??1?94(??1)]?.

4

13454?15又?3?y2?3，即?3???3解得???5.

注：本题解题过程中涉及5个参数，从上述解答过程不难看出讲究消参的技巧对于简捷解题的指导作用。通过巧设参数进行严密推理，可看上例2：

设AB：y?kx?b代入x2?2py得x2?2pkx?2pb?0

x1?x2?2pk，x1x2??2pb，l2?(1?k2)(x1?x2)?(1?k2)[(2pk)2?4(?2pb)]

即l2?4p(1?k2)(pk2?2b)

又 x12?2py1 ， 2p(y1?y2)?x12?x22?x2?2py2 ， y?kx?b?b?2y1?y2x1?x22?2x2p?xp?k

xy?kx?y?

px1?x2?2x ， ?l?4p(1?2xp22)[p?(xp)?2y?22xp2]

y1?y2?2y，

即 l?4p(1?2xp2)[2y?2x2l2pl2]?2y?x2l2，y?x?p?2p?4x216x2p?p2p22p?p2?p 2令

x22pl??p22?t得f(t)?t?16?p,t?[p,??)

t22（1）若

p4即l?2p（通径长）则 当且仅当

p(l?2p)2t?l4即x??p2)

p(l?2p)2时，

ymin?l?p2，即M(?p2?，l?p2)，这时玻璃棒过焦点F(0,（2）若l4，即0?l?2p则f(t)在[l2p2,??)单调递增，当且仅当t?p2即x?0

时，ymin?l2，这时M(0，

8p8p)，玻璃棒呈水平状态（垂直于y轴）.

p总上可知，当棒长l?2p时平衡位置为x轴上方l?2处的平面上，以点(0,l?p2)为

圆心，以在点(0，

p(l?2p)2l2为半径长的圆；当棒长l?2p时，玻璃棒放置呈水平状态，平衡位置

8p)处。

与此问题相关的二则高考题：

1．长度为4的线段AB的两个端点在抛物线y?x上移动，试求线段AB的中点M 到x轴距离的最小值。（87年全国高考题）

本题正是例2在l?4,p?122的特殊情况：ymin?1274此时x??32,M(?37,).24y

2．如图12，点P为抛物线C:y?2x上的一点，直线l过点P 并与抛物线C在点P处的切线垂直，l与抛物线C相交于另一 点Q.（Ⅰ）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程； （Ⅱ）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹

QMPxlO 5

图12

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