数值分析作业答案 - 图文

第2章 插值法

1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。

（2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。

证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底

2设多项式为:P(x)?a0?a1x?a2x，

1x0x1x2x0x1x2x0x1x022211?1211??6 4222所以：A?11x1?1x2x0x12221f(x0)a0?f(x1)f(x2)1a1?11111x0x1x2x0x1x2x0x1x2x0x001?121141111?1211?4x1??3x222214?6??73

x22224f(x0)f(x1)f(x2)x0x1x211110?341141111?1211?4x1?1x21?9?6?32

x21a2?11f(x0)f(x1)f(x2)111x0x21?111?12730?3432111561?1211?4212?5?6?56

x2所以f(x)的二次插值多项式为：P(x)??（2）用Lagrange插值基底

l0(x)?(x?x1)(x?x2)(x0?x1)(x0?x2)(x?x0)(x?x2)(x1?x0)(x1?x2)(x?x0)(x?x1)(x2?x0)(x2?x1)?(x?1)(x?2)(1?1)(1?2)(x?1)(x?2)(?1?1)(?1?2)(x?1)(x?1)(2?1)(2?1)?x?x

2

l1(x)??

l2(x)??

Lagrange插值多项式为：

L2(x)?f(x0)l0(x)?f(x1)l1(x)?f(x2)l2(x)?0?(?3)??56x?216(x?1)(x?2)?4?7313(x?1)(x?1)

32x?所以f(x)的二次插值多项式为：L2(x)??(3) 用Newton基底: 均差表如下：

73?32x?56x

2xk f(xk) 一阶均差 二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/3 5/6 Newton插值多项式为： N2(x)?f(x0)?f[x0,x1](x?x0)?f[x0,x1,x2](x?x0)(x?x1)?0??56322(x?1)?32x?7356(x?1)(x?1)

x?所以f(x)的二次插值多项式为：N2(x)??73?32x?56x

2由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。

x6、在?4?x?4上给出f(x)?e的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似

值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有

R2(x)?13!f???(?)(x?xi?1)(x?xi)(x?xi?1),??(xi?1,xi?1)

式中xi?1?x?h,xi?1?x?h.

R2(x)?16e4maxxi?1?x?xi?1(x?xi?1)(x?xi)(x?xi?1)?16e42133h?3e493h

3令

e493h?103?6得h?0.00658

插值点个数

1?4?(?4)N?1?1216.8?1217

是奇数，故实际可采用的函数值表步长

h?4?(?4)N?1?81216?0.006579

8、f(x)?x7?x4?3x?1，求f[20,21,?,27]及f[20,21,?,28]。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：

f[x0,x1,?,xn]?f(n)(?)n!,??[a,b]

所以有：f[2,2,?,2]?017f(7)(?)7!f(8)?7!7!?1

f[2,2,?,2]?018(?)8!?08!?0

15、证明两点三次Hermite插值余项是

R3(x)?f(4)(?)(x?xk)(x?xk?1)/4!,??(xk,xk?1)22

并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件

H3(xk)?f(xk),H3(xk?1)?f(xk?1)H3(xk)?f?(xk),H3(xk?1)?f?(xk?1)??

知R3(x)?f(x)?H3(x)有二重零点xk和k+1。设

R3(x)?k(x)(x?xk)(x?xk?1)22

确定函数k(x):

当x?xk或xk+1时k(x)取任何有限值均可；

当x?xk,xk?1时，x?(xk,xk?1)，构造关于变量t的函数

g(t)?f(t)?H3(t)?k(x)(x?xk)(x?xk?1)22

显然有

g(xk)?0,g(x)?0,g(xk?1)?0g?(xk)?0,g?(xk?1)?0

在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在?1?(xk,x)及?2?(x,xk?1)使得

g?(?1)?0,g?(?2)?0

在(xk,?1)，(?1,?2)，(?2,xk?1)上对g?(x)使用Rolle定理，存在?k1?(xk,?1)，

?k2?(?1,?2)和?k3?(?2,xk?1)使得

g??(?k1)?g??(?k2)?g??(?k3)?0

再依次对g??(t)和g???(t)使用Rolle定理，知至少存在??(xk,xk?1)使得

g(4)(?)?0

而g(4)(t)?f(4)(t)?k(4)(t)4!，将?k(t)?1代入，得到

f(4)4!(?),??(xk,xk?1)

推导过程表明?依赖于xk,xk?1及x 综合以上过程有：R3(x)?f确定误差限：

记Ih(x)为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。

xk?a?kh,(k?0,1?,n),h?b?an(4)(?)(x?xk)(x?xk?1)/4!

22

1在区间[xk，xk+1]上有

f(x)?Ih(x)?f(4)(?)(x?xk)(x?xk?1)/4!?224!a?x?bmaxf(4)(x)max(x?xk)(x?xk?1)xk?x?xl?122 而最值

xk?x?xl?1max(x?xk)(x?xk?1)22?maxs(s?1)h0?s?1224?116h,(x?xk?sh)4

进而得误差估计：

f(x)?Ih(x)?1384hmaxfa?x?b4(4)(x)

16、求一个次数不高于4次的多项式p(x)，使它满足p(0)?p?(0)?0，

p(1)?p?(1)?0，p(2)?1。

解：满足

?(0)?0H3(0)?H3,

?(1)?1H3(1)?H3的Hermite插值多项式为

(x0?0,x1?1)

1H3(x)??[Hj?03?(xj)?j(x)](xj)aj(x)?H322x?1??x?0???x?0???1?2?(x?1)???1?0?1?0????1?0????2x?x23

设P(x)?H3(x)?Ax2(x?1)2，令P(2)?1得A于是

P(x)?2x?x?23?14

1414x(x?1)22?x(x?3)22

第3章 曲线拟合的最小二乘法

16、观测物体的直线运动，得出以下数据： i 0 1 2 时间t/s 0 0.9 1.9 距离s/m 0 10 30 求运动方程。 3 3.0 50 4 3.9 80 5 5.0 110 解：经描图发现t和s近似服从线性规律。故做线性模型s?a?bt,??span?1,t?，计算离散内积有：

?1,1???1j?0552?6，?1,t??5?tj?0j?0?0.9?1.9?3.0?3.9?5.0?14.7

?t,t???t2jj?05?0?0.9?1.9?3.0?3.9?5.0?53.63

222222?1,s???sjj?05?0?10?30?50?80?110?280

?t,s???tjsjj?0?0?0?0.9?10?1.9?30?3.0?50?3.9?80?5.0?110?1078

求解方程组得：

?6??14.7?14.7??a??280??????? ?????53.63??b??1078?a??7.855048，b?22.253761

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