关于经典变质量问题的研究

关于经典变质量问题的研究

Studies On Classical Problem Of Changing Quality

院 系 专 业 学 生 班 级 姓 名 学 号

物理科学与工程技术学院

物理学

指导教师单位 物理科学与工程技术学院

指导教师姓名 指导教师职称

副教授

关于经典变质量问题的研究

物理学222级1111班

指导教师

摘要

本文所讨论上的是体系动量定理的一个重要应用，即所谓的变质量体系。这里所说的变质量，并非指相对论中描述的质量随运动物体速度而变化的相对论情况，而是指物体在运动过程中不断与外界交换质量的运动。显然，我们这里所说的变质量质点是指它在运动过程中连续地放出质量或有质量加入其中。比如，火箭升空，不断地耗费燃料；汽船在河里行驶；雨滴下落，等等。诸如此类的问题就是变质量的问题。如果我们把分离出去的部分和以后要加入的部分都包括在质点系内，质点系的质量仍是不变的，可是我们关心的只是变化着质量的那部分的运动规律，因此需要推导出这部分即变质量质点的运动方程。

本文的目的在于通过处理一些经典变质量问题，加深我们对各种力学现象的理解。本文侧重于变质量力学的最基本理论，包括变质量质点运动方程的导出、推广，变质量质点的普遍定理。此外，本文列举变质量质点运动方程应用的一些实例，如一级火箭、多级火箭，变质量质点的曲线运动。

关键词:经典，变质量，齐奥尔科夫斯基，火箭，弹道方程

Studies On Classical Problem Of Changing Quality

Physics 2008-1 WangDeng Supervisor GuanXiaoRong

Abstract

This paper discussing on the system is one of the important applications of the

theorem of momentum, the so-called variable mass system. The variable quality, does not mean that relativity describes the quality varies with the speed of a moving object and the changes in the relativistic case, but the object in motion in the process of continuous with the outside exchange quality movement. Obviously , we said variable mass refers to it in the process of movement continuously released quality or quality to them. For instance, a rocket launch, continue to fuel steamboats on the river； travel； falling raindrops, and so on. And so on is the problem of variable mass problems. If we get separated and later to join the sections are included in the system of particles, particle system quality remains unchanged, but we care about is changing quality of that part of the movement, therefore need to be deduced from this part of the equation of motion of variable mass.

The purpose of this paper is through some classical mass variable problem, deeping our understanding of a variety of mechanical phenomenon. This article focuses on the basic theory of variable mass mechanical, including variable mass particle motion equation, variable mass promotion, the general theorem. In addition, this paper lists the equations of motion of variable mass application examples, like a rocket, rocket, the curvilinear motion with variable mass.

Key words:Classic, variable quality, Tsiolkovsky, rocket, ballistic equation

目录

1 前言????????????????????????????????1 2 变质量质点的运动方程????????????????????????1 2.1变质量质点运动方程的导出????????????????????1 2.2变质量质点运动方程的推广????????????????????5 3 变质量质点运动方程的应用??????????????????????7 3.1齐奥尔科夫斯基的两个问题????????????????????7 3.2二级火箭???????????????????????????14 3.3火箭的弹道方程????????????????????????15 4 变质量质点的定理?????????????????????????18 4.1变质量质点的动量定理?????????????????????18 4.2变质量质点的动量矩定理???????????????????19 4.3变质量质点的动能定理?????????????????????19 致谢????????????????????????????????21 参考文献?????????????????????????????22

玉林师范学院本科生毕业论文

1 前言

一般文献中将物体质量按一定规律变化的诸如火箭发射、雨滴下落等问题称作“变质量”问题，实际上在牛顿力学范围内，质量变与不变是一个研究对象的选取问题[14]。经典变质量问题是理论力学研究的一个重要内容，它所研究的是质量变化的物体的力学问题。它的理论是在牛顿定理的基础上建立起来的，所以它属于经典力学范畴。在这里，不同于一般的质点系动力学问题，我们并不是对质点系的所有质点都感兴趣[7]，仅仅着重研究作为“主体”的质点动力学问题。

我们所研究的变质量质点的质量变化，是由于其连续地放出或加入质量而引起的。如果把变质量质点及其放出或加入的所有质量作为一个整体，那这就属于质量不变的质量系，则可以用质点系的普遍定理来研究它们的运动，这是质点系动力学问题，但这将是非常复杂的。本文所讨论的变质量体系有两个特征:一是它的质量不是常数，而是随时间变化，这种变化是由于外界不断有新的质量进入体系，或者体系内部不断有质量输送到外界；二是体系中所有质点的运动情况相同，因而仍可用一个质点来描述体系的运动。归纳起来，我们所关心的只是质点本身的运动的规律，本文所研究的是一个质量随时间变化的质点的运动。

2 变质量质点的运动方程

在理论力学动力学的一般章节中，我们所研究的对象不论是质点或质点系都有一个共同特点，那就是它们的质量在运动过程中保持不变。但工程技术和自然现象的不少实例表明，在一些物体的运动过程中，它们的质量在连续地变化，而欲利用火箭来实现人类到宇宙中去航行的科学理想，则对变质量力学提出了迫切需要解决的新课题，从而促进这一力学分支的建立与发展。在十九世纪中叶，人们对天体力学的研究中就曾提出了变质量力学的问题，在近代变质量力学的发展中很重要的一方面就是与一些实际问题相联系，其中最典型的问题就是对火箭运动的研究。 2.1变质量质点运动方程的导出

本节将应用动量定理导出变质量质点的运动方程，办法是把分离出来或(和)结合进来的部分都包括在质点系内，用质点系的动量定理。一变质量质点，由于在运动中连续地放出质量或有质量加入其中，而使其质量在连续地变化。如以m表示质点的质量，t表示时间，则m为t的单值连续函数[1]。即

- 1 -

王登 关于经典变质量问题的研究

m?m?t?

用dm表示m?t?对时间的导数，则在放出质量的情况下，dm?0；而在加入质量的情

dtdt况下，dm?0。

dt由于影响变质量质点运动的只是刚分离出去或(和)刚结合进来的那部分，早已分离出去和尚未结合进来的都对此刻的变质量质点的运动无影响，因此，我们只需考虑t~t??t时间内的变质量质点和在此期间变化的部分，在此期间，把它们取为质点系，用质点系的动量定理。为了说话的方便，本论文我们把变质量的质点称为本体，把分离出去或结合进来的部分称为微粒。

参见图2.1，考虑t到t??t时间间隔内本体和微粒这一体系的动量变化和外力

??的关系。在t时刻，本体质量为m，速度为v，外力为Fm；微粒质量为?m，速度????为u，外力为F?m。在t??t时刻，本体质量为m??m，速度为v??v，外力为???F?Fm?F?m。

?FΔm ? u ?Fm ?v

t??t时刻 ????F??Fm??F?m F?Fm?F?m ??v??v

t时刻 图2.1 两个物体的结合

Fig.2.1 The combination of the two objects

根据动量定理，物理体系的动量变化决定于所受外力矢量的冲量[12]，即

?????(m??m)(v??v)?(mv??mu)?F?t (2.1.1)

??v???m???m即 m ?(u?v)?F??v?t?t?t?令?t?0，则?v?0，上式取极限得

?dv??dm?m??u?v??F (2.1.2) dtdt方程(2.1.2)由彼得堡大学教授密歇尔斯基于1897年得出，它对于研究可变质

- 2 -

玉林师范学院本科生毕业论文

量质点的许多不同类型的实际问题，是一个基本的方程式[10]。这就是变质量质点(本体)的运动方程，称为密歇尔斯基方程。 几点说明:

?????（1）方程中，外力F?Fm?F?m，Fm和F?m都是本体、微粒这个质点系以外物体

所施的力，把作用于这个质点系的外力对本体和微粒分裂，是为了引起读者的注意，作用于微粒的外力不总是为零或可以忽略的。但要防止反生下列错误:把无需考虑

?的微粒作用于本体的力也考虑到Fm中去。

?dv??dm（2）方程中，微粒对本体的作用力为?u?v?。式(2.1.2)左端m为本体m?t?在

dtdtt时刻的动量变化率，也为变质量质点与加速度的乘积，必须注意式中m?t?为时间

的函数。当u?v时，方程(2.1.2)与牛顿第二定律虽然形式上一样，但要注意m仍是变量。

（3）当u?0时，方程变为

?????dv?dmd?dp?m?v??mv???F (2.1.3) dtdtdtdt这与牛顿定律一样。

（4）式(2.1.2)虽然是在dm?0的情况下导出的，但当在

dtdm结论依然正确，?0时，

dt火箭就是这种情况的例子。

???dm我们可以将?u?v?用?来表示，即

dt?dm???u?v? (2.1.4) ??dt??质量??长度?2??质量??长度??时间?，即?与力的量纲相同，我们称为反推其量纲为

?时间??时间?力[1]。即反推力为一矢量，等于变质量质点质量的导数与分出(加入)质量的相对速度矢量vr?u?v的乘积。将式(2.1.4)代入(2.1.2)可得

????dv??m?F?? (2.1.5) dt - 3 -

王登 关于经典变质量问题的研究

式(2.1.2)与式(2.1.5)表明:变质量质点运动时，主体m?t?质量与其加速度的乘积，等于作用在m?t?及?m所构成的系统的外力矢量和与反推力的矢量和。方程(2.1.5)虽然是由“二质点系统”作为研究对象推出的，但它所描述的对象却是在某一时刻，即在推导过程中发生的对象转换[11]。 t的主体m，而不是“二质点系统”

例2.1.1 质量为m的匀质链条，全长为L，手持其上端，使下端离地面的高度为h。然后放手让它自由下落到地面，如图2.2所示。求链条落到地面上的长度为l时，地面所受链条作用力的大小。

L

图2.2 链条下落 Fig.2.2 Chain whereabouts

解 此题可用变质量质点运动方程求解。设地面上链条的质量为ml，则ml?h ml，L未落到地面的链条为本体，其质量为m?m?t??m?ml。因落在地面上链段ml速度为零，所以式(2.1.2)中u?0，作用在未落地部分?m?ml?上的外力有两个:重力

??G，大小为?m?ml?g，方向向下；地面给它的冲力F'，方向向上。取向下为正，

由式(2.1.2)可得:

?m?ml?dv??vd?m?ml???m?ml?g?F'

dtdt因在自由下落中

dv?g，所以由上式可得 dtvd?m?ml???F' dt - 4 -

玉林师范学院本科生毕业论文

因ml?dlml，且v?，即得

dtLvddtl????m1??????F' ?L????F'?m22m?l?h?v?g LL式中v为即将着地部分m?ml的速度，其值按自由落体公式为2g?l?h?，已经代入。地面所受链条作用的大小为F'的反作用力加上已落部分ml的静压力，即

F?2.2变质量质点运动方程的推广

2m?l?h?mlg?g LL前面讨论了变质量质点在运动过程中连续地加入或放出质量时的运动方程，现在把这个结论推广一下，假设质点在运动过程中同时有质量加入和放出，考察从任一瞬时t开始的微小时间间隔?t内，变质量质点的运动(图2.3)。

?m1?m2 m m??m t??t时刻 t时刻 图2.3变质量质点加入和放出质量

Fig.2.3 Variable mass particles to join and release quality

设质点在此时间间隔内加入的质量为?m1，而放出的质量为?m2。如果在瞬时t质点的质量为m，则在瞬时t??t质点的质量为

m??m?m??m1????m2?

或 ?m??m1??m2 (2.2.1) 与推导变质量质点的运动过程(2.1.2)相同，观察从瞬时t到瞬时t??t的微小时间间

- 5 -

王登 关于经典变质量问题的研究

隔内变质量质点的运动过程。

在t时刻，本体的质量为m，速度为v，微粒的质量为?m1，速度为u1。 在t??t时刻，本体的质量为m??m，速度为v??v，微粒的质量为?m2，速度为u2。

则在瞬时t质点及其要加入的质量为?m1，所组成的质点系的动量和为

??????????mv?t?mv??m1u1 (2.2.2)

在瞬时t??t，质点系的动量则等于质点和已被放出的质量?m2的动量和，即

??????mv?t??t??m??m??v??v?????m2?u2 (2.2.3)

体系的动量守恒方程为

?????mv?t??t???mv?t?F?t (2.2.4)

??????即 ??m??m??v??v???m2u2???mv??m1u1??F?t

??v???m1???m2???m得到 m ??u1?v???u2?v??F??v?t?t?t?t?令?t?0，则?v?0，上式取极限得

??dv??dm??dmm??u1?v?1??u2?v?2?F (2.3.5) dtdtdt???式中，F为质点所受外力的合力，m?m?t?为质点的质量，u1，u2分别为微粒1

和微粒2在并入本体前的速度，变速率，而本体的质量改变为

dm1dm2和则分别为相应两种交换过程的质量改dtdtdmdm1dm2 (2.2.6) ??dtdtdt式(1.3.5)中，若令?m1的相对速度u1?v?vr1，?m2的相对速度u2?v?vr2，则方程改写为

??dv?dm1?dm2m?vr1?vr2?F (2.2.7) dtdtdt??????事实上，这个方程还可以推广到当质点以不同的相对速度同时加入并放出几个

- 6 -

玉林师范学院本科生毕业论文

质量的情况。设从瞬时t到t??t的时间间隔内，质点所加入的质量分别为?m1、

?m2、?、?mn，其中凡是加入的质量?m?0，而放出的质量?m?0，这些质

量的相对速度分别为vr1、vr2、?、vrn。在这种情况下，方程式(2.2.7)变为

????dv?dm1?dm2?dmn?m?vr1?vr2???vrn?F (2.2.8) dtdtdtdt而式中m?m?t?为变质量质点的质量，且本体的质量改变为

dmdm1dm2dm?????n (2.2.9) dtdtdtdt3 变质量质点运动方程的应用

在第二章中，我们讨论了变质量质点运动描述的方法，即建立变质量质点运动方程，而没有涉及到有关变质量问题的研究在实际生活中的应用。本节将讨论变质量质点运动方程的应用，在近代变质量力学的发展中很重要的方面就是与一些实际问题相联系。

3.1齐奥尔科夫斯基的两个问题

俄国学者齐奥尔科夫斯基研究了在不受外力作用和在均匀重力场内，变质量质点以不变的相对速度向运动反向放出质量的运动。这就是火箭运动的最简单情况，通常称为齐奥尔科夫斯基的两个问题。 一、齐奥尔科夫斯基的第一类问题

考虑火箭在足够远的空间飞行，那里的空气阻力和重力皆可忽略不计。设想变质量质点在真空中运动，不受外力作用，并设其放出质量的相对速度vr的大小不变，而方向与质点的速度v相反(图3.1)。

??xO ? vr ?v x 图3.1 变质量质点不受外力作用

Fig.3.1 Variable mass particle free from external force

- 7 -

王登 关于经典变质量问题的研究

取坐标轴ox与速度v方向相同，这是一个变质量物体的运动方程，由方程(2.1.2)得

??dv??dm m??u?v?dtdt????由于这是一维运动，而且vr?u?v，vr与v方向相反，得

m即

dvdm ??vrdtdtdvdm?? (3.2.1) vrm将起始条件t?0，v?v0，m?M0代入式并积分，可得

v?v0?vrlnM0 (3.2.2) m式(3.2.2)就是所研究的变质量质点的速度变化规律。此式也就是火箭在不受外力作用运动的速度公式。火箭开始发射时的质量为M0，其中包括所有燃料的质量因此火箭所有燃料用完之时质量为Ms?M0?Mf(包括火箭外壳和所带的仪Mf，

器设备)。应用式(3.2.2)可求出火箭在燃烧终结时的速度为

Mf?v?v0?vrln??1?M0?如v0?0，则

??? (3.2.3) ?Mf??M0 (3.2.4) ?v??vrln?1??vlnr??M0?Ms?这叫齐奥科夫斯基公式或理想速度公式，是在不考虑空气阻力和重力条件下得出的

[8]

。分析式(3.2.4)可得出如下结论:

(1)火箭在燃烧终结时的速度与燃料喷射时的相对速度vr成正比。

(2)火箭在燃烧终结时的速度与质量比M0Ms有关，而与燃烧的快慢无关。 (3)火箭在燃烧终结时的速度与M0Ms的对数成正比。

- 8 -

?玉林师范学院本科生毕业论文

注意以上三点结论是火箭在真空中运动，不受外力作用而得到的，特别要注意第二点。在火箭运动的实际过程中，其运动情况要复杂得多。

根据式(3.2.2)求出质点的运动规律，必须给出其质量的变化规律。在现代实际问题和一些理论研究中，以下两种质量变化规律应用得最广。

(1)设有线性关系m?m0?1??t?，其中?为正值常量，又设x0与v0为t?0时质点的初始坐标与速度[3]。

将m?m0?1??t?代入式(3.2.2)并积分，可得到质点的运动规律。

dxm?v?v0?vrlndtm0 ?v0?vrln?1??t?对上式积分，用初条件t?0时，x?x0，得

x?x0?v0t?vr???1??t?ln?1??t???t? (3.2.5)

(2)设有指数变化规律m?m0e??t，??0为常量，x0与v0为t?0时质点的初始坐标与速度[3]。

将m?m0e??t代入式(3.2.2)并积分，可得到质点的运动规律。

dxm?v?v0?vrlndtm0 ?v0??vrt用初条件t?0时，x?x0，得

x?x0?v0t-?vr2t2 (3.2.6) ??例3.1.1 如图3.2所示，设火箭喷出气体的相对速度u?v沿火箭的轨道切向，且为一常量vr；火箭飞行中不受任何外力作用；火箭起始质量为M0，燃料烧尽后的质量为M，求火箭能够达到的速度[2]。

- 9 -

王登 关于经典变质量问题的研究

?u ?v

图3.2 火箭的运动

Fig.3.2 The movement of the rocket

解 这是一个变质量物体的运动问题，由方程

?dv??dm?m??u?v??F dtdt得

?dv??dm m??u?v?dtdt??由于是一维运动，vr?u?v，且与v的运动方向相反，得

?m即 ?dvdm??vr dtdtdmdv? mvr注意，上式中dm?0，dv?0，积分得

??MM0dm1?mvr?vf0dv

即 vf?vrlnM M0二、齐奥尔科夫斯基的第二类问题

事实上，火箭在运动中受到地球的引力，现在我们来研究齐奥尔科夫斯基的第二类问题[7]。研究变质量质点在均匀重力场内沿铅直方向向上的运动，并求质点的速度变化规律和运动规律。

取ox轴沿铅垂直方向，且向上为正(图3.3)。火箭发射时，可把一般变质量物

- 10 -

玉林师范学院本科生毕业论文

x ?mg x ?vr O 图3.3 变质量质点受重力作用

Fig.3.3 Variable mass particle subject to gravity

?dv??dm?体的运动方程写为m??u?v??F，燃料(微粒)发射时相对于火箭(本体)的

dtdt?????dv?dm?，这速度vr??u?v?可作常量来处理，vr与质点的速度相反，于是m?v?Frdtdt便是火箭的运动方程[9]。由于是一维运动，外力只有重力，而作用于微粒的重力是可以忽略的，则

m各项遍乘dt，及分离变量得

dvdm??vr?mg (3.2.7) dtdtdv??gdt?vrdm (3.2.8) m积分时用初条件t?0时，v?v0，m?M0，得火箭在燃烧终结时的速度为

vs?v0?gts?vrlnM0 (3.2.9) Msvs即为燃料耗尽时的最大速度，又叫作火箭的特征速度[13]。ts为喷射时间，式

(3.2.9)就是所研究质点的速度变化规律，也就是在受重力作用下火箭运动的速度公式。分析式(3.2.9)，怎样提高火箭的最大速度呢?可以采取以下几个措施: (1)提高喷射速度vr。 (2)提高质量比M0?MsMf?MsMs?MfMs?1，减小空火箭质量，增大燃料质量都

能增大这个质量比。

(3)加快燃料燃烧时间，缩短喷射时间ts，以减小重力的影响。这与前面齐奥尔

- 11 -

王登 关于经典变质量问题的研究

科夫斯基的第一类问题要注意区别。

(4)采用多级火箭，但一般采用三至四级为宜，采用再多效果就不大了。

根据式(3.2.9)求出质点的运动规律，必须知道本体质量随时间变化的规律

m?m?t?。

(1)设有线性关系m?m?t??m0?1??t?，其中?为正值常量，又设初条件

t?0时，x?x0。

对式(3.2.8)积分，用初条件t?0时，v?v0，m?m0

dxm?v?v0?gt?vrlndtm0 ?v0?gt?vrln?1??t?再对上式积分，用初条件t?0时，x?x0

x?x0??v0?vr?t?12vr?1??t?ln?1??t? gt?2?上式只适用于从开始发射到燃烧为止这一段时间内，即0?t?烧完以后的运动就比较简单，这里就不讨论了。

m0?ms期间。?m0(2)设有指数变化规律m?m?t??m0e??t，??0为常量。

dxm?v?v0?gt?vrlndtm0 ?v0?gt??vrt用初条件t?0时，x?x0，积分得

x?x0?v0t?1?g??vr?t2 2a.如g??vr?0，在此情况下质点处于平衡，即作匀速直线运动或静止。 b.如g??vr?0，质点具有一向下的常值加速度，其大小为g??vr，所以它的运动与上抛物体相似。

c.如g??vr?0，质点具有向上的常值加速度，其大小为??g??vr?，所以质

- 12 -

玉林师范学院本科生毕业论文

点作匀速向上运动。

如果我们研究的是火箭的运动，则g??vr?0，而且上述x?t?的关系只适用于0?t?1lnm0期间，以后的运动就不讨论了。

?ms例3.1.2 物体沿水平轨道向右滑行，燃气以不变的相对于物体的速度vr铅直地向下排出，物体的初速度为v0。设物体的质量按规律m?m0??t(其中?为常量变化)，滑动摩擦因数为u，求此物体速度的变化规律。

?解 本题中，喷射出的气体的作用力是可以忽略的，即F?m?0。由运动方程

?dv?dm?m?vr?F (1) dtdt????今已知m?m0??t，v?vi，vr??vrj。

???????F?Fm?F?m??uNi??N?mg?j??uNi??N??m0??t?g?j

其中i是沿水平向右的单位矢量，j是沿竖直向上的单位矢量，N是水平轨道对研究物体的支持力。

?????将m、v、vr、F代入(1)式，写成分量方程

?m0??t?dv??uN （2）

dt?vr??N??m0??t?g （3）

由(2)(3)式消去N，得

?m0??t?dv??u?m0??t?g?u?vr

dt?u?vr??dv???ug?dt ??m0??t??积分时用初条件t?0时v?v0得

- 13 -

王登 关于经典变质量问题的研究

v?v0?ugt?uvrln?v0?ugt?uvrln3.2二级火箭

m0??t??m0??t

之前已经指出，为了提高火箭速率，应该提高喷射速度或提高质量比。提高质量比需要浓缩燃料与轻金属或轻合金制的燃料容器。由于技术上的原因，不论提高喷射速度或提高质量比都有一定的限度。这样，火箭所能达到的速率还不足以帮助人们实现宇宙航行的愿望。对此齐奥尔科夫斯基也指出了解决途径，即所谓“火箭列车”，亦即“多级火箭”[7]。了解多级火箭所涉及内容较为复杂，这里只介绍二级火箭。

图3.4所示为一个二级火箭的示意图。通常要把某个载荷运送到高空所用的运

图3.4 二级火箭的示意图 Fig.3.4 Schematic of the two rocket

载火箭由三部分组成:一级火箭、二级火箭和载荷。假设一级火箭在开始燃烧时的质量为M1，其内携带燃料的质量为M1c，设M1c??M1。二级火箭在开始燃烧时的质量为M2，其内携带燃料的质量为M2c??M2，载荷的质量为P。又设火箭的初速度为零。燃料从火箭内部喷出的相对速度为vr?常数，其方向与火箭的速度方向相反，并且每秒内喷射出的燃料质量为常数。火箭沿铅直方向向上运动，在这里略去重力的作用。由式(3.1.2)

M2 M1 v?v0?vrlnM0 m - 14 -

玉林师范学院本科生毕业论文

式中v0为初速度，M0为t?0时，火箭的质量。当v0?0时，上式可写作

v??vrlnm (3.2.1) M0由式(3.2.1)得出当一级火箭内的燃料全部喷射完时，火箭的速度为

v1??vrlnM1?M2?P??M1 (3.2.2)

M1?M2?P式中M1?M2?P?M0为t?0时的质量，M1?M2?P??M1为一级火箭燃料刚喷射完时火箭的质量。显然，当火箭第一级抛出后，其运动微分方程为

?P?M2??t?dv??vrdtd?P?M2??t? (3.2.3) dt式中，?为火箭喷射时单位时间内燃烧的质量，m?t??P?M2??t为火箭的质量。显然利用式(3.2.3)可求出当燃料全部喷射完毕时，第二级火箭的速度为

v2?v1?vrln将式(3.2.2)代入式(3.2.4)，可得

M2?P??M2 (3.2.4)

M2?P????M1?M2?v2??vrln?1??vln1??r?? (3.2.5)

?M1?M2?P??M2?P?在式(3.2.5)中，如取经典数值:M1?M2?50P(即入后得

P1)，?????，代

?M1?M2100v2?6000ms。

这个数值比起一级火箭所得到的速度显然是改善多了。 3.3火箭的弹道方程

与不变质量质点的运动相似，自由的变质量质点在空间作曲线运动是有条件的，所以在一般的情况下，变质量质点的运动是曲线运动。变质量问题的研究很重要的方面就是与实际生活相联系，下面就用变质量质点的运动方程研究变质量质点曲线运动的实例，即火箭的弹道方程。

- 15 -

王登 关于经典变质量问题的研究

如图3.5所示变质量质点以初始速度v0发射后在重力场内的运动，其中v0与水

??y

O ? v0??mgvr? x 图3.5 变质量质点的曲线运动 Fig.3.5 Variable mass curve motion

初始速度v0的方向相反，其质量变化规律为M0e??t。下面求该质点的运动规律。

取坐标原点o与质点开始运动的点重合，坐标ox轴与oy轴垂直，并使初始速度v0在xoy平面内。显然，质点在xoy平面内运动。根据式(2.1.2)可写出变质量质点在ox轴，oy轴方向的运动方程为

??dvxdm???vrcos??dtdt? (3.3.1)

?dvydmm??vrsin??mg??dtdt?m将m?M0e??t代入上式可得

dvx???vrcos??dt? (3.3.2)

?dvy??vrsin??g??dt?将式(3.3.2)积分两次，并代入初始条件:

t?0，x0?0，y0?0，v0x?v0cos?，v0y?v0sin?

就得到质点的速度和运动规律为:

vx?v0cos???vrcos?t?? （3.3.3）

vy?v0sin???vrsin?t?gt?

- 16 -

玉林师范学院本科生毕业论文

x?v0cos?t???? (3.3.4) 2??vrgy?v0sin?t?sin?t2?t2?22??cos?t2?vr由式(3.3.4)可以求出变质量质点的飞行时间T 令y?0，得

T?2v0sin? (3.3.5)

g??vrsin?显然式(3.3.5)只有在g??vrsin?的条件下才成立，如果g??vrsin?，质点沿铅垂方向将向上作等加速运动，不会再飞回地面。利用式(3.3.4)亦可求出质点的水平射程s为

2sin?cos?2sin2?2v02v0 (3.3.6) s???vrcos?2g??vrsin??g??vrsin??也可求出质点达到最大高度的时间t1vy?0和最大高度H，即

??t1?v0sin?

g??vrsin?2sin2?v0 (3.3.7) H?2?g??vrsin??设到达最高点时，质点飞行的水平距离为sH，则

2sin?cos?2sin2?v0v01sH???vrcos? (3.3.8) 2g??vrsin?2?g??vrsin??比较式(3.3.6)与式(3.3.8)得到

s?2sH??vrcos??g??vrsin??2sin2?v02 (3.3.9)

因此，顶点在水平线上的投影不是水平射程的中点，而比中点稍靠进于弹道的起点，这与不变质量质点的抛物运动是有区别的。

如果火箭喷出燃料时，其质量按式m?M0e??t(M0和?为常数)，且火箭在飞行时它的纵轴永远保持与初始时的方向相同，忽略空气阻力，则上述的式(3.3.4)就是火箭在真空中的弹道方程。

- 17 -

王登 关于经典变质量问题的研究

4 变质量质点的定理

在前言中，我们说过我们所关心的只是质点本身的运动的规律。对于被放出或加入的质量也只知道它在加入或脱离该质点那一瞬间的运动情况。所以，研究变质量质点的实质，在于通过该质点与其放出或加入质量的瞬间作用找出变质量质点的运动规律，对于经典变质量问题的分析，通常应用变质量质点的方程求解。本章将讨论由变质量质点的运动方程导出变质量质点的一些普遍定理。 4.1变质量质点的动量定理

变质量质点在任意瞬间的动量就等于质点在该瞬时的质量m与其速度v的乘积。以q表示其动量，则

???? q?mv (4.1.1)

可见，动量q是一矢量，其方向与v相同。对式(4.1.1)求导，并注意m?m?t?，可得

????dqdm?dv (4.1.2) ?v?mdtdtdt将式(2.1.2)代入式(4.1.2)的右端可得

?dqd?dm???dm???mv??v??u?v??F (4.1.3) dtdtdtdt即

?dqd??dm??mv??u??F (4.1.4)

dtdtdt?dqdm?u与作用于该质式(4.1.4)中，是变质量质点动量对时间的导数，右端是

dtdt点上外力的和力两者的矢量和。与式(2.1.4)对比，我们可以称它为由于放出(加入)

??质量的绝对速度而引起的反推力(因u为微粒dm的绝对速度)，以?u表示，则

?dm??u?u (4.1.5)

dt将式(4.1.5)代入式(4.1.4)得

???dqd??mv???u?F (4.1.6) ?dtdt

- 18 -

玉林师范学院本科生毕业论文

???dqd?式(4.1.6)就是变质量主体的动量方程，如果u?0则式(4.1.6)??mv??F。

dtdt的各项的物理意义如下:

?dm?dqd?为t时刻变质量质点动量对时间的导数；??u?u是即将并入?mv??dtdtdt?(或分出)微粒dm对变质量主体的作用力；F当然为作用在质点系以外物体所施的

力。式(4.1.6)表明:变质量质点对时间的导数，等于由于放出(加入)质量的绝对速度而引起的反推力与作用与其上外力的合力的矢量和。该式称为变质量质点的动量定理。

4.2变质量质点的动量矩定理

与不变质量质点的动量矩定义相同，变质量质点在任意瞬时对空间某一点O的

???动量矩定义为该质点对O点的矢径r与其动量mv的有向积。以J表示变质量质点

对O的动量矩，则

??? J?r?mv (4.2.1)

如果O为固定点，将式(4.2.1)对时间求导，得

??dJd???dr???d???r?mv????mv??r??mv?dtdtdt?dt? （4.2.2）

???d??d???v?mv??r??mv??r??mv?dtdt将式(4.1.4)代入式(4.2.2)得

?dJd?????dm???r?mv??r?F?r?u (4.2.3) dtdtdt即

?dJd????????r?mv??r?F?r??u (4.2.4) dtdt式(4.2.4)就是变质量质点的动量矩定理，可以表明:变质量质点对于某固定点的动量矩的导数，等于作用于质点上外力的合力对于该点力矩与由于放出(加入)质量的绝对速度引起的反推力对该点力矩的矢量和。 4.3变质量质点的动能定理

- 19 -

王登 关于经典变质量问题的研究

动能定理在经典力学中的应用往往局限于单质点或封闭的质点系上，这里我们将其应用到非封闭系统上，即本体这一非封闭系统上。同样，与不变质量质点的动能定义相同，变质量质点在任意时刻的动能为

W?则

121?2mv?mv （4.3.1） 22??1??1??d?mv2??mvdv?v2dm （4.3.2）

2?2?由式(2.1.2)可得

??dv?dm?dm （4.3.3） F?m?u?vdtdtdt用dr点乘上式可得

????????F?dr?mv?dv?uv?dm?v2dm （4.3.4）

由于有式(4.3.2)，则式(4.3.4)可写为

??1???1????F?dr?mv?dv?v2dm?v2dm?v2dm?vu?dm22 (4.3.5)

?1?????1???d?mv2??v??u?v?dm2??2??这就是变质量系统动能定理的微分表达式。将式(4.3.5)变形为

??1?2???1??d?mv??F?dr?v??v?2u?dm (4.3.6)

2?2?分析上式可得:以dm进入系统的质量，不仅引起动量的变化udm，还引起动能的变化u2dm。实际上，当v?2u时，进入系统的动能恰好足以补偿损失，在此

?1?2??1?情况下，外力做功等于系统动能的改变[5]，当把u2dm从式(4.3.6)中的

21???v??v?2u?dm分离出来时，则结果为: 21???1?2???1?2d?mv??F?dr?udm??v?u?2dm (4.3.7)

22?2? - 20 -

玉林师范学院本科生毕业论文

1??1?2???1?2d?mv??F?dr?udm?vr2dm (4.3.8)

22?2?对上式两边积分得:

11?21??21?2m2v2?m1v1?W??udm??vr2dm (4.3.9) 2222此式为非封闭系统的动能定理表达式，其反映为:(变质量主体动能的改变)=(合外力做的功)+(质量改变所引起的动能)-(碰撞过程的能量损失)。其损失的能量通常转化为热能[4]，可用Q表示，Q?1?2vrdm。 ?2致谢

四年的学习生活即将结束，回首往事，难以忘怀在这四年的学习和生活中给予我关怀和支持的老师和同学们。

我能够顺利地完成本科阶段的学习，首先要感谢导师xxx，本文是在她的悉心指导和严格要求下完成的，在过去一年的时间里，从论文的构思、研究到论文的撰写与修改无不渗透着导师的心血和汗水。更难忘导师在思想、学业和生活上给我以无微不至的关怀与鼓励。我要向导师致以最衷心的感谢！导师严谨治学的态度，创造性的思维，求真务实的科学精神以及她高尚的人格魅力将对我今后的学术生涯产生巨大的影响！

更要感谢学院全体可敬的老师和可爱的同学们，没有老师的谆谆教导和同学们的热情帮助，这篇论文的完成是不可能的，向将要四年来给予热情指导、关心与帮助的所有老师和同学们致以衷心的感谢！

- 21 -

王登 关于经典变质量问题的研究

参考文献

[1] 程勉.变质量力学基础[M].人民教育出版社.1983年.

[2] 杨维纮.力学[M].中国科学技术大学出版社.2004年11月.155-159. [3] 强元 .经典力学(下册)[M].科学出版社，2003年.78-87.

[4]杨建平，李移春.经典变质量问题的研究[J].湖北名族学院学报(自然科学 版).2003年12月.第21卷第4期.

[5]李质勇.关于经典变质量问题的研究[J].枣庄学院学报.2005年10月.第22卷第5期.

[6]李增蔚.运用动能定理解决经典变质量系统问题[J].太原师范学院学报(自然科学版).2003年9月.第2卷第3期.

[7]梁昆淼.力学(下册)第四版[M].高等教育出版社.2009年7月.29. [8]漆安慎，杜婵英.力学[M].高等教育出版社.2005年6月.105. [9]史可信.力学[M].科学出版社.2003年.123.

[10]石荣彦，石荣章.对经典变质量问题的一点讨论[J].南京大学学报(自然科学).1997年7月.第35卷第4期.

[11]赵春华.经典变质量问题的概念及其运动方程的求解[J].洛阳工业高等专科学校学报.1998年12月.第8卷第4期.

[12]程守洙，江之永主编；胡盘新，汤毓骏，钟季康修订.普通物理学(第六版)上册[M].2006年12月.62.

[13]兰文秀.变质量问题[J].昆明工学院学报.1992年4月.第17卷第2期. [14]邵贵成.变质量问题的实际分析[J].山西师范大学学报(自然科学版).2010年9月.第24卷第3期.

[15]杜秀国，刘久凯.处理变质量问题常用方法讨论[J].吉林师范大学学报(自然科学版).2006年11月.第4期.

- 22 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/i1pv.html