会宁二中2014—2015学年度第二学期期中考试数学试卷（理科）详解

会宁二中2014—2015学年度第二学期期中考试

数学试卷（理科）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知复数z的共轭复数z＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 C．第三象限

B．第二象限 D．第四象限

解析： 求出复数z，再确定z对应的点的坐标．

∵z＝1＋2i，∴z＝1－2i，∴z在复平面内对应的点位于第四象限． 答案： D

2．函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为( ) A．10 C．－1

B．5 3

D．－

7

3

解析： f′(x)＝3x2＋4，f′(1)＝7，f(1)＝10，y－10＝7(x－1)，y＝0时，x＝－.

7答案： D

3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个偶数．”正确的反设为( )

A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c中至少有两个偶数

C．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 D．a，b，c都是偶数

解析： “至少有一个”的反面是“一个也没有”，

∴“a，b，c中至少有一个是偶数”应反设为：a，b，c都是奇数． 答案： A 4．若复数z＝3A．i

5C．i

解析： 因为z＝

1＋bi

(b∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则复数z的共轭复数是( ) 2＋i

3B．－i

5D．－i

1＋bi?1＋bi??2－i?2＋b2b－1

＝＝＋i是纯虚数，所以2＋b＝0且2b－2＋i?2＋i??2－i?55

1≠0，

解得b＝－2.

所以z＝－i，则复数z的共轭复数是i. 答案： C

5．用0、1、?、9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A．243 C．261 [答案] B

[解析] 用0,1，?，9十个数字，可以组成的三位数的个数为9×10×10＝900，其中三位数字全不相同的为9×9×8＝648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.

6．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－1处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )

B．252 D．279

解析： 由题意知f′(－1)＝0，

当x<－1时f′(x)<0，当x>－1时f′(x)>0， ∴当x<－1时，x·f′(x)>0， 当－10时，x·f′(x)>0. 答案： C

1?7．若?2x＋dx＝3＋ln 2且a>1，则实数a的值是( ) ?1??x?A．2 C．5

aa

B．3 D．6

1?2a2解析： ?2x＋dx＝(x＋ln x)| ?1?1＝a＋ln a－1＝3＋ln 2，所以a＝2. ?x?答案： A

131151117

8．观察式子：1＋2＜，1＋2＋2＜，1＋2＋2＋2＜，?，则可归纳出一般式子

222332344为( )

1111

A． 1＋2＋2＋?＋2＜(n≥2)

23n2n－1

1112n＋1

B． 1＋2＋2＋?＋2＜(n≥2)

23nn1112n－1

C． 1＋2＋2＋?＋2＜(n≥2)

23nn1112n

D． 1＋2＋2＋?＋2＜(n≥2)

23n2n＋1解析： 由合情推理可得． 答案： C

9．如图，阴影部分的面积是( )

A．23 C．

35 3

1

－3

B．－23 D．

32 3

解析： S＝??答案： D

132

(3－x2－2x)dx＝?3x－x3－x2?| 1. －3＝??33

10．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( ) A．1 C．－1

B．2 D．－2

解析： 设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0

＋a)．

又y′＝

1， x＋a

1

∴y′|x＝x0＝＝1，即x0＋a＝1.

x0＋a又y0＝ln(x0＋a)， ∴y0＝0.∴x0＝－1.∴a＝2. 答案： B

11．定义复数的一种运算z1* z2＝

|z1|＋| z2 |

(等式右边为普通运算)，若复数z＝a＋bi，2

且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*z的最小值为( )

9A．

2

B．

32 2

3C．

29D．

4

|z|＋|z|2a2＋b2

22解析： z*z＝＝＝a＋b

22

2?a＋b?2＝9，

＝?a＋b?－2ab，又∵ab≤?

2?4

9

∴－ab≥－，z*z≥

4答案： B

9

9－2×＝

4932＝. 22

xf′?x?－f?x?

12．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝0，当x>0时，有>0恒成立，

x2则不等式f(x)>0的解集为( )

A．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

B．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(0,1)

fx

解析： 由题意知g(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，且g(1)＝

x0，

∵f(x)是R上的奇函数， ∴g(x)是R上的偶函数． f(x)

的草图如图所示： x

由图象知：当x>1时，f(x)>0， 当－10.

∴不等式f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 答案： A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．??0(1－x2＋x)dx＝________. 1解析： ??01－x2dx＝π，

4

111?＝－0＝， ?0xdx＝x2| 10

2

2

2

112∴??0(1－x＋x)dx＝4π＋2. 答案：

11

π＋ 42

11

1

1

14. 设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则z的实部是________． 解析： 设z＝a＋bi(a，b∈R)，

则i(z＋1)＝i(a＋1＋bi)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，

所以a＝1，b＝3，复数z的实部是1. 答案： 1

15．在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个．

[答案] 448

[解析] 千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2,0)，(3,1)?(9,7)前一个数为千位数字，后一个数为个位数字．其余两位无任何限制．

∴共有8A28＝448个．

16．若函数f(x)＝x＋x＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________． 解析： f′(x)＝3x＋2x＋m要使f(x)是R上的单调函数， 需使Δ＝4－12m≤0， 1∴m≥.

31

答案： m≥ 3

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)若复数z＝1＋i，求实数a，b使得az＋2bz＝(a＋2z)2. 解析： 由z＝1＋i，可知z＝1－i，代入az＋2bz＝(a＋2z)2，得a(1＋i)＋2b(1－i)＝[a＋2(1＋i)]，即a＋2b＋(a－2b)i＝(a＋2)－4＋4(a＋2)i.

2

??a＋2b＝?a＋2?－4，所以?

?a－2b＝4?a＋2?，?

2

2

23

2

???a＝－4，?a＝－2，?解得或? ?b＝2???b＝－1.

18．(本小题满分12分)一条铁路原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了m个车站(m＞1)，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现有多少个车站？

[解析] ∵原有车站n个，∴原有客运车票有A2n种． 又现有(n＋m) 个车站，现有客运车票An＋m种．

2

∴A2n＋m－An＝62，

2

∴(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62， ∴n＝∴

311

－(m－1)＞0， m2

311

＞(m－1)，即62＞m2－m， m2

1＋2492

∴m－m－62＜0.又m＞1，从而得出1＜m＜，∴1＜m≤8.

2312－1

即m＝2时，由n＝－＝15，

22

当m＝3、4、5、6、7、8时，n均不为整数． 故只有n＝15，m＝2，

即原有15个车站，现有17个车站．

111

19．(本小题满分12分)设f(n)＝1＋＋＋?＋，是否有关于自然数n的函数g(n)，使

23n等式f(1)＋f(2)＋?＋f(n－1)＝g(n)[f(n)－1]对n≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．

解析： 当n＝2时，f(1)＝g(2)[f(2)－1]， f?1?1

得g(2)＝＝＝2.

f?2?－1?1??1＋2?－1当n＝3时，f(1)＋f(2)＝g(3)[f(3)－1]， f?1?＋f?2?

得g(3)＝ f?3?－11

1＋?1＋??2?＝＝3.

11?1＋＋?－1?23?猜想g(n)＝n(n≥2)．

下面用数学归纳法证明：当n≥2时，等式f(1)＋f(2)＋?＋f(n－1)＝n[f(n－1)]恒成立． (1)当n＝2时，由上面计算知，等式成立．

(2)假设n＝k时等式成立，即f(1)＋f(2)＋?＋f(k－1)＝k[f(k)－1](k≥2)， 那么，当n＝k＋1时， f(1)＋f(2)＋?＋f(k－1)＋f(k) ＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k ＝(k＋1)??f?k＋1?－

1?－k k＋1?＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， 故当n＝k＋1时等式也成立．

由(1)(2)知，对一切n≥2的自然数n，等式都成立． 故存在函数g(n)＝n使等式成立．

20．(本小题满分12分)用0,1,2,3,4,5这六个数字，完成下面三个小题．

(1)若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；

(2)若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；

(3)若直线方程ax＋by＝0中的a、b可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？ 解 (1)5×6×6×6×3＝3240(个)．

2

(2)当首位数字是5，而末位数字是0时，有A13A3＝18(个)；

当首位数字是3，而末位数字是0或5时，有A2A4＝48(个)；

112当首位数字是1或2或4，而末位数字是0或5时，有A13A2A3A3＝108(个)；

13

故共有18＋48＋108＝174(个)． (3)a，b中有一个取0时，有2条； a，b都不取0时，有A25＝20(条)； a＝1，b＝2与a＝2，b＝4重复， a＝2，b＝1，与a＝4，b＝2重复．

故共有2＋20－2＝20(条)．

21．(本小题满分12分)用总长14.8 m的钢条做一个长方体容器的框架．如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5 m，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

14.8

解析： 设该容器底面的一边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，此容器的高为h＝

4－x－(x＋0.5)＝3.2－2x(0

于是，此容器的容积为V(x)＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，其中0

由V′(x)＝－6x＋4.4x＋1.6＝0，得x＝1或x＝－(舍去)．

15

因为V(x)在(0,1.6)内只有一个极值点，且x∈(0,1)时，V′(x)>0，函数V(x)单调递增；x∈(1,1.6)时，V′(x)<0，函数V(x)单调递减．

所以，当x＝1时，函数V(x)有最大值V(1)＝1×(1＋0.5)×(3.2－2×1)＝1.8(m3)，h＝3.2－2＝1.2(m)．

即当高为1.2 m时，长方体容器的容积最大，最大容积为1.8 m3. 22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2－3x(a∈R)． (1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围； 1

(2)若x＝是函数f(x)的极值点，求函数f(x)在[－a,1]上的最大值；

3

(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，请说明理由．

解析： (1)f′(x)＝3x2＋2ax－3， ∵f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0. a

∴－≤1且f′(1)＝2a≥0.

3

∴a≥0.

1?12a

(2)由题意知f′?＝0，即＋－3＝0，

?3?33∴a＝4.

∴f(x)＝x＋4x－3x.

1

令f′(x)＝3x2＋8x－3＝0得x＝或x＝－3.

31?14

∵f(－4)＝12，f(－3)＝18，f?＝－，f(1)＝2，

?3?27∴f(x)在[－a,1]上的最大值是f(－3)＝18.

(3)若函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x＋4x－3x＝bx恰有3个不等实根．

∵x＝0是其中一个根，

∴方程x2＋4x－(3＋b)＝0有两个非零不等实根．

??Δ＝16＋4?3＋b?>0，

∴? ?－?3＋b?≠0，?

3

2

3

2

∴b>－7且b≠－3.

∴满足条件的b存在，其取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/i1pa.html