高等数学测试题及解答上部分1-6章

《高等数学》单元测试及详细解答

第六单元 定积分的应用

一、填空题

1、由曲线y?ex,y?e及y轴所围成平面区域的面积是______________ 。 2、由曲线y?3?x2及直线y?2x所围成平面区域的面积是____________。 3、由曲线 y?x1?x2,y?1,x??1,x?1所围成平面区域的面积是_______ 。 4、由曲线y?ex,y?e?x与直线x?1所围成平面区域的面积是_________ 。

5、连续曲线y?f(x),直线x?a，x?b及x轴所围图形绕x轴旋转一周而成的立体的体积v?__________，绕y轴旋转一周而成的立体的体积v?____________。 6、抛物线y2?4ax及直线x?x0(x0?0)所围成的图形绕x轴旋转而成的立体的体积______。

7、渐伸线x?a(cost?tsint)，y?a(sint?tcost)上相应于t从0变到?的一段弧长为______。

8、曲线y??x3?x2?2x与x轴所围成的图形的面积A?_______。

9、界于x?0,x??之间由曲线y?sinx,y?cosx所围图形的面积S?_______。 10、对数螺线r?ea?自??0到???的弧长l?_________。

11、心形线??4(1?cos?)和直线??0,??为____________。 二、选择题

?2围成图形绕极轴旋转所得旋转体的体积

1、曲线y?lnx,y?lna,y?lnb(0?a?b)及y轴所围图形的面积A?（ ）。 （A）

??lnblnalnxdx； （B）?aedx； （C）?edy； （D）?alnxdx。

elnaebxlnbyebe2、曲线r?2acos?所围面积A?（ ）。

?（A）

20?112(2acos?)2d?； (2acos?)d?； （B）???22 第1页

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（C）

?2?0?112(2acos?)d?； （D）2?2(2acos?)2d?。

022?3、曲线r?ae及????,???所围面积A?（ ）。

222?a?a?22?1?22?2?ed?； （C）?aed?； （D）?e2?d?。（A）?aed?； （B）?

00????2224、曲线y?ln(1?x2)上0?x?12一段弧长s?（ ）。 121（A）

?201???1??1?x2??dx； （B）?21?x201?x2dx； 11（C）

?21??2x1?x2dx； （D）?2001?[ln(1?x2)]2dx。 5、双纽线(x2?y2)2?x2?y2所围成的区域面积可用定积分表示为（ ??（A）2?40cos2?d?； （B）4?40cos2?d?；

??（C）2?40cos2?d?； （D）1?420(cos2?)2d?。

6、y?x2,x?y2绕y轴所产生的旋转体的体积为（ ） （Ａ）3?； （Ｂ）

3?510； （Ｃ）2?； （Ｄ）34?。 3７、曲线y?23x2上相应于x从a到b的一段弧的长度（ ）

2244（Ａ）2(b3?a3)； （Ｂ）23(b3?a33)；

3333（Ｃ）23[(1?b)2?(1?a)2]； （Ｄ）29[(1?b)2?(1?a)2]。

8、曲线y?sinx的一个周期的弧长等于椭圆2x2?y2?2的周长的（ （Ａ）1倍； （Ｂ）2倍； （Ｃ）3倍； （Ｄ）4倍。 三、计算解答

第2页

）

）《高等数学》单元测试及详细解答

1、求抛物线y??x2?4x?3及其在(0,?3)和(3,0)处的切线所围成图形的面积。 2、求双纽线r?asin2?所围图形的面积。 3、求由平面图形y?cosx?sinx,y?0(0?x?22?4)绕x轴旋转的旋转体体积。

4、求摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost)的一拱及y?0绕x轴旋转的旋转体的体积。 5、求心形线r?a(1?cos?)的全长，其中a?0是常数。 6、求由曲线y?x?1,x?2,及y?2所围图形的面积。 x7、计算底面是半径R为的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。

第3页

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第六单元 定积分的应用测试题详细解答

一、填空题

1、1 y?ex与y?e及y轴交点为(1,e),(0,1)，取x微积分变量则

x1S??(e?ex)dx?ex|1?e|0?1 0012、

32 y?3?x2与y?2x交点为(?3,?6),(1,2)，取x微积分变量则 31132S??[(3?x2)?2x]dx?[3x?x3?x2]1?。 ?3?3333、2 S??1?1(1?x1?x2)dx??dx??x1?x2dx?2??1?11111221?xd(1?x) ??1212?2??(1?x2)2|1?1?2。

234、e?e?13?1?2 S??(ex?e?x)dx?[ex?e?x]10?e?e?2。

015、由旋转体体积公式知：

26、2a?x0 V???[f(x)]dx，?ax00b2ba2?xf(x)dx。

?x002。 ?y2dx??4?axd?x2a?x07、

a2dxdy? ?atcost,?atsint,

dtdt2S???0(atcost)2?(atsint)2dt??atdt?0?a2?。 28、

37 y??x(x?1)(x?2)，零点为x1??1,x2?0,x3?2,则 1202?10A???(?x3?x2?2x)dx??(?x3?x2?2x)dx?9、42 A??4037。 12?2?0|sinx?cosx|dx

5?42?4??(cosx?sinx)dx???(sinx?cosx)dx??5?(cosx?sinx)dx?42

41?a2a?10、(e?1) 由极坐标弧长公式得所求的弧长

a

第4页

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??S??0r2(?)?r'2(?)d???2a?0(ea?)2?(aea?)2d?

???01?a2a?1?aed??(e?1)

a160? 由??4(1?cos?)得x?4(1?cos?)cos?,y?4(1?cos?)sin?，??0时11、

??8?2，

0由

2元素法

V???ydx??????16(1?cos?)sin2??4(sin??2sin?cos?)d?

02??64??2(1?cos?)2sin2?(1?2cos?)d??160?。

0二、选择题

1、选（C）。以x为积分变量S?a(lnb?lna)?以y为积分变量S??lnb?(lnb?lnx)dx，

ablnaeydy。

12[?(?)]d?，知 ??2?2、选（D）。由极坐标曲边扇形面积公式A???11A??2?(2acos?)2d??2?2(2acos?)2d?。

02?223、选（D）。dA?11(ae?)2?a2e2?,22120A??120???122?aed?。 2214、选（B）。S??1?[ln(1?x)]'dx??221?x2??2x?21??dx??dx。 2?201?x?1?x?25、选（A）。由方程可以看到双纽线关于x轴、y轴都对称，只需计算所围图形在第一象限部分的面积；双纽线的直角坐标方程比较复杂而极坐标方程较为简单： ??cos2?。其在第一象限部分?的变化范围是：??[0,???4]。再由对称性得

1S?4S1?4??4?2d??2?4cos2?d?。

0206、选（B）。绕轴旋转所得旋转体的体积

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113V???ydy???(y)dy??(y2?y5)??。

0025100112217、选（C）。y'?x,从而弧长元素ds?1?(x)dx?1?xdx，所求弧长为

12122s??ba221?xdx?[(1?x)2]b?[(1?b)2?(1?a)2]。 a333338、选（A）。设L1为曲线y?sinx的一个周期的弧长，L2为椭圆2x2?y2?2的周长，显然

L1??2?01?y'2dx??2?01?cos2xdx，将椭圆化成参数方程

?x?cos?(0???2?) ?y?2sin??则L2??2?0(?sin?)?(2sin?)dx??222?01?cos2xdx从而有L1=L2。

32三、计算解答

1、解：切线方程分别为y?4x?3和y??2x?6，其交点坐标是(,3)，

9?S??(4x?3)dx??3(?2x?6)dx??(?x2?4x?3)dx?。

04233320?2、解：由对称性S?2??2012rd???2a2sin2?d??a2。

02?2?3、解：V?4、解：V??40?(cosx?sinx)dx??4?(1?2sinxcosx)dx?0?24??2。

?2?0?a(1?cost)d[a(t?sint)]??a223?2?0(1?cost)3dt

??a3?2?0(1?3cost?3cos2t?cos3t)dt?5?2a3。

5、解：由极坐标系下的弧微分公式得

ds?r(?)2?r'(?)2d??a?(1?cos?)2?sin2?d??2a|cos?2|d?，

?)以2?为周期，因而?的范围是??[0,2?]。又由于由于r?r(?)?a(1?cos 第6页

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r(??)?r(?)，心形线关于极轴对称。由对称性， s?2?ds(?)?4a?cos00???2d??8a。

6、解：由于y?x?1在x?1处取极小值 x1所以可得y?x?,x?1,x?2所围图形面积为

x21112A??(x??2)dx?(x2?lnx?2x)|1?ln2?。

1x227、解：取固定直径为x轴，x为积分变量且x?[?R,R]，过点x且垂直于x轴的立体截面面积为A(x)?3(R2?x2) 于是V?

?R?RA(x)dx??R?R3(R2?x2)dx?23?(R2?x2)dx?0R433R。 3第九单元 重积分

一、填空题

1、设?,?为常数，则

????f?x,y???g?x,y??d?=______________________

D2、区域D由闭区域D1,D2构成，则

??f?x,y?d?=______________________

D3、设函数z?f?x,y?在闭区域D上连续，则在D上至少存在一点??,???是D的面积，使得

??f?x,y?d?=______________________

D4、计算

??xyd?=______________________，其中 D是由直线y?1,x?2,y?x所围成

D的闭区域。 5、设

D

是顶点分别为

?0,0?,?1,0?,?1,2?,?0,1?的直边梯形，计算

???1?x?yd?=______________________

D6、改变下列二次积分的积分次序

?dx?fdy=______________________；

0011 第7页

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?dx?122x?x22?xfdy=______________________；

33?y10?dy?012y0fdx??dy?fdx=______________________；

?x0du?f?v?dv=______________________；

0u7、把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分

x2?y2?4???x?y?dxdy=__________________________；

x?y2?2x2??y??f?x2?y2,arctan?dxdy=__________________________；

x??dxdy=______________________(D??x,y?1?x2?y2?4,y?x)；

?xe??D2??eDx2?y2??8、二重积分

?y2dxdy=__________________________，其中 D是由中心在原点、

半径为a的圆周所围成的闭区域。

9、将下列三重积分化为三次积分

????f?x,y,z?dv=__________________________，?为曲面z?x2?y2及平面z?1所围f?x,y,z?dv=__________________________，?为曲面z?r2?x2?y2及xoy面

成的闭区域；

????所围成的闭区域；

10、区域?为三坐标面及平面x?2y?z?1所围成的闭区域，则三重积分

???xdxdydz=__________________________.

?二、选择题

1、二、三、四象限的部分，则D1,D2,D3,D4分别为单位圆盘x?y?1在一、（ ） (A)

222x??yd?=D1??xD22yd?；(B)

??xD32yd?；(C)

??xD42yd?；(D)0.

22、D???x,y?x2?y2?1,x???，则

??1?2????xD?y2d?=（ ）

? 第8页

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(A)

?11?2dx?1?x2?1?x2?x2?y2?dy；(B) ?1?x2?1?x22dyx?ydx； 12??21??(C)

?1dx?1?2?11?x2?x2?y2dy；(D)

?222??dy. dxx?y1??11?2?13、?由不等式确定：z?x2?y2，x2?y2??z?1?2?1，则???f?x,y,z?dv=（ ）

?(A)

?20dzf?x,y,z?dxdy；(B)

,z?dxdy；

x2???y2?1?20dzx2???f?x,yy2?z2(C)

?2dzz?dxdy；(D) ?2??fdxdy??10x2?y2??f?x,y,?2z?z21dzx2?y2?2z?z20dz2???fdxdy.

xy2?z24、?为单位球：x2?y2?z2?1，则

???x2?y2?z2dxdydz=（）

?(A)

???dxdydz；(B)

???2?0d??10d??0?3sin?d?；

(C)

?2??12?0d??0d??0?3sin?d?；(D)

?2?0d??d??100?3sin?d?.

5、?由不等式确定：x2?y2?z2?1，z?x2?y2，则???zdxdydz?（ ）?(A)

??dxdy?1?x2?y2x2?y2zdz；(B) ?10dz

x2?y2?1x2???dxdy；y2?z22?1?r22??(C) ?2?120d??0drrzdr；(D)

?d??41100d??02r3sin2?dr.

6

、设

有空间

闭

区域

?1???x,y,z?x2?y2?z2?R2,z?0??2???x,y,z?x2?y2?z2?R2,x?0,y?0,z?0?，则有（ ）

(A) ???xdv?4???xdv；(B) ???ydv?4???ydv；

?1?2?1?2(C)

???zdv?4???zdv；(D) ???xyzdv?4???xyzdv.

?1?2?1?27、设有平面闭区域D???x,y??a?x?a,x?y?a?，

第9页

，

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?x,y?0?x?a,x?y?a?。则???xy?cosxsiny?dxdy=（ ） D1??D(A) 2(C) 4??cosxsinydxdy；(B) 2??xydxdyD1D1D1；

???xy?cosxsiny?dxdy；(D) 0.

三、计算解答

1、设区域D??x,y?x?y?1，计算2、计算3、计算闭区域.

x4、计算??eD2??x?ye??dxdy. D2，其中D是由抛物线y?x及直线y?x?2所围成的闭区域. xydxdy?????xDD2?y2?xdxdy，其中D是由抛物线y?x，y?2及直线y?2x所围成的

??y2dxdy，其中D是由x2?y2?4所围成的闭区域.

5、计算闭区域.

???xD2?y2dxdy，其中D是由x??1?y2，直线y??1，x??1所围成的

?6、求锥面z?x2?y2被柱面z2?2x所割下部分面积.

2227、求底圆半径相等的两个直交圆柱面x2?y2?R2及x?z?R所围立体的表面积. 8、计算三重积分域. 9、

2222其中?是由x?y?z?1与x2?y2??z?1??1所围成的闭区域. ???zdxdydz，

???xdxdydz，其中?为三个坐标面及平面x?2y?z?1所围成的闭区

?2?10、计算三重积分11、计算三重积分

22?，其中是与平面z?4所围成的闭区域. z?x?yzdxdydz????222?z?1，zx?ydxdydz，其中是与平面z?0，y??2x?x????y?0所围成的闭区域.

12、计算三重积分区域.

????x?2222其中?是球面x?y?z?1所围成的闭?y2?z2dxdydz，

??x2y2z2?x2y2z213、计算三重积分?????a2?b2?c2??dxdydz，其中?是球面a2?b2?c2?1所围成

???

第10页

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的闭区域.

第11页

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第九单元 重积分测试题详细解答

一、填空题

1、设?,?为常数，则

????f?x,y???g?x,y??d?=???f?x,y?d?????g?x,y?d?

DDD2、区域D由闭区域D1,D2构成，则

??f?x,y?d?=??f?x,y?d????g?x,y?d?

DD1D23、设函数z?f?x,y?在闭区域D上连续，则在D上至少存在一点??,???是D的面积，使得

??f?x,y?d?=f??,????

D4、

9=，其中 D是由直线y?1,x?2,y?x所围成的闭区域。 xyd???8Dx2分析：

??xyd???????D12x1xydy?dx???1?232?x?y2??x4x2?x?9??xdx??dx??? ?2??8???1?2248??1????15、设D是顶点分别为?0,0?,?1,0?,?1,2?,?0,1?的直边梯形，计算分析：

7= ??1?xyd???D3x?111722???????? 1?xyd??1?xydydx?1?xdx?1?2x?xdx????????0?000??3D1??6、改变下列二次积分的积分次序

?102dx?fdy??dy?fdx；

0002x?x22?x111?dx?1fdy??dy?011?y2?12?yfdx；

23?x?10dy?2y0fdx??dy?133?y0fdx??dx?x0fdy；

2?x0du?f?v?dv??dv?f?v?du；

000uxv7、把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分

x2?y2?4???x?y?dxdy??2?0d????cos???sin???d?；

02 第12页

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x2?y2?2x??2cos?y??f?x2?y2,arctan?dxdy??2?d???2,??d?；

0?x??2?????eDx2?y2dxdy??d??e??d?；

012?28、二重积分

??eD?x2?y2dxdy=?1?e?a，其中 D是由中心在原点、半径为a的圆周所围

?2?成的闭区域。 分析：0???a,2?0???2?

2?原式=

?0?e???0a??2?d??d?????01?1??2??a2?ed??1?e??2?2?01a???2?0d???1?e?a

?2?9、将下列三重积分化为三次积分

???f?x,y,z?dv???2?0d???d??fdz，；

01????f?x,y,z?dv???2?0d?r??d??01r2??20； fdz，

10、区域?为三坐标面及平面x?2y?z?1所围成的闭区域，则三重积分

???xdxdydz=__________________________

?分析：

?10dx?1?x20dy?1?x?2y0xdz??xdx?011?x20?1?x?2y?dy?1?0?x?2x2?x3?dx?141 48二、选择题 1、选(A)；

解答：xy在第一象限和第二象限是对称的。所以在第一二象限的值相等。 2、选(A)； 3、选(D)； 解答：z?2x2?y2与x2?y2??z?1?2?1相交的部分可分为两部分

0?z?1时，为锥体?x,y,z?z?x2?y2 1?z?2时，为半球体?x,y,z?z?1?1?x2?y2

第13页

????《高等数学》单元测试及详细解答

4、选(B) 解答：注意，计算时x2?y2?z2?1 5、选(C) 6、选(C) 7、选(A) 三、计算解答

1、设区域D??x,y?x?y?1，计算

??x?ye??dxdy. D1?x?1解：

??eDx?ydxdy??edx??10xx?1?x?1edy??edx?0yxx?1eydy?e?e?1

2、计算解：

??xydxdy，其中D是由抛物线yD2y?2222?x及直线y?x?2所围成的闭区域。

??dy??xxydxdy?xydx???????1?y2?1?2???D3、计算

?1?y4y?5y?dy???y3?2y2???5

2?436?8?y2?1y?2462???xD22?y2?xdxdy，其中D是由抛物线y?x，y?2及直线y?2x所围成的

?闭区域。 解：

???xDD?y2?xdxdy??dy?yx2?y2?xdx?022?2y??13 64、计算

xe???y2dxdy，其中D是由x2?y2?4所围成的闭区域。

2?22解：

xe??D2?y2dxdy??d??errdr???e4?1?

005、计算

???xD22?y2dxdy，其中D是由x??1?y2，直线y??1，x??1所围成的

?闭区域。 解：

???xD?ydxdy??d??rrdr???12?3?2223?2??r4?23??d??? ?4?18??6、求锥面z?解：

x2?y2被柱面z2?2x所割下部分面积

第14页

《高等数学》单元测试及详细解答

?z2?x2?y2?x2?y2?2x,投影区域D：x2?y2?2x; ?2?z?2x?z??xxx2?y2

?z??yyx2?y2?

?1?z?2 x?zy??2??2cos?2d??22所以面积A???D2dxdy?2?2d??02cos?02rdr?22?022?

7、求底圆半径相等的两个直交圆柱面x2?y2?R2及x?z?R所围立体的表面积。 解：z?22??zR2?x2 1?z?xy?222RR?x22,所以

?A?16??1?z?x?zydxdy?16??DD22RR2?x2dxdy?16?dx?0RR2?x2RR2?x20dy?16R28、计算三重积分域。

解：

???xdxdydz，其中?为三个坐标面及平面x?2y?z?1所围成的闭区

?1?x201?x20???xdxdydz??dx??01dy?1?x?2y0xdz??xdx?01?1?x?2y?dy

111??x?2x2?x3dx?4048??9、

2222其中?是由x?y?z?1与x2?y2??z?1??1所围成的闭区域。 ???zdxdydz，

2?解：

?z3???1??d?zdxdydz??d???d??zdz??d???????001??00?3????

2?12??????2??3?2?41d???003322?1?22?1??10、计算三重积分解：

22?，其中是与平面z?4所围成的闭区域。 z?x?yzdxdydz???? 第15页

《高等数学》单元测试及详细解答

?x??cos??用柱面坐标变换,令?y??sin??z?z?2?240???2?0???2 0?z?42?22????zdxdydz??d???d??zdz0?8?d???d??8??000000122?0d??32? 211、计算三重积分

???z?z?1，x2?y2dxdydz，其中?是y??2x?x2与平面z?0，

y?0所围成的闭区域。

解：

??x??cos??用柱面坐标变换,令?y??sin??z?z??20???2 0?z?121020112?2?d?????30d???62322?????0???z?x?ydxdydz???d???d??z?dz???d???200?2220012、计算三重积分区域。

解：

????x?2222其中?是球面x?y?z?1所围成的闭?y2?z2dxdydz，

??x?rsin?cos??用球面坐标变换积分，令：?y?rsin?sin??z?rcos??0???2?0????0?r?11

????x?2?y?zdxdydz??d??sin?d??r4dr?2??2?00022?2??14??55

?x2y2z2?x2y2z213、计算三重积分?????a2?b2?c2??dxdydz，其中?是球面a2?b2?c2?1所围成

???的闭区域。

解：

第16页

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?x?arsin?cos??用球面坐标变换积分，令：?y?brsin?sin??z?crcos??0???2?0????0?r?1

2??1?x2y2z2?144????dxdydz?d?sin?d?rdr?2??2??????????a2b2c2?00055 ???第十章 曲线积分与曲面积分

一、填空题

1、设L是xoy平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且成的平面闭区域D的面积等于____________. 2、设曲线L是分段光滑的，且L=L1+L2，

?Lydx?xdy??9，则L所围

?f?x,y?ds=2，?f?x,y?ds=3，则

L1L2?f?x,y?ds=_________________.

L3、 设函数f?x,y?在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为

?x???t???y???t????t???，其中??t?,??t?在??,??上具有一阶连续偏导数，且

L?2?t???2?t??0，则曲线积分?f?x,y?ds=____________________.

4、设

L

是抛物线y?x2上点o?0,0?与点B?1,1?之间的一段弧

?Lyds=____________________.

5、设L是有向光滑曲线弧，且6、设

L

是从

?L??fdr?3则????f?dr=___________________。

LA?1,0?沿y?1?x2到

B??1,0?的圆弧，则

?xyLL2dy?x2ydx=___________________。

7、设L是平面有向曲线，由两类曲线积分之间的联系，则

?Pdx?Qdy??L___________________ds.

28、区域D由y?x和y?x所围成的闭区域，则区域D的面积为___________________.

第17页

《高等数学》单元测试及详细解答

9、设L是任意一条分段光滑的闭曲线，则

?L2xydx?x2dy=___________________.

10、在xoy面上，xy2dx?x2ydy是某个函数的全微分，则这个函数是 ___________________.

11、设?是由平面x?0，y?0，z?0，及x?y?z?1所围成的四面体的整个边界曲面，则

??xyzdS= ___________________.

?12、设?是x2?y2?z2?1的外侧，则13第二类曲面积分___________________. 二、选择题

???x?2?y2?z2dxdy=___________________.

???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy化成第一类曲面积分为

?1、设曲面?是上半球面：x2?y2?z2?R2部分，则有（ ）. (A) (C)

?z?0?，曲面?1是曲面?在第一卦限中的

??xdS?4??xdS；(B) ??ydS?4??xdS；

??1??1??zdS?4??xdS；(D) ??xyzdS??1??4??xyzdS.

?1t2t32、设曲线L:x?t,y?,z?,?0?t?1?,其线密度??2y，则曲线的质量为（ ）.

23(A) (C) 3、(A)

24324；(B) t1?t?tdt2t1?t?tdt； ??0011?L101?t2?t4dt；(D)

2?10t1?t2?t4dt.

??x22?y2ds=（ ），其中L为圆周x?y?1.

2?2?2????20d?；(B)

?0d?；(C)

?0r2d?；(D)

?02d?.

4、设OM是从O?0,0?到点M?1,1?的直线段，则与曲线积分I?e?x2?y2OMds不相等的积

分是（ ） (A)

?e012x2dx；(B) ?e012y2dy；(C)

?20edr；(D) ?er2dr.

r01 第18页

《高等数学》单元测试及详细解答

5、设L为x????cost,y?sint,?0?t??，方向按t增大的方向，则

2???Lx2ydy?xy2dx=（ ）

(A)

??cost20?sint?sintcostdt；(B)

???20?costsintsintsint??2sint?2cost?2??dt； ??1(C) ?2dt； (D)

206、用格林公式计算

???cos20?t?sin2tdt.

??xL2ydy?xy2dx，其中L为沿x2?y2?R2逆时针绕一周，则得（ ）

(A) ??2?0d???d???0R3?R42；(B)

??0dxdy?0；

D2(C)

???D2?R3； (D) ???d?d??. x?ydxdy?22D22??R47、L是圆域D: x?y??2x的正向周界，则(A) ?2?；(B) 0；(C)

222??xL3?ydx?x?y3dy=（ ）

???3?； (D) 2?. 228、设?为z?2?x?y在xoy面上方部分的曲面，则(A) (C)

??dS=（ ）

?

??2?02?d??1?4r2rdr；(B)

0101?22?0d??201?4r2rdr；

2?00d??2?r21?4r2rdr； (D)

222??9、设?为球面x?y?z?k2??，则???x?d??2201?4r2rdr.

?y2?z2dS=（ ）

?(A)

??kdS?4?k?24；(B)

?0d??d??0?k04?k5rsin?dr?；

54(C)

?2?0d??rdr?0k3?k42； (D) 4?k.

10、设曲面?：z?0,x?1,y?1，方向向下，D为平面区域x?1,y?1，则（ ）

第19页

??dxdy=

?《高等数学》单元测试及详细解答

(A) 1；(B)

??dxdy；(C) ???dxdy； (D) 0.

D11、设曲面?：z?0,x2?y2?R2的上侧，则

?D????x?42?y2dxdy=（）

?(A)

x2?y2?R2??Rdxdy??R24；(B) ?x2?y2?R2??Rdxdy???R2；(C)

?2?0d??rdr?0R3?R42；（D) 0.

12、设曲面?：x2?y2?z2?R2的外侧，则

???1?x2?y2?z322??xdydz?ydzdx?zdxdy?=（ ）

322(A)

????3x?y?z?22??3x2?y2?z2x2?y2?z2?x2?y2?z2??3?dv?0；

(B)

1R3???xdydz?ydzdx?zdxdy???21R3???3dv?4?；

?(C) 4?R；（D) 三、计算解答 1、

43?R. 3??x?y?ds，其中C为以O?0,0?,A?1,0?,B?0,1?为顶点的三角形的边界。

C2、

dsttt，其中为曲线上相应于t从0到2的x?ecost,y?esint,z?e?222??x?y?z这段弧。 3、计算I?弧. 4、

??xOA2?y2dx?xydy，其中OA是抛物线y?x2从O?0,0?到A?1,1?的一段

??dx?dy?ydz，其中?为有向闭折线ABCA，这里的A?,B,C依次为

?1,0,0?,?0,1,0?,?0,0,1?.

5、

?Cxy2dy?x2ydx，其中C为正向圆周x2?y2?R2。

6、计算

?Cxdy?ydx，其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L22x?y的方向为逆时针方向。

第20页

《高等数学》单元测试及详细解答

7、利用曲线积分求星形线x?acos3t,y?asin3t所围图形的面积。 8、9、

2222，为球面x?y?z?a??x?y?zdS???上z?h,0?h?a的部分。

???x??2?y2?z2dxdy，?为球面x2?y2?z2?1的外侧。

?10、计算

??xdydz?ydxdz?zdxdy，?为椭球面x?3332?y2?z2?1的外侧。

第21页

《高等数学》单元测试及详细解答

第十单元 曲线积分与曲面积分测试题详细解答

一、填空题

1、设L是xoy平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且

?Lydx?xdy??9，则L所围

成的平面闭区域D的面积等于

9 2分析：

??P?Q??ydx?xdy??L????y??x??dxdy??2??dxdy?9

?D?D2、设曲线L是分段光滑的，且L=L1+L2，

?f?x,y?ds=2，?f?x,y?ds=3，则

L1L2?f?x,y?ds=_5_. L分析：

?f?x,y?ds??LL1?L2f?x,y?ds??f?x,y?ds??f?x,y?ds?2?3?5

L1L23、 设函数f?x,y?在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为

?x???t???y???t????t???，其中??t?,??t?在??,??上具有一阶连续偏导数，且

，

2?2?t???2?t??0则

2曲线积分

?Lf?x,y?ds=?f???t?,??t????t????t?dt???????

4、设L是抛物线y?x2上点o?0,0?与点B?1,1?之间的一段弧

?Lyds=

155?1 121??分析：

?Lyds??10x21?x2???231?1222?dx??x1?4xdx??1?4x??55?1

012?12?01????5、设L是有向光滑曲线弧，且分析：

?L??fdr?3则????f?dr=_3_______。

L?????fdr?fdr?L?L?3

?6、设L是从A?1,0?沿y?1?x2到B??1,0?的圆弧，则

?Lxy2dy?x2ydx=

?。 4 第22页

《高等数学》单元测试及详细解答

?x?cos?分析：令：??y?sin?0????

?Lxy2dy?x2ydx??cos?sin2?cos??cos2?sin???sin??d?0???1?2sin2?d? ?0021?11?????1?cos4??d?????1?cos4??d4??404404??2cos2?sin2?d???7、设L是平面有向曲线，由两类曲线积分之间的联系，则

?Pdx?Qdy???Pcos??Qcos??ds

LL8、区域D由y?x2和y?x所围成的闭区域，则区域D的面积为

1 6分析：令:??L1:y?x2面积

?L2:y?xA?111xdy?ydx?xdy?ydx?xdy?ydx???LLL12222

1111111???x?x?dx???x2x?x2?dx??x2dx?20202069、设L是任意一条分段光滑的闭曲线，则分析：P?2xy?L2xydx?x2dy=_0________ Q?x2?P?Q? ?y?x??P?Q?2?2xydx?xdy???y??x??dxdy???0dxdy?0 ?L???D?D10、在xoy面上，xydx?xydy是某个函数的全微分，则这个函数是

22122xy?C 2?ux2y222?xy，u?x,y???xydx????y? 分析：设原函数为u?x,y?，则?x2?u?x2y????y?，则???y??0?y???y??C所以u?x,y??x2y2?C

12 第23页

《高等数学》单元测试及详细解答

11、设?是由平面x?0，y?0，z?0，及x?y?z?1所围成的四面体的整个边界

曲面，则

??xyzdS=

?3 120分析：在x?0，y?0，z?0三个坐标面上，积分值为0。 则只求在x?y?z?1面上的积分即可。

?z?1?x?y，1?z?x?zy?1???1????1??3.

2222所以

原式??xdx?0111?x0y?1?x?y?3dy1?x?y2y3??3?x??1?x???dx023?0??313234x?3x?3x?xdx?6?0120

??12、设?是x?y?z?1的外侧，则

222???x?2?y2?z2dxdy=2?

?2222分析：把积分曲面?分成?1:z?1?x?y和?2:z??1?x?y两部分，则

它们在xoy面上的投影区域都是x2?y2?1的圆域。

???x?2?y2?z2dxdy???x2?y2?z2dxdy???x2?y2?z2dxdy

?1?2????????x?12?y2?z2?dxdy?Dxy???x2?y2?1?x2?y2?dxdy?Dxy??dxdy??

???x?22?y2?z2dxdy??Dxy2???x2?y2?1?x2?y2dxdy??Dxy??dxdy??

???x??y2?z2dxdy???x2?y2?z2dxdy???x2?y2?z2dxdy?2?

?1?2?????13第二类曲面积分

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy化成第一类曲面积分为

????Pcos??Qcos??Rcos??ds

? 第24页

《高等数学》单元测试及详细解答

二、选择题 1、选(C) 解答：在第一卦限，对三个坐标xyz的曲面积分相等，即而z在一、二、三、四卦限中的积分值相等。所以2、选(A) 解答：M?3、选(B) 解答：??xL2??xds???yds???zds，

?1?1?1?1?1??zds?4??zds?4??xds

??L?ds??t1?t2?t4dt

021?yds??1?0?2??cos???2??sin??d???d?

0?22?4、选(D) 解答：I?e?x2?y2OMds??e012y?12?12dy??e012y?2dy?e2?1

x?rcos?,y?rsin?,???42,0?r?2

222I??ex2?y2OMds??e?cos??sin?dr??erdr?e002r?1

5、选(C) 解答：

1cost1?sint?2?xydy?xydx?cost?sint??cost?sint??L?0??dt22sintcost??22?1??1???2?cos2t?sin2t?dt?024?2?6、选(B) 解答：

?

??Q?P?22?xydx?xydy???x??y??dxdy???0dxdy?0 ?L???D?D??Q?P??ydx?x?y3dy??????x??y??dxdy???2dxdy?2?

?D?D7、选(D) 解答：

??xL3???8、选(D) 解答：x?rcos?,y?rsin?,0???2?,0?r?2

2222?????1?z??z?1?2x?2y?1?4r2,??ds??d??xy2?2?001?4r2rdr

第25页

《高等数学》单元测试及详细解答

（1）

dydy?(x?y)(x?y)，?cosy?x，（2）（3）y2dx?(y2?2xy?y)dy?0中，dxdx线性微分方程是（ ） (A)（1）； (B)（2）； (C)（3）； (D)（1）、（2）、（3）均不是。

6、曲线y?y(x)经过点(0,?1)，且满足微分方程y??2y?4x，则当x?1时，y?（ ） (A)0； (B)1； (C)2； (D)4。

7、已知微分方程y??p(x)y?xsinx有一特解y??xcosx，则此方程通解为（ ） (A)y?cxcosx； (B)y?c?xcosx； (C)y?cx?xcosx； (D)y??xcoscx。 8、设y?f(x)是方程y???2y??4y?0的解，若f(x0)?0，且f?(x0)?0，则f(x)在

x0点（ ）

(A)取得极大值； (B)取得极小值； (C)某邻域内单调增； (D)某邻域内单调减。 9、若y1和y2是二阶齐次线性方程y???P(x)y??Q(x)y?0的两个特解，c1、c2为任意常数，则y?c1y1?c2y2（ ）

(A)是该方程的通解；(B)是该方程的特解；(C)是该方程的解；(D)不一定是该方程的解。 10、曲线y?y(x)经过原点，且在原点处切线与直线2x?y?6?0平行，而y?y(x)满足方程y???2y??5y?0，则曲线方程是（ ）

(A)y??excos2x?1；(B)y??exsin2x；(C) y?excos2x?1；(D) y?exsin2x。 11、微分方程y???2y??x的特解y?的形式为（ ） (A)ax； (B)ax?b； (C)ax； (D)ax?bx。 12、微分方程y???4y?cos2x的特解y?的形式为（ ）

(A)acos2x； (B)axcos2x； (C)x(acos2x?bsin2x)； (D) acos2x?bsin2x。 三、计算解答

221、验证由方程x?xy?y?c所确定的函数y?f(x)是微分方程(x?2y)y??2x?y22的通解。

2、求解下列微分方程：

第31页

《高等数学》单元测试及详细解答

（1）(xy2?x)dx?(y?x2y)dy?0； （2）xdy?y(lny?lnx)； dx（3）xy??y?xex；

（4）xlnxdy?(y?lnx)dx?0，yx?e?1； （5）y??1y?x2y6； x（6）(x2?y)dx?(x?y)dy?0； （7）y???1； 21?x（8）y???y??x； （9）yy???(y?)2?y?； （10）y???2y??y?xex。 3、设f(x)?x??x0f(u)du，f(x)为可微函数，求f(x)。

4、已知f(?)?1，曲线积分

?BAy[sinx?f(x)]dx?f(x)dy与路径无关，求函数f(x)。

x5、设y1(x),y2(x),y3(x)都是方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的特解，且

y1?y2不恒

y2?y3等于常数，证明y?(1?c1)y1?(c2?c1)y2?c2y3为方程的通解（其中c1,c2为任意常数）。 6、一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此外质点又受到阻力，阻力和速度成正比（比例系数为k2），试求此质点的速度和时间的关系。

第32页

《高等数学》单元测试及详细解答

第十二单元 微分方程单元测试题详细解答

一、填空题

1、微分方程的阶是指微分方程中含有未知函数最高阶导数的阶数，因此该方程是三阶微分方程。

2、该通解中含有两个任意常数，可见其所对应的方程应是二阶的，对y?C1ex?C2e2x分别求一阶和二阶导数得：y??C1ex?2C2e2x，y???C1ex?4C2e2x，三个式子连立消去

C1,C2得，y???3y??2y?0即为所求。

另解，直观看出y?C1ex?C2e2x是某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，而该二阶常系数线性齐次微分方程的特征根为r,r2?2，其对应的特征方程为r?3r?2?0，1?1从而对应的微分方程是y???3y??2y?0。

23、设曲线为y?y(x)，则由题意有：y?2xy??1即为所求。 x4、对f(x)?tf(?02)dt?ln2两边求导得f?(x)?2f(x)，解此微分方程得

2xt2xlnf(x)?2x?c，即f(x)?ce，又由f(x)??f()dt?ln2可知，f(0)?ln2，

022x2x代入f(x)?ce求得c?ln2，从而f(x)?ln2?e。

5、该方程为二阶常系数线性齐次微分方程，其特征方程为r?r?2?0，解得特征根

2r1?1,r2??2，从而通解为y?c1ex?c2e?2x。

6、以r从而对应的二阶常系数线性齐次1?r2?2为根的一元二次方程是r?4r?4?0，微分方程是y???4y??4y?0。

227、（1）错误，例如微分方程(y?)?y?0，该方程只有解y?0，显然这不是通解。

2（2）错误，例如微分方程y??y?0，易求得该方程的通解为y?是方程的解，显然y?0不包含在y?21，又知y?0也x?c1中。 x?c第33页

《高等数学》单元测试及详细解答

（3）错误，因为y?c1ex?c2中的c1,c2不是相互独立的，事实上，

y?c1ex?c2?c1ec2ex?cex，可见该解中只含有一个任意常数。

（4）正确，根据线性微分方程解的结构理论，由于y1,y2不相等，所以y1?y2线性无关且是对应齐次方程的解，从而c(y1?y2)是对应齐次方程的通解，因此

y?c(y1?y2)?y2就是该方程的通解。

8、

?Q(x,y)?P(x,y)。 ??x?y9、根据线性微分方程解的结构理论，y?x?1和y?x2?1是对应齐次线性微分方程的解，又这两个解是线性无关的，所以y?c1(x?1)?c2(x2?1)是对应齐次线性微分方程的通解，从而y?c1(x?1)?c2(x?1)?1是该非齐次线性微分方程的通解

22xy?中不显含未知函数y，因此作变量代换令y??p(x)，则y???p?(x)，1?x22xp22代入方程得p??，变量分离法解此方程得p?c1(1?x)，即y??c1(1?x)，代21?x10、方程y???入初始条件y?x?0?3得c1?3，于是y??3(1?x2)，两边积分得y??x3?3x?c2，代入初始条件yx?0?1得c2?1，所以所求特解为y?x3?3x?1。

11、方程yy???(y?)2?0不显含自变量x，因此作变量代换时应令y??p(y)，则

y???dddpdydp(y?)?[p(y)]??p。 dxdxdydxdy3212、方程y????y??是三阶常系数线性齐次微分方程，其特征方程为r?r?0，解得特征

x根r1?r2?0,r3?1，从而通解为y?c1e?c2x?c3。

二、选择题

1、选(D)；由定义，含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程，而未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，可见，(A)中的方程不是微分方程，(B)中的方程不含有未知函数y的导数，（C）中的未知数u是多元函数。

第34页

《高等数学》单元测试及详细解答

2、选(A)；所谓微分方程的阶是指微分方程中含有未知函数最高阶导数的阶数，由此，(B)、(D)中方程是一阶微分方程，而(C)中的方程是三阶微分方程。

3、选(C)；由通解的定义，含有任意常数，且任意常数（相独立）的个数与方程的阶数相同的解称为通解，由此可见，（A）、（B）、（D）均不符合。 4、选(D)；按题意有线是椭圆。

5、选(C)；方程（1）、（2）可直观看出不是线性微分方程，对于（3），整理得视x为未知函数，y为自变量，则该方程是线性微分方程。 6、选(B)；方程y??2y?4x为一阶线性微分方程，其通解

?2dx2dxy?e?(?4xe?dx?c)?2x?1?ce?2x

1dy2x??，即ydy??2xdx，积分得y2?x2?c，可见，该曲

2dxydx21?x?1?，dyyy由x?0时y??1知c?0，所以曲线为y?2x?1，由此，当x?1时y?1。 7、选(C)；将y??xcosx代入方程y??p(x)y?xsinx，求出p(x)??通解为y?e1，于是方程x?xdx1(?xsinxe??xdx1dx?c)?x(?cosx?c)?cx?xcosx。

8、选(A)；由y?f(x)为y???2y??4y?0的解，得f??(x0)?2f?(x0)?4f(x0)?0，即

f??(x0)??4f(x0)?0，由极值判定定理知，f(x)在x0点处取得极大值。

9、选(C)；由线性方程解的结构定理，y?c1y1?c2y2一定是方程的解，当y1与y2线性无关时y?c1y1?c2y2才是方程的通解。

x10、选(B)；解方程y???2y??5y?0得其通解为y?e(c1cos2x?c2sin2x)，由

yx?0?0得c1?0，由y?x?0??2得c2??1，所以所求曲线为y??exsin2x。

11、选(D)；由特征方程r?2r?0解得特征根r1?0,r2?2，而x?xe特征根单根，所以特解应设为y?x(ax?b)e220?x，可见??0是

0?x?ax2?bx。

12、选(C)；由特征方程r?4?0解得特征根r1?2i,r2??2i，

第35页

《高等数学》单元测试及详细解答

而cos2x?e0?x(cos2x?0?sin2x)，可见???i?2i是特征根，所以特解应设为

y?xe0?x(acos2x?bsin2x)?x(acos2x?bsin2x)。

三、计算解答

1、解：将x2?xy?y2?c两边对x求导得，2x?y?xy??2yy??0，

整理得， (x?2y)y??2x?y，

可见，由方程所确定的函数y?f(x)满足微分方程(x?2y)y??2x?y， 又 x2?xy?y2?c中含有一个任意常数，

所以由方程x2?xy?y2?c所确定的函数y?f(x)是所给微分方程的通解。

2、（1）解：变量分离得，

ydyxdx， ?22y?1x?1两边积分得，

111ln(y2?1)?ln(x2?1)?lnc， 222从而方程通解为 y2?1?c(x2?1)。 （2）解：整理得，

dyyy?ln，可见该方程是齐次方程， dxxxydydudu?u?x?ulnu， 令?u，即y?xu，则，代入方程得，u?xxdxdxdx变量分离得，

dudx?，积分得，ln(lnu?1)?lnx?lnc，

u(lnu?1)xy?1?cx，或写为y?xecx?1。 x所以原方程的通解为ln（3）解：整理得，y???1y?ex，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为 xy?e?xdx1(?eex?xdx111dx?c)?(?xexdx?c)?(xex?ex?c)。

xx（4）解：整理得，

dy11?y?，这是一阶线性方程，利用公式得通解为 dxxlnxx 第36页

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y?e??xlnxdx11?xlnxdx1lnx1ln2x(?edx?c)?(?dx?c)?(?c)， xlnxxlnx2111)。 ，从而所求特解为y?(lnx?2lnx21代入初始条件yx?e?1得c?（5）解：整理得，yy???61?5y?x2，这是伯努利方程， x52令y?5?u，则?5y?6y??u?，代入方程得，u??u??5x，这是线性方程，其通

x解为，u?e?xdx5(??5xe2??xdx555 dx?c)?x5(??5x?3dx?c)?x5(x?2?c)?x3?cx5，

22?53x?cx5。 2所以原方程的通解为 y?5（6）解：令P(x,y)?x2?y,Q(x,y)??(x?y)，则微分方程，于是有

?Q?P???1，可见该方程是全?x?yu(x,y)??(x,y)(0,0)(x?y)dx?(x?y)dy??xdx??02x2y0x3y2?(x?y)dy??xy?

32x3y2?xy??c。 所以原方程通解为 32（7）解：将方程两边逐次积分得，y??1?1?x2dx?arctanx?c1， 1y??(arctanx?c1)dx?xarctanx?ln(1?x2)?c1x?c2，

212即原方程通解为y?xarctanx?ln(1?x)?c1x?c2。

2（8）解：方程中不显含未知函数y，所以可令y??p(x)，则y???p?(x)，代入方程得，

p??p?x，这是一阶线性方程，其通解为

p?e?(?xe?dx?1dxdx?c1)?ex(?xe?xdx?c1)?ex(?xe?x?e?x?c1)??x?1?c1ex，

12x?x?c1ex?c2。 2x从而y???x?1?c1e，两边积分得原方程通解为 y?? 第37页

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（9）解：方程中不显含自变量x，所以可令y??p(y)，则y???pdp，代入方程得， dyypdpdpdyy?c1y?c1，即y??，变量分离?p2?p，整理得??，积分得p?dyp?1yyy并积分得y?c1ln(y?c1)?x?c2，此即为原方程的通解。

（10）解：由特征方程r?2r?1?0解得特征根r1?r2??1，所以对应齐次方程的通解为Y?(c1x?c2)e?x。

x又因为xe中??1不是特征根，所以可设原方程的特解为y??(ax?b)ex，代入原

2方程并整理得，4ax?4a?4b?x，从而a?111,b??，即y??(x?1)ex。 4441x所以原方程的通解为y?(c1x?c2)e?x?(x?1)e。

43、解：将f(x)?x?性微分方程，所以

?x0f(u)du两边对x求导并整理得，f?(x)?f(x)?1，这是一阶线

dx?1dxf(x)?e?(?e?dx?c)?ex(?e?xdx?c)?ex(?e?x?c)，

又由f(x)?x??Bx0f(u)du可知f(0)?0，从而c?1，

所以所求f(x)?ex?1。 4、解：因曲线积分

y[sinx?f(x)]dx?f(x)dy与路径无关，所以有 ?Ax11sinxf?(x)?[sinx?f(x)]，整理得f?(x)?f(x)?为一阶线性方程，所以

xxx?f(x)?e?xdx1sinx?xdx11(?edx?c)?(?sinxdx?c)?(?cosx?c)，

xxx1又因f(?)?1，得c???1， 所以所求f(x)?1(?cosx???1)。 x5、证明：因为y1(x),y2(x),y3(x)都是方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的特解，

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所以y1?y2和y2?y3都是方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)对应齐次方程的解， 又因

y1?y2不恒等于常数，所以y1?y2和y2?y3线性无关，

y2?y3从而对应齐次方程的通解为Y?c1(y1?y2)?c2(y2?y3)， 所以原方程的通解为y?Y?y1?c1(y1?y2)?c2(y2?y3)?y1， 即y?(1?c1)y1?(c2?c1)y2?c2y3。

6、解：设质点速度和时间的关系为v?v(t)，则由题意有mv??k1t?k2v,v(0)?0，

整理得v???k2kv?1t，这是一阶线性方程，从而 mmkkkkv?e?mdtk222dt?2tt?2tk1t?mk1tmk1mk1m(?edt?c)?e(?edt?c)?t?2?cem， mmk2k2由v(0)?0得c?mk1， 2k2k2tk1mk1mk1?m所有所求v(t)?t?2?2e。

k2k2k2

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