量子力学习题问题详解

量子力学习题答案

1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知：

E h =ν； p h /=λ

由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)

c (0.5110)-μ?）

，故： 2e E P /(2)=μ

69h /p h /hc /1.2410/0.7110m 0.71nm

--λ====?=?=

1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。

解：对于氦原子而言，当K 1=T

时，其能量为 J 102.07K 1K J 10381.12

32323123---?=????==

kT E 于是有

一维谐振子处于22/2()x x Ae αψ-=状态中，其中α为实常数，求：

1.归一化系数；

2.动能平均值。

（22x e dx /∞

-α-∞=α?

）

解：1.由归一化条件可知：

22

*2x

(x)(x)dx A e dx1

A/1

∞∞

-α

-∞-∞

ψψ==

=α=

??

取相因子为零，则归一化系数1/21/4

A/

=απ

2.

2222

2222

2222

2222

22

2

*2x/2x/2

22

2x/2x/2

2

2x/22x/2

22

22x2x/2

22

242x2

T(x)T(x)dx A e(P/2)e dx

d

A e()e dx

2dx

d

A e(xe)dx

2dx

A{xe(xe)dx}

2

A x e dx A

22

∞∞

-α-α

-∞-∞

∞

-α-α

-∞

∞

-α-α

-∞

∞∞

-α-α

-∞

-∞

∞

-α

-∞

=ψψ=μ

=-

μ

=--α

μ

=--α--α

μ

=α=

μμ

??

?

?

?

?

＝（）＝＝

22

2222

4x

2

2

24x x

2

22

222

24

2

1

()xd(e)

2

1

A(){xe e dx}

22

1A

A()

24

2

∞

-α

-∞

∞∞

-α-α

-∞

-∞

α-

α

=α---

μα

ππαα

α--

μμ

α

?

?

若α，则该态为谐振子的基态，T

4

ω

=

解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是非常方便的。

一维谐振子的哈密顿量为：

22

22

d 1

H x

2dx2

=-+μω

μ

它的基态能量

1

E

2

=ω选择为参量，则:

0dE 1d 2=ω；222dH d 2d 2()T d dx 2dx

=-=-=μμ dH 200T d = 由F-H 定理知：

0dE dH 2100T d d 2===ω 可得：

1T 4

=

ω 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：

ikr ikr e r e r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向(即向原点) 传播的球面波。 解：分量只有和r J J 21

在球坐标中 ?θθ?θ??+??+??=?sin r 1e r 1e r r 0 r mr

k r mr k r r

ik r r r ik r r m i r e r

r e r e r r e r m i m

i J ikr ikr ikr ikr 30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(==+----=??-??=?-?=--ψψψψ r J 1 与同向。表示向外传播的球面波。

r

mr

k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )

(m

2i J )2(3020

220

ik r ik r ik r ik r *

2*222

-=-=---+-=??-??=?-?=--ψψψψ

可见，r J

与2反向。表示向(即向原点) 传播的球面波。

2.3 一粒子在一维势场

??

?

??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，

，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态S —方程

)()()()(22

2

2x E x x U x dx d m ψψψ=+-

在各区域的具体形式为

Ⅰ： )()()()(2 011122

2x E x x U x dx d m x ψψψ=+-

< ① Ⅱ： )()(2 0 222

2

2x E x dx d m a x ψψ=-≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2 3332

2

2x E x x U x dx d m a x ψψψ=+-

> ③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须

0)(1=x ψ 3(x )0ψ= 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

方程(2)可变为0)(2)(222

22=+x mE

dx x d ψψ

令222

mE

k =

，得 0)()

(222

22=+x k dx

x d ψψ 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④ 根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得

)0()0(12ψψ= ⑤

)()(32a a ψψ= ⑥

⑤ 0=?B

⑥0sin =?ka A

)

,3 ,2 ,1( 0

sin 0 ==?=∴≠n n ka ka A π

∴x a

n A x π

ψsin )(2= 由归一化条件 1)(2

=?

∞

dx x ψ

得 1sin 0

2

2

=?

a

xdx a

n A

π

由

a mn 0

m n a sin

x sin xdx a a 2

ππ?=δ?

x a

n a x a

A πψsin 2)(22=

∴=

?

222 mE k =

),3,2,1( 2222

2 ==?n n ma E n π可见E 是量子化的。

对应于n E 的归一化的定态波函数为

??

???><≤≤=-a x a x a x xe a n a t x t E i n n , ,0 0 ,sin 2),( πψ 2.5 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。 解：

221x 21(x)2xe -αψ=?α

222223222112 24)()(x

x e x e x x x ααπαπααψω--?=??

==

22]22[2 )(323

1x e x x dx x d ααπ

αω--= 令0 )(1=dx

x d ω，得 ±∞=±==x x x 1 0α

由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，

0)(1=x ω。显然不是最大几率的位置。 2222)]251[(4)]22(2)62[(2 )( 44223322223

212x

x e x x e x x x x dx x d ααααπ

ααααπαω----=---=而

23121

x d (x)

1

60e dx =±αω=-< 可见μωα

±=±=1

x 是所求几率最大的位置。

3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=

π?θψ，求：

(1)r 的平均值；

(2)势能r

e 2-的平均值； (3)最可几半径；

(4)动能的平均值；

(5)动量的几率分布函数。

解：(1)?θθπτ?θψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(02200/23020????∞-=

= ?∞-=

0/233004dr a r a a r

04030232!34a a a =???

? ??= 02

203020/2302

0200/230

2

02002/230

2

2214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e dr

r e a e d drd r e a e d drd r e r a e r e U a r a r a r -=???

? ??-=-=-=-=-=???????∞-∞-∞-ππππ?

θθπ?θθπ

(3)电子出现在r+dr 球壳出现的几率为

??=π

π?θθ?θψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=

2/23004)(r e a r a r -=

ω

0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω

令

0321 , ,0 0)

(a r r r dr

r d =∞==?=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置

/222

00

3022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω

08)

(2

30

2

20

<-

=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。

(4)22

22?21??-==μμ p T

???∞--?-=ππ?θθπμ02002

/2/30

2 sin )(1200d drd r e e a T a r a r ???∞---=ππ?θθπμ02002

/22/3

02 sin )]([11200d drd r e dr d r dr

d r

e a a r a r 0

222/3

00

41

((2) 2r a

r r e dr a a a μ∞

-=---?

2

2

20204022)442(24a a a a μμ =-= (5) τ?θψψd r r p c p

),,()()(*

?= ???

-∞

-=

π

π

θ?θθππ20

cos 0

2

/30

2

/3 sin 1

)2(1

)(0

d d e

dr r e

a p c pr i

a r

??

-=

-∞

-π

θθπππ0

cos 0

/2

30

2

/3)cos ( )

2(20

d e

dr e

r a

pr i

a r

?

∞

--=0

cos /230

2

/30)

2(2π

θ

πππpr i

a r e

ipr

dr e r a

?∞---=

/30

2

/3)()2(20dr e e re ip a pr i

pr

i

a r

πππ ])1(1)1(1[)2(2202030

2

/3p i a p i a ip a

+--=

πππ

220220

141()ip p a a =+ 22220440033

0)(24

+=p a a a a π

222202/30)()2(

+=p a a π

动量几率分布函数

422025302

)(8)()( +==p a a p c p πω 3.5 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是I

L H 22=，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：

(1)

转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：

解：(1)设该固定轴沿Z 轴方向，则有

2

2Z L L =

哈米顿算符 22222?21??d d I L I H Z -== 其本征方程为 (t H

与?无关，属定态问题) )(2)( )()(222222

2?φ??φ?φ?φ?

IE d d E d d I -==-

令 222

IE m =，则 0)()( 222=+?φ?

?φm d d

取其解为 ??φim Ae =)( (m 可正可负可为零)

由波函数的单值性，应有

?π??φπ?φim im e e =?=++)2()()2(

即 12=πm i e

∴m= 0，±1，±2，… 转子的定态能量为I

m E m 222 = (m= 0，±1，±2，…) 可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 ?φim m Ae =

A 为归一化常数，由归一化条件

π

π??φφππ21

21 220220*=?===??A A d A d m m ∴ 转子的归一化波函数为

?π

φim m e 21= 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。

(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为

2?21?L I

H = t H

与?无关，属定态问题，其本征方程为 ),(),(?212?θ?θEY Y L I

= (式中),(?θY 设为H

?的本征函数，E 为其本征值)

),(2),(?2?θ?θIEY Y L

= 令 22 λ=IE ，则有

),(),(?22?θλ?θY Y L

= 此即为角动量2?L

的本征方程，其本征值为 ) ,2 ,1 ,0( )1(222 =+==λL 其波函数为球谐函数?θ?θim m m m e P N Y )(cos ),( = ∴ 转子的定态能量为

2)1(2I

E += 可见，能量是分立的，且是)12(+ 重简并的。

3.6 设t=0时，粒子的状态为 ]cos [sin )(21

2kx kx A x +=ψ

求此时粒子的平均动量和平均动能。 解：]cos )2cos 1([]cos [sin )(212121

2kx kx A kx kx A x +-=+=ψ

]cos 2cos 1[2

kx kx A +-= i2kx i2kx ikx ikx 1

122A [1(e e )(e e )]2--=

-+++ ππ21][2221212212210?++--=--ikx ikx kx i kx i x i e e e e e A 可见，动量n p 的可能值为 k k k k -- 2 2 0 动能μ22n p 的可能值为μ

μμμ2 2 2 2 02

2222222 k k k k 对应的几率n ω应为 π2)16

16 16 16 4(2

2222?A A A A A

π2)8

1 81 81 81 21(A ? 上述A 为归一化常数，可由归一化条件，得

ππω222)1644(12

22?=??+==∑A A A n

n ∴ π/1=A

∴ 动量p 的平均值为

0216

2162162216202

222=??-??+??-??+==∑ ππππωA k A k A k A k p p n

n

n

∑==n n n p p T ωμμ2222 28

12281202222??+??+=μμ k k μ

8522 k = 3.7 一维运动粒子的状态是

???<≥=-0

,0 0 ,)(x x Axe x x 当当λψ 其中0>λ，求：

(1)粒子动量的几率分布函数；

(2)粒子的平均动量。

解：(1)先求归一化常数，由

??∞

-∞

∞-==02222)(1dx e x A dx x x λψ

23

41A λ

=

∴2/32λ=A

3/2x (x)2xe -λψ=λ )0(≥x 0)(=x ψ )0(

ikx

1/23/2

(ik)x 01c (p)e

(x)dx ()2xe dx 2∞∞--λ+-∞

=

ψ=?λπ

?

?

31/2(ik)x (ik)x 0

02x 1

(

)[e e dx ik ik

∞∞-λ+-λ+λ=-+πλ+λ+?

331/21/2

2

2

2121()()p

(ik)(i )λλ===ππλ+λ+

动量几率分布函数为

2

2223

32

222

3

2

)(1

2)

(12)()(p p p c p +=

+=

=λπ

λλπλω

(2) *3x

x 0

d

?p (x)p

(x)dx i 4xe (xe )dx dx

∞∞-λ-λ-∞

=

ψψ=-λ?

?

3

2x 0i 4x (1x)e dx ∞-λ=-λ

-λ?

322x 0

i 4(x x )e dx ∞

-λ=-λ-λ?

322

11

i 4()44=-λ-λλ 0= 或：2

p

p c pdp 0∞-∞

=

=?

被积函数是个奇函数

3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函

数)()(x a Ax x -=ψ描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。

解：一维无限深势阱的的本征函数和本征值为

??

???≥≤≤≤a x x a x x a n a x ,0 ,0 0 ,sin 2)(πψ 22

222a

n E n μπ = ) 3 2 1( ，，，=n 粒子的几率分布函数为2

)(n C E =ω

*0()()sin ()a n n C x x dx x x dx a

πφψψ∞-∞==?? 先把)(x ψ归一化，由归一化条件，

22222222001()()(2)a a x dx A x a x dx A x a ax x dx ψ∞

-∞==

-=-+??? ?+-=a

dx x ax x a A 043222)2(

30)523(525

552

a A a a a A =+-= ∴530a A =

∴ ?-??=a n dx x a x x a n a

a C 05)(sin 302π ]sin sin [1520203

x xd a n x x xd a n x a a a a ??-=ππ a x a n n a x a n x n a x a n x n a x a n n a x a n x n a a 03

33222222323]cos 2sin 2 cos sin cos [152ππππππππ

ππ--++-=

])1(1[15433n n --=π

∴ 2662])1(1[240)(n n n C E --==π

ω ?????=== ,6 ,4 ,20

5 3 196066n n n ，，，，，π

??==∞∞-a

dx x p x dx x H x E 02)(2?)()(?)(ψμψψψ 2

252030

()[()]2a d x a x x a x dx a dx μ=-?--? 2

2335503030()()23a

a a x a x dx a a μμ=-=-?

2

25a μ =

3.9.设氢原子处于状态

),()(2

3),()(21),,(11211021?θ?θ?θψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

解：在此状态中，氢原子能量有确定值

22222

282 s s e n e E μμ-=-= )2(=n

角动量平方也有确定值

2222)1( =+=L )1(=

角动量Z 分量的可能值为

01=Z L ； -=2Z L

其相应的几率分别为

41， 4

3 其平均值为

4343041-=?-?=Z L 3.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系?)()(22=???p x 解： 0=p

2224

5 2 k T p =

=μ 0]cos 2

1[sin 222=+=?∞∞-dx kx kx x A x ∞=+=?∞∞-dx kx kx x A x 22222]cos 21[sin 222222(x)(p)(x x ).(p p )???=--=∞

4.1.求在动量表象中角动量x L 的矩阵元和2

x L 的矩阵元。

解：???'-'-=τπd e p z p y e L r p i y z r p i p p x

)??()21()(3 ???'--=τπd e zp yp e r p i y z r p i

)()21(3 ???'-??-??-=τπd e p p p p i e r p i z

y y z r p i

))(()21(3 ??'-??-??-=τπd e p p p p i r p p i z y y z ）（3)21)()(( )()(p p p p p p i y

z z y '-??-??= δ ?

''=τψψd L x L p x p p p x 2*2)()(

???'--=τπd e p z p y e r p i y z r p i

23)??()21( ???'---=τπd e p z p y p z p y e r p i y z y z r p i )??)(??()21(3 ?''-??-??-=τπd e p p p p i p z p y e r p i y

z z y y z r p i

))()(??()21(3 ???'--??-??=τπd e p z p y e p p p p i r p i y z r p i y z z y )??()21)()((3

??'-??-??-=τπd e p p p p r p p i y z z y

）（322)21()( )()(22p p p p p p y z z y '-??-??-= δ

4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。 解：定态薛定谔方程为

),(),(2),(212

2

222t p EC t p C p t p C dp d =+-μμω 即 0),()2(),(212

2222=-+-t p C p E t p C dp

d μμω 两边乘以ω

2，得 0),()2(),(1122

2=-+-t p C p E t p C dp d

μωωμω

令

μωββμωξ1

, 1

=

==

p p

ω

λ E

2=

0),()(),(22

2

=-+t p C t p C d d ξλξ

跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为

t

E i

n p n n n e p H e N t p C n E --=+=)(),()(222121βω

β 式中n N 为归一化因子，即 2/12

/1)!

2(

n N n

n π

β=

4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。

解：2222

22222

1221?21?x x x p H μωμμωμ+??-=+= ?='dx x H x H p p p p )(?)(*ψψ

?'-+??-=dx e x x e x p i

px i

)2

12(2122222μωμπ ??∞∞--'∞∞--'+'-=dx e x dx e p i x p p i

x p p i )(22)(22212121)(2 πμωπμ ?∞∞--''??+-''=dx e p i p p p x p p i

)(22

222)(2121)(2

πμωδμ ?

∞

∞

--''??+-''=dx e

p i p p p x p p i

)(2

2

2221

)(21)(2

απμωδμ

)(21)(222

222p p p p p p -''??--'=δμωδμ )(21)(22

2222p p p p p p -'??--'=δμωδμ 4.5 设已知在Z L L ??2和的共同表象中，算符y

x L L ??和的矩阵分别为

????? ??=010******* x L ????

? ??--=0000022i i i i L y 求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵y x L L 和对角化。 解：x L 的久期方程为

0020

2202

23=+-?=---λλλλ

λ

-===?3210λλλ，，

∴x

L ?的本征值为 -，，0 x

L ?的本征方程 ????

? ??=????? ??????? ??3213210101010102a a a a a a λ 其中????

? ??=321a a a ψ设为x L ?的本征函数在Z L L ??2和共同表象中的矩阵 当01=λ时，有

????

? ??=????? ??????? ??0000101010102321a a a 0 00022132312=-=?????

? ??=????? ??+a a a a a a a ， ∴ ????

? ??-=1100a a ψ

由归一化条件

2111*1*10020),0,(1a a a a a =????

? ??--==+ψψ 取 21

1=a

???????? ?

?-=210210ψ对应于x L ?的本征值0 。 当 =2λ时，有

????

? ??=????? ??????? ??3213210101010102a a a a a a ???????===?????? ??=????????? ??+1332123212312

2221)(2121a a a a a a a a a a a a a ∴ ?????

? ??=1112a a a ψ 由归一化条件

21111*1*1*142),2,(1a a a a a a a =?????

? ??= 取 2

11=a

∴归一化的????????

? ??=212121 ψ对应于x L ?的本征值 当 -=2λ时，有

????

? ??-=????? ??????? ??3213210101010102a a a a a a ???????=-=-=?????? ??---=?????????? ??+1332123212311

2221)(2121a a a a a a a a a a a a a ∴ ?????? ??-=-1112a a a

ψ 由归一化条件

21111*1*1*142),2,(1a a a a a a a =?????

? ??--= 取 2

11=a ∴归一化的????????

? ??-=-212121 ψ对应于x L ?的本征值 - 由以上结果可知，从Z L L ??2和的共同表象变到x

L ?表象的变换矩阵为

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