大学物理 - 刘果红 - 质点动力学

质点动力学

一、学时安排 四学时 （包括习题课一学时） 二、教学要求 （重点 难点 * ）

1、掌握用牛顿运动定律解题的基本思路：认物体，看运动，查受力（画受力图），列方程（一般用分量式）。

2、了解基本自然力。

3、理解非惯性参照系下的力学定律。*

4、掌握用微积分方法求解一维变力作用下的质点动力学问题。 三、教学参考书

1、杨仲耆著《大学物理学》力学

2、Berkeley Physics Course, Vol.1 3、University Physics . part 1

质点动力学是研究物体间的相互作用及其对物体的影响，即是研究质点运动状态变化的原因的。

在力学中，描写一个质点的运动状态的基本参量是物体的位置坐标和运动速度，已知某物在某时刻的r,v,它的状态就被确定了。

一、牛顿运动定律

牛顿运动定律是质点动力学的基本定律，它是经典力学的基础，适用于宏观、低速运动的物体。

1、

牛顿运动第一定律（惯性定律）——任何物体在不受外力的作用下，始终保

持静止或匀速运动状态。 理解牛一时应注意

（1）牛一是以实验事实为基础，通过思维、推理、想象而总结出来的规律。因为牛一无法用试验事实来证实。地球上不可能找到一个物体完全孤立而丝毫不受力的作用，但是人们可以很明确地从客观事实中间接地推出牛一的结论。例：对一个自由运动的物体，愈减小它所受的各种外力，该物体愈接近牛一所陈述的情况。

（2） 牛一的物理意义： A、

牛一定性地说明了力和运动的关系。物体的运动并不需要力维持，而客观

事实带给人们的印象却是一辆车要维持运动就必须有人推。牛一告诉人们，力不是维持物体运动的，而是改变物体运动状态的。

B、

物体具有保持原有状态的特性——惯性。一个物体保持静止或作匀速运动，不需要有什么“原因”，而是物体具有保持原来运动状态的一种特性——惯性。（这里所谈的物体是指质点平动的情况，惯性是指平动惯性。） （3） 牛一只适用于惯性系

如物体静止在地面上，若以地面作参照系，物体水平方向不受力，保持静止状态，符合牛一；若以匀速向右运动的小车为参照系，物体水平方向不受力，保持匀速运动状态，符合牛一；若以加速向右运动的小车为参照系，物体水平方向不受力，但却向左作加速运动，不符合牛一。

要确定一个参照系是不是惯性系，只能根据观察和实验结果来判断。力学中通常把太阳系认为是惯性系，实际上太阳系绕银河系的中心旋转，银河系和河外星系也都在总星系中旋转，所以在宇宙中，严格的惯性系并没有找到。地球对太阳有公转和自转，显然地球不是一个惯性系。但地球对太阳的a向心和地面对地心的a向心都是极其微小的，在一般精确度范围内，地球或静止在地面上的任一物体都可近似地看作是惯性系，同样，在地面上作匀速直线运动的物体，也可近似地看作为惯性系。

2、牛顿运动第二定律——物体受到外力作用时，它所获得的加速度其大小与合外力大

小成正比，与物体的质量成反比，其方向与合外力的方向相同。

理解牛二时应注意：

a?Fm

（1） 牛二是以实验事实为基础，利用数学工具来概括和表述的。 （2） 牛二的物理意义：

A、定量地说明了力的效果。对质点来说，力是产生加速度的原因，

a?Fm说明的是力

的瞬时作用规律，即物体什么时刻受力，什么时刻就有加速度；物体什么时刻不受力，什么时刻就没有加速度；当物体受力为0，加速度也为0。总结为一句话：F和a同时存在，同时改变，同时消失。

B、定量地量度了惯性的大小。由

a?Fm知，如两物受相同的力的作用，质量大的物

体状态不易改变，质量小的物体状态易改变。说明物体的质量是物体惯性大小的量度。

（3）牛二也只适用惯性系

（4）牛二概括了力的独立性原理——如果几个力同时作用在一个物体上，那么所产生的加速度相当于一个力（这几个力的合力）所产生的加速度。在研究平面曲线运动时，常用直角坐标系和自然坐标系，牛二可分别写成：

?F?Fxy?max?F?ma ?Fyn?man?mat

t1122??22AB棒长度为l，其两端各连有质量为m的小球，棒的中心c固定例1、P在电动机的转轴上，可使棒在竖直平面内作匀加速转动，角速度为?，

（1）设棒的初始位置处于水平，初角速度为0，求这时棒对两小球的作用力。 （2）当AB棒在初始位置时，设瞬时角速度为?1求这时棒对两小球的作用力。 （3）当AB又在水平位置，但瞬时角速度为?2，求这时棒对两小球的作用力。 （4）当AB棒与竖直线成?角，瞬时角速度为?时，求这时棒对两小球的作用力。 解：

mgcos??fn?Fn?m?2A球：解l2l2 ：ft?mgsin??mat?Ft?m?得f?(m?2ll?mgcos?)n?(m??mgsin?)?22 同理可解得B球 f?(m?2ll?mgcos?)n?(m??mgsin?)?22 ??0,??将?2代入上式，可得（1）解。??0,???1代入上式，可得（2）解。 ???2,???2代入上式，可得（3）解。ft A ft B ? fn mg fn mg 3、牛顿运动第三定律——当一个物体作用在另一个物体上时，它也受到另一物体对它的反作用，两个力在同一直线上且大小相等，方向相反。

牛三主要是解决受力物体与施力物体之间的关系。理解时应注意： A、

作用与反作用分别作用于两个物体，各产生其效果。

B、 作用力、反作用力无主从、先后之分，它们是同时产生，同时存在，同时消失。 C、 作用力和反作用力是性质相同的力。 D、

牛三与参照系无关，即无论相互作用的两个物体是静止的或是在运动中，牛三

总是成立的。

二、 物体的受力分析

1、 力学中常见的几种力

（1）万有引力——任两个物体间都有相互吸引的力。通常两物体间的万有引力是极其微小的。如质量分别为3斤和3两重的物体相距0.05米时，其间的万有引力为6*10?10N。

约是人的一根头发重量的万分之一。但在天体系统中，万有引力起着决定性的作用。例太阳系中九大行星绕太阳旋转，银河系里的球状星团聚集而不散，都是靠万有引力的作用。（球状星团是一个稠密的恒星集团，由上百个恒星集聚一起呈圆球状，现在发现的星团约有一百多个。）在忽略地球自转的情况下，地球对其表面附近物体的吸引力就是物体的重力。

mg?GmM地R2，R为地球的半径。

（2）弹性力——两物体相互接触彼此发生形变时所产生的力。其方向是垂直于接触点的切面的。

光接触，不挤压，不产生弹

性力。见（b）图。

(b)

（a） （3）摩擦力——两相互接触的物体，沿接触面发生相对运动或相对运动的趋势时，

在接触面之间所产生的一对相对运动的力称滑动摩擦力或静摩擦力。

静摩擦力的大小，视具体情况而定。如用1牛顿的力推物体，物体不动，则静摩擦力为1牛顿；用较大的力推物体，物体终究会动起来，这说明物体从静到动的那一瞬时，静摩擦力达到了最大值。这个值叫最大静摩擦力。

2、物体的受力分析

分析物体受力的具体方法是：在明确了研究对象后，首先分析重力。在地球表面或表面附近的物体，必然要受到重力。在远离地面高度，应考虑受地心吸引力。第二步考虑弹力。研究对象是否与其他物体接触、是否形变。最后考虑摩擦力。研究对象有无相对运动或相对运动的趋势。

在明确物体的受力情况后，由牛顿定律，就知道物体作什么样的运动了。

合外力 加速度a 物体的运动状态

?F=0 a?0 a?C 静止或匀速运动状态 如v,F在一条直线上，匀变速直线运动。如不在一条直线上，曲线运动。 ?F?C v与F在一条直线上，非匀变速直线运动；如有夹角，非匀变速曲线运动。 F(x)F(t)?F=F(v) a(x)a(t)a(v) 1142??33一质量为10公斤的物体沿x轴无摩擦地运动，设t?0时物体位于例2、P原点，速度为0，问

（1） 在力F?3?4tN的作用下运动了三秒钟，求v,a各增为多大？ （2） 在力F?3?4xN的作用下移动了三米，求v,a各增为多大？

vdv3?4tm?3?4t,?dv??dt0m0 解：dt 即可解得。

3dvdv3?4xm?3?4x,mv?3?4x,?vdv??dxdtdxm00，即可解得。

判断一个物体作什么样的运动，绝不能靠猜想，要根据上述道理来分析。例：在匀强电场E中有一个单摆，摆球带有正电q，将摆球拉离平衡位置从静止释放后，摆球开始将作什么样的运动？

v3qE E mg v (A) 匀速直线运动 (B) 匀加速直线运动 (C) 匀减速直线运动 (D) 匀速圆周运动 (E) 变速圆周运动

因为摆球受合力F?mg?qE作用，应选（B）。沿v方向作匀加速直线运动。 例2：分别画出下面两种情况下物体A的受力图。

（1）A放在木版B上，被一起抛出作斜上抛运动，A始终位于B的上面，不计空气阻力。

（2）物体A的形状是一楔形棱柱体，横截面为直角三角形，放在桌面C上，把物体B轻轻放在A的斜面上，使A、B系统静止，设A,B间和B,C间的摩擦系数均不为0。

A B

v BBBBA C Fc对A mg fB对A mg NB对A

3、牛顿运动定律的应用 解题的方法和步骤：

（3） 确定研究对象——根据问题的要求和计算方便来确定. （4） 分析研究对象的受力情况 （5） 描写研究对象运动状态的变化 （6）

建立坐标系或规定正方向,列出方程,求解.

坐标轴或正方向的选取是任意的,要根据问题的需要和计算的方便而定.如研究对象所受的各个力都在一条直线上,则建立一个直角坐标系,以a的方向为正方向比较方便. 如研究对象所受的几个力方向不在一条直线上，通常采用直角坐标系或自然坐标系。用正交分解的

?FF方法把力和加速度分解在互相垂直的两个坐标轴上，根据?数目，则由运动学和几何学的知识列出补充方程。

例1、

xy?max?F??ma及?Fy?mat?man分别

n列出方程，有几个未知量，就列几个方程。若根据牛顿运动定律列出的方程数目少于未知量

质量为M的三角形木块A，放在光滑的水平地面上，A上放有质量为m

的物体B，如AB之间没有摩擦，若使A与B相对静止，那么A水平向左运动的加速度为多大？

解：A与B相对静止意为A与B作相同的运动，即水平向左的加速运动。 取B为研究对象，建立如图所示的坐标系。

y N x B ?F?F xy?Nsin??max??mg?Ncos? A mg 联立解得：a?gtg?.

例2：一根不可伸长的轻绳跨过一个定滑轮后，两端分别挂有两个质量不等的物体M和m。已知M>m,用手托住物体M，使得m、M都静止不动，然后释放，试求物体M的运动方程。（假定绳与滑轮之间无摩擦。）

不可伸长——保证两个物体的位移大小是相等的，因此它们速度和加速度的大小也是相等的。

轻绳——绳的质量不计，绳两端张力大小相等。

绳与滑轮无摩擦——不涉及滑轮的转动，只涉及m、M的平动。

解：t?0,v0?0将坐标原点选在此处，则M的初始位置为x0?0 T o m M Mg mg T

T?mg?maMg?T?Ma ,

a?M?mgM?m

xtM?mM-mdxgtv?dx?gdt??00M?m又因为dt，所以M?m

?v0dv??adt,解得v?0tx?1M?m2gt2M?m

三、非惯性系中的力学定律 惯性力 在非惯性系中，牛顿运动定律是不适用的。如：

1、在惯性参照系（地面）中分T 析：摆球与小车一起作加速运动。T?mg?F?ma，恰为提供小球作加速运动的力。 a mg T F 2、在非惯性参照系（加速运动的小车上）分析：小球是 静止的，但小球并非满足受力平衡。见图，因此矛盾。牛顿运动定律在非惯性参照系中不能用，我们感到很可 mg 惜。如果我们假想在非惯性参照系除互相作用所引起的力外，还受到一种由于非惯性参照系而引起的力——惯 性力，问题就可以得到解决。 T ma 在对物体进行受力分析时，仅从力的效果来看，假想有一个力，使球产生加速度?a,F?ma，且T?mg?ma?0，上述矛盾即可解决，这样一来，在非惯性参照系中牛顿运动定律不适用的矛盾就mg 可以得到解决。F称为惯性力，现讨论惯性力的本质： 惯性力是什么物体对小球的作用呢？没有！找不到！没有施力者就谈不上相互作用，也谈不上反作用，惯性力只有使物体产生加速度的效果，而不具备“力是物体间的相互作用”

这一特性。所以，它与以往的“真实力”有着质的区别。惯性力的实质是非惯性参照系的加速度的反映。它作用在非惯性参照系内的运动物体上，方向与非惯性参照系加速度方向相反，大小等于运动物体的质量与非惯性参照系加速度之积。

例1、P1092——9、一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为m1的物体，另一边穿在质量为m2的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动，今看到绳子从圆柱细孔中加速上升柱体相对于绳子以匀加速a下滑，求m1,m2相当于地面的加速度、绳子的张力以及柱体与绳子间的摩擦力。

以地面（惯性系）为参照系研究m1： m1a1?m1g?f （1） a1 为m1相对于地面的加速度 f m1 m2 m1g 在地面参照系研究m2时，m2同时作两种加速运动：相对于绳以加速度a运动以及与绳一起相对于地面以加速度a1运动。同时研究物体的两种加速运动讨论起来相当不便。如选择绳子为参照系，只需考虑m2对绳的加速运动。

以绳子（非惯性参照系）研究m2：

f' m2a?m2g?m2a1?f' （2） 其中m2a1为惯性力。 m2a1 m2g a1?联立（1）、（2）式，有 值表示方向向下。 (m1?m2)g?m2am1?m2 ，正 a2?a??a1? ，

a2?(m1?m2)g?m1am1?m2 ，正值表示方向向上。

1102??10 质量为m的摆悬于架上，架固定在小车上，在下述各情况中，求摆线例2、P

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