5-2-微积分基本公式(下)

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第二节 微积分基本公式(下)三、牛顿 – 莱布尼兹公式

第五章

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牛顿—莱布尼茨公式设F ( x ) 是f ( x )的一个原函数, f ( t )dt 也是f ( x )的一个原函数.x a xa

f (t )dt F ( x ) C .

令 x a, 得 C F (a ),x a

0

a

a

f (t )dt F (a ) C .

f (t )dt F ( x ) F (a ).

令x b

a f ( x )dx F (b) F (a ).b

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定理 ：设函数 f ( x )在[a , b]上连续，F ( x )是 f ( x )的一个原函数，则

b a

f ( x ) dx F (b) F (a ) (牛顿-莱布尼兹公式)

上式说明：连续函数在一个区间上的积分等于 它的一个原函数在积分区间端点的改变量。意义：牛顿-莱布尼兹公式沟通了积分和(反) 导数这两个微积分学中最基本的概念，因此也 称为微积分基本公式。 另一种形式： F (b) F (a )

b a

F ( x ) dx .

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a f ( x )dx F (b) F (a ) F ( x ) b

记作

b a

根据牛顿-莱布尼兹公式，

求积分

求原函数2

前例. 计算由抛物线y x , x 1和x轴所围成 的曲边梯形的面积 . Ay1 0

A

1

0

1 3 x dx x 32

1 . 3o

y x2

1x

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例2

求

2

1

1 dx. x

1 解: 的一个原函数是 ln | x |, x 1 1 dx ln | x | 1 ln1 ln 2 ln 2. 2 x 2例 3 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积.

解: 面积 A sinxdx0

y

cosx 0 2.

o

x

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2 2 x 0 x 1 例4. 设 f ( x ) , 求 f ( x )dx. 0 5 1 x 2

解:

0

2

f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx 2 xdx 5dx1 2 0 1

1

2

y

x

2 1 0

5x

2 1

6.o1 2

x

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注意牛顿-莱布尼兹公式成立的条件： 被积函数在积分区间上连续。

1

1

1 dx 2 x

1 1 1 2. x 1

1

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思考题:解： 注意到 f ( x )dx 是一个常数！b a

设 f ( x) d x c ,1 0

由积分的几何意义

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牛顿(1642 – 1727)伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文 学家和自然科学家. 他在数学上的卓越 贡献是创立了微积分. 1665年他提出正 流数 (导数) 术 , 次年又提出反流数(反导数)术,并于1671 年完成《流数术与无穷级数》一书 (1736年出版). 他 还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等 .

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莱布尼兹(1646 – 1716)德国数学家, 哲学家. 他和牛顿同为 微积分的创始人 , 他在《学艺》杂志 上发表了有关微积分学的论文, 所用 微积分符号延续至今 . 他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计数法，并把它与中国的八卦 联系起来 .

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第二节 微积分基本公式(下)

要点:牛顿-莱布尼兹公式:

b

a

f ( x )dx F ( x ) b . a

说明：连续函数在一个区间上的积分等于它

的 一个原函数在积分区间端点的改变量。 意义：沟通了积分和(反)导数这两个微积分 学中最基本的概念.

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附：牛顿-莱布尼兹公式的另一证法

b

a

F ( x )dx lim F ( xi 1 ) xi , 0i 1

n

F ( b ) F ( a ) F ( x n ) F ( x0 )i 1

xi 1x i b n [ F ( xi ) F ( xi 1 )] y dy y x x F ( x i 1 ) x ii 1 n

o a x1

x

(当 x 很小)

可以证明当分割无限细 时，上式误差的极限为0.

F (b) F (a ) F ( x )dx dF abb

a

上式说明：函数的导数(微分)在区间上的积分 等于函数在该区间的总改变量。

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此证法的几何解释：F (b) F (a ) F ( x )dxb a

要求整段曲线的高，先将其 分割成若干小曲线段。小曲 线段的高用微分作近似，于 是全段高≈微分的和，最终 取极限即得精确值。

F ( x)F ( x )dx

F (b) F (a )

dx

a

x

b

全段高 = 微分的积分(注：此版面内容来自林群，作者表示感谢)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/i16i.html