04数2

2004年全国硕士研究生入学统一考试理工

数学二试题详解及评析

一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）

（1） 设f(x)?lim【答】 0

【详解】显然当x?0时,f(x)?0;

(n?1)x, 则f(x)的间断点为x? ____ .

n??nx2?11(1?)x(n?1)xn?x?1, 当x?0时, f(x)?lim2?lim2n??nx?1n??1xx2x?n?0,x?0?所以 f(x)??1,

,x?0??x因为 limf(x)?limx?01???f(0) x?0x故 x?0为f(x)的间断点.

3??x?t?3t?1（2） 设函数y(x)由参数方程 ? 确定, 则曲线y?y(x)向上凸

3??y?t?3t?1的x取值范围为_______.

【答】 （?? ，1）（或（-?，1]）【详解】 由题意得：

dy22dy3t?3t?12 , ?dt?2?2?1?2dxdx3t?3t?1t?1dtd2yd?dy?dt?2??14t??1??? , ????22223dt?dx?dx?t?1?3(t?1)3(t?1)dxd2y?0 ? 令

dx2t?0.

x?1?x?(??,1]又 x?t3?3t?1 单调增, 在 t?0时, x?(??,1)。(?t?0时，

时，曲线凸.)

（3）???dxxx?121?______.

【答】

? 2??【详解】 方法一：

???1sect?tant?x?sect?2dt??2dt?.

0sect?tant02xx2?1dxdx1t01t11?1(?2)dt??dt?arcsint0?

022t11?t?1t2【详解】 方法二： ???1xx2?1x??1（4）设函数z?z(x,y)由方程z?e2x?3z?2y确定, 则3【答】 2

【详解】 方法一：

?z?z??______. ?x?y在 z?e2x?3z?2y 的两边分别对x,y求偏导,z为x,y的函数.

?z?z?e2x?3z(2?3), ?x?x?z?z?e2x?3z(?3)?2, ?y?y?z2e2x?3z?从而 , 2x?3z?x1?3e

?z2? 2x?3z?y1?3e?z?z1?e2x?3z所以 3??2??2 2x?3z?x?y1?3e 方法二：

令 F(x,y,z)?e2x?3z?2y?z?0

则

?F?F?F?e2x?3z?2, ?e2x?3z(?3)?1 ?2, ?x?z?y?F2x?3z2x?3z?ze?22e???x??? ?, ?F?x?(1?3e2x?3z)1?3e2x?3z?z?F?z22???y??? ,

?F?y?(1?3e2x?3z)1?3e2x?3z?z?3e2x?3z?z?z1从而 3??2??2x?3z2x?3z?x?y1?3e1?3e?方法三：

利用全微分公式,得

???2 ?dz?e2x?3z(2dx?3dz)?2dy

?2e2x?3zdx?2dy?3e2x?3zdz (1?3e2x?3z)dz?2e2x?3zdx?2dy

2e2x?3z2dx?dy ?dz?2x?3z2x?3z1?3e1?3e?z2e2x?3z?z2?? 即 , ?x1?3e2x?3z?y1?3e2x?3z 从而 3?z?z??2 ?x?y6（5）微分方程(y?x3)dx?2xdy?0满足yx?1?的特解为______.

513?x【答】 y?x 5【详解】 方法一： 原方程变形为 先求齐次方程

dy11?y?x2, dx2x2dy1?y?0 的通解: dx2xdy1?dx y2x积分得 lny?1lnx?lnc ?y?cx 2设y?c(x)x为非齐次方程的通解,代入方程得 c?(x)x?c(x)13从而 c?(x)?x2,

25131积分得 c(x)??x2dx?C?x2?C,

2512x?11c(x)x?x2 2x2于是非齐次方程的通解为

151 y?x(x2?C)?Cx?x3

556?C?1, 51故所求通解为 y?x?x3.

5 y?x?1方法二： 原方程变形为

dy11?y?x2, dx2x2由一阶线性方程通解公式得

11??2xdx?12??2xdxy?edx?C? ??xe?2?1lnx2lnx?12?1?2xedx?C??? ?2? ?e?13??15?22 ?x??xdx?C??x?x?C? ?2??5?6?C?, 151从而所求的解为 y?x?x3.

5) y(1??210???（6）设矩阵A??120?, 矩阵B满足ABA??2BA??E, 其中A?为A的伴

?001???随矩阵, E是单位矩阵, 则B?_______.

【答】

1 9【详解】 方法一：

?ABA??2BA??E ?ABA?2B?A?, E ?(A?2E)B?A?, E ?A?2EBA??E?1, B?1??A?2EA010110020A11. ??2(?1)?(?1)390?1【详解】 方法二：

由A??AA?1,得

ABA??2BA??E?ABAA?1?2BAA?1?AA?1 ? ? ?B?

二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把x?0时的无穷小量???costdt, ???0?AAB?2AB? AA3 ?A(A?2E)B? AA?2EB? A1AA?2E2?1 9x2x20tantdt, ???x0sint3dt排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是

（A）?,?,?. （B）?,?,?.

（C）?,?,?. （D）?,?,?.

【 】

【答】 应选（B）

【详解】 ?x?0???lim?lim??x?0?x0x032sint3dt2

costdt132sinx?2xxx ?xlim?0?cosx2?xlim?0?2x?xlim?0?2?0,

即 ??o(?).

又 ?x20tantdttanx?2x2xlim??0???xlim?0??x3xlim?0?3?limx2??0, 0sintdtsinx2?1x?0?12x2x即 ??o(?).

从而按要求排列的顺序为?、?、?, 故选（B）. （8）设f(x)?x(1?x), 则

（A）x?0是f(x)的极值点, 但(0,0)不是曲线y?f(x)的拐点. （B）x?0不是f(x)的极值点, 但(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （C）x?0是f(x)的极值点, 且(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （D）x?0不是f(x)的极值点, (0,0)也不是曲线y?f(x)的拐点. 【答】 应选（C）

【详解】 f(x)????x(1?x),?1?x?0?x(1?x),0?x?1,

f?(x)????1?2x,?1?x?0?1?2x,0?x?1,

f??(x)???2,?1?x?0??2,0?x?,

1从而?1?x?0时, f(x)凹, 1?x?0时, f(x)凸, 于是(0,0)为拐点.

又f(0)?0, x?0、1时, f(x)?0, 从而x?0为极小值点.

】 【

所以, x?0是极值点, (0,0)是曲线y?f(x)的拐点, 故选（C）.

12n（9）limlnn(1?)2(1?)2?(1?)2等于

n??nnn（A）?lnxdx. （B）2?lnxdx.

11222（C）2?ln(1?x)dx. （D）?ln2(1?x)dx

2211 【答】 应选（B）

【详解】 nlim12n??lnn(1?n)2(1?n)2?(1?n)2

2 ?limln??(1?12n?nn???n)(1?n)?(1?n)??

?2?1nl??imn??ln?(1n?)?ln2n(?1??)?n?n?? (1)n?inlim??2?ln(1?)1 i?1nn ?2?10ln(?1xd)x 1?x?t2?21lntd?t2?21lnxdx 故选（B）.

（10）设函数f(x)连续, 且f?(0)?0, 则存在??0, 使得

（A）f(x)在(0,?)内单调增加. （B）f(x)在(??,0)内单调减小. （C）对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0).

（D）对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0). 【答】 应选（C）

【详解】由导数的定义知

】

】

【 【 f?(0)?limx?0f(x)?f(0)?0,

x?0由极限的性质, ???0, 使x??时, 有

f(x)?f(0)?0 x即??x?0时, f(x)?f(0)，

???x?0时, f(x)?f(0),

故选（C）.

（11）微分方程y???y?x2?1?sinx的特解形式可设为

（A）y??ax2?bx?c?x(Asinx?Bcosx). （B）y??x(ax2?bx?c?Asinx?Bcosx). （C）y??ax2?bx?c?Asinx.

（D）y??ax2?bx?c?Acosx

【 】

【答】 应选（A）

【详解】对应齐次方程 y???y?0 的特征方程为 ?2?1?0, 特征根为 ???i,

对 y???y?x2?1?e0(x2?1) 而言, 因0不是特征根, 从而其特解形式可设为

?2 y1?ax?bx? c对 y???y?sinx?Im(eix), 因i为特征根, 从而其特解形式可设为

? y2?x(Asin?x x)Bcos从而 y???y?x2?1?sinx 的特解形式可设为

y??ax2?bx?c?x(Asinx?Bcosx)

（12）设函数f(u)连续, 区域D?(x,y)x2?y2?2y, 则??f(xy)dxdy等于

D??（A）?dx??111?x2?1?x2f(xy)dy.

（B）2?dy?022y?y20f(xy)dx.

（C）?d??0?2sin?02sin?0f(r2sin?cos?)dr.

f(r2sin?cos?)rdr

【 】

（D）?d??0? 【答】 应选（D）

【详解】积分区域见图. 在直角坐标系下,

??f(xy)dxdy??dy?D011?1??1x2?1x221?(y?1)2?1?(y?1)2f(xy)dx

??dx??1f(xy)dy

故应排除（A）、（B）.

?x?rcos?在极坐标系下, ? ,

y?rsin?? ??f(xy)dxdy??d??D0?2sin?0f(r2sin?cos?)rdr,

故应选（D）.

?1y2?o11x（13）设A是3阶方阵, 将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ?C的可逆矩阵Q为

?010??010?????（A）?100?. （B）?101?.

?101??001??????010??011?????（C）?100?. （D）?100?.

??011????001?? 【答】 应选（D）

?【详解】由题意 B?A?010??100??100?????, C?B?011?,

?001????001???010??100?? ?C?A??100????011???A?011??100???AQ,

??001????001????001???01从而 Q??1??100???,故选（D）.

?001??（14）设A,B为满足AB?0的任意两个非零矩阵, 则必有

（A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. （C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.

【答】 应选（A）

【详解】 方法一：

设 A?(aij)l?m,B?(bij)m?n, 记 A??A1A2?Am?

??b11b12?bn?AB?0 ? ?Ab?121b1A2?A22?bnm????2?????? ??b?m1bm2?bmn?? ??b11A1???mb1Am?bn1A?1??mbn?Am0? 【 】

【 】

（1）

由于B?0, 所以至少有一 bij?0(1?i?m,1?j?n), 从而由（1）知, b1jA1?b2jA2???bijAi???bm1Am?0, 于是 A1,A2,?,Am线性相关.

?B1???B2又记 B???, 则

?????B???m??aB??amBm?a11a12?am??a11B11?B1?12?21???????aa?aaB?aB???aBB2122m2211222mm22???????0 ????????????????B????al1al2?alm????al1B1?alB????aB22lmm????m??AB?0 ?由于A?0,则至少存在一 aij?0(1?i?l,1?j?m),使 ai1B1?ai2B2?aijBj???aimBm?0, 从而 B1,B2,?,Bm线性相关, 故应选（A）.

方法二：

设A为m×n 矩阵，B 为n×s 矩阵，则由AB ＝0知， r (A)+r (B) < n.

又A、B 为非零矩阵，所以r (A) > 0, r (B) > 0, 从而r (A ) < n, r (B ) < n,即A的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故应选（A）.

三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）

（15）（本题满分10分）

1求极限lim3x?0x??2?cosx?x?????1?.

3??????【详解】 方法一：

1lim3x?0x??2?cosx??e?1?lim????x?03??????x?2?cosx?xln??3???1x3

s??2?coxln??3?? ?limx?0x2l（n2?cox）s?ln3 ?lim 2x?0x1（??sinx）2?coxs ?lim x?02x11sixn1??? ??lim2x?02?coxsx6【详解】 方法二：

1 lim3x?0x??2?coxs??e?1?lim????x?03??????xx?s?2?coxln??3???1x3

s??2?coxln??3?? ?lim2x?0xcosx?1）3 ?lim 2x?0xcosx?11?? ?lim

x?03x26ln（1?

（16）（本题满分10分）

设函数f(x)在（??,??）上有定义, 在区间[0,2]上, f(x)?x(x2?4), 若对任意的x都满足f(x)?kf(x?2), 其中k为常数.

(Ⅰ)写出f(x)在[?2,0]上的表达式; (Ⅱ)问k为何值时, f(x)在x?0处可导. 【详解】(Ⅰ)当?2?x?0,即0?x?2?2时,

f(x)?kf(x?2)?k(x?2)[(x?2)2?4]?kx(x?2)(x?4).

(Ⅱ)由题设知 f(0)?0.

f(x)?f(0)x(x2?4)?(0)?lim? f??lim???4

x?0x?0x?0x f??(0)?lim?x?0f(x)?f(0)kx(x?2)(x?4)?lim??8k. x?0x?0x1令f??(0)?f??(0), 得k??.

21即当k??时, f(x)在x?0处可导.

2

（17）（本题满分11分） 设f(x)??x?x?2sintdt,

(Ⅰ)证明f(x)是以?为周期的周期函数; (Ⅱ)求f(x)的值域. 【详解】 (Ⅰ) f(x??)??设t?u??, 则有

f(x??)??x?xx?3?2x??sintdt,

?2sin(u??)du??x?x?2sinudu?f(x),

故f(x)是以?为周期的周期函数.

(Ⅱ)因为sinx在(??,??)上连续且周期为?, 故只需在[0,?]上讨论其值域. 因为

f?(x)?sinx(?令f?(x)?0, 得x1??2?)sxin?cxo?s, xsin?4, x2?3?, 且 43?44 f(?4)???sitnd?t, 2

?3?4sintdt?2?2, f()??34sintdt?3?sintdt?????4445?5??又 f(0)??2sintdt?1, f(?)??03?2?(?sint)dt?1,

?f(x)的最小值是2?2, 最大值是2, 故f(x)的值域是[2?2,2].

（18）（本题满分12分）

ex?e?x曲线y?与直线x?0,x?t(t?0)及y?0围成一曲边梯形. 该曲边梯

2形绕x轴旋转一周得一旋转体, 其体积为V(t), 侧面积为S(t), 在x?t处的底面积为F(t).

(Ⅰ)求

S(t)的值; V(t)S(t).

t???F(t)t0(Ⅱ)计算极限lim【详解】 (Ⅰ)S(t)??2?y1?y?2dx

?ex?e?x?e2x?2?e?2xdx ?2????1?024??t?ex?e?x? ?2????dx, 02??t2?ex?e?x?2 V(t)???ydx?????dx, 002??tt2 ?S(t)?2. V(t)?et?e?t?????,

2??2(Ⅱ)F(t)??y2x?t?ex?e?x?2????dx02?S(t)? lim ?limt???F(t)t???t?t2?e?e????2??t2?et?e?t?2??2? ?limt??t t?tt???????e?ee?e2?????2??2?et?e?t ?limt?t? 1t???e?e2

（19）（本题满分12分） 设e?a?b?e2, 证明ln2b?ln2a?【详证】 方法一： 设?(x)?ln2x?4x, 则 e24(b?a). 2elnx4?2 xe1?lnx ???(x)?22,

x??(x)?2所以当x?e时, ???(x)?0, 故??(x)单调减小, 从而当e?x?e2时, ??(x)???(e2)?即当e?x?e2时, ?(x)单调增加. 因此, 当e?a?b?e2时, ?(b)??(a), 即 ln2b?442b?lna?a 22ee4故 ln2b?ln2a?2(b?a).

e4(x?a), 则 e2lnx4??(x)?2?2

xe44?2?0, 2ee方法二：

设?(x)?ln2x?ln2a?

1?lnx ???(x)?22,

x?x?e时, ???(x)?0???(x)?, 从而当e?x?e2时, ??(x)???(e2)??e?x?e2时, ?(x)单调增加.

?e?a?b?e2时, ?(x)??(a)?0。令x?b有?(b)?0

44??0, e2e2即 ln2b?ln2a?

方法三：

4(b?a). 2e 对函数ln2x在[a,b]上应用拉格朗日定理, 得 ln2b?ln2a?设?(t)?lnt1?lnt, 则??(t)?2, tt2ln??(b?a), a???b.

当t?e时, ??(t)?0, 所以?(t)单调减小, 从而?(?)??(e2), 即

lne22 ?2?2,

?eeln?故 ln2b?ln2a?

（20）（本题满分11分）

某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.

现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?

注 kg表示千克,km/h表示千米/小时.

4(b?a) 2e【详解】 方法一：

由题设,飞机的质量m?9000kg,着陆时的水平速度v0?700km/h.从飞机接触跑道开始记时,设t时刻飞机的滑行距离为x(t),速度为v(t). 根据牛顿第二定律,得

dv m??kv.

dtdvdvdxdv又 ???v,

dtdxdtdxm ?dx??dv,

km积分得 x(t)??v?C,

km由于v(0)?v0,x(0)?0, 故得C?v0, 从而

km x(t)?(v0?v(t)).

k当v(t)?0时, x(t)?mv09000?700??1.05(km). k6.0?106所以,飞机滑行的最长距离为1.05km. 方法二：

根据牛顿第二定律,得

dv m??kv.

dtdvk??dt, 所以 vm两边积分得 v?Ce?ktm,

代入初始条件 vt?0?v0, 得C?v0,

?v(t)?v0ek?tm,

??故飞机滑行的最长距离为 x??

??0ktmv0?mv(t)dt??ek?0mv0?1.05(km). k方法三：

根据牛顿第二定律,得

d2xdx m2??k,

dtdtd2xkdx??0, 2dtmdt其特征方程为 r2?解得r1?0, r2??k， mkr?0, m故 x?C1?C2edx由x(0)?0, v(0)?dtk?tm，

t?0ktkC2?m??em?v0，得C1??C2?t?0mv0， kk?tmv0m?x(t)?(1?e).

k当t???时,

x(t)?mv09000?700??1.05(km). k6.0?106所以,飞机滑行的最长距离为1.05km.

（21）（本题满分10分）

?z?z?2z设z?f(x?y,e),其中f具有连续二阶偏导数,求,,.

?x?y?x?y22xy【详解】

?z?2xf1??yexyf2?, ?x?z??2yf1??xexyf2? ?y?2zxy??(2y?)???2x[ff11??1?2xe?]?x?yxy???? ]?yexy[2ff1?(?2y)?22?xexye??2f?ye2fxxy???2(x2?y2)exyf12????xye2xyf22???exy(1?xy)f2?. ??4xyf11

（22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组

?(1?a)x1?x2?x3?x4?0,?2x?(2?a)x?2x?2x?0,?1234 ??3x1?3x2?(3?a)x3?3x4?0,??4x1?4x2?4x3?(4?a)x4?0,试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.

【详解】 方法一：

对方程组的系数矩阵A作初等行变换, 有

?1?a?2 ??3??4?12?a34123?a41?11?1??1a???2??a2a00????B

??a3?03?0a?????a4??4a?0a0???当a?0时, r(A)?1?4, 故方程组有非零解, 其同解方程组为

x1?x2?x3?x4?0.

由此得基础解系为

?1?(?1,1,0,0)T, ?2?(?1,0,1,0)T, ?3?(?1,0,0,1)T,

于是所求方程组的通解为

x?k1?1?k2?2?k3?3, 其中k1,k2,k3为任意常数.

当a?0时,

?1?a??2 B????3???4?110010101??a?10??0??2????30?????41???010000100??0? 0??1??当a??10时, r(A)?3?4, 故方程组也有非零解, 其同解方程组为

??2x1?x2?0,? ??3x1?x3?0,

??4x?x?0,?14由此得基础解系为

??(1,2,3T,, 4所以所求方程组的通解为 x?k?, 其中k为任意常数.

方法二：

方程组的系数行列式

111??1?a??22?a22??(a?10)a3. A???333?a3????4?444?a??当A?0, 即a?0或a??10时, 方程组有非零解. 当a?0时, 对系数矩阵A作初等行变换, 有

?1?2A???3??4?x1?x2?x3?x4?0. 其基础解系为

123412341??11??2?00???003????004???10001??0? ?0?0??故方程组的同解方程组为

?1?(?1,1,0T,, 0?)2?(?1,0,1,0)T, ?3?(?1,0,0,1)T, 于是所求方程组的通解为

x?k1?1?k2?2?k3?3, 其中k1,k2,k3为任意常数.

当a??10时, 对A作初等行变换, 有

11???9111???91????2?82220?1000???? A???33?73??300?100?????444?6???400?0?10??????9??2 ????3???4?故方程组的同解方程组为

?x2?2x1,? ?x3?3x1,

?x?4x,?41110010101??0??0??2????30?????41???010000100??0? ?0?1??其基础解系为??(1,2,3,4)T,

所以所求方程组的通解为x?k?, 其中k为任意常数.

（23）（本题满分9分）

?12?3???设矩阵??14?3?的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可

?1a5???相似对角化.

【详解】A的特征多项式为

??1

1?1??2?2?0??43?1??43 ?a??5?1?a??5?231?101002)?1?3 3?1?a?1??53???( ?(??2)1??4?1?a??5 ?(??2)?(2??8?18?a. 3)若??2是特征方程的二重根, 则有22?16?18?3a?0, 解得a??2.

?1?23???当a??2时, A的特征值为2, 2, 6, 矩阵2E?A??1?23?的秩为1,

??12?3???故??2对应的线性无关的特征向量有两个, 从而A可相似对角化.

若??2不是特征方程的二重根, 则?2?8??18?3a为完全平方,

2从而18?3a?16, 解得a??.

3???3?23???203?的秩为2, 当a??时, A的特征值为2, 4, 4, 矩阵2E?A??13??2?1???13??故??4对应的线性无关的特征向量只有一个, 从而A不可相似对角化.

（23）（本题满分9分）

?12?3???设矩阵??14?3?的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可

?1a5???相似对角化.

【详解】A的特征多项式为

??1

1?1??2?2?0??43?1??43 ?a??5?1?a??5?231?101002)?1?3 3?1?a?1??53???( ?(??2)1??4?1?a??5 ?(??2)?(2??8?18?a. 3)若??2是特征方程的二重根, 则有22?16?18?3a?0, 解得a??2.

?1?23???当a??2时, A的特征值为2, 2, 6, 矩阵2E?A??1?23?的秩为1,

??12?3???故??2对应的线性无关的特征向量有两个, 从而A可相似对角化.

若??2不是特征方程的二重根, 则?2?8??18?3a为完全平方,

2从而18?3a?16, 解得a??.

3???3?23???203?的秩为2, 当a??时, A的特征值为2, 4, 4, 矩阵2E?A??13??2?1???13??故??4对应的线性无关的特征向量只有一个, 从而A不可相似对角化.

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