压水堆核电站基础知识 - 图文

压水堆核电站基础知识

反应堆物理

（试用教材）

2003年10月29日

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目 录

第一章 核能与反应堆…………………………………………………………………………1

1.1 核能的特点………………………………………………………………………………1 1.2 核反应堆与核电厂动力系统……………………………………………………………3 1.2.1 核电厂动力系统简介………………………………………………………………3 1.2.2 反应堆及其分类……………………………………………………………………3

第二章 原子核物理基础和中子物理学……………………………………………………5

2.1 物质的组成………………………………………………………………………………5 2.1.1 原子核的组成………………………………………………………………………5 2.1.2 同位素………………………………………………………………………………5 2.2 核衰变……………………………………………………………………………………7 2.2.1 衰变类型……………………………………………………………………………7 2.2.2 衰变率………………………………………………………………………………8 2.3 质量与能量的关系………………………………………………………………………9 2.3.1 质量亏损……………………………………………………………………………9 2.3.2 质能定律……………………………………………………………………………10 2.4 中子与物质的相互作用…………………………………………………………………11 2.4.1 概述…………………………………………………………………………………11 2.4.2 中子与物质核的相互作用机理……………………………………………………12 2.4.3 中子反应截面………………………………………………………………………13 2.5 核裂变过程………………………………………………………………………………16 2.5.1 核裂变机理…………………………………………………………………………16 2.5.2 裂变截面……………………………………………………………………………17 2.5.3 裂变产物……………………………………………………………………………19 2.5.4 裂变中子……………………………………………………………………………20 2.5.5 反应堆的热功率……………………………………………………………………22 2.5.6 衰变热………………………………………………………………………………25 复习题………………………………………………………………………………………26

第三章 反应堆稳态物理……………………………………………………………………27

3.1 中子循环和四因子公式…………………………………………………………………27 3.1.1 中子循环……………………………………………………………………………27 3.1.2 四因子公式和临界条件……………………………………………………………29 3.2 单速中子的扩散…………………………………………………………………………30 3.2.1 概述…………………………………………………………………………………30 3.2.2 斐克定律……………………………………………………………………………30 3.2.3 中子泄漏的计算……………………………………………………………………31 3.2.4 中子扩散方程………………………………………………………………………32 3.2.5 扩散方程的边界条件………………………………………………………………33 3.2.6 点源产生的单速中子扩散…………………………………………………………34 3.2.7 热中子扩散长度……………………………………………………………………34 3.3 中子的慢化………………………………………………………………………………35 3.3.1 慢化的物理机制……………………………………………………………35 3.3.2 弹性碰撞理论………………………………………………………………36

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3.3.3 平均对数能降………………………………………………………………40 3.3.4 中子年龄的统计意义………………………………………………………42 3.3.5 徙动面积…………………………………………………………………43 3.3.6 慢化剂的性质………………………………………………………………………43 3.4 均匀裸堆………………………………………………………………………………44 3.4.1 一群扩散方程………………………………………………………………………44 3.4.2 平板裸堆……………………………………………………………………………45 3.4.3 有限高圆柱形均匀裸堆……………………………………………………………46 3.4.4 一群临界方程与临界条件…………………………………………………………47 3.4.5 中子通量密度分布不均匀系数……………………………………………………50 3.4.6 中子通量密度分布的展平…………………………………………………………50 3.4.7 二群扩散方程和二群临界方程……………………………………………………52 3.5 有反射层的均匀堆………………………………………………………………………54 3.5.1 反射层性质…………………………………………………………………………54 3.5.2 反射层节省………………………………………………………………54 3.5.3 反射层对中子通量分布的影响……………………………………………55 复习题………………………………………………………………………………………56

第四章 反应堆动力学………………………………………………………………………57

4.1 中子动力学基础…………………………………………………………………………57 4.1.1 瞬发中子……………………………………………………………………………57 4.1.2 缓发中子效应………………………………………………………………………60 4.1.3 反应性的定义和单位………………………………………………………………62 4.1.4 反应堆周期…………………………………………………………………………63 4.2 点堆动力学………………………………………………………………………………65 4.2.1 基本方程……………………………………………………………………………65 4.2.2 方程的讨论…………………………………………………………………………66 4.3 小反应性阶跃变化时点堆动力学特征…………………………………………………66 4.3.1 有外源的稳定态……………………………………………………………………66 4.3.2 小反应性阶跃变化时的中子密度响应……………………………………………69 4.3.3 倒时公式……………………………………………………………………………72 4.3.4 瞬发临界……………………………………………………………………………73 复习题………………………………………………………………………………………74

第五章 反应性的变化和控制………………………………………………………………75

5.1 反应性的温度效应………………………………………………………………………75 5.1.1 反应性温度系数及其对反应堆稳定性的影响…………………………………75 5.1.2 燃料反应性温度系数的性质及其影响因素………………………………………77 5.1.3 慢化剂反应性温度系数及其影响因素……………………………………………80 5.1.4 空泡系数……………………………………………………………………………85 5.1.5 功率系数与功率亏损………………………………………………………………85 5.1.6 关于在BOL时?m为正的问题 ……………………………………………………90 5.2 裂变产物的中毒…………………………………………………………………………93 5.2.1 毒物对反应性的影响………………………………………………………………93 5.2.2 135Xe的中毒…………………………………………………………………………94

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5.2.3 149Sm的毒性效应…………………………………………………………………99 5.3 燃料的燃耗效应………………………………………………………………………102 5.3.1物理过程……………………………………………………………………………102 5.3.2 燃耗深度………………………………………………………………………… 103 5.3.3 反应性随燃耗深度的变化……………………………………………………… 103 5.4 反应性控制…………………………………………………………………………… 104 5.4.1反应性控制任务………………………………………………………………… 105 5.4.2 反应性控制中所用的几个物理量……………………………………………… 105 5.4.3 反应性控制原理………………………………………………………………… 106 5.5 控制棒控制…………………………………………………………………………… 107 5.5.1 控制棒控制特点………………………………………………………………… 107 5.5.2 控制棒材料……………………………………………………………………… 107 5.5.3 控制棒价值……………………………………………………………………… 108 5.6 化学补偿控制………………………………………………………………………… 111 5.6.1 控制特点………………………………………………………………………… 111 5.6.2 硼酸浓度的计算………………………………………………………………… 111 5.7 可燃毒物控制……………………………………………………………………… 113 5.7.1 控制特点………………………………………………………………………… 113 5.7.2 可燃毒物材料…………………………………………………………………… 113 复习题………………………………………………………………………………………114

第六章 核燃料管理……………………………………………………………… 115

6.1 核燃料循环概述…………………………………………………………………… 115 6.2 堆芯燃料管理……………………………………………………………………… 115 6.2.1 绪言……………………………………………………………………………… 115 6.2.2 换料方式概述…………………………………………………………………… 115 6.2.3 压水堆装料换料布置方式……………………………………………………… 116 6.3 堆芯装换料的佳化研究…………………………………………………………… 118 复习题………………………………………………………………………………………120

缩写索引………………………………………………………………………………………121

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第一章 核能与反应堆

随着人类社会的不断进步，世界能量消耗的增长是很快的。一方面随着生活水平的提高，人均对能量的消耗也越来越高；另一方面，世界总人口还在不断地增加。更主要的是在工业、农业、交通运输方面按每人平均所消耗的能量增加了。世界上有些国家，有些地区因能源不足而延缓了经济的发展的例子是不少的。 核裂变现象的发现表明，核能时代开始了。核能以它的本身的特点越来越得到人类的重视。核能，最初由于人们对此物理现象的不确切了解，称为原子能。实际上它是由于原子核内部发生裂变或聚变而产生的巨大的能量。

235

目前在反应堆中，用不带电的粒子(中子)去轰击靶核U使之裂变从而释放出大量的核能。但核能的产生并非容易，因为原子核很小，又带正电。击开它并非易事。

早期人们一直是设想用加速的带电粒子作为轰击原子核的炮弹。为了使原子核分裂，曾设计了大型静电加速器和回旋加速器，通过这些设备甚至可以把带电粒子加速到近千万电子伏，但仍然很难击开原子核，成千上万发的炮弹很可能只有一发炮弹能击中原子核。如同爱因斯坦所说，“我们好比是一些憋脚的射手，在黑暗的郊外打鸟，那里的鸟又非常少”。

1932年查德威克(Chadwick)等人发现了中子。

94121 4Be?2He?6C?0n

中子不带电荷，和原子核之间没有库仑力的相互作用，容易接近原子核而引起核反应。中子的发现开创了核物理学的新纪元，也为重核裂变提供了强有力的“炮弹”。

1938年哈恩( O.Hahn )和斯特拉斯曼( F.Strassmann )用放射化学的方法发现和证实235

了U在中子的轰击下发生裂变的现象。但当时把放出的新的中子给忽略了。

后来，许多科学家利用各种方法（如电离室，云雾室等）来证明中子轰击铀核后，铀核分裂成两个质量近似相等的碎片，同时放出两个至三个的次级中子，还释放出大量能量和射线。1946年我国科学家钱三强，何泽慧夫妇发现了铀核在中子的轰击下有时会分裂成三块或四块，但这种机会要小得多，这种分裂现象一般称为三分裂或四分裂。

1942年费米( Fermi )在美国芝加哥大学建成世界上第一座天然铀石墨热中子反应堆CP-1，用了40吨天然铀（其中6吨金属铀），385吨石墨，2000根铀棒组成的10.5?10.5?42 cm的栅格。

1.1 核能的特点

核电厂中产生的能量是由于在反应堆装置中，靶核U在中子的轰击下，产生裂变反应同时释放出大量的能量。这种由于原子核内部结构组成的变化而释放出来的能量称为核能。那么核能有哪些特点呢？

首先，核能的能值高，一公斤铀全部裂变所释放的裂变能，大约和2700吨煤或2000吨石油相当。煤和石油的发电是利用物质的化学反应。而核能的释放是由于原子核的内能变化而产生的能量。特别是在煤资源、水力资源缺乏的地区，如果用核能来发电，将是很适宜的方案。到1994年年底，法国的核电已占法国总电力的75.29%。

其次，核能主要利用铀、钍同位素。而这些同位素的矿藏量以及海水中氘所蕴含的能量储藏量丰富广泛。目前主要用于能源的是化石燃料，也就是煤、天然气和石油，以及水力。但露天采矿和烧煤对地表的破坏和对环境的污染是很严重的。更主要的是煤和石油还能为生产化学制品(包括药品、染料、纤维、橡胶和塑料等)提供基本的原料，从长远看，将化石燃

235

5

料用于原料方面比用作能源可能更有价值。至于水力资源并不是任何地区都有的，往往是缺少水力资源的大城市、沿海城市却需要更多的电力。

再次，随着核技术的不断完善，核能已被公认为一种价格上能和其他能源相竞争的发电用能源，见表1.1-1。

表1.1-1 核电站与火电站发电成本比较

烧油电站 烧煤电站 核电站 美 国 8.1美分/度电 4.8美分/度电 4.3美分/度电 法 国 28生丁/度电 21生丁/度电 日 本 13.06 日元/度电 10.45日元/度电 8.9日元/度电

最后，核能对大自然的环境污染小。核电厂不放出二氧化碳、二氧化硫和氮的氧化物，不会造成温室效应和酸雨，从而保护了人类赖以生存的生态环境。当前作为核能利用的主要装置是核电厂。由于安全措施严格，运行经验丰富，因而发生事故的几率很小。但是为了做到安全可靠，万无一失，并防止事故引起放射性扩散，核电站中设置了三道放射性屏障和应急事故处理系统。图1.1-1为压水堆核电站放射性三道屏障示意图。第一道屏障是核燃料元件棒包壳，它能承受约200大气压的压力。放射性裂变产物被限制在包壳管内；第二道屏障是反应堆压力容器和一回路耐压管道。即使燃料元件包壳万一破损，其放射性物质也只能外漏到一回路中；第三道屏障是安全壳，它将反应堆及一回路系统的主要设备密封在安全壳内。因而，即使第二道屏障万一破损，其放射性物质也只能密封在安全壳内。

更由于它能值高，烧过的燃料还能进行后处理再做成新的燃料。特别是快中子增殖反应

238239

堆的出现，它能对燃料进行增殖，能把不能裂变的U转变成核燃料Pu，大大地增加了对铀资源的利用。

现代人类所能利用的能源，不外乎是水力、化石燃料、核能以及太阳能、风力、潮汐能、地热能等。水力能源虽有一定的经济价值，但往往受到地理条件的限制，建造费用庞大，电力输送费用高。至于太阳能、潮汐能、风力及地热发电，目前虽然经过研究试验已开始应用，但要大规模地利用及开发却受到很多条件的限制。因此，核能是当前比较有现实意义的能源。

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1.2 核反应堆与核电厂动力系统

核反应堆是利用易裂变物质，使之发生可控的自持裂变链式反应的一种装置。它是核电厂产生能量的主要设备。 1.2.1 核电厂动力系统简介

图1.2-1给出了核反应堆装置的示意图。冷却剂经堆芯带走热量经蒸发器，通过主泵再流入堆芯。这个闭合回路称一次回路，简称一回路。对于压水堆，一回路也是高温高压回路，由于冷却水是流经堆芯的，因而它具有放射性。从蒸发器出来的汽通过汽轮机带动发电机发电，从汽轮机出来的汽水混合物通过冷凝器流入蒸发器，这一回路称二次回路，简称二回路。 1.2.2 反应堆及其分类

当前世界上有各种各样的反应堆，我们可以将他们分一下类。 1. 按核反应堆的用途分类

生产堆 生产易裂变材料，同位素或用于工业规模辐照的反应堆。它们的主要反应式如

238239

U ＋n→Pu

634

Li＋n→H+He

232233

Th＋n→233Th→U

239239238

Pu是一种很好的易裂变物质，Pu裂变时能放出大量的裂变能。而U本身对热中子

232

是不裂变的，在自然界的铀矿中，它的丰度为99.2%。大量的Th存在于自然界，它本身不

233233

能裂变。但它可以吸收中子形成 U，而U是一种很好的易裂变物质。利用上述过程，可

23263

使大量的Th矿资源得到利用。而Li放在堆内受中子辐照而产生的氚(H)则是氢弹的重要物质。

实验堆 主要包括零功率装置，实验研究堆和原型堆等。主要用于实验研究，为设计和研制反应堆或新型堆取得必要的反应堆物理或堆工程数据。

动力堆 用作动力和直接发电的反应堆。它分为移动式(如核潜艇)和固定式(发电)。动力堆用作发电其优越性越来越被人们接受。田湾核电站中的反应堆就属于这种范畴。 2. 按冷却剂类型分类

压水堆 轻水作冷却剂、慢化剂。燃料一般采用低富集的二氧化铀。轻水慢化，水的导热性能好。该堆型结构紧凑，功率密度高。平均燃耗深，负温度系数，比较安全可靠。高压(14-16兆帕)使得水温在300℃左右而不沸腾。

沸水堆 与压水堆一样，冷却剂为水，但允许沸腾，压力低，省去一个回路(一回路与二回路合二为一)。水沸腾后将使堆芯内中子的慢化性能变差，因而必须增大堆芯体积，燃料装载量要比同样功率的压水堆大50%左右。

重水堆 冷却剂、慢化剂都为重水。由于重水的慢化性能好，热中子吸收截面小，故燃料可用天燃铀。重水的泄漏是一个要认真对待的技术关键。

气冷堆 一般用CO2作冷却剂，石墨作慢化剂。燃耗深，转换比高，体积大。

钠冷堆 没有慢化剂，金属钠作冷却剂。燃料要求高富集铀或铀钚混合燃料，压力低，冷却剂的进出口温差大，功率密度大。 3. 按引起裂变的中子能量来分类

热中子反应堆 引起燃料核裂变的中子能量在0.0253电子伏左右。大多数压水堆即属于这种类型。

7

快中子反应堆 引起燃料核裂变的中子能量在0.1兆电子伏附近。例如钠冷堆。 中能中子反应堆 引起裂变的中子能量介于热中子堆和快中子堆之间。

综上所述，田湾核电厂中的反应堆装置中靶核裂变时释放出来的能量用来发电，因而它是属于动力堆范畴。由于它用轻水作冷却剂、慢化剂。采用低富集的二氧化铀作燃料，堆内压力较高，又称为压水堆。这种压水堆的优点是反应堆结构简单，功率密度高。当然为了安全运行，其系统复杂，设备多。为了获得较高的蒸汽参数，反应堆及其一回路都要在很高

235

的压力下工作，给设计和设备制造带来一定的困难。同时，它是主要由于热中子引起U裂变而释放能量的。因此又称为热中子反应堆。

复 习 题

1.什么能量称为核能？核能有哪些特点？ 2.简单叙述田湾核电厂中的反应堆装置的特点。

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第二章 原子核物理基础和中子物理学

反应堆是一个强大的中子辐照场。同时，反应堆中有燃料、慢化剂、结构材料和控制材料等。反应堆的运行建立在中子与这些物质相互作用的基础上。

本章将介绍与反应堆有关的原子核物理基础知识。主要是中子物理学基础。

首先，对物质的组成、原子核的结构、基本性质和核衰变作一简单介绍。然后，介绍中子与核的各种核反应。最后，对核裂变的机理作了介绍，并给出了反应堆热功率和衰变热的计算公式。

2.1 物质的组成

宇宙中任何物质都是由一百零几种元素的原子组成。原子是保持物质化学性质的最小粒子，但原子并不是物质组成的最基本的单位，原子作为客观实体存在，它的直径为一亿分之

-8

一厘米（10厘米），但原子并不是不可再分的最小微粒。今天人类对原子的认识是：原子又是由原子核（原子的核心）及核外电子组成，形成一个“小太阳系”。 2.1.1 原子核的组成

原子由原子核和核周围的电子组成。原子核带正电，电子带负电。由于原子核所带的正电荷和电子所带的负电荷的绝对值相等，因而原子是电中性的。实验已经证实，原子的全部质量几乎都集中在原子核之中。

原子核由质子和中子这两种基本粒子组成。质子带一个单位的正电荷，其电量等于电子电荷的电量。这种粒子实际上就是氢原子的核，也就是去掉其唯一电子的氢原子。中子不带电。

质子和中子的质量分别为： Mp＝1.007277原子质量单位 Mn＝1.008665原子质量单位

12

1个原子质量单位定义为中性的C原子质量的1/12。

-24

1原子质量单位＝(1.6605655±0.0000086)×10克。因而质子、中子以克为单位的质量分别为：

-24

Mp=1.672648×10克

-24

Mn=1.674954×10 克

由此可见，中子稍稍重于质子。

电子的质量Me＝0.000549原子质量单位。所以整个原子的质量几乎就是原子核中质子和中子的质量。

设某一原子核由Z个质子和N个中子组成，Z和N分别表示该元素的原子序数和原子核内的中子数。原子核内核子(即中子和质子)的总数等于Z＋N＝A，此处A为原子质量数。Z，N，A皆为正整数。

2.1.2 同位素

元素的化学性质取决于该元素的原子序数(即原子核中的质子数)。这是因为物质的化学性质取决于核周围的(轨道)电子，而其电子的数目必须等于原子核中的质子数，因为整个原子是电中性的。因此，只要原子核内包含同样数量的质子数，即具有相同的原子序数，即使其质量数不同（原子核内具有不同的中子数），其化学性质基本上也相同，虽然它们的核特

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性常常具有明显的差别。这些原子序数相同而质量数不同的核素叫做同位素。它们在化学性质方面一般无法区别，但却具有不同的核特性。

235A 具有A个核子，Z个质子的原子核常用ZX来表示，其中X为元素的符号。例如，92U表示该铀原子核内有92个质子，235个核子(质子和中子总数)。显然，原子核内有235-92

238＝143个中子。92U原子核内也有92个质子，但共有238个核子(质子和中子总数)。因而

其原子核内的中子数为238-92=146个。它们在元素周期表中同时占有一个位置。由于在元

235素X的表示中，其质量数A隐含了其原子序数Z，经常只写成X，例如92U也可写成

A

235

U。

在热中子的轰击下

235

U原子核能分裂成两个碎片，同时释放出大量的能量，它们被称为易裂

238

239

变物质，既可用作核反应堆的燃料，也可用作核武器的装料。而在热中子的轰击下，U不能产生裂变反应，它俘获中子后生成

U，经过两次β衰变而转化为

235

-239

Pu，而

239

Pu却是另

238一种很重要的裂变物质。92U被称为可裂变物质。由此可见，U和

238

U具有不同的核特性。

但是它们的化学性质却极为相似。

目前，铀是能通过裂变释放核能的最重要的元素之一。它在自然界中至少存在着三种同位素，它们的质量数分别为234，235和238。表2.1-1给出了天然铀中存在的三种同位素丰度以及它们的质量。

表2.1-1 天然铀同位素成分

质量数 234 235 238 丰度,% 0.0055 0.720 99.274 同位素质量 234.0410 235.0439 238.0508 其中U的天然含量极少，可以忽略不计。铀除了上述三种天然同位素以外，还有其他

233232

12种同位素都可用人工方法制造出来。其中最重要的一种是U，它可以通过Th在反应

-233

堆内吸收一个中子后再经过两次β衰变转化而成。U也是一种易裂变物质。 氢有三种同位素，相应的丰度分别为：

1

氕 H 99.9852%

2

氘 H(D) 0.0148%

3

氚 H(T)

12

自然界中只存在H，H两种同位素。所谓丰度是指某一同位素在其所属的天然元素中占

1

的原子数百分比。我们常称H为氢。氘和氧可化合成重水D2O，可以用作反应堆的慢化剂和冷却剂。例如加拿大的CANDU反应堆，其慢化剂和冷却剂都是重水。氘也可用作氢弹的装料。氚在自然界含量极微，但可通过核反应人工制取。

氧有八种同位素，其中三种是稳定的，相应的丰度为

16

O 99.756%

17

O 0.039%

18

O 0.205%

＋

另外五种同位素不稳定，其中下列三种要进行β衰变，它们的半衰期分别为

13

O 0.0087秒

14

O 70.43秒

15

O 122秒

-另外两种要进行β衰变，它们的半衰期分别为

19

O 26.9秒

20

O 13.57秒

10

234

自然界中，常见的只有O，O和O三种稳定同位素。

161718

2.2 核衰变

2.2.1 衰变类型

目前，自然界中存在的天然同位素约有333种，其中绝大多数(约283种)是稳定的。但

889092

从钋(原子序数84)开始的高原子量元素。例如Ra,Th和U，则全部由不稳定的放射性核素所组成。自然界中不稳定的元素大约有50种。 除了上面提到的放射性物质以外，在最近几年中还制造了所有已知元素的人造放射性同位素。这些人工制造出来的元素，则都是不稳定的。所谓不稳定，即指这些核要进行自发衰

±

变，放出β，?或γ射线。

如果原子序数(质量数)不高，则质子之间的排斥力较小。因为质子-质子、中子-中子和质子-中子的吸引力大致相等，所以可预期中子-质子比近于1的核比较稳定。但是随着原子

2

序数的增加，随Z变化的质子之间的静电斥力变得越来越重要。为了维持稳定性，核内必须包含较高比例的中子，但这也受到一定的限制。一般来说，核内中子数比质子数过多或过少的核都是不稳定的。

放射性核素以一定的速率进行自发的变化，这个速率随核素的性质而不同。不稳定的核放出一个特征粒子，从而转化为一个不同的核，这个核也可以是(或不是)放射性的。

±

β衰变

如果原子核内质子数比中子数多很多的低质量数和中等质量数的不稳定核，首先，核俘获一个轨道电子，然后这个电子同一个质子结合形成一个中子(加一个中微子)。因而，这种

+

衰变相当于放出一个正电子和一个中微子，称β衰变，反应式如下表示 质子→中子＋正电子＋中微子

正电子是负电子的反粒子，除了电荷符号相反外，它们的其它性质都相同。

例如氧，Z＝8，N＝5，6， 7的三种核是不稳定的。核中的质子数多于中子数。多余的质子放出正电子，质子本身转化为中子，同时放出中微子，从而变得相对稳定一些，例如

1515? 8O?7N????

如果核内中子多于质子的不稳定核，中子自发转化成一个质子和一个电子，同时放出反

-中微子，从而变得相对稳定一些，称β衰变。如

中子→质子＋电子(β粒子)＋反中微子

1920 对于8O及8O来说，它们核内的中子数多于质子数(Z＝8,N＝11,12)所以都要放出一

个负电子使中子转化为质子。负电子又记作β。所以

19? 198O?9F????

-

其中?称为反中微子。在β衰变过程中放出的能量，由β粒子、中微子或反中微子以

±

±

及反冲核带出。因反冲核质量较大，反冲运动的能量很小，故放出的能量主要由β及?或?±

带出。它们之间的能量分配方式是任意的。所以，β粒子的能谱是连续的。

根据电荷守恒和质量守恒定律，同位素ZX经β衰变即化为Z?1Y。核的质量数不变，

±

±

AA质子则减少(增加)一个。衰变后的元素在周期表上向前(或向后)移动了一格。 ?衰变

有些不稳定核衰变时放出由两个质子、两个中子组成的?粒子，即氦-4核。例如

226884Ra?22286Rn?2He

11

?粒子的能谱是不连续的。上述过程放出的?粒子可以按能量分成四组。能量为 4.782兆电子伏、4.599兆电子伏、4.340兆电子伏及4.194兆电子伏的?粒子，其丰度分别为94.6%、

-4222

5.4%、0.0051%及7×10%。这是衰变后Rn可以处在几个不同量子能态的原因。?粒子的能量?5Mev,阻挡它们需要的物质厚度：大气?7厘米，铅?0.06毫米。 ?衰变可以表示成 ZX?Z?2Y??AA?4

即α衰变后的子核其质量数减少4，电荷数减少2，子核在周期表上向前移动了两格。 γ衰变

在许多场合，放射性衰变除了放出一个α粒子或β粒子外，还放出γ射线。γ射线是高能穿透性电磁辐射，基本上同x射线一样。事实上，γ射线与x射线之间的唯一差别在于，前者是从原子核内产生的，而后者是在核外电子的跃迁过程中产生的。当放射性变化中所形成的子核处在一种所谓的激发态，即其内能高于该核的正常态(基态)时，就会产生γ射线。过剩的能量几乎立刻以γ辐射的形式被释放。γ射线也伴随其他生成激态核过程出现。

2.2.2 衰变率

对于任何一种放射性物质，每个核在单位时间内都有一定的衰变率。这一衰变几率取决于核的种类，而且等于常数。用任何人类已知方法都不能使它改变。在一切可能达到的温度和压力下，不论元素的物理或化学状态如何，衰变率仍然保持不变。实验表明，原子核的放射性衰变是一个统计过程。对于单个原子核，发生衰变的时刻并不确定，但大量原子核在某一小段时间间隔内发生衰变的百分比是确定的。对于某一种核，每一时刻的衰变率都正比于当时存在的放射性同位素的原子数。因此，如果N是在任一时刻t时存在的某种放射性原子(或核)的数目，那么衰变率就由下式决定： ?dN??N dt式中的负号表示放射性原子数在减少。其中λ为这种放射性物质的衰变常数。它是单位时间内衰变几率的一种量度。从任何一个选定的零时刻(此时放射性核的数目为N0)到其后某一时刻t(此时剩余的放射性核的数目为N),很容易求出

N?N0e??t (2.2-1)

由此可见，放射性衰变是一个按指数变化的过程，实际衰变率由衰变常数λ和这种核存在的数目所决定。

衰变常数的倒数叫做放射性核素的平均寿命，以tm表示，则

tm?1? (2.2-2)

可以证明，平均寿命等于任一时刻存在的所有核的预期寿命的平均值。

原子核衰变一半所需的平均时间T1/2称为半衰期。在式(2.2—1)中令t=0时，N＝N0,t=T1/2时，N＝(1/2)N0 得 解得

1?e?T1/2? 2ln2?0.6931 (2.2-3)

T1/2??? 12

因而半衰期与衰变常数成反正，或者根据式(2.2—2)与平均寿命成正比。即

T1/2?0.6931tm (2.2-4)

根据半衰期的定义，经过一个半衰期的时间，核的数目(或它们的活度)衰减到其初始值的一半，所以到两个半衰期末，核的数目(或活度)将下降到初始值的1/4，依此类推(图

n

2.2—1)。普遍地说，经过n个半衰期以后，留存的核数(或活度)占初始值的(1/2)。经过七个半衰期以后，放射性物质的数量已经减少到其初始值的1%以下。

表2.2—1列出了核能领域中具有重要意义的一些物质的半衰期。其左边列出了自然界

233235239

中存在的核素的半衰期，而右边则是人造核素的半衰期。三种易裂变核( U,U和Pu)

232238

和两种可转换核( Th和U)全都是α发射体，它们具有很长的半衰期，因而是比较稳定

232239

的。另一方面，由可转换核俘获中子而产生的物质(Th和U)以及它们的瞬时衰变产物233239

(Po和Np)全部是β发射体，其半衰期比较短。这表明，以上提到的这些可转换同位素和易裂变同位素可以保存许多年而不会有明显的损失。然而，由可转换物质俘获中子以后产生的中间产物的半衰期较短，它们将在几天之内几乎全部衰变为易裂变核素。

表2.2—1 放射性核素的特征

核素 232Th 238U 235U 天 然 存 在 的 放射性 半衰期 10? 1.4x10年 9? 4.47x10年 8? 7.04x10年 核素 233Th 233Po 233U 239U 239Np 239Pu 人 造 的 放射性 半衰期 ? 22.2分 ? 27.0天 5? 1.58x10年 ? 23.5分 ? 2.35天 4? 2.44x10年

2.3 质量和能量的关系

2.3.1 质量亏损

如果没有核力作用而产生的能量变化，原子核的质量就应该等于组成它的粒子质量的总和，即质子与中子质量的总和。质子数通常用Z表示，则中子数为（A-Z）。然而用质谱仪或其他方法直接测定核的质量表明，Z个质子和(A?Z)个中子结合而成的核ZX，其质量MA总比Z个质子及(A?Z)个中子的质量之和为小。 即

ΔM＝ZMp＋（A-Z）Mn-MA (2.3-1)

13

A因而 ΔM＞0

其中Mp、Mn分别为质子和中子的质量。即所有原子核的质量都比组成它的单个质子与中子质量的总和略小，这种质量上的差异称为质量亏损。

按电中性的要求，一个原子除了包含核内的Z个质子和(A-Z)个中子外，还必须包含Z个核外电子。若Me表示电子的质量，则组成一个原子的各种粒子的质量之和为ZMp＋ZMe＋(A?Z)Mn,则

ΔM＝Z（Mp＋Me)＋(A-Z)Mn?M 式中M为中性原子的质量M＝MA＋ZMe

若用氢原子质量代替一个质子加上一个电子的质量。即MH＝Mp＋Me则

ΔM＝ZMH＋(A-Z)Mn?M (2.3—2)

已知氢原子质量MH＝1.007825原子质量单位，中子质量Mn＝1.008665原子质量单位，对于原子质量已由实验确定的任何一种核素，其质量亏损可通过下式计算而得：

ΔM＝1.007825Z＋1.008665(A?Z) ?M (2.3—3)

例如氘核，它由一个质子和一个中子组成。氘的原子质量M＝2.014102原子质量单位，氘的原子序数Z＝1，质量数A＝2，代入上式后

ΔM＝1.007825×1＋1.008665(2-1)-2.014102 ＝0.002388原子质量单位

2.3.2 质能定律

根据爱因斯坦(A.Einstein)的狭义相对论原理，质量与能量的等价关系可以用下式来表示

2

E＝MC

10

式中C为光速，C＝2.99792458×10厘米/秒。如果能量E用兆电子伏表示，质量M用原子质量单位表示，则上式可写成

E(兆电子伏)＝931.5×M(原子质量单位) (2.3—4)

即1原子单位质量与931.5016兆电子伏的能量相当。上式也表明了，当核子结合成原子核时，质量总要亏损，也即在结合过程中有

2

ΔE＝ΔMC

的能量从该原子核系统中释放出来。反之，要把原子核中所有核子完全分开，就须提供这么多能量。这个能量称为该原子核的结合能。即

2

ΔE＝［ZMp＋(A?Z)Mn?MA］C 或

2

ΔE≈［ZMH＋(A?Z)Mn?M］C 也可以写成

ΔE＝931.5［1.007825Z＋1.008665(A?Z)?M］ (2.3—5)

ΔE也称核的总结合能，每个核子的平均结合能称比结合能，即： 每个核子的平均结合能（比结合能）=ΔE/A (2.3-6) 用式(2.3-5)和(2.3-6)可以算得自然界每个核数的平均比结合能值，其结果如图2.3-1所示。图中结果表明，不同质量的原子核其平均比结合能的大小是不同的。中等质量原子核的比结合能较大，说明核子在组成中等质量的原子核时，每个核子平均放出的结合能多。轻质量的核和重质量的核其平均比结合能小，说明核子在组成轻质量的核和重质量的核时，平均放出的结合能少。裂变能就是重核分裂成中等质量核时所放出的结合能。假设有一下述裂变反应：

14

U?A+B

235117118

由比结合能曲线可得知，A=235核的比结合能为7.5兆电子伏，而质量数117和118的核的比结合能为8.35兆电子伏，因而反应前后结合能的差为

(117+118)?8.35-235?7.5?200(兆电子伏) 这个能量将被释放出来。

2.4 中子与物质的相互作用

2.4.1 概述

一个中子与一个原子核之间发生相互作用，致使原子核的质量、电荷或能量状态改变的过程称为中子核反应。热中子反应堆内发生得最多的是中子与燃料核、慢化剂核以及结构材料核发生的核反应。设入射粒子为a，被轰击的原子核即靶核(通常假设它是静止的)为b，生成核(或反冲核)为c，生成粒子为d，(为简单起见，这里只假定生成一个粒子和一个生成核)反应过程可以表示成 b(a，d)c 或 a+b→c＋d

912

例如?粒子作用某些轻元素(例如铍、硼或锂),生成C和中子,即Be(?,n)C

94121

Be+He→C+n

16161616

中子轰击O产生N及一个质子，为O(n，p)N或 16161

O+n→N+P

核反应必须遵守下列四个基本定律：

(1)核子数守恒。反应前后的核子数必须相等。 (2)电荷数守恒。反应前后电荷代数和必须相等。

(3)动量守恒。反应前后动量相等。据此可对生成核及核子的相对运动方向作出估计。 (4)能量定恒。包括静止质量能在内，反应前后能量守恒。可以用来预测某种反应在能量上是否可以发生。

中子与原子核可以发生如下一些核反应；

(1)弹性散射。 中子与靶核作用后，中子重新出射且靶核内能不变，这种反应称为弹性散射。弹性散射动量守恒，动能也守恒，可以近似用弹性小球间的碰撞来描述。热堆内快中子的慢化，主要就是快中子与慢化剂核的弹性散射。弹性散射一般用(n，n)反应表示。 (2)非弹性散射。 中子与靶核作用后，放出一个中子，但作用后的靶核的内能发生了变

15

化，靶核常处在激发态上。因而非弹性散射动量守恒，但动能不守恒。靶核从激发态跳回基态时，有γ射线放出。显然是个吸热过程。高能中子在较重核上慢化过程，主要是非弹性散射。常用(n,n′)反应表示。 (3)辐射俘获。 应称辐射俘获。常用(n,?)反应表示。如

113114238

镉控制棒对低能中子的吸收反应Cd(n,?)Cd。能量在几电子伏附近的中子被U吸收的238239

U(n,?)U反应。压水堆结构材料中或水的不锈钢腐蚀产物中的铬、锰、铁、钽等组分对

505155565859181182

中子的吸收反应Cr(n,?)Cr，Mn(n,?)Mn，Fe(n,?)Fe以及Ta(n,?)Ta等，也都属于这类反应。

(4)放出带电粒子的反应。 中子与靶核作用生成一个新核并放出质子、α粒子等带电粒

1６17

子的反应，对反应堆也很重要，例如压水堆一回路中的水流经堆芯时，水中的O，O等核

16161717

吸收中子后都放出一个质子，发生O(n,p)N，O(n,p)N等反应。这些反应的生成核并不

16-稳定，要发生放射性衰变。例如N要发生β衰变，同时放出很硬的?射线，如

1616-N→O＋β＋?

这是一回路水放射性剂量的一个重要来源。

10７

反应堆中硼核(控制材料)可产生(n,α)反应B(n,α)Li

(5)放出几个中子的反应。 高能中子轰击某些靶核，有时可产生多个中子。这种反应可表示为(n,2n),(n,3n)……反应。

(6)裂变反应。 中子与重核作用，重核分裂成两个碎片，同时放出两个或多个中子。这

235

种反应称为裂变反应。常用(n,f)反应表示。热中子核反应堆能量来源主要依靠U的裂变反应。

2.4.2 中子与物质核的相互作用机理

中子与原子核的相互作用过程有三种：势散射、直接相互作用和复合核的形成。

势散射是最简单的核反应，它是中子波和核表面势相互作用的结果。此情况下的中子并未进入靶核。任何能量的中子都有可能引起这种反应。这种作用的特点是：散射前后靶核的内能没有变化。入射中子把它的一部分或全部动能传给靶核，成为靶核的动能。势散射时，中子改变了运动的方向和能量。势散射前后中子与靶核系统的动能和动量守恒，所以势散射是一种弹性散射。

直接相互作用是指：入射中子直接与靶核内的某个核子碰撞，使某个核子从核里发射出来，而入射中子却留在核内。如果从靶核里发射出的核子是质子，这就是直接相互作用(n,p)反应。如果从靶核里发射出的核子是中子，而靶核发射?射线，同时由激发态返回基态，这就是直接非弹性散射过程。入射中子要具有较高的能量才能与原子核发生直接相互作用。不过，在核反应堆内具有那样高的能量的中子，其数量是很少的。所以在反应堆物理分析中，这种直接相互作用方式是不重要的。

复合核的形成是最重要的中子与原子核的相互作用形式。在这个过程中，入射中子被靶核ZX吸收，形成一个新核—复合核ZAA?1X。中子和靶核在质心坐标系中的总动能E。就转

化为复合核的内能。同时中子的结合能也给了复合核，于是使复合核处于基态以上的激发态。然后，经过一个短时间，复合核衰变或分解放出一个粒子。

在研究靶核的微观截面时，我们发现某些靶核的微观吸收截面有共振现象。如图2.4—1所示。

当E＝Er时σa＝σmax，其余能量时，σa很小，以致形成一些共振峰值。这可以用核反应的复核模型来解释。复核模型认为，核反应分成两个阶段。第一阶段，入射粒子a与靶核

*

A形成一个复核B，第二阶段为复核衰变形成新核C和出射粒子c，即

16

a＋A→B→C＋c

AA＋1

如果入射粒子是中子，靶核为X，则形成的复核为X。在质心系里，复合核是静止的，中子和靶核在质心系的动能就转化成了复合核的内能Ec。中子和靶核形成复核时要放出的结

A＋1

合能为Eb。这样，复核X处在能量为Ec＋Eb的激发态上。

复合核是不稳定的，它通过放出粒子而回到基态。如果放出来的是一个中子，剩余核回到基态，则称复合弹性散射，也称共振弹性散射。如果放出中子后，剩余核处于激发态，则称这个过程为复合非弹性散射或称共振非弹性散射。

A＋１

量子力学可以证明，假如核X在能量Ec＋Eb附近有一激发态的话，则形成复核的几率是很大的。当这样的激发态存在时，复合核形成的几率很大，而且对于凡是在能量上是可

A＋1

能的那些相互作用，其相应的截面也很大。反之，如果核X在能量Ec＋Eb附近没有激发态，则形成复合核的几率就小得多，从而相应的截面也小得多。因此，通过形成复合核而进行的相互作用截面对入射中子能量的依赖关系十分明显的。这种性质如图2.4—1所示。象图上所标绘的截面上那些明显的峰称为共振或共振峰。

*

2.4.3 中子反应截面 微观截面

中子与物质核的相互作用常用截面来度量。它实际上是发生某类核反应的几率。

考虑一个面积为A，厚度为dx的单位体积内包含N个原子的薄靶，把它放在强度为I的均匀、速度单一的中子束中，该中子束垂直撞击整个靶，如图2.4—2所示。在这个实验中，我们发现在靶内产生的相互作用率和中子束强度、原子密度、靶的面积以及厚度成正比。即

(整个靶内的)相互作用率R＝σΙΝΑdx 式中σ为比例常数。

??R (2.4-1)

INAdx因为NAdx为靶内原子总数，I为中子束强度(中子数/(平方厘米·秒))。所以σ即为靶层中一个靶核与中子束中一个中子发生某类核反应的几率。从式中可看出，σ的量纲为面积，故

-22-26

又称σ为发生某类核反应的微观截面。因为核截面常常在10—10平方厘米数量级，习惯

-24-24

上利用每个核10平方厘米作为一个单位，这个单位叫做靶。即1靶等于10平方厘米。 我们可以用特定的微观截面来描述特定的核反应。

所有微观截面之和称为微观总截面σt，它等于微观散射截面σs和微观吸收截面σa之和。即

σt＝σs＋σa (2.4—2)

17

而微观散射截面σs又等于微观弹性散射截面σe加上微观非弹性散射截面σin。即

σs＝σe＋σin (2.4—3)

微观吸收截面为

σa＝σ?＋σf＋σ?＋σp＋… (2.4—4)

式中σ?是微观俘获截面，σf是微观裂变截面，σ?，σp分别是(n, ?)，(n,p)反应的微观截面。在压水堆内，燃料核吸收中子时主要是发生裂变或辐射俘获，故其微观吸收截面主要由等号右端的前两项决定。

宏观截面

令I(x)为靶内穿行x距离没有发生相互作用的中子束强度。穿行一附加距离dx后，中子束强度将减弱，其减少的中子数目等于在厚度为dx的薄层内发生相互作用的中子数。由式(2.4—1)可以看出，这个强度的减弱由下式给出

?dI(x)=NσI(x)dx (2.4—5)

对式(2.4—5)积分后得到

-Nσx

I(x)=I0e (2.4—6)

式中x=0，I(0)＝I0。未与靶发生相互作用的中子束强度I(x)随进入靶内的深度作指数减弱。令

?＝Nσ (2.4—7)

由于σ为一个中子与一个靶核发生某类反应的几率。显然，?为一个中子与单位体积靶核发生某类核反应的几率。我们称之为宏观截面。 然而，实际上，?完全不是一个真正的“截面”，因为它的单位是长度的倒数。?还有另一层物理意义。式(2.4—5)也可以写成

?dII?N??? (2.4-8) dx因此，自然可以将?解释为中子在每单位飞行程长上与靶核发生某类反应的几率。

习惯上将?的倒数称为某类核反应的中子平均自由程，用以度量中子与靶核发生某类核反应之前可能的自由飞行平均距离。平均自由程常用?来表示：

?i?1 i=a,f,s,… (2.4—9) ?i 对不同的反应过程，可定义不同的宏观截面。例如宏观裂变截面定义为

18

?f≡Nσf

宏观吸收截面?a和宏观散射截面?s分别表示为 ?a≡Nσa ?s≡Nσs 宏观总截面?t为

?t＝?a＋?s (2.4—10) 下面讨论如何计算靶核的宏观截面。

3

如果靶核由同一种元素构成。ρ是靶核的密度(克/厘米)，A为靶核的原子量，则1摩

23

尔这种物质含有A克，1摩尔这种物质含有阿伏加德罗常数NA(6.023×10)个原子，每立方厘米数的原子(核)数为

N?则宏观截面

?ANA (1/厘米3) (2.4—11)

??N???ANA? (1/厘米) (2.4-12)

3

对于分子量为M和密度为ρ(克/厘米)的化合物，每立方厘米中第i种原子数由下式给出

Ni??MNA?i 原子/厘米3 (2.4—13)

其中?i 是第i种原子在化合物分子中的数目。该物质的宏观截面Σ为 ???Ni?i?i?MNA??i?i (2.4—14)

i式中σi是第i种原子相应的核反应截面。

例题2.4—1 氢俘获热中子的微观截面σH＝0.33靶，氧俘获热中子的微观截面σO＝2

-4

×10靶，试计算水分子俘获热中子的宏观截面。 解：

3

水的分子量M＝18，而密度ρ＝1克/厘米，每个水分子H2O由2个氢原子和一个氧原子组成。所以水分子俘获热中子的宏观截面可写成

?H2O??1NA(2??H???O)??6.02?1023?(2?0.33?2?10?4)?10?24M18?0.022(厘米?1) 对于由几种元素的混合物或化合物(或两者兼有)组成，其中包含若干种不同的核素，其宏观截面Σ由下式给出 ???N?iii (2.4—15)

其中Ni值取决于混合物的组成，同时也取决于各种成分的原子(或分子)量的密度。 中子通量密度和中子反应率

中子通量密度简称中子通量，它在中子物理中是一个应用很广泛的物理量。 1. 单速平行中子束的通量密度

沿某一固定方向有一束密度为n,速度为v的中子运动，则单位时间内通过与中子运动方向垂直的单位面积的中子数为nv中子/cm2.sec, nv就是中子通量，是中子通量的一个特例。它的物理意义是：单位时间内通过与中子运动方向垂直的单位面积的中子数。 2. 非平行束单速中子的通量

19

对于一般情况，中子运动的方向四面八方都有，此时某点的中子通量定义为：依此点为中心迎着各个方向射来的中子作许多垂直的单位面积，然后把在单位时间内通过这些面积的中子统统加起来，就是该点的中子通量。注意，此时的中子通量是一个标量。它表示单位体积内所有中子在单位时间穿行距离的总和。

Φ≡nv中子数/厘米2·秒 (2.4-16)

在核反应堆内，中子的运动方向是杂乱无章的。设中子以单一速率v（或者说具有相同的动能）在介质内杂乱无章地运动，介质的宏观截面为Σ，平均自由程为?，?=1/Σ。此时，一个中子与介质原子核在单位时间内发生核反应的统计平均次数为v/?=vΣ。因而，单位时

3

间单位体积靶核内一个中子与核发生核反应的总次数为Σnv。(反应数/厘米·秒)。即 中子核反应率＝?nv (2.4—17) 根据中子通量的定义，中子反应率也可以用下式表示

中子核反应率＝ΣΦ (2.4—18)

2.5 核裂变过程

2.5.1 核裂变机理

我们已经知道，对于质量数A大于50左右的核，每个核子的结合能随着质量数的增加而减小。因此，在重核分裂成两个较轻的核后，就得到更稳定的核结构，这就是裂变过程的起因。但是，根据这个原理，人们可能会想到，所有的重核都将自发地裂变，于是也许会全部消失。事实上，虽然对于质量数A大于50左右的所有原子核，这种自发裂变是可能的，但是发生的几率却极小。为了使裂变几率较大，必须用这种或那种方法供给原子核能量，这是因为裂变过程就是以这样的方式发生的。

利用原子核的液滴模型有助于了解裂变过程的某些特性。核的每一个组成粒子与它最邻近的粒子发生等强的相互作用，从这方面来说，一个核类似于一滴液体。所以，作为一级近

2/3

似，核的内能(或结合能)与核子数或质量数成正比。此外，核的半径随A而变化，所以核的有效体积也与质量数成正比。然而，如液滴那样，核表面粒子的相邻粒子数少于内部粒子的相邻粒子数。所以，上述估算的结合能即体积能必须减去一个随核表面积而增加的量。除了这些能量项以外，在研究核的行为时还必须对于质子之间的静电排斥进行修正。 考虑一滴液体因受到力的作用而发生的振荡：该系统要经历一系列阶段，其中最重要的示于图2.5—1中。液滴开始是球形的(A)；然后被拉长成一个椭球体(B)。虽然体积没有变，表面积却增加了，但只要体积能超过表面能，液滴就会返回到它的原始形状。然而，如果变形力足够大，则液滴将达到C中所示的哑铃形。在这种状态中，表面能一般会超过为液滴提供内聚力的体积能。结果，液滴将不再能返回它的原始形状，而是分裂成两个小液滴。这两个小液滴开始多少有点变形，如D中那样，但最后将成为球形。

核裂变中的情形可以认为与上述情形相类似。靶核吸收一个中子而形成一个受激的复合核。这时复合核的激发能等于中子的结合能加上这个中子被俘获前可能具有的动能。由于有这种过剩能量，可以认为复合核要经历一系列的振荡，在这个过程中，它要经过类似于图

20

所决定的离散值nξ，其中n＝0，1，2，3，等。然而近似模型中作了如下基本假定：勒是碰撞数的连续函数，对于所有的整数值n它都正好等于所需的值nξ(图3.3—4)。正是模型的这一特性使得易于对其进行数学处理，而且获得连续慢化模型这一名称。

对于质量数较大(或大)的物质中的慢化，费米模型是一种相当良好的近似；但当慢化剂质量数小时，例如对于象水那样的含氢物质，这一模型就不再有效了。由统计理论可以证明，当中子被ξ值小的重核所散射时，散射后能量(或勒)的分散性相对较小。这时假定每个中子的行为象平均行为将不会引入严重的误差。此外，由于ξ很小，图3.3—4中阶梯的高度减小而数量增多；因而用一条连续曲线来代表这些阶梯是一种相当好的近似。 年龄并不代表度过的时间，但它仍然与中子的时间年龄有关，后者是从(裂变)源中子的形成一直到它达到给定能量所度过的时间。

计算离点源的均方(净矢量)慢化距离rs2能

赋于费米年龄更精确的物理意义，其方法类似于扩散长度所用到的方法。因此 ??12rs (3.3-27) 6所以τ在数值上等于中子由产生地点(该处年龄为零)到年龄为τ的地点所穿行(净矢量)距离均方值的六分之一。如果能得到对于某种能量的中子具有强烈吸收能力的物质，就可以用实验方法测定给定介质内该能量下的中子年龄。例如，可以在离快中子点源不同距离处测出铟共振能量(约1.4电子伏)处的慢化密度。若用镉覆盖铟箔以阻止热中子射到铟上，则后者的饱和活性A0便可看成正比于1.4电子伏处的中子慢化密度。因此由方程(3.3—27)可以得到

rs2?6?

从而可以利用慢化剂中离快中子(如裂变中子)点源不同距离r处测得的饱和活性，通过图解积分得到rs2的值。为了将积分延伸到无穷远，取远距离处A0(r)的变化正比与e

-r/λ

/r，即

2

指数吸收加上反平方衰减。λ以及比例常数的值可以由离源适当大距离处A0(r)的实际测量结果推算。

为进行热中子反应堆的初步分析，需要热中子的年龄值。基本困难之一是对于刚刚到达热能区的中子和已经热化了一段时间的中子的两种空间分布无法区别。在求热中子年龄值时采用这样的方法：先测量铟共振能量1.4电子伏(刚好在热能区紧上方)下的年龄，再加上从1.4电子伏到热能这段区域的年龄。表3.3—2中给出了293K(20℃)下中子慢化到1.4电子伏的(测量)年龄以及慢化到热能的年龄的一些结果。对于普通水，所给出值实际上是rs2/6，它在物理上等价于费米年龄。

表3.3—2 293K下裂变源中子的年龄

慢 化 剂 水 重水 铍 石墨(堆用级) 年龄 (厘米) 1.4电子伏 26 111 85 310 热能 27 130 100 370 2 46

3.3.5 徙动面积 慢化长度和徙动长度

中子的费米年龄与慢化过程中所移动的均方距离有关；因而称年龄的平方根为慢化长度。例如，对年龄为τ

th

的热中子，

?th是中子从其裂变产生处直到到达热能所飞行的净

22

矢量(或直飞)距离的一种量度。

慢中子(热中子)扩散长度的平方Lth与年龄τ之和称为徙动面积M，即 M2?L2th?? (3.3-28)

其平方根M称为徙动长度，即 M?2L2th?? (3.3-29)

Lth正比于它从成为热中子的点到被俘获的点所飞行的均方(净矢量)距离。 对于热中子，

因此，热中子的徙动长度与裂变中子从产生直到作为热中子被俘获所经过的总的(净矢量)

距离有关。表3.3—3列出了常温下四种普通慢化剂中热中子的徙动长度。也给出了扩散长

2

度和慢化长度。对普通水和重水，M定义为 M212?L2?rsth6 (3.3-30)

其中rs2为这两种介质内从裂变能到热能的均方慢化距离。其实方程(3.3—30)可以看成是适用于所有慢化剂的精确定义，而方程(3.3—28)表示基于连续慢化模型的另一种定义形式。以下将看到，徙动长度对临界反应堆的尺寸直接有关。

表3.3—3 293K下热中子的徙动长度

慢化剂 水 重水 铍 石墨(堆用级) 扩散长度(厘米) 2.7 100 21 54 慢化长度(厘米) 5.2 11.4 10.0 19.2 徙动长度(厘米) 5.9 101 23.3 57.5

3.3.6 慢化剂的性质

慢化剂的特性常用慢化能力ξΣs和慢化比ξΣs／Σa来描述。前者表示单位体积慢化剂全部核的慢化能力。对于较好的慢化剂这两个量应尽可能地大。表3.3—4列出了不同材料的慢化能力和慢化比。可以看到，重水是一种很好的慢化剂，但价格高。水的慢化能力相对最大，故以水为慢化剂，堆芯尺寸可以做得较小。但水的吸收截面较大，故以水为慢化剂的反应堆，须用富集铀作燃料。铍和石墨也有较大的慢化比，但石墨的ξΣs值较小，故以石墨为慢化剂的反应堆，堆芯较大。

表3.3—4不同材料的慢化能力和慢化比

慢化剂 水 重水 氦 铍 石墨 47

ξΣs，厘米 ξΣs/Σa -11.53 72 0.170 12000 1.6×10 83 -50.176 159 0.064 170

3.4 均匀裸堆

3.4.1 一群扩散方程

现在我们来研究均匀裸堆。所谓均匀，是指燃料和慢化剂等堆内一切材料都均匀混合。所谓裸堆是指反应堆没有反射层，直接与空气接触。这是一个与倍增介质有关的问题。 首先研究一群计算，就是假设堆内所有中子都具有单一相同速度。因而在反应堆内，不考虑中子的慢化，只考虑中子在介质内的扩散。虽然一群方法是一个比较粗糙的近似计算方法。但是，通过它我们可以建立起一些重要概念。而且，在适当选取群参数后，也可以用来作一些简单的估算。

对一个有限大系统，一群扩散方程可以写为

2 D????a?S?0 (3.4-1)

式中，Φ为均匀系统中的群中子通量密度。D及Σa分别是群扩散系数和宏观吸收截面。S是中子源强。

反应堆临界时，可以忽略外中子源的影响，中子源S主要是倍增介质的裂变源k∞ΣaΦ，则扩散方程可以写为

2 D???(k??1)?a??0

等式两边同时除以扩散系数D，则扩散方程可以写成亥姆霍兹(Helmholtz)方程或称为波动方程

???B??0 (3.4-2) 式中

B?222k??1 (3.4-3) 2LD ?a2

L?2 由式(3.4—3)定义的B，只与介质的材料性质有关，我们称材料曲率，记作Bm。式(3.4—3)也可以写成下列形式

2k??1 (3.4-4)

1?L2B2这是裸堆单群临界方程的一般形式。

下面我们将给出简单均匀裸堆的中子通量密度分布Φ及具体的临界条件。

3.4.2平板裸堆

考虑一个无限长有限厚的平板均匀裸堆。其厚度为a，坐标原点取在半厚度的中心线上。见图3.4—1。由于是一维问题，均匀平板的扩散方程为

48

d2??B2??0 (3.4-5) 2dx边界条件为：

(1)外推边界上其中子通量密度等于零。由于堆的实际尺寸与外推距离相比，总是大很多倍，因而忽略外推边界，改为外边界处，中子通量密度为零，不会引入较大误差。因而，其数学表达式为 ?x??a2?0 (3.4-6)

(2)中心x＝0处净中子流密度应为零，这是由于中子通量密度分布的对称而得到的自然结果。即

d?dxx?0?0 (3.4-7)

2

由于B＞0，所以方程(3.4—5)的通解可写为

Φ(x)＝AcosBx+CsinBx (3.4—8)

式中，A和C为待定系数。由边界条件(2)，则有C＝0。因而式(3.4—8)可写成下

列形式

Φ(x)＝AcosBx (3.4—9)

由边界条件(1)得

?()?Acos(因为A?0，故有 因而

B?Bn?a2Ba)?0 2Ba??n n=1,3,5… 22n? n=1,3,5… (3.4-10) a这些常数Bn，称为该方程的本征值，对应的函数

Φn(x)＝Acos(Bnx) n＝1，3，5… (3.4—11) 称为本征值Bn对应的本征函数。

因为几何曲率是波动方程的最小本征值，因此n必定等于1，所以

49

B?B1?即

?a

Bg?B1?() (3.4-12)

22?2a2称为系统的几何曲率，它只与系统的几何尺寸有关。 Bg 所以，临界系统中的中子通量密度分布为

?(x)?Acos(x) (3.4-13)

?a 系数A由功率条件决定。由式(3.4—13)可知，一个系统只要是临界的，则中子通量密度分布由式(3.4—13)决定，A可为任意常数。这个事实表明，从理论上讲，堆功率是可任意提高的。实际上由于热工传热条件，燃料制造工艺等工程问题的限制，堆功率总是限止在某一数值以下。因而系数A也由功率条件限止为某一数值。 无限长平板堆单位面积所对应的体积所发出的功率为 P?Ef?f积分后得

A??a2a?2?(x)dx?Ef?f?a2a?2?xAcos()dx (3.4-14)

a?P2aEf?f (3.4-15)

3.4.3 有限高圆柱形均匀裸堆

设有一园柱形均匀裸堆，高为H，半径为R，如图3.4—2所示，采用园柱形坐标，坐标原点位于轴线的半高度上。求临界时中子通量密度的分布。

在扩散方程中，拉普拉氏算符?采用园柱形坐标系中的表达式，加上扩散方程的边界条件，可以解得有限高园柱形均匀裸堆中，中子通量密度分布为：

22.405?r)cos(z) (3.4-16) RH2.405r)是零阶贝塞尔函数，式中常数A由反应堆堆功率条件决定。而J0(如图3.4-3所示。 R ?(r,z)?AJ0( 50

是由于铀—238的σa比铀—235的小得多的缘故。在反应堆运行期间，燃料中的铀含量降低，η燃料也减小，但具有较大η值的钚—239的生成可以起某种程度的补偿作用。图中绘出的η是以0.0253电子伏的截面为基础的，但由于η中包含的是截面比，所以它们对于大多数热中子反应堆是一种很好的近似。 瞬发中子的能谱

瞬发中子的释放大抵按以下的方式进行。由俘获一个中子形成的受激复合核首先分裂成两个核碎片，每一个碎片都具有对稳定性来说过多的中子以及放出一个中子所需要的过剩(激发)能量(约6—8兆电子伏)。这种受激的不稳定核碎片常常在它形成后的极短时间内放出一个或更多的中子—瞬发中子。伴随裂变的一些瞬发γ射线显然也是与此同时发射的。 瞬发裂变中子能谱可用量χ(E)来表示，这里χ(E)dE是裂变中子在能量从E到E＋dE范围内的份额。它对所有的能量积分(形式上以零到无穷表示)必须为1；于是

??0?(E)dE?1已经发现，在约从0.18到12兆电子伏的中子能量范围内，瞬发裂变谱可用下式相当精确地表示：

?(E)?0.453e?1.036Esinh(2.29)0.5 (2.5-5)

其中E以兆电子伏为单位。这个表达式适用于铀—235裂变；常数稍微不同的类似表达式可应用于铀—233和钚—239。由方程(2.5—5)给出的χ(E)作为E的函数画于图2.5—7中。由图可见，虽然大多数瞬发中子能量在1到2兆电子伏之间，但也有一些中子的能量超过10兆电子伏。这些高能中子在反应堆的屏蔽设计中必须加以考虑。

2.5.5 反应堆的热功率

1. 裂变释放的能量

在讨论裂变能时，把裂变过程中释放的总能量同反应堆中可回收能量(也就是可用于产生热能的能量)区别开来是很重要的。一般说来，可回收能量和总能量是不同的。为说明这

235

种情况，我们来研究U的裂变。

235

U裂变放出的总能量和可回收能量列于表2.5—5。

裂变能的绝大部分，大约166兆电子伏，是以裂变碎片的动能形式出现的。由于裂变碎片有这样大的能量，所以这些碎片会穿透裂变核的电子壳层，成为强带电粒子，进入周围介质。和其他带电粒子在介质中的运动情况一样，这些裂变碎片很快就停止下来，它们的能量

-3

消耗在距裂变位置不超过10厘米的区域内，这样，这部分能量丝毫也未从反应堆内散出，因此，裂变碎片的动能全部可以回收。

表2.5—5 U的裂变能

能量形式 裂变碎片的动能 裂变产物衰变 β射线 γ射线 中微子 瞬发γ射线 裂变中子动能 俘获γ射线 总能量 释放的能量,兆电子伏 166 6 6 12 7 5 - 202 可回收能量,兆电子伏 166 6 6 - 7 5 10 200 235

26

这些裂变碎片衰变时，会发射大约6兆电子伏的β射线，6兆电子伏的?射线以及12兆电子伏的中微子。带电粒子的β射线只在堆内穿行很短的矩离，所以β射线的能量也可以回收。因为几乎所有的反应堆都是设计成相对地没有多少?射线可以射出堆外，所以?射线的能量也是可以回收的。相比之下，中微子甚至可以穿透最大的反应堆而不发生相互作用。因此，这部分能量不可避免地要损失掉，所有的反应堆大约都有6%的裂变能是这样损失掉的。 瞬发?射线的总能量约为7兆电子伏，这部分能量也可以回收，因为相对地看也是没有多少?射线会射出堆外。

瞬发裂变中子的总动能约为5兆电子伏，在绝大多数反应堆中，几乎没有瞬发裂变中子会逃出堆外，所以这部分能量也可以回收。这些中子留在堆内，最终总要被堆内的材料所俘获。但是，在中子循环中将要指出，每次裂变产生?个中子中，必须有一个中子要被易裂变核吸收并引起裂变，才能使反应堆持续运行。因此，每次裂变所剩下的(?-１)个中子，必定会在堆内被寄生吸收——也就是被非裂变反应所吸收。每次吸收往往产生一个或更多的俘获

235

?辐射，其能量取决于入射中子在复合核内的结合能。因为U的?近似等于2.42(其精确数值取决于引起裂变的中子能量)，这就是说，每次裂变可产生能量约为3—12兆电子伏左右的俘获?辐射(它取决于堆内的材料)。当然，这部分?辐射能全部可以回收。

由表中数值可以看出，俘获?辐射能在一定程度上补偿了由于中微子发射而损失掉的那

235

部分能量。因而，U每次裂变总的可以回收的能量约为200兆电子伏，即Ef＝200兆电子伏。

235233

显然，裂变材料的释放能与裂变核素有关。U每次裂变的可回收能大约比U小2%，239

比Pu大4%。

2. 反应堆热功率

反应堆单位时间内释放的热量，称反应堆的热功率。很显然，反应堆内的热功率P为 P＝ΦΣf5VEf (2.5—6)

2

其中， Φ为反应堆内的平均热中子通量(中子/厘米·秒)

235

Σf5为U的宏观裂变截面(1/厘米)，

3

V为反应堆堆芯体积(厘米)

Ef为每次裂变放出的能量Ef＝200兆电子伏。

-13

因为1兆电子伏＝1.60×10焦，故

27

Ef＝200×1.60×10＝3.2×10瓦·秒＝3.2×10兆瓦·秒 若功率P以兆瓦表示，则式(2.6—6)可写成

-17

P＝3.20×10ΦΣf5V(兆瓦) (2.5—7)

6

热功率为1兆瓦的反应堆每天(86400秒)产生的能量为1兆瓦＝10×86400焦/天 则热功率为P兆瓦的反应堆每天发生裂变的总次数为

-13-11-17

P?106?86400焦/天21 裂变数??2.68?10p裂变数/天 (2.5-8) ?13200?1.6?10焦/裂变数 每天裂变的U克数为；

212123

2.68×10P×A235/NA＝2.68×10P×235/(6.02×10)＝1.05P(克/天) (2.5—9)

235235

U的消失通过中子与U 发生的两种核反应：裂变和辐射俘获。式(2.4—9)仅考虑裂

235

变反应，显然是偏低的。实际消耗的U要比上面这个值大σa/σf倍。由表2.5—2所知，235

U的α＝σ?/σf＝0.169，则σa/σf＝(σf＋σ?)/σf＝1＋α＝1.169，故实际燃耗率为

235

1.05P×(1＋α)＝1.05P×1.169＝1.23P(克/天)，即1兆瓦的反应堆约每天消耗U1.23克。

235

例题2.5—1 一座水慢化的反应堆含有100吨的二氧化铀(UO2)，其中U的平均富集度

235

为2.5%(重量)，慢化剂的平均温度为310℃，堆的热功率P＝300兆瓦。设U的裂变截面服从1/v定律。求

(a)平均热中子通量为多少?

235

(b)满功率运行三个月后，消耗掉多少U? 解：

235

(a)由表2.5—2查得U20℃时的σf＝582.2靶。Tn＝273＋310＝583K，所以583K时235

U的平均裂变截面为

235

?f?0.8862?f235

235

T0293?0.8862?582.2??365.77靶Tn583235

235

U在UO2中占的份额为235/267，而U的富集度为2.5%。因而反应堆中U的质量为 86

m=10×235/267×0.025=2.2×10克

23523235

1摩尔的U重235克，其中含阿伏加德罗常数NA＝6.02×10个U核，反应堆中这些核的总数等于NV

2.2?106?6.02?1023NV??5.6?1027核235由式(2.4—7)可得平均热中子通量为

???P3.20?10?17??fNV300?365.77?10?24?5.6?10273.2?10?17?4.577?1012中子/厘米2?秒

235

(b)满功率运行三个月(90天)消耗掉的U 1.23P×90＝1.23×300×90＝33.21公斤

28

2.5.6 衰变热

反应堆中能量的来源为裂变碎片和裂变中子的动能和裂变产物的放射性衰变。反应堆停堆后，虽然瞬发中子消失了，但由于缓发中子的存在仍能使易裂变核发生裂变，从而有能量释放出来。同时由于裂变产物不断地放射性衰变，也有能量释放出来。这时的功率称剩余功

235

率。这就是为什么反应堆停堆后，功率不会立即下降到零的原故。由于U裂变所释放的缓发中子的先驱核的半衰期很短，最长的大约在1分钟左右，所以停堆几分钟以后，这部分的能量对剩余功率的贡献甚微。而主要由裂变产物的放射性衰变对剩余功率作贡献。这部分的能量释放常称为衰变热。

由于剩余功率的存在，停堆后的一段时间内，反应堆的冷却系统必须继续工作，把这部分热量及时导出，以保证反应堆的安全。剩余功率一般采用半经验公式来计算。这里只给出衰变热的计算公式

-3-0.2-0.2

Pd(t0,T0)＝6.1×10Pt0-(t0＋T0)］(兆瓦) (2.6—10) 式中

P为反应堆运行功率(兆瓦) T0为反应堆运行时间(天) t0为反应堆停堆时间(天)

另一种是图解法，将实验中测得的数据，按式(2.6—10)绘成图2.5—8，这已被美国核学会以用作计算以铀—235和铀—238为初始燃料的反应堆停闭后冷却条件的推荐标准

9

(ANS-5.1/N18.6)。图中的曲线(它所包括的时间从停堆后的0.1秒到10秒，即31.7年)指的是一种假想反应堆，它以恒定功率P运行无限长的时间，然后瞬时停闭。图中横坐标为停

-14

闭后的时间，顶端横坐标的停闭后的时间坐标范围为10-10秒，底部横坐标的时间范围为49

10-10秒。图中有两条曲线，上部位置的曲线供顶部横坐标读数，下部位置的曲线供底部横坐标读数。

从图2.5—8，我们可以求出剩余功率。方法是这样的：先由停堆时间t0，查出(Pd/P)1，再由(T0＋t0)时间查出的(Pd/P)2，Pd/P＝(Pd/P)1-(Pd/P)2 即

Pd?[(PdPd)1?()2]PPP

29

复 习 题

1. 什么叫同位素？同位素之间的化学性质、核特性有什么特点？为什么？ 2. 放射性衰变有什么特点？共有哪几种衰变类型？ 3. 解释下列名词及其相互关系：

半衰期，平均寿命，衰变常数。

235

4. 什么叫结合能、比结合能？U裂变时为什么有能量释放出来？ 5. 中子与原子核能发生哪些核反应？

6. 请解释微观截面、宏观截面、中子通量密度和反应率的物理意义？

235

7. 用液滴模型解释U的裂变过程。 235

8. U裂变时，大约有哪些能量形式释放出来？ 9. 反应堆的热功率是怎样计算的？

10.什么叫剩余功率？为什么反应堆停堆时，冷却系统不能立即关闭？

30

第三章 反应堆稳态物理

中子在反应堆内的行为特征严格来说是服从输运方程所描述的规律。但严格求解输运方程是很困难的，在某些情况下甚至是不必要的。本章在求解输运方程时，采用简单的扩散近似来描述稳态时中子通量密度在反应堆内的空间分布。

中子在反应堆的行径可以分成快中子的慢化和热中子的扩散。本章将分别讨论其物理特征。

在均匀裸堆的一群临界计算中，分别给出了平板裸堆，有限高圆柱均匀裸堆的临界方程和中子通量密度的空间分布。并给出了多群计算的方法。 对有反射层的反应堆，对反射层的作用作了研究，介绍了反射层对中子通量密度分布的影响。

3.1 中子循环和四因子公式

3.1.1 中子循环

当燃料核受中子轰击发生裂变时，同时放出次级中子。若次级中子再能引起燃料核的裂变，又同时放出次级中子??，只要这个过程延续着，反应堆就不断地释放出能量。通常把这一连串的裂变反应称为原子核链式裂变反应。链式裂变反应的示意图见图3.1—1。

裂变反应过程中，一个中子使一个铀核发生裂变后又会产生2—3个次级中子。因此，裂变反应发生后，可以不再依靠外界补充中子，核燃料就能继续自持地裂变下去。这样的核反应称为自持链式裂变反应。

235235235

对于热中子反应堆，核燃料是U，引起U 核裂变的主要是热中子。由于核燃料U 的

238

富集度较低，所以反应堆中存在大量的U。

235238

设反应堆中有一个快中子。当快中子能量大于1.1兆电子伏时，能引起U 核和U核

238

的快中子裂变，主要是U核的快裂变。使得一个中子增加到ε倍。ε称为快中子增殖系数，它是这样定义的：

??热中子和快中子引起裂变所产生的快中子总数 (3.1-1)

仅由热中子裂变所产生的快中子数 31

ε的值主要取决于燃料的性质。对于天然铀，ε约为1.03。

快中子在慢化过程中，有一部分快中子泄漏到堆外去。假设快中子不泄漏几率为PF，则泄漏出去的快中子为ε(1—PF)，而留在堆内的快中子则为εPF。中子在慢化过程中，当中子

238238

能量为U的共振能时，U能强烈地吸收中子。设p为一个中子经过共振能区而不被吸收的几率，即逃脱共振几率。那么一个快中子慢化到热中子时就有εPFp个。热中子在扩散过程中，仍有一部分中子泄漏到堆外去。假设热中子不泄漏几率为PT，则泄漏出去的热中子为εPFp(1—PT)个，而留在堆内的热中子为εPFpPT。由于堆内存在着燃料，慢化剂和结构材料等，它们都能吸收中子，燃料吸收的中子只占被吸收中子数的一部分。设f为热中子利用系数，则被燃料吸收的中子数为εPFpPTf。f是这样定义的：

f? 反应堆中，令Σa5，Σa8和Σ面，则式(3.1—2)可写成

f?235

aM

燃料吸收的热中子数 (3.1-2)

被吸收的热中子总数分别表示

235

U、U和慢化剂等堆内其它物质的热中子吸收截

238

?a5??a8 (3.1-3)

?a5??a8??aM235

235

U吸引热中子后，一部分中子使U 产生裂变反应，而另一部分中子只被U 俘获

而不引起裂变。令η为热中子裂变因子，它的定义为燃料每吸收一个热中子所产生的裂变中子数：

??燃料核热裂变产生的裂变中子数 (3.1-4)

燃料核吸收的热中子总数显然，式(3.1—4)可以表示为

??235

?5?f5?a5??a8 (3.1—5)

式中，?5为U每裂变一次放出的次级中子平均数。 235

Σa5,Σf5分别为U 的宏观吸收截面和宏观裂变截面。

238

Σa8为U的宏观吸收截面。

235

这就是由一个快中子开始，经过慢化，扩散，引起U的裂变放出εPFpPTfη个快中子的中子循环的物理图象。图3.1—2表示了这种物理过程。

一个快中子 ?个快中子 ?PF

8 ?pPFPTf? U裂变 快中子泄漏

快中子

共振吸收

裂变

?pPFPTf

燃料吸收

?pPFPT

热中子泄漏

?PFp个热中子

图3.1-2 热堆内中子循环

3.1.2 四因子公式和临界条件

当热中子反应堆内材料组分、几何结构、尺寸大小完全确定以后，中子循环内的各种

32

参数(ε,p, PF，PT，η，f)都已确定了。为描述堆内裂变中子增殖、衰减情况，可引入反应堆的有效增殖系数keff，它的定义为 keff?堆内一代裂变中子数 (3.1-6)

堆内上一代裂变中子总数根据定义，式(3.1—6)可以写成

keff＝εpfηP (3.1—7) 式中P＝PFPT，表示中子在慢化、扩散过程中不泄漏几率。

对于无限大反应堆，显然中子不泄漏几率P＝1。这时的增殖系数称为无限介质的增殖系数k∞

k∞＝εpfη (3.1—8)

式(3.1—8)称为四因子公式。它是由费米(E.Fermi)首先得到的，用来研究热中子反应堆的公式。

在四因子公式中，ε和η主要由燃料性质所决定，但p和f却可以在一定程度上变化。为了保证核裂变链的延续，应该使p和f都尽可能地大。实际上这两个因素是互相制约的，如果使燃料和慢化剂的比例增加，f将增大，而p将减小。反之正好相反。在实际应用上，必须找出一种能使乘积pf为最大的成分和布置，以使链式反应得以维持。 从式(3.1-6)可以看出：

如反应堆的增殖系数等于1，则意味着每代中子循环的中子数都一样，即任意相邻两代的中子数都相等。称为反应堆临界。

如反应堆的增殖系数小于1，说明中子循环中任一代的中子都比上一代少。显然，链式反应链不能延续，我们称次临界。

如反应堆的增殖系数大于1，说明随着裂变链的进行，任一代的中子数都多于前一代的中子数，我们称超临界。

从中子数守恒的观点来看，反应堆的有效增殖系数keff又可以定义为

keff?中子的产生率 (3.1-9)

中子的消失率（吸收?泄漏） 从式(3.1-9)又可以看出：

如反应堆的增殖系数等于1，则中子的产生与消失处于动态平衡。因而，反应堆有比较稳定的中子通量密度。该系统处于临界状态。

如反应堆的增殖系数小于1，说明中子的消失率大于产生率。因而，系统中的中子将越来越少，该系统处于次临界状态。 如反应堆的增殖系数大于1，说明随着裂变链的进行，中子的消失率小于产生率。因而，系统中的中子将越来越多，该系统处于超临界状态。

238

我们可以由热中子裂变因子η来求燃料的富集度c。 在U热中子截面中，σf=0，故σa＝σ?，式(3.1—5)用微观截面来表示可以写成

?5?f5N5?5?f5? ?? (3.1-10)

N8(?f5???5)N5???8N8?f5???5???8N5式中N5，N8分别为U，U的核子数，而σ?5是U 的辐射俘获截面。在天然铀中，N8/N5＝99.3/0.7，由表2.5—2中的截面值，算得天然铀的热中子裂变因子η＝1.3左右。

235

238

235

33

3.2 单速中子的扩散

3.2.1 概述

由于中子与原子核的多次碰撞，使得中子在反应堆内以杂乱无章的折线进行运动。这种运动的结果，使原来在堆内某一位置具有某一能量和某一运动方向的中子，稍晚些时间将在堆内另一位置，以另一能量和另一运动方向出现。这时，我们说中子从第一种能量和位置输运到了第二种能量和位置，研究这种现象的理论叫输运理论。 利用输运方程可以直接表述中子的空间、能量和时间分布。该方程有时也称为玻耳兹曼方程，因为它与L?玻耳兹曼(约于1870年)在气体动力学理论中导出的方程十分相似。输运方程基于中子守恒或中子平衡原理。

因为在很宽的能量和运动方向范围内运动的许多中子经散射碰撞后都可能产生以给定的能量运动在某一规定方向上的中子，所以散射项必须对所有的初始能量和运动方向进行积分。因此输运方程是一个积分微分方程。 要精确求解输运方程是很困难的，实际应用上采用了种种近似方法，并借助于各种计算程序得到数值解。对输运理论采用的最简单的近似之一是扩散理论近似。

所谓扩散近似是假定反应堆内中子在介质核上的碰撞散射是杂乱无章且各向同性的，从而满足分子扩散的斐克(Fick)定律。

中子散射各向同性，即是沿各个方向散射出来的中子数相等。因此从数学上看，扩散近似就是假定中子密度n与中子运动方向?无关。

3.2.2 斐克定律 一定的条件下，中子通量密度和中子流之间有一个简单的关系。其形式上与描述液体和气体的扩散现象的斐克定律是一样的。我们假设： (1) 中子具有相同的能量； (2) 无限均匀介质；

(3) 弱吸收介质，即介质的吸收截面很小； (4) 在实验室坐标系中散射是各向同性的； (5) 介质中没有中子源；

(6) 中子通量密度是随位置缓慢变化的函数。

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反应堆介质中，中子密度不超过10中子/厘米，因此，中子在介质中的扩散主要是中子和介质核的碰撞结果，中子之间的互相碰撞可以忽略。从定性上来说，中子密度大的地方，中子与介质核碰撞的次数就多，而每次碰撞以后，中子总是要改变运动方向。因此，中子总是从密度高的地方向密度低的地方扩散。

如图3.2—1所示，计算中子流密度的那一点将取作坐标系的原点。为了确定中子流密

?度矢量J，必须计算它的三个分量Jx,Jy和Jz。中子流密度是一个矢量，它可以表示为：

??? J?Jxi?Jyj?Jzk

根据研究，中子流密度与中子通量密度梯度之间遵守斐克(Fick)定律所描述的关系。

中子流密度与中子通量密度之间服从下面的关系：

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?1 J??grad? (3.2-1)

3?s式(3.2—1)称为斐克定律，它表示中子流密度正比于负的中子通量密度梯度。其比例常数称作扩散系数，并用符号D表示。 D?1 3?s则斐克定律也可表示成

? J=-Dgrad? (3.2-2)

3.2.3 中子泄漏的计算

中子泄漏根据中子流密度来计算。z方向的中子流密度定义为单位时间内在z方向穿过单位面积的净中子数。在直角坐标系中，考虑一个坐标点为x，y，z的立方体体积元dv，其边长分别为dx，dy,dz。见图3.2—2。考虑dxdy的两个面，它们平行于x-y平面，而与z方向垂直。每秒进入底面的中子数为Jzdxdy，穿出顶面的中子数为Jz＋dzdxdy，其中Jz，Jz+dx分别为相应面上的中子流密度。因此，通过平行于x-y平面的两个表面逸出该体积元的中子净消失率为

(Jz?dz?Jz)dxdy??Jzdxdydz ?z因为dv?dxdydz，单位体积通过z方向的中子消失率为

?Jz。 ?z 同理，可对x和y方向的中子消失率进行类似的处理。因而可得到单位体积内中子的泄漏率为

????Jx?Jy?Jz???divJ???J (3.2—3) ?x?y?z?其中J为中子流密度矢量，数值上等于单位时间内穿过流动方向垂直的单位面积的净中子

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数，符号?是散度算符的矢量标记。

3.2.4 中子扩散方程

我们来研究介质内与单速中子和核存在相互作用的一个体积元。我们假定，中子具有单一相同的速度，中子与介质核发生作用不能改变中子的速度，中子可以被吸收，也可以从体积元内泄漏出去。如果体积元内存在中子源，则会从源放出附加的中子。因此，中子密度n随时间的变化率必须等于该体积元内的中子产生率减去该体积元内中子的吸收率和泄漏率。 中子的产生率由源项S表示，它是指单位时间单位体积内发出的中子数。 中子的吸收率等于ΣaΦ。

因而单速中子守恒方程可以表示为 S-ΣaΦ-泄漏率＝

?n (3.2-4) ?t 将式(3.2—3)代入式(3.2—4)的单速中子守恒方程，可以得到

??n(r,t) S(r,t)??a?(r,t)???J(r,t)? (3.2-5)

?t其中座标(r,t)表示有关量在系统内(矢量)点r处在时刻t的取值。 斐克定律给出了中子通量密度和中子流之间的关系。利用中子守恒方程，可以推导出只包含中子通量密度的方程。式(3.2—5)可以写成

S??a??divDgrad???n (3.2-6) ?t式中，为了书写简便，所有的自变量都被略去。当我们考虑的是均匀介质时，上式左边第三项可表示为

Ddivgrad??D??

其中，?是拉普拉斯算符。同时，由于假定所有中子都具有相同的能量，所以中子通量密度为

Φ＝nv 则方程(3.2—6)变成

D????a??S?2221?? (3.2-7) v?t这个方程称为中子扩散方程，它在反应堆理论中有占有很重要的位置。

拉普拉斯算符?的形式与所给问题的坐标系有关。在反应堆计算中通常只需考虑三种

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2坐标系，即直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。感兴趣的读者可以参考有关高等数学资料。 首先我们研究稳态问题，即通量Φ不随时间t变化，即

???0,则式(3.2—7)变为 ?t D?2???a?S?0 (3.2—8)

这个方程称为稳态中子扩散方程，而数学工作者称它为标量亥姆霍兹方程。

3.2.5 扩散方程的边界条件

由于稳态扩散方程是微分方程，所以它具有无限多个解。换句话说，有无限多个函数满足这个方程。可是对应于每个实际的物理问题，只能有一个函数正确地表示中子通量。为了辨别出这个合适的函数，除了满足微分方程的要求以外，对方程的解还必须引入某些限制。这些限制由具体的物理问题决定，并称为边界条件。边界条件与微分方程一起，唯一地确定每一问题的解。 所谓边界，就是物理性质突然变化的地方。稳态扩散方程的边界条件概括起来有下列几点:

(1)在扩散方程适用的区域内，扩散方程的解必须是非负的实数，且处处有界；

(2)在具有不同扩散性质的两种介质的交界面处，两种介质内的中子通量相等，垂直于交界面方向上的净中子流密度相等。

(3)外边界处，即在介质与真空交界面上，在物理边界以外的外推边界上，通量为零，见图3.2—3。外推长度d值和中子与介质的碰撞散射性质有关，为 d?2 (3.2—9) 3?s按照更精确的输运理论，则为 d?0.71

1 (3.2—10) ?tr

图3.2-3 中子通量密度在平面界面处的外推

值得注意的是，外推长度d处通量为零，只是x＝0处物理边界条件的另一种表示方式，只用来决定介质内部(x＜0)的通量，而不涉及任何介质外部(x＞0)的实际通量。 扩散介质中单速中子的扩散长度是这样定义的：

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L?D (3.3—11) ?a它的量纲为长度单位

3.2.6 点源产生的单速中子扩散

设在非倍增无限大均匀介质内有一个点中子源，每秒产生S个单速中子，各向同性地向周围介质扩散。让我们来求解介质内的中子通量分布。

取球坐标来解点源的扩散是最方便的，假定中子源位于球坐标原点，采用球坐标系中的拉普拉氏算符?的表达式，可以得到点源扩散方程的解为： ??A12e?rLr (3.2-12)

设J是以源为中心，半径为r的球表面上的中子流密度，则每秒穿过整个球面的中子总

2

数为4πrJ，该数的极限值应等于源的强度S，即等于点源每秒向所有方向发射中子的总数。可以解得常数A1为： A1?S 4?D?rL 则中子通量密度分布的最后表达式为 ?(r)?Se (3.2-13)

4?Dr6

例题3.2—1假想的单速中子源向周围的“无限大”石墨块发射10中子/秒。试确定离源0.27,0.54和1.08米远处的中子通量密度。(假设石墨的L＝54厘米，D＝0.94厘米)。 解：

根据式(3.2—12)我们有

106e?27/54?(27)??1.9?103中子/厘米2?秒4??0.9427106e?54/54?5.8?102中子/厘米2?秒 ?(54)?

4??0.9454106e?108/54?(108)??1.1?102中子/厘米2?秒4??0.94108

3.2.7 热中子扩散长度

扩散长度是核反应堆物理中一个极其重要的参数。为了进一步地说明扩散长度的物理意义，我们讨论热中子从产生地点到被吸收地点穿行距离的均方值r。考虑在无限介质内每秒放出S个中子的点源。一个中子在0点产生，之后相继沿λ1，λ2??而运动，最终在P点被吸收(图3.2—4)。相邻两次碰撞之间的直线距离λi是中子的散射自由程。这是一个有统计涨落的量，其平均值λs称为散射平均自由程，即λs＝1/Σs。

2 38

图3.2-4 单速中子在介质中的径迹

这是无限介质中点源扩散的问题，其中子通量密度分布已由式(3.2—13)给出，即距源r处的中子通量密度分布为 ?(r)?Se

4?Dr2?rL我们写出在位于r和r＋dr之间的球壳内，每秒被吸收的中子数dN。球壳的为dv?4?rdr。 根据计算，中子直线飞行距离平方的平均值为

r2?6L2

12r (3.2-14) 6因而我们可以得到下面的结果 L?2换句话说，扩散长度的平方值是直线飞行距离均方值的1/6，所谓直线飞行距离是指中子产生点到被吸收点的直线距离。扩散长度L的大小将影响反应堆的热中子泄漏，若L越大，则

2

平均说来中子在介质中扩散漂移得越远，因而热中子泄漏到反应堆外的几率也就越大。L也称扩散面积。

3.3 中子的慢化

3.3.1 慢化的物理机制

反应堆堆芯中产生的裂变中子，都是快中子。其平均能量约为2兆电子伏。这些中子在引起下次裂变(以维持链式反应)以前，由于与系统中的原子核进行连续的弹性和非弹性碰撞的结果，其能量通常降低了几个数量级。例如，在热中子反应堆内几乎所有的裂变中子在引起进一步裂变之前，都已慢化到热能。而在快中子堆内，中子与燃料相互作用并引起裂变以前，只慢化到100千电子伏左右。

中子慢化主要是通过中子和系统的原子核的弹性和非弹性碰撞。碰撞后，中子因把自己动能的一部分交给了系统的原子核而减速，运动方向也发生变化。在由轻核构成的系统中，因为轻核的非弹性碰撞阈能太高，中子的慢化几乎完全是由弹性碰撞的结果。例如PWR反应堆，其慢化剂是轻水，因而PWR中的快中子慢化完全是由于快中子与轻水中的H原子核发生的弹性散射。在弹性散射中，快中子将自己的动能传递给慢化剂H原子核，而本身被慢化成热中子。如果有大量的中等核或重核存在时，那么由这些核引起的非弹性碰撞可能对中子的

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慢化有重要的作用，必须予以考虑。

3.3.2 弹性碰撞理论

压水堆中中子的减速主要是快中子与慢化剂核(水)的弹性碰撞的结果。这种碰撞可以把中子和散射核当作完全弹性球体，用经典力学的方法来处理。应用动量和能量守恒原理，就可以推导出中子与核碰撞前后的能量和散射角之间的关系。然后引入一个经验的散射定律，就能够得到许多有用的结果。

在讨论中子与原子核弹性碰撞的问题时，可以用两种方便的参考系。这就是实验室(L)系和质心(C)系。前者假定靶核是静止的，而后者把中子——核系统的质量中心当作是静止的。在L系里，基本上是用一个外界观察者的观点来看问题的，而在C系里，则用一个随中子和核所组成系统的质量中心运动的观察者的观点来进行研究。对于理论处理，后一个参考系比较简单些，虽然实验测量是在前一个参考系中进行的。

图3.3—1出示了两个系统内碰撞前后条件。假设在L系里，具有一个单位原子质量数的中子以速度v1向着一个质量数为A的静止核运动。因此中子相对于靶核的速度是v1，而且，因为它的质量是1，它的动量也是v1。由于靶核是静止的，这也就代表L系内的总动量。参加碰撞质点的总质量是Ａ＋1，因此L系中质量中心的速度vm即相对于静止核的速度是 vm?v1 (3.3-1) A?1 在C系中假定质量中心是静止的，因此，靶核必须以(3.3—1)式所决定的速度vm接近质量中心。因为在碰撞前中子与核的相对速度是v1，故中子接近质量中心的速度一定是

v1-vm。因此，用(3.3—1)式中vm的值，可得出在C系里中子碰撞前的速度是 v1?vm?Av1 (3.3-2) A?1

由此可以看出，在C系里，中子和散射核似乎分别以Av1/(A?1)和v1/(A?1)的速度相互接近着。因此，质量为1的中子沿着它运动方向的动量是Av1/(A?1)，而质量为A的核的动量也是Av1/(A?1)，但沿着相反方向。这样，在碰撞前对于质量中心的总动量是零，而根据动量守恒原理，在碰撞后总动量也必为零。

在碰撞以后，C系里的中子沿着与原方向成θ角的方向离开质心，这就是C系中的散射角。这时反冲核必须沿相反方向运动，因为质心永远在两个粒子的连线上。如果va是C系里碰撞后的中子速度，而vb是核的速度，那末总动量为零的条件可以表示成

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