第二十二章 各种积分间的关系和场论初步

第二十二章 各种积分间的联系与场论初步

下面的图表给出了各种积分间的联系，在计算中可以根据这些关系，将一种积分转化为另一种积分。

第一型

斯托克司公式

第二型 三重? 曲面积分 n 曲面积分 高斯公式 积分

第一型 曲线积分 ?? 第二型 格林公式 二 重曲线积分 积分 ??例1 设L为平面上封闭曲线，l为平面上任意方向，n是L的外法线方向。证明

y

? L??cos(n,l)ds?0 x

证明 n?{cos(n,x),cos(n,y)}，??{cos(?,x),cos(?,y)} 因为 (n,x)?(?,y)， (n,y)?(?,?x)???(?,x)

????????????,y)， cosn(,y)??cos?(,x) 则 cos(n,x)?cos(???????? cos(n,l)?n?l?{cos(n,x),cos(n,y)}?{cos(l,x),cos(l,y)} ???,x)}?{cos(l,x),cos(l,y)} ?{cos(?,y),?cos(?????????? ??cos(l,y)cos(?,x)}?cos(l,x)cos(?,y)

???? ?cos(n,l)ds???cos(l,y)dx?cos(l,x)dy???0dxdy?0

L L D注1 此例给出了平面上闭曲线切线正向和外法线矢量的关系：（这个结果在7、8、12题都要用到）

?,y)， cosn(,y)??cos?(,x) cos(n,x)?cos(注2 利用这个关系，可得格林公式的另一种形式：

???????P?Q[Pcos(n,x)?Qcos(n,y)]ds?[? L?? D?x??y]dxdy

或（用外法向矢量）

??P?Q{P,Q}?nds?[? L?? D?x??y]dxdy

试比较（用正向的切线矢量）

1

??Q?PPdx?Qdy?{P,Q}??ds?[? L? L??D?x??x]dxdy

事实上

? L??[Pcos(n,x)?Qcos(n,y)]ds?? L??[Pcos(?,y)?Qcos(?,x)]ds

???Qdx?Pdy???[ L D?P?Q?]dxdy ?x?y注3 我们已经知道，格林公式是斯托克司公式当L是平行于Oxy坐标面的平面曲线时的特殊情形。而从格林公式的上述形式可以看出，格林公式也可作为高斯公式的特殊情形。

在高斯公式中，设P(x,y),Q(x,y),R(x,y)不依赖于z。考虑平行于z轴的单位高柱体的边界曲面S的外侧，它在Oxy面的投影为曲线L。记柱面的上底面为S1，下底面为S2，侧面为S3，则

?? SPdydz?Qdzdx?Rdxdy

?(?? S1??? S2??? S3)Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

??? S1R(x,y)dxdy??? S2R(x,y)dxdy??? S3Pdydz?Qdzdx

??? S3P(x,y)dydz?Q(x,y)dzdx ?? 0dz? cP(x1(y),y)dy?? 0dz? cP(x1(y),y)dy

?? 0dz? aQ(x,y1(x))dx?? 0dz? aQ(x,y2(x))dx

1 b 1 b 1 d 1 d?? cP(x1(y),y)dy?? cP(x1(y),y)dy?? aQ(x,y1(x))dx?? aQ(x,y2(x))dx

d d b b???? LP(x,y)dy?Q(x,y)dx?? L[Pcos(n,x)?Qcos(n,y)]ds

又

??? V[?P?Q?R?P?Q 1??]dxdydz?? 0dz?? D[?]dxdy ?x?y?z?x?y??? D[?P?Q?]dxdy ?x?y即

???P?Q[Pcos(n,x)?Qcos(n,y)]ds?[? L?? D?x??y]dxdy

例2 设u(x,y),v(x,y)具有二阶连续偏导数，证明

?u?2u?2u（1）??ds???[2?]dxdy 2 L?n ??x?y 2

（2）

???v?udxdy????[ ??u?v?u?v?u?]dxdy??v?ds

L?n?x?x?y?y??u?2u?2uLLn其中?u?，为闭曲线所围的平面区域，为沿外法线方向的导数。 u(x,y)???22?n?x?y证 （1）在格林公式的等价形式中令P??u?u得， ,Q??x?y???u?u?2u?2u ?[cos(n,x)?cos(n,y)]ds???[2?2]dxdy

L?x ??x?y?y?u?2u?2u即 ??ds???[2?]dxdy

L?n ??x?y2（2）

?uv?ds??L?n? Lv[???u?ucos(n,x)?cos(n,y)]ds ?x?y???[ ???u??u(v)?(v)]dxdy ?x?x?y?y?u?v?u?v?]dxdy

?x?x?y?y???v?udxdy???[ ? ?注4 在式中令v?1，则（2）即化为（1）。

??u?2u?2u?2uSVSnu(x,y)注5 设?u?，为空间立体的边界，为沿外法线方向的导????n?x2?y2?z2数，则有格林第一公式：

?uv?udxdydz??gradu?gradvdxdydz?v?dS ??? V??? V?? S?n?u?v?u ?v? ? dS 格林第二公式： ???dxdydz????n?nv V u S u v [12/394] 题的（2）（3）分别是格林第一和第二公式的低维情形，在格林第一公式中令v?u即得[13（2）/394]。

例3 用斯托克司公式计算下列积分 (a)

?(yL2?z2)dx?(x2?z2)dy?(x2?y2)dz

2(b) L是曲线x?y2?z2?2Rx，x2?y2?2rx(0?r?R,z?0)，它的方向与所围曲面的上

侧构成右手法则。 解 S是曲面x

2?y2?z2?2Rx(z?0)上L所围部分的上侧。它关于zx平面对称，在xy平面的

3

投影是Dxy

:x2?y2?2rx。

?L(y2?z2)dx?(x2?z2)dy?(x2?y2)dz

???S dydz dzdx dxdy??? （斯托克司公式） ?x?y?zy2?z2 x2?z2 x2?y2?2??(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy

S?2??(y?z)dydz?(x?y)dxdy （2??(z?x)dzdx?0，对称性）

SS?2??{y?z,0,x?y}?{x?R,y,z}SdS （两类曲面积分的关系） R?2[(y?z)(x?R)?(x?y)z]dS ??RS2RzdS （??[y(x?R)?yz]dS?0，对称性） ??RSS?z?2R??dS?2R??cos?dS

RSS?2R??dxdy?2R??dxdy?2R?r2（两类曲面积分的关系，几何意义）

SDxy注6 这题很巧妙，是一道综合性很强的题，用到的知识有：

1、 斯托克司公式

2、 两类曲面积分的关系，曲面的法向矢量 3、 对称性 4、 几何意义

??cos(r,n)ds?0 例4 证明高斯积分 ?rL 其中L是平面上一单连通区域?的边界，而r是L上一点到?外某一定点的距离，n是L的外

法线方向。又若r表示L上一点到?内某一定点的距离，则这个积分之值等于2?。 解 （1）设?外某一定点(?,?)，则

r?{x??,y??}，r??2?(x??)2?(y??)2

4

????cos(r,n)r?n ?ds??2ds

rLLr??(x??)cos(n,x)?(y??)cos(n,y) =?ds 2rL??(x??)cos(?,y)?(y??)cos(?,x) ??ds 2rL

???(y??)dx?(x??)dy 2rL?rx???ry????， ?xr?yr

?x??(2)??xrr2?2r(x??)r4?r22?x?r?2(x??)

r4?y??r2?2(y??)2 ()?4?yr2r注意(?,?)是?外某一定点，故

?x???y??(2)和(2)在?内处处连续，由格林公式得 ?xr?yr???(y??)dx?(x??)dycos(r,n) ? ds??2rrLL???[??x???y??()]dxdy (2)??yr2?xr2r2?2(x??)2?2(y??)2???dxdy?0 4r??(?0)为半径作圆C，（2）设(?,?)是?内某一定点，这时格林公式不再成立。以(?,?)为中心，

?充分小使C完全含于?内。取C的方向为顺时针方向，则由（1）知

??cos(r,n)(???)ds?0

rLC????cos(r,n)?(y??)dx?(x??)dycos(r,n)ds???ds???故 ? 2rrrLCC?

?1?2C??(y??)dx?(x??)dy

5

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