职高数学教案__第一册

科目：数学教案 （第一册）

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初中知识复习（1-4）

第一节 乘法公式、因式分解

重点：和（差）的立方公式，立方和（差）公式及应用，十字相乘法，分组分解法，试根法 难点：公式的灵活运用，因式分解 教学过程：

一、 乘法公式

引入：回顾初中常用的乘法公式：平方差公式，完全平方公式，（从项的角度变化）那三数和的平方公式呢？(a?b?c)?a?b?c?2ab?2bc?2ac （从指数的角度变化）看看和与差的立方公式是什么？如(a?b)??， 能用学过的公式推导吗？（平方―――立方）

32222(a?b)3?(a?b)2(a?b)???a3?3a2b?3ab2?b3···················①

那(a?b)??呢，同理可推。那能否不重复推导，直接从①式看出结果？将(a?b)中的b换成－b即可。（?b?R）▲这种代换的思想很常用，但要清楚什么时候才可以代换

33(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3············符号的记忆，和――差 从代换的角度看

问：能推导立方和、立方差公式吗？即（ ）（ ）＝a?b

由①可知，a?b?(a?b)?(3ab?3ab)???(a?b)(a?ab?b)······② 立方差呢？②中的b代换成－b得出：a?b?(a?b)(a?ab?b) ▲符号的记忆，系数的区别

例1：化简(x?1)(x?1)(x?x?1)(x?x?1) 法1：平方差――立方差 法2：立方和――立方差

（2）已知x?x?1?0,求证：(x?1)?(x?1)?8?6x

▲注意观察结构特征，及整体的把握

二、因式分解：将一个多项式化成几个整式的积的形式，与乘法运算是互逆变形。初中学过的方法有：提取公因式法，公式法（平方差、完全平方、立方和、立方差等） （1）十字相乘法

试分解因式：x?3x?2?(x?1)(x?2)

2

2233223322333222233要将二次三项式x+ px + q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p, 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即

x+ px + q = x+(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).

用十字交叉线表示: 1 a 1 b a + b （交叉相乘后相加） 若二次项的系数不为1呢？ax?bx?c(a?0)，如：2x?7x?3

22

2

2

2如何处理二次项的系数？类似分解：1 －3

2 －1

-6 + -1 = -7

2x2?7x?3?(x?3)(2x?1)

整理：对于二次三项式ax+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：

a1 +c1

a2 +c2

2

a1c2 + a2c1 = a1c2 + a2c1

2

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax+bx+c的一次项系数

b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 2

ax+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。〔按行写分解后的因式〕 十字相乘法关键：（1）看两端，凑中间；（2）分解后的因式如何写（3）二次项系数为负时，如何简化

5x?6xy?8y （3）例2：因式分解：（1）?6x?7x?5 （2）(x?y)(2x?2y?3)?2

（2）分组分解法

分解xm?xn?ym?yn，观察；无公因式，四项式，则不能用提公因式法，公式法及十字相乘法 两种方法

适当分组后提出公因式，各组间又出现新的公因式，····叫分组分解法 ▲如何适当分组是关键（尝试，结构），分组的原则，目的是什么？分组后可以提取公因式，或；利用公式

练习：因式分解（1）x?9?3x?3x （2）x?4(xy?1)?4y

（3）x?3x?4 （试根法，竖式相除） 归纳：如何选择适当的方法

3

33222222

作业：

将下列各式分解因式

（1）x?5x?6； （2）x?5x?6； （3）x?5x?6；（4）x?5x?6 （5）3x?2ax?a； （6）x?y?xy?xy；（7）2a?b?ab?2a?b （8）a?64；（9）x?(a?1)x?a

第二节 二次函数及其最值

重点：二次函数的三种表示形式，韦达定理，给定区间的最值问题 难点：给定区间的最值问题 教学过程：

一、韦达定理（二次方程根与系数之间的关系）

二次方程ax?bx?c?0(a?0)什么时候有根（判别式?0时），此时由求根公式得，

222222233222262?b?b2?4acx?，求出了具体的根，还反映了根与系数的关系。那可以不解方程，直

2a接从方程中看出两根和（积）与系数的关系吗，

?b?b2?4ac?b?b2?4acbx1?x2????

2a2aa?b?b2?4ac?b?b2?4accx1x2???

2a2aa反过来，若x1,x2满足x1?x2??bc,x1x2?，那么x1,x2一定是ax2?bx?c?0(a?0)aa的两根，即韦达定理的逆定理也成立。

作用：（1）已知方程，得出根与系数的关系

（2）已知两数，构造出以两数为根的一元二次方程（系数为1）：x?(x1?x2)x?x1x2?0 例1：x1,x2是方程2x?3x?5?0的两根，不解方程，求下列代数式的值； ①x1?x2 ②|x1?x2| ③x1?x2

223322

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第一章 集合 §1．1 集合的概念 （5-6）

【教学目标】

知识目标：

（1）理解集合、元素及其关系；

（2）掌握集合的列举法与描述法，会用适当的方法表示集合． 能力目标：

通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.

【教学重点】

集合的表示法．

【教学难点】

集合表示法的选择与规范书写．

【教学设计】

（1）通过生活中的实例导入集合与元素的概念； （2）引导学生自然地认识集合与元素的关系；

（3）针对集合不同情况，认识到可以用列举和描述两种方法表示集合，然后再对表示法进行对比分析，完成知识的升华；

（4）通过练习，巩固知识．

（5）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学．

【教学过程】

*新阶段学习导入语

介绍中职阶段学习数学的必要性，数学的学习内容、学习方法、学习特点等等．

同学们就要开始新的人生阶段了，很高兴可以和大家一起度过这段美好的时光.希望同学们可以通过自己不懈的努力，在毕业后能够找到一个合适的工作，能够独立生存，能够成为为家庭、为企业、为社会做出自我贡献的能工巧匠.当然要达到这样的目的需要你脚踏实地的认真的学做人、学做事，那么现在请让我们从学习开始?? 1．学习——旅程

学习是一段旅程，对知识的探求永无止境，而且这段旅程可以从任何时候开始！未来的成功在现在脚下！

2．老师——导游

与大家一起开始这一段新的旅程、一起分享学习中的快乐、一起体会成长与进步的滋味.

5

（2）不等式ax?b?0(a?0)的解集是函数y?ax?b在x轴下方部分所对应的自变量x的取值

范围，即{x|x?x0}．

总结 由此看到，通过对函数y?ax?b的图像的研究，可以求出不等式ax?b?0与ax?b?0的解集． *动脑思考 明确新知

概念 含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的不等式，叫做一元二次不等式． 一般形式 ax2?bx?c?(…)0或 ax2?bx?c?(?)0*动手探索 感受新知

思考 二次函数的图像、一元二次方程与一元二次不等式之间存在着哪些联系？ 解决 解方程x2?x?6?0得x1??2,x2?3．观察图像可以看到，方程x2?x?6?0的解，恰好分别为函数图像与x轴交点的横坐标；在x轴上方的函数图像，所对应的自变量x的取值范围，即{x|x??2或x?3}内的值，使得y?x2?x?6?0；在x轴下方的函数图像所对应的自变量x的取值范

?a?0?．

围，即{x|?2?x?3}内的值，使得y?x2?x?6?0． *动脑思考 探索新知

解法 利用一元二次函数y?ax2?bx?cax2?bx?c?0．

?a?0?的图像可以解不等式ax2?bx?c?0或

（1）当??b2?4ac?0时，方程ax2?bx?c?0有两个不相等的实数解x1和x2(x1?x2)，一元二

次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴有两个交点(x1,0)，(x2,0) (如图（1）所示)．此时，不等式ax2?bx?c?0的解集是?x1,x2?，不等式ax2?bx?c?0的解集是(??,x1)?(x2,??)；

（1） （2） （3）

（2）当??b2?4ac?0时，方程ax2?bx?c?0有两个相等的实数解x0，一元二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴只有一个交点(x0,0)（如图（2）所示）．此时，不等式ax2?bx?c?0的解集是?；不等式ax2?bx?c?0的解集是(??,x0)?(x0,??)．

（3）当??b2?4ac?0时，方程ax2?bx?c?0没有实数解，一元二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴没有交点（如图（3）所示）．此时，不等式ax2?bx?c?0的解集是?；不等式ax2?bx?c?0的解集是R．

31

*巩固知识 典型例题

例1 解下列各一元二次不等式：

（1）x2?x?6?0； （2）x2?9；

（3）5x?3x2?2?0；（4）?2x2?4x?3?0．

分析 首先判定二次项系数是否为正数，再研究对应一元二次方程解的情况，最后对照表格写出不等式的解集．

例2 x是什么实数时，3x2?x?2有意义．

2解 根据题意需要解不等式 3x2?x?2…0．解方程3x2?x?2?0得x1??,x2?1．由于二次项系

32??数为3?0，所以不等式的解集为???,????1,???．

3??2??即当x????,????1,???时，3x2?x?2有意义．

3??*运用知识 强化练习 教材练习2.3

解下列各一元二次不等式：

（1）2x2?4x?2?0；（2）?x2?3x?10…0．

*理论升华 整体建构

当a?0时，一元二次不等式的解集如下表所示：

方程或不等式 ax2?bx?c?0 ax2?bx?c?0 ax2?bx?c…0 ax2?bx?c?0 ax2?bx?c?0 解集 ??0 ??0 ??0 ?x1,x2? (??,x1)?(x2,??) ?x0? (??,x0)?(x0,??) ? R R ? ? ???,x1???x2,??? (x1,x2) R ? ?x1,x2? ?x0? 表中??b2?4ac,x1?x2．

*继续探索 活动探究

(1)读书部分： 教材章节2.3，学习与训练2.3； (2)书面作业： 教材习题2.3，学习与训练2.3训练题．

*教学后记

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§2.4含绝对值的不等式（24-25）

【教学目标】

知识目标： （1） 理解含绝对值不等式x?a或x?a的解法；

（2）了解ax?b?c或ax?b?c的解法．

能力目标： （1） 通过含绝对值不等式的学习；培养学生的计算技能与数学思维能力；

（2）通过数形结合的研究问题，培养学生的观察能力．

【教学重点】 （1）不等式x?a或x?a的解法 ．

（2）利用变量替换解不等式ax?b?c或ax?b?c．

【教学难点】 利用变量替换解不等式ax?b?c或ax?b?c． 【教学设计】

（1） 从数形结合的认识绝对值入手，有助于学生对知识的理解； （2） 观察图形得到不等式x?a或x?a的解集； （3） 运用变量替换，化繁为简，培养学生的思维能力；

（4） 加强解题实践，讨论、探究，培养学生分析与解决问题的能力，培养团队精神．

【教学过程】

*揭示课题 2.4含绝对值的不等式 *回顾思考 复习导入

问题 任意实数的绝对值是如何定义的？其几何意义是什么？

?x,x?0,?解决 对任意实数x，有x??0,x?0,

??x,x?0.?其几何意义是：数轴上表示实数x的点到原点的距离． 拓展 不等式x?2和x?2的解集在数轴上如何表示？

根据绝对值的意义可知，方程x?2的解是x?2或x??2，不等式x?2的解集是(?2,2)（如图（1）所示）；不等式x?2的解集是(??,?2)?(2,??)（如图（2）所示）．

（1）

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（2）

*动脑思考 明确新知

一般地，不等式x?a（a?0）的解集是??a,a?；不等式x?a（a?0）的解集是

???,?a???a,???．

*巩固知识 典型例题

例１ 解下列各不等式：

（1）3x?1?0； （2）2x?6．

分析：将不等式化成x?a或x?a的形式后求解． *运用知识 强化练习 教材练习2.4.1 *实际操作 探索新知

问题 如何通过x?a（a?0）求解不等式2x?1?3？

解决 在不等式2x?1?3中，设m?2x?1，则不等式2x?1?3化为m?3，其解集为

?3?m?3，即?3?2x?1?3．利用不等式的性质，可以求出解集．

总结 可以通过 “变量替换”的方法求解不等式ax?b?c或ax?b?c（c?0）． *动脑思考 感悟新知

不等式ax?b?c或ax?b?c（c?0）可以通过“变量替换”的方法求解．实际运算中，可以省略变量替换的书写过程．即ax?b?c??c?ax?b?c

ax?b?c?ax?b??c或ax?b?c

*巩固知识 典型例题 例2 解不等式2x?1?3． 例3 解不等式2x?5?7． *运用知识 强化练习 教材练习2.4.2． 归纳与小结

不等式x?a（a?0）的解集是??a,a?；不等式x?a（a?0）的解集是???,?a???a,???．*继续探索 活动探究

(1)读书部分： 教材章节2.4，学习与训练2.4； (2)书面作业： 教材习题2.4，学习与训练2.4训练题． *教学后记

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第二章小结与复习（26-27）

【教学目标】

1．会用不等式（组）表示不等关系；

2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；

3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；

【教学重点】

不等式性质的应用，一元二次不等式的解法基本不等式的应用。 【教学难点】

利用不等式加法法则及乘法法则解题，基本不等式的应用。 【教学过程】

1.本章知识结构

2.知识梳理 （一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；

不等式的主要性质：

(1)对称性：a?b?b?a (2)传递性：a?b,b?c?a?c

(3)加法法则：a?b?a?c?b?c；a?b,c?d?a?c?b?d

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(4)乘法法则：a?b,c?0?ac?bc；a?b,c?0?ac?bc

a?b?0,c?d?0?ac?bd

(5)倒数法则：a?b,ab?0?n11? abn(6)乘方法则：a?b?0?a?b(n?N*且n?1)

(7)开方法则：a?b?0?na?nb(n?N*且n?1) 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小； 作差法

3、应用不等式性质证明 （二）一元二次不等式及其解法 一元二次不等式的解法

一元二次不等式ax?bx?c?0或ax?bx?c?0?a?0?的解集：

22设相应的一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的两根为x1、x2且x1?x2，??b?4ac，

22则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本的表格)

二次函数 ??0 y?ax?bx?c 2 ??0 y?ax?bx?c 2 ??0 y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c （a?0）的图象 一元二次方程 ax?bx?c?02 有两相异实根 x1,x2(x1?x2) 有两相等实根 bx1?x2?? 2a ?a?0?的根ax2?bx?c?0(a?0)的解集 无实根 R ?xx?x或x?x?12?b??xx??? 2a??36

ax2?bx?c?0(a?0)的解集 ?xx1?x?x2?

? ?

练习：教材第二章检测题

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在 3.1 函数的概念及其表示法

【教学目标】

知识目标：

(1) 理解函数的定义； (2) 理解函数值的概念及表示； (3) 理解函数的三种表示方法；

(4) 掌握利用“描点法”作函数图像的方法． 能力目标：

(1) 通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；

(2) 通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；

(3) 会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力．

【教学重点】 (1) 函数的概念； (2) 利用“描点法”描绘函数图像．

【教学难点】(1) 对函数的概念及记号y?f(x)的理解 (2)利用“描点法”描绘函数图像， 【教学设计】

（1）从复习初中学习过的函数知识入手，做好衔接； （2）抓住两个要素，突出特点，提升对函数概念的理解水平； （3）抓住函数值的理解与计算，为绘图奠定基础； （4）学习“描点法”作图的步骤，通过实践培养技能； （5）重视学生独立思考与交流合作的能力培养.

【教学过程】

*创设情景 兴趣导入 问题 学校商店销售某种果汁饮料，售价每瓶2.5元，购买果汁饮料的瓶数与应付款之间具有什么关系呢？ 归纳 因为x表示购买果汁饮料瓶数，所以x可以取集合?0,1,2,3,??中的任意一个值，按照算式法则y?2.5x，应付款y有唯一的值与之对应．

两个变量之间的这种对应关系叫做函数关系． *动脑思考 探索新知 概念 在某一个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围为数集D，如果对于D内的每一

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个x值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫做自变量，把y叫做x的函数． 表示 将上述函数记作y?f?x?．

变量x叫做自变量，数集D叫做函数的定义域．

当x?x0时，函数y?f?x?对应的值y0叫做函数y?f?x?在点x0处的函数值．记作y0?f?x0?. 函数值的集合?y|y?f?x?,x?D?叫做函数的值域．

函数的定义域与对应法则一旦确定，函数的值域也就确定了．因此函数的定义域与对应法则叫做函数的两个要素． 说明 定义域与对应法则都相同的函数视为同一个函数，而与选用的字母无关．如函数y?x与s?t表示的是同一个函数．

*巩固知识 典型例题 例１ 求下列函数的定义域： （１）f?x??1； （２）f?x??1?2x． x?1分析 如果函数的对应法则是用代数式表示的，那么函数的定义域就是使得这个代数式有意义的自变量的取值集合．

归纳 代数式中含有分式，使得代数式有意义的条件是分母不等于零；代数式中含有二次根式，使得代数式有意义的条件是被开方式大于或等于零． 例2 设f?x??2x?1，求f?0?，f?2?，f??5?，f?b?． 3分析 本题是求自变量x?x0时对应的函数值，方法是将x0代入函数表达式求值． 例3 指出下列各函数中，哪个与函数y?x是同一个函数： x2（1）y?； （2）y?x2； （3）s?t．

x

*运用知识 强化练习 教材练习3.1.1

*创设情景 兴趣导入

问题 观察下面的三个例子，分别用什么样的形式表示函数： 1.观察某城市2008年8月16日至8月25日的日最高气温统计表：

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日 期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 最高气温 29 29 28 30 25 28 29 28 29 30 由表中可以清楚地看出日期x和最高气温y(?C)之间的函数关系．

2. 某气象站用温度自动记录仪记录下来的2008年11月29日0时至14时的气温T（?C）随时间t（h）变化的曲线如下图所示：

曲线形象地反映出气温T（?C）与时间t（h）之间的函数关系，这里函数的定义域为?0,14?．对定义域中的任意时间t，有唯一的气温T与之对应．例如，当t?6时，气温T?2.2?C；当t?14时，气温T?12.5?C．

3. 用S来表示半径为r的圆的面积，则S?πr2．这个公式清楚地反映了半径r与圆的面积S之间的函数关系，这里函数的定义域为R?．以任意的正实数r0为半径的圆的面积为S0?πr02． *动脑思考 探索新知

函数的表示方法:常用的有列表法、图像法和解析法三种. (1)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.

用列表法表示函数关系的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. (2)图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的函数关系.

用图像法表示函数关系的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势. (3)解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.

用解析式表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. *巩固知识 典型例题

例4 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示这个函数．

分析 函数的定义域为{1，2，3，4，5，6}，分别根据三种函数表示法的要求表示函数．

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