热力学与统计物理第九章答案

热力学与统计物理第九章答案

【篇一：热力学统计物理课后答案12】

=txt>2.2 设一物质的物态方程具有以下形式： p?f(v)t,

试证明其内能与体积无关.

解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： 故有

??p????f(v). （2） ??t?v ??u???p?

?t?????p, （3） ??v?t??t?v p?f(v)t,（1）

但根据式（2.2.7），有 所以

??u????tf(v)?p?0. （4） ?v??t

这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度t的函数.

2.3 求证： (a)???0; (b??p?h解：焓的全微分为 令dh?0，得

内能的全微分为 令du?0，得

p??s???0. （4） ?? ??v?ut

du?tds?pdv. （3） ??s?v ???0. （2） ???pt??h??s? ??s?

)?????v?u 0.

dh?tds?vdp. （1）

2.6 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落.

解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数?

??t???t?

和???描述. 熵函数s(t,p)的全微分为 ?p?p??s??h ??s???s?

ds??dt???dp. ? ??t?p??p?t

在可逆绝热过程中ds?0，故有 ??s???v?

t???p????t??t?p???t?. （1） ?????s ?pc????sp ????t?p

最后一步用了麦氏关系式（2.2.4）和式（2.2.8）. 焓h(t,p)的全微分为 ??h???h?

dh??dt???dp. ? ??t?p??p?t

在节流过程中dh?0，故有 ??h???v?

t???p???v??t??t??t???p . （2） ?????h ?pc????hp ????t?p

最后一步用了式（2.2.10）和式（1.6.6）. 将式（1）和式（2）相减，得

??t???t?v

???0.（3） ???? ??p?s??p?hcp

所以在相同的压强降落下，气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落. 这两个过程都被用来冷却和液化气体.

由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分，低温下移动

部分的润滑技术是十分困难的问题，实际上节流过程更为常用. 但是用节流过程降温，气体的初温必须低于反转温度. 卡皮查（1934年）将绝热膨胀和节流过程结合起来，先用绝热膨胀过程使氦降温到反转温度以下，再用节流过程将氦液化.

2.9 证明范氏气体的定容热容量只是温度t的函数，与比体积无关. 解：根据习题2.8式（2） ??2p???cv?

???t?2?, （1） ?v??t??t?v

范氏方程（式（1.3.12））可以表为 nrtn2ap??. （2） v?nbv2

由于在v不变时范氏方程的p是t的线性函数，所以范氏气体的定容热容量只是t的函数，与比体积无关. 不仅如此，根据2.8题式（3） ??2p?

cv(t,v)?cv(t,v0)?t??2?dv, （3） v0?t??v v

我们知道，v??时范氏气体趋于理想气体. 令上式的v0??，式中的cv(t,v0)就是理想气体的热容量. 由此可知，范氏气体和理想气体的定容热容量是相同的.

顺便提及，在压强不变时范氏方程的体积v与温度t不呈线性关系. 根据2.8题式（5） 2

??cv???p?????2?, （2） ??v?t??t?v

这意味着范氏气体的定压热容量是t,p的函数.

2.16 试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率. 解：根据式（2.6.1）和（2.6.3），平衡辐射的压强可表为 1

p?at4, （1） 3

因此对于平衡辐射等温过程也是等压过程. 式（2.6.5）给出了平衡辐射在可逆绝热过程（等熵过程）中温度t与体积v的关系 t3v?c(常量).（2）

将式（1）与式（2）联立，消去温度t，可得平衡辐射在可逆绝热过程中压强p与体积v的关系 pv?c?（常量）.（3） 43

下图是平衡辐射可逆卡诺循环的p?v图，其中等温线和绝热线的方程分别为式（1）和式（3）.

下图是相应的t?s图. 计算效率时应用t?s图更为方便.

在由状态a等温（温度为t1）膨胀至状态b的过程中，平衡辐射吸收的热量为 出的热量为

循环过程的效率为

q2?t2?s2?s1?.（5） q1?t1?s2?s1?. （4）

在由状态c等温（温度为t2）压缩为状态d的过程中，平衡辐射放 t2?s2?s1?q2t

??1??1??1?2. （6）

q1t1s2?s1t1

2.19 已知顺磁物质遵从居里定律： m? c

h(居里定律). t

若维物质的温度不变，使磁场由0增至h，求磁化热.

解：式（1.14.3）给出，系统在可逆等温过程中吸收的热量q与其在过程中的熵增加值?s满足 q?t?s. （1）

在可逆等温过程中磁介质的熵随磁场的变化率为（式（2.7.7）） ??s???m?

??0????.（2） ?h?t??t??h cv

h?c是常量?, （3） t

如果磁介质遵从居里定律 易知 所以

cv?0h??s???.（5） ??2 ?ht??t h m?

cv??m?

??h, （4） ??2 t??t?h

在可逆等温过程中磁场由0增至h时，磁介质的熵变为 吸收的热量为

补充题1 温度维持为25?c，压强在0至1000pn之间，测得水的实验数据如下： ??v??3?63?1?1

????4.5?10?1.4?10p?cm?mol?k. ??t?p?s?? cv?0h2??s? （6） ??dh??2 ?h2t??t

cv?0h2q?t?s??. （7） 2t

【篇二：热力学统计物理 课后习题 答案】

t>8.4求弱简并理想费米(玻色)气体的压强公式． 解：理想费米(玻色)气体的巨配分函数满足 ln?????lln1?e?????l l ??

在弱简并情况下： 2?v2?v3/23/22

ln???g3?2m???1/2ln1?e?????ld???g3?2m???d?3/2ln1?e?????l

30hh0 ? ?? ?

????

2?v3/22?3/2

??g3?2m????ln1?e?????l 3?h ? ??? ?0 ? 3/2

dln1?e ??

?????l ?? ? ? ?

2?vd?3/22 ??g3?2m????3/2????l 30he?1

与（8.2.4）式比较，可知 ln??

再由（8.2.8）式，得 3/23/2

??1n?h2??1?h2?? ???????nkt?1??

ln???nkt?1?????v2?mkt??2?mkt?????42???42?? ?

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