数学答案（2014吉大附中高三一模理）

2014－2015 学年上学期高三年级

y第一次摸底考试 数学(理) 参考答案及评分标准

3一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

y目要求的． 8642O2468x3题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A C A B C D C B A D 38642O2提示： 图1 图2

（11）解析：由f(x)?cos2x?4t1?cosx?t3?3t?cos2x?2tcosx?t3?t?(cosx?t)2?t3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 2?t2?t，（17）（本小题满分10分）

又知|t|≤1，所以g(t)?f(x)解析：（Ⅰ）f (x)＝x2＋x＋b(b∈R)的值域为[b?14b?15min?f(t)?t3?t2?t，而g?(t)?3t2?2t?1?(t?1)(3t?1)，

4，??)，所以4??4，所以，b??1.

令g?(t)?0解得t??1（Ⅱ）函数y＝f(sinx)的值域，即f (x)＝x2

＋x－1，x?[?1，1]的值域， 3或t?1，又知|t|≤1，故选A．

（12）解析：依题意，f(x)与g(x)的定义域都是[0，2]，而f(x)的值域是g(x)的值域的子集． 因为，f(x)?(x?1)252?4，（配方，指明对称轴，或画出图象均可）

由f(x)?ex?x2求导得f?(x)?ex?2x，再次求导得f??(x)?ex?2，可知当0≤x≤ln2时， 所以，f(?12)≤f(x)≤f(1)，

f??(x)?0，f?(x)是减函数；ln2≤x≤2时，f??(x)?0，f?(x)是增函数，

即f(x)此时值域为 所以f?(x)≥f?(ln2)?2?2ln2?0，所以，在区间[0，2]上f(x)是增函数． [?54，1].

（18）（本小题满分12分） 又知f(0)?1，f(2)?e2?4，所以f(x)?[1，e2?4]．

解析：（Ⅰ）命题p为真，即f(x)的定义域为R， 而g(x)?ax?b(a?0)在[0，2]上为增函数，g(x)?[b，2a?b]， 等价于(a2?1)x2?(a?1)x?1?0恒成立，

等价于a??1 由题意可知??g(0)?b≤1，所以?g(2)?2a?b≥e2?4a≥e2?4?be2?52，由b≤1知a≥2， 或???a2?1?0(a?1)?4(a?1)?0． ????22

故选D．

解得a≤?1或a?5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 3，

（13）e （14）(1，2)(2，3]

所以实数a的取值范围为(??，?1](53，??)．

（15）310（Ⅱ）命题q为真，即f(x)的值域是R，

10

（16）①④

等价于u?(a2?1)x2?(a?1)x?1的值域A?(0，??)， 提示：

等价于a?1 （16）解析：∵奇函数f(x)满足f(x?4)??f(x)，∴f(x?4)?f(?x)，∴f(x)有对称轴x??2，

画出f(x)的图象如图1所示.

或???a2?1?0， ????(a?1)2?4(a2?1)≥0①正确，∵f(x?4)??f(x)，令x?3，得f(3)??f(?1)?f(1)?1；

②错误，∵奇函数f(x)满足f(x?4)??f(x)，∴f(x?4)?f(?x)，∴f(x)有对称轴x??2， 解得1≤a≤553， 所以实数a的取值范围为[1，3]．

由图象1可知②错误；

③错误，2010＝8×251＋2，2014＝8×251＋6，∴区间[2010，2014]等价于区间[2，6]，由（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，?p:a?(?1，53]；q:a?[1，53]． 图象1可知，函数f(x)在[2，6]上是减函数，∴③错误； 而(?1，5

④正确，y?|f(x)|的图象如图2所示，为偶函数，故在区间[?6，6]上所有根之和为0.

3]Y[1，53]， 所以?p是q的必要而不充分条件．

数学（理）参考答案及评分标准 （第 1 页 共 3 页）

468x …………2分 …………4分 …………5分 …………8分 …………10分…………1分

…………2分

…………3分 …………4分

…………5分 …………6分

…………7分 …………8分

…………10分

…………12分

（19）（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）f(x)?2( 22??sin2x?cos2x)?2(cossin2x?sincos2x) 2244（21）（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）当m?e时，f(x)?lnx? f?(x)?e，其定义域为(0，??)． x?2sin(2x?)， …………4分

?1ex?e??2．令f?(x)?0，解得x?e． 2 …………2分

4 所以f(x)的最大值为2．

最小正周期T?2?2??．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?2sin(2x??4)，

所以f(?32??8)?2sin??2，即sin??34．

又?是第二象限的角，所以cos???1?sin2???1?(34)2??134，

所以sin2??2sin?cos??2?313394?(?4)??8．

（20）（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）由图知A?3，34T?4???154?4?，

所以T?5?，所以??

25

，

所以f(x)?3sin(25x??)．

因为f(x)的图象过点(4?，?3)，所以?3?3sin(8?5??)， 所以

8?5???2k???2，k?Z，所以??2k??21?10，k?Z．

因为|?|???2，所以???210，所以f(x)?3sin(5x??10)． （Ⅱ）由2k???2≤25x??10≤2k??3?2，k?Z， 解得函数f(x)的单调递减区间为[5k??3?2，5k??4?]，k?Z．

函数f(x)的最大值为3，

取到最大值时x的集合为{x|x?5k??3?2，k?Z}．

xxx…………5分

则f?(x)与f(x)关于x的变化情况如下：

…………6分

x (0，e) e (e，??) f?(x) ? 0 ? f(x) 极小值 …………8分

故x?e时，f(x)取得极小值f(e)?lne?ee?2．

…………4分

?f?(x)?x1mx3…………10分

3?x?x?3m?x3（Ⅱ）g(x)x2?3?3x2，其定义域为(0，??)．

令g(x)?0，得m??11 …………12分

3x3?x．设h(x)??3x3?x，其定义域为(0，??)． …………6分

则g(x)的零点为h(x)与y?m的交点．h?(x)??x2?1??(x?1)(x?1) …………8分

…………2分

则h?(x)与h(x)关于x的变化情况如下：

x (0，1) 1 (1，??) …………4分

h?(x) ? 0 ? h(x) 极大值 故当x?1时，h(x)取得最大值h(1)?23，可得： …………9分 ①当m?23时，g(x)无零点；

…………10分

②当m?23或m≤0时，g(x)有且仅有1个零点；

…………11分 …………6分 ③当0?m?23时，g(x)有两个零点．

…………12分

…………8分 …………10分 …………11分 …………12分

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（22）（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）f?(x)?2x?a?12x2?ax?1x?x≤0在[1，2]上恒成立，

? 令h(x)?2x2?ax?1，由??h(1)≤0?a≤?17h(2)≤0，得?? ??a≤-7，所以a≤?22．

（Ⅱ）假设存在实数a，使g(x)?ax?lnx(x?(0，e])有最小值3， g?(x)?a?1ax?1x?x．

①当a≤0时，g(x)在(0，e]上单调递减， g(x)min?g(e)?ae?1?3，a?4e（舍去）． ②当0?1a?e时，g(x)在(0，11a)上单调递减，在(a，e]上单调递增，所以g(x)?g(1mina)?1?lna?3，a?e2．

③当1a≥e时，g(x)在(0，e]上单调递减， g(x)min?g(e)?ae?1?3，a?4e（舍去）． 综上，存在实数a?e2，使得当x?(0，e]时，g(x)有最小值3．

（Ⅲ）令F(x)?e2x?lnx，由（Ⅱ）知，F(x)min?3， 令?(x)?lnx51?lnxx?2，??(x)?x2， 当0?x?e时，??(x)≥0，?(x)在(0，e]上单调递增， 所以，?(x)1515max??(e)?e?2?2?2?3．

所以e2x?lnx?lnxx?52，即e2x2?52x?(x?1)lnx． …………2分

…………4分

…………5分

…………6分

…………7分

…………8分

…………10分

…………12分

数学（理）参考答案及评分标准 3 页 共 3 页）

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