中学学科网2009年高考数学第二轮复习精品资料三压轴题p

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2009年高考数学第二轮复习压轴题

高考坚持“有利于高校选拔人才，有利于中学实施素质教育，有利于高校扩大办学自主权”的命题原则，坚持“考查基础知识的同时,注重考查能力”，这决定了每套高考试卷都有一道或几道把关的题目，我们称之为压轴题.

这类题目的分值稳定在14分左右，多以传统的综合题或常用题型，与高等数学有关知识或方法联系比较紧密.如结合函数、不等式、导数研究无理型、分式型、指对数型以及多项式函数等初等函数的图像与性质，或数列兼考查数学归纳法，或以解析几何为主的向量与解析几何交汇，或以上三类题互相交汇形成新的综合问题，这类题目综合性强，解法多，有利于高校选拔.

第一讲函数、不等式与导数型压轴题

【调研1】设2

1()log 1x f x x

+=-,1()()2F x f x x

(1)试判断函数()y F x =的单调性，并给出证明；

(2)若()f x 的反函数为1()f x -,证明对任意的自然数(3)n n ≥,都有1

()1

n f

n n ->

+；

(3)若()F x 的反函数1()F x -,证明方程1()0F x -=有惟一解.

分析：第（1）问先具体化函数()y F x =后，再判断单调性，而判断单调性有定义法和导数法两条途径；第（2）问先具体化1

()f

n -，再逐步逆向分析，寻找不等式的等价条件，最后转化为不等式212n

n >+的

证明问题；第（3）问应分“存在有解”和“唯一性”两个方面证明. 解析：（1）∵2

1()log 1x f x x

+=-，1()()

2F x f x x

∴2

11()log 12x F x x

+=+

∴函数()y F x =的定义域为(1,1)-.

解法一：利用定义求解设任意1x ，2x (1,1)∈-，且12x x <，则

21()()F x F x -＝212

11111(

log )(

log )2121x x x x x x +++-+----

＝212

1111()(log log )2211x x x x x x ++-

+-----＝

122

1212(1)(1)log (2)(2)

(1)(1)

x x x x x x x x --++--+-

∵210x x ->，120x ->，220x -> ∴

1212(1)(1)0(1)(1)

x x x x -+>+-

∴

122

1212(1)(1)log 0(2)(2)

(1)(1)

x x x x x x x x --++>--+- ∴函数()y F x =在(1,1)-上是增函数

解法二：利用导数求解∵211()log 12x F x x

+=+

∴()F x '＝

121(1)ln 2

(1)

(2)

x x x x -?

+--＝

21ln 2(1)

(2)

x x +

?--

2009年高考数学第二轮复习压轴题

2 又∵11x -<< ∴()F x '＝222

10ln 2(1)

(2)x x +>?--∴函数()y F x =在(1,1)-上是增函数 (2) 由21()log 1x f x x +=-得121y x

+=-，即2121y y x -=+ ∴121()21x x f x --=+（x R ∈） ∴121()21

n n f n --=+＝2121n -+∵1111n

n n =-++ ∴证明不等式1()1n f n n ->+（3n ≥），即证22

2122n n <++，也即证212n n >+（3n ≥）

以下有两条求证途径：

解法一：利用数学归纳法求证

①当3n =时，不等式显然成立. ②设n k =时成立，即212k k >+

当1n k =+时，12222(12)k k k +=?>+＝42222k k k +=++232(1)1k k >+=++

∴当1n k =+时不等式也成立.由①②可知，对利用大于或等于3的自然数都有212n n >+成立. ∴证明不等式1()1n

f n n ->+（3n ≥）

解法二：利用放缩法求证∵2(11)112221n n n n n n =+=++++=+>+… ∴等式1()1n

f n n ->+（3n ≥）故：1()1n f

n n ->+ (3)∵ 211

(0)log 122F =+= ∴1

1()02F -=，即12

x =是1()0F x -=的一个根. 假设1()0F x -=另外还有一个解0x （012x ≠），则10()0F x -= ∴0(0)F x = (012x ≠)，这与1

(0)2F =相矛盾故1()0F x -=有惟一解.

【方法探究】证明不等式的方法很多，其中分析法和综合法是最基本的方法.分析法由果索因，优点是便于寻找解题思路，而综合法由因索果，优点是便于书写，所以我们在求解过程中，常常两种方法联合作战，从而衍生出“分析综合法”，在本例第（2）问以及下例第（2）问都中有所体现.

【技巧点拨】对于压轴题，大多数同学都不能完全解答，如何更好发挥，争取更好的成绩？“分步解答”、“跳步解答”与“解准第一问”是很实用的夺分技巧，其中分析综合题的各小问之间的关系是非常关键.从各小问之间的相互关系来分，数学综合题有以下三类：

（1）递进型递进型解答题是指前问是后问的基础，只有前问正确解答，才能准确求解后问，若第（1）问出错，则可能“全军覆没”，这也是相当多同学不能很好发挥其数学水平的重要原因.对于这类题目，“解准第一问”是至关重要，不容丝毫的马虎.

（2）并列式并列型解答题是指前问与后问关联性不强，前问是否正确，不会影响后问作答，如本例的三个问题.但这类题目也容易丢分，同学们在作答时，常常因为前问不会答而放弃后问的分析与思考，这时“跳步解答”非常关键.

（3）混合式混合型解答题是指解答题有三个及其以上的小问，兼有以上两种类型的特点，答题时注意“分步解答”，如本例万一不会求解第（2）问，具体化1()f

n -是没有问题的，争取得到一定的步骤分.

2009年高考数学第二轮复习压轴题

【调研2】已知函数22

()ln f x x a x x

+（0x >）

，()f x 的导函数是()f x '对任意两个不相等的正数1x 、2x 求证：

（1）当0a ≤时，1212

()()()22

f x f x x x f ++>；（2）当4a ≤时，1212()()f x f x x x ''->-. 分析：本例以高等数学的函数凸凹性、一致连续性、中值定理等知识为内核，综合考查函数的基本性质、

导数求函数极值和均值不等式等知识的应用，考查综合分析、推理论证以及运算能力.

第（1）问先根据题设条件具体化

12()()

f x f x +、12

(

x x f +的表达式，再对二者进行比较，可以逐

项比较，也可以作差比较；第（2）问先具体化12()()f x f x ''-，再逐步逆向分析，采用分析法寻找解题思路，至于书写可用分析法，也可以用综合法. 解析：（1）∵()22ln f x x a x x

+∴

()()

()()122

121

1ln ln 22

f x f x a

x x x x

x +??=

+++

++ ??

? (

121

121ln

x x x x a x x +=

121212124ln 222x x x x x x f a x x +++????

=++ ? ?

??? 以下有两条求解途径：解法一：逐项比较法

x x +<

∴12

x x +<

∵0a ≤

∴12

ln ln

x x a a +< ………………………………①

∵

()

()2

121211

42x x x

x x x x x +????+>++= ?????……………………………………②

又∵()()2

1212

1224x x x x x x

x x +=++> ∴

1212

4x x x x x x +>

+ ………………③

由①、②、③得(

12121

121

4ln

ln 2

2x x x x x x a a x x x x ++??

+>++ ?

+??

∴

()()

121

2f x f x x x f ++??

> ??? 解法二：作差比较法()()

121

x f x x x f ++??

- ???

＝(

1212

14[

ln [()ln

22x x x x x x x x a a x x x x +++++

+-+

＝22

1212

[()(

)](

)(ln

x x x x x x x x a a x x x x ++++-+-

＝

1212121212

()

1()ln

()

x x x x a x x x x x x --+

+++

∵12x x ≠，且10x >，20x > ∴2

121()04

x x ->，

121212()

0()

x x x x x x ->+

，12

01x x <

∵0a ≤

∴12

0a x x ≥+

∴()()

12122

x f x x x f ++??

- ?

＝2

21212121212()1()ln 04()x x x x a x x x x x x --++>++ 故

()()

121

x f x x x f ++??

- ???

2009年高考数学第二轮复习压轴题

（2）证法一：分析综合法由()22ln f x x a x x

=++，得()'

22a f

x x x

∴()()12f x f x ''-＝122

1222222a a x x x x x x ?

???-

--+ ? ?????＝()121222

1212

22x x a

x x x x x x +-?+- 欲证()()'

1212f

x f

x x x ->- ，只需证()122

221x x a x x x x ++

>即证()1212122x x a x x x x +<+

成立

∵(

)12121212

2x x x x x x x x ++

设t =

，()()2

40u t t t t

>，则()2

42u t t t

'=-

令()0u t '=

得t =，列表如下：

(

)4u t a ≥=

>≥ ∴()121212

2x x x x a x x ++

∴对任意两个不相等的正数12,x x ，恒有()()'

1212f x f

x x x -

证法二：综合法1 对于任意两个不相等的正数1x 、2x 有

()121212

2x x x x x x ++

>12x x +

＝12x x +

3≥?

＝3 4.5a ?

>> ∴ ()122

221x x a x x x x ++

>而()'

22a f

x x x

∴()()12f x f x ''-＝122

1222222a a x x x x x x ????

--+ ? ??

???

＝()12122

22x x a x x x x x x +-?+

12x x >- 故：()()

1212f

x f

x x x -

证法三：综合法2由()2

2ln f x x a x x

+，得()'

22a f

x x x

∴()()'

12f x f x -＝122211222222a a x x x x x x ????

-+--+ ? ?????

＝()121222

121222x x a x x x x x x +-?+- ∵12,x x 是两个不相等的正数∴(

)123

22x x a

a x x x x x x ++->+

42x x ≥+

2009年高考数学第二轮复习压轴题

设t =()()3

2440u t t t

t =+->，则()()'432u t t t =-，列表：

∴38127

u =

> 即 ()122

221x x a

x x x x ++-

∴()()()12''1212122

22x x a f x f x x x x x x x x x +-==-?+

【方法探究】本例以高等数学中的函数凸凹性与中值定理为知识载体，所以也可以采取高等数学方法求解：（1）当0a ≤时，求证1212

()()

(

f x f x x x f ++>，联系凹（下凸）函数性质知，只需证明当0a ≤时，

只需证明2

2()ln f x x a x x

+（0x >）为凹函数或下凸函数. 即证明“函数)(x f 的二阶导数恒大于0”

其具体证明如下：∵2

2()ln f x x a x x

+（0x >）∴2

2()2a f x x x

'=-

，3

4()2a f x x

''=+

∵0x >，0a < ∴3

4()20a f x x

''=+

>在(0,)x ∈+∞时恒成立.

∴22()ln f x x a x x

+（0x >）为凹函数故

()()

121

2f x f x x x f ++??

> ???

（2）为证明|||)()(|2121x x x f x f ->'-'，可以考虑对函数()f x 的导函数是()f x '在闭区间12[,]x x （或

21[,]x x ）上应用中值定理，具体证明过程如下：不妨设210x x >>，则

由（1）问知2

2()2a f x x x

'=-+

，3

4()2a f x x

''=+

，在闭区间12[,]x x 上，由中值定理有，存在

[]21,x x ∈ξ，使得： ))(()()(2121x x f x f x f -''='-'ξ.下证当4a ≤，0ξ>时，有()1f ξ''>成立

∵3

4()2a f x x

''=+

∴当0a ≤，0x >时，有3

4()22a f x x

''=+

>恒成立当04a <≤，0x >时，令3

4()2()a f x g x x

''=+-

=，则3

212()a g x x

'=-

再令3

212()0a g x

=，得6x =

列表如下：

2009年高考数学第二轮复习压轴题

即当04a <≤，0x >时，有3

38()2221108

108

a a

f x x

''=+

≥-

∴1)(04>''>≤ξξf a 时，有，当，有212121)()()(x x x x f x f x f ->-?''='-'ξ 故()()'

1212f

x f

x x x -

1.已知32()2f x x bx cx =+++

（1）若()y f x =在1x =时有极值－1，求b ，c 的值.

（2）当b 为非零实数时，证明()f x 的图像不存在与直线2()10b c x y -++=平行的切线；

（3）记函数|()|f x '（11x -≤≤）的最大值为M ，求证32

M ≥

2.已知函数()ln(1)(1)x f x a e a x =+-+，2()(1)(ln )g x x a x f x =---且()g x 在1x =处取得极值. (1)求a 的值和()g x 的极小值； (2)判断()y f x =在其定义域上的单调性, 并予以证明；

(3)已知△ ABC 的三个顶点A 、B 、C 都在函数()y f x =的图象上，且横坐标依次成等差数列，求证△ABC 是钝角三角形，但不可能是等腰三角形．

【参考答案】解析：（1）∵32()2f x x bx cx =+++ ∴2()32f x x bx c '=++

由()f x 在1x =时有极值－1有(1)320(1)121

f b c f b c '=++=??=+++=-?，解之得15

b c =??

=-?

当1b =，5c =-时，2()325f x x x '=+-当1x >时，()0f x '>，当513

x -<<时，()0f x '<

从而符合在1x =时，()y f x =有极值 ∴1b =，5c =-

（2）假设()y f x =图象在x t =处的切线与直线2

()10b c x y -++=平行，则

∵2()32f t t bt c '=++，直线2()10b c x y -++=的斜率为2

c b -

∴2232t bt c c b ++=-，即22

320t bt b ++=∵0b ≠ ∴△＝2224(3)80b b b -=-<

从而方程22

320t bt b ++=无解，即不存在t ，使22()32f t t bt c c b '=++=-

∴()y f x =的图象不存在与直线2

()10b c x y -++=平行的切线. （3）证法一：分类讨论 ∵|()|f x '＝2

|3()()|33

b b

x c +

∴①若||13

b -

>，则M 应是|(1)|f '-和|(1)|f '中最大的一个

2009年高考数学第二轮复习压轴题

∴2|(1)||(1)|M f f ''≥-+＝|32||32|b c b c -++++|4|b ≥12> ∴362

M >≥

②当30b -≤<时，2|(1)||()|3b M f f ''≥-+-＝2

|32|||3

b c c -++-

23|3

b ≥-+＝2

1(3)|3

b -3> ∴32

M ≥

③当03b <≤时，2|(1)||()|3

b M f f ''≥+-

＝2

|32|||3

b c c +++-

23|3

b ≥++＝2

(3)|3

b +3> ∴32

M ≥

综上所述，32

M ≥

成立.

证法二：利用二次函数最值求解2

()32f t t bt c '=++的顶点坐标是（3

b -，

b c -），

①若||13

b -

>，则M 应是|(1)|f '-和|(1)|f '中最大的一个

∴2|(1)||(1)|M f f ''≥-+＝|32||32|b c b c -++++|4|b ≥12> ∴362

M >≥

②若||13

b -≤，则M 应是|(1)|f '-、|(1)|f '、|

b c -|中最大的一个

（1）当32c ≥-时，2|(1)||(1)|M f f ''≥-+|(1)(1)|f f ''≥-+＝|62|3x +≥ ∴32

M ≥

（2）当32

c <-时， 2

3||3

c b M -≥＝

c c -≥->

综上所述，32

M ≥

成立.

证法三：利用绝对值不等式的性质

∵函数|()|f x '（11x -≤≤）的最大值为M ∴|(1)|M f '≥-，|(1)|M f '≥，|(0)|M f '≥ ∴4|(1)||(1)|2|(0)|M f f f '''≥-++|(1)(1)2(0)|f f f '''≥-+-＝6 ∴3

2M ≥

2.解析：（1）∵2

()(1)(ln )g x x a x f x =---∴1()2(1)1a a g x x a x

+'=---

+（0x >）

∵()g x 在1x =处取得极值 ∴(1)2(1)102

a g a a '=---

++=，即8a =

∴()8ln(1)9x

f x e x =+- 2

()78ln(1)9ln g x x x x x =--+- 89(1)(3)(23)

()271(1)

x x x g x x x

x x --+'=--

+=++（0x >）

令(1)(3)(23)

()0(1)

x x x g x x x --+'=

=+得1x =或3x =

2009年高考数学第二轮复习压轴题

当13x <<时，()0g x '<，当01x <<时，()0g x '>

当3x >时，()0g x '> ∴当3x =时，min ()9ln 38ln 412g x =-- （2）∵()8ln(1)9x f x e x =+-

∴89()9011x

e f x e

--'=-=

<++恒成立，即函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调减函数.

（3）设11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，33(,())C x f x ，且123x x x <<，则

123()()()f x f x f x >>，13

x x x +=

∴1212(,()())BA x x f x f x =+- ，3232(,()())BC x x f x f x =--

∴12321232()()[()()][()()]BA BC x x x x f x f x f x f x ?=--+-?-

∵120x x -<，320x x ->，12()()0f x f x ->，32()()0f x f x -< ∴0BA BC ?<

故B 为钝角，△ABC 为锐角三角形.另一方面，若A B C ?为等腰三角形，则只能是BA BC =

即2222

12123232()[()()]()[()()]x x f x f x x x f x f x -+-=-+-

∵2132x x x x -=-，22

1232[()()][()()]f x f x f x f x -=-

∴1223()()()()f x f x f x f x -=-，即13)()()f x f x f x =+22(

∵()8ln(1)9x

f x e x =+- ∴2

21316ln(1)188[ln(1)(1)]9()x x x e x e e x x +-=++-+

∴13

212

2ln(1)ln(1)x x x x x e e e e

++=+++，即2

222x x x

x x e

e e

+=++

∴32

12x

x x e

e e =+

，但与3

22x x x

e e +≥==相矛盾，所以A B C ?不能为等腰三角形.

综上所述，△ABC 是钝角三角形，但不可能是等腰三角形.

第二讲递推数列、数学归纳法型压轴题

数列和数学归纳法是初等数学与高等数学的最重要衔接点之一，是中学数学的重要组成部分，涉及知识面广、综合性强、方法灵活、试题新颖、技巧性突出，蕴含函数与方程，等价转化、分类与整合等数学思想以及错位相减法、归纳－猜想－证明、叠加（乘）法、叠代法、裂项法等大量的数学方法，是代数计算与逻辑推理训练的重要题材，因而这类题目多以压轴题的形式出现，成为高考的重头戏之一.

【调研1】已知函数)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数, 且对于任意的R b a ∈,, 都满足

()()()f a b a f b b f a ?=+.若1

()12

f =，(2)

n f a n

（n N *

∈），求①.数列{}n a 的通项公式；

2009年高考数学第二轮复习压轴题

9 ②.数列{}n a 的前n 项和为n S ，问是否存在正整数m ，使得对任意的*n N ∈都有43n m S -<成立？

若存在，求出m 的最小值；若不存在，则说明理由. 分析: 求解本题的关键在于准确求解第（1）小问，所以准确化简(2)n f -成为求解本例的焦点.大致有以下三条途径：①.由已知条件()()()f a b af b bf a ?=+探索)(n a f 的规律，最后用数学归纳法证明；

②.将所给函数关系式适当变形, 根据其形式特点构造另一个函数, 设法用此函数求出)(n a f ； ③.设法将(2)n f -转化为熟悉的数列.

解析:（1）解法一：“归纳－猜想－证明”法

∵对于任意的R b a ∈,, 都满足()()()f a b af b bf a ?=+∴2()f a ＝()()a f a a f a ?+?＝2()a f a ?

3()f a ＝22()()a f a a f a ?+?＝22()()a a f a a f a ??+?＝2

3()a f a

4()f a ＝33()()a f a a f a ?+?＝233()()a a f a a f a ??+?＝34()a f a 猜想1()()n n f a na f a -=? （n N *∈）现在用数学归纳法证明：

①.显然1n =时，左边＝()f a ，右边＝111()a f a -??＝()f a

∴1n =时，命题1()()n n f a na f a -=?显然成立.

②.设n k =（*k N ∈）时有1()()k k f a ka f a -=?

当1n k =+时 ∵()()()f a b af b bf a ?=+

∴1()k f a +＝()k f a a ?＝()()k k a f a a f a ?+?＝1()()k k a f a a ka f a -?+??

＝()()k k a f a ka f a ?+?＝(1)()k k a f a +?∴1n k =+时，命题1()()n n f a na f a -=?成立.

由①②可知，对任意n N *∈都有1()()n n f a na

f a -=?（n N *∈）成立. 又∵1()12f =∴11111[()]()()(2)1222()2

n n n n n f n f f a n n n ---?====故数列{}n a 的通项公式n a ＝11()2n - 解法二：构造函数法 ∵当0≠?b a 时，有()()()f a b af b bf a ?=+ ∴b

b f a a f ab ab f )()()(+= 令()()f x g x x =，则b

b f a a f ab ab f )()()(+=即为: ()()()g ab g a g b =+ ∴()()n g a n g a =? 即

()()n n f a n g a a =? ∴1()

()()()n n n n f a f a a n g a a n na f a a -=??=??=?，即1()()n n f a na f a -=?余下的过程同解法一.

证法三: 转化为特殊数列求解∵对于任意的R b a ∈,, 都满足()()()f a b af b bf a ?=+，1()12

f = ∴1[()]2n f ＝111[()]22

n f -?＝111111[()]()()2222n n f f --?+?＝11111[()]()222n n f --?+

2009年高考数学第二轮复习压轴题

即1[()]2n f ＝11111[()]()222

n n f --?+ ∴1111[()][()]

22211()()22

n n n n f f --=+

∴新数列1[()]21()2n n f ?

?????????是公差为2，首项为1()2212f =的等差数列，即1[()]221()2

n n

f n = ∴1

1()2(2)12()2

n n n f a n n --?=== 故数列{}n a 的通项公式n a ＝11()2n -.

（2）假设存在正整数m ，使得对任意的*

n N ∈都有43

n m S -<成立，则

由（1）问可知111()2n n S -=-，所以1141()23n m ---<恒成立∴4

m -≥，即7m ≥

故存在正整数m ，使得对任意的*

n N ∈都有43

n m S -<成立，此时m 的最小值为7.

【方法探究】本例是已知抽象函数关系, 利用函数迭代求数列通项问题.在所给的三种方法之中, 解法一

利用“归纳－猜想－证明”求解，思路自然, 但较为繁琐；解法二利用构造函数法求解，比较简洁，但技巧性强；解法三转化为特殊数列求解，思维跨度大.这三种证法反应出求解数列与函数综合题的共同规律: 充分应用已知条件变形转化, 根据其形式特点构造新的数列, 然后利用数列的性质求解.

【调研2】已知等差数列{}n a 的公差d 大于0，且2a 、5a 是方程027122=+-x x 的两根，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n n b T 2

11-

=（*

n N

∈）

（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较n

b 1与1+n S 的大小.

分析：（1）由方程027122=+-x x 可求2a 、5a ，从而得到等差数列{}n a 的通项；由公式1

n n n S n a S S n -=?=?

-≥?求解数列{}n b 的通项.

（2）要比较

b 1与1+n S 的大小，应先由（1）问具体化n

b 1、1+n S ，再求出前几项，探索大小规律，

最后用数学归纳法证明.

解析：（1）∵2a 、5a 是方程027122

=+-x x 的两根，公差d 大于0 ∴2a =3，5a =9，即52

a a d -=

=，11a = ∴21n a n =-（*

n N

∈）

∵数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n n b T 2

11-=（*

n N ∈）

∴当1n =时，111112

T b b ==- ∴3

21=

当2≥n 时，∵n n b T 2

11-

= ∴111122n n n n n b T T b b --=-=

2009年高考数学第二轮复习压轴题

∴

n n b b -=

（2n ≥），即1212()333n n n b -=

=故21n a n =-，1212()333

n n n b -== （2）解法一：归纳－猜想－证明由（1）可知2

[1(21)]

n n n S n +-=

=，

b =

∴21(1)n S n +=+

当1n =时，1132b =，24S = ∴211S b < 当2n =时，2192

b =，39S = ∴

321S b < 当3n =时，31272b =，416S = ∴431S b < 当4n =时，41812b =，525S = ∴541S b >

当5n =时，

1243

b =

，636S = ∴

1S b >猜想：4≥n 时，

11+>n n

S b

以下用数学归纳法证明：（1）当4n =时，由上可知成立. （2）设n k =（*

,4k N n ∈≥）时，11+>k k

S b ，即

)1(2

+>k K

当1n k =+时，

1k b +＝

k +＝3

3(1)k >+2

363k k =++＝2

(44)221k k k k ++++-

(1)1[(1)1]k k S ++>++=∴当1n k =+时，

11+>n n

S b 成立.

由（1）（2）知n N *∈，4n ≥时，11+>n n

S b .

综上所述，当1n =，2，3时，

11+

S b ，当4≥n 时，

11+>n n

S b .

解法二：放缩法证明当1n =，2，3时，同以上解法当n N *

∈，4n ≥时

b ＝

＝

12233

11(12)(1222)2

n n n C C C +>

+?+?+?

＝1(1)(1)(2)

[1248]226

n n n n n n ---++

?+?

≥18[126(1)]2

n n n n +++-＝

8163

n n ++2

21n n >++1n S +=

综上所述，当1n =，2，3时，

11+

S b ，当4≥n 时，

11+>n n

S b .

【方法探究】通过对有限个特例进行考察，猜想一般的结论，然后运用数学归纳法证明，即“观察――猜想――证明”，这是中学数学中重要的解题方法，可有效解决探索性问题、存在性问题或某些与自然数有关的命题，在求解时注意“猜想大胆、求证小心”.

【技巧点拨】放缩法是证明不等式的常用方法，过程简洁，但有一定难度，犹如花中的玫瑰，美丽但有刺. 成功运用放缩法求证的关键在于把握放缩尺度，在平时训练中注意多积累与整理.常见的放缩技巧有：

2009年高考数学第二轮复习压轴题

（1）添项或减项的“添舍放缩”，如本例12233

113(1222)2

n n n C C C ?>

+?+?+?，只取(21)n

+的

二项展开式的前四项进行放缩；

（2）拆项对比的“分项放缩”；

（3）运用分数的性质放缩，如①分子增加正数项或分母减少正数项，分数值变大，反之变小；② a, b, m 都是正数并且a b <，有

a a m

b b m +<

+（真分数的性质）等.

（4）运用不等式串

)

1(11)

1(12

<+n n n

n n 放缩，如在第3讲例2第（2）问中求证2

3π<

n T 时，

运用该技巧放缩后，再裂项相加求解.类似的不等式有2

()

a b ab +≤

≤

a b +，

<等.

1.已知函数()2x f x m t =?+的图象经过点A （1，1）、B （2，3）及C （n S n ,），n S 为数列{}n a 的前n 项和，*

n N

∈. （1）求n S 及n a ；（2）若数列{}n b 满足22lo g 1n n b a =+，记1

1111n

i i

i n n b b

b b b b b b b b =++

∑ （*

n N

∈）求证：

i i

i b b

=+≤

∑.

2.第七届国际数学教育大会的会徽的主体是由一连串直角三角形演变而成，其中O A ＝A B ＝B C ＝C D

＝D E ＝E F ＝F G ＝G H ＝H I ＝1.若将图2的直角三角形继续作下去，并记O A 、O B 、… 、O I 、……

的长度所构成的数列为{}n a （1）求数列{}n a 的通项公式（2）若函数2

111()n

f n n a n a n a =+

++++…+

，求函数()f n 的最小值；

（3）设11n n n

b a a +=+，数列｛n b ｝的前n 项和为n S .解不等式|2|4n S -≥

3.已知一次函数)(x f 的反函数为)(x g ，且(1)0f =，若点1(,)n n n

a A n a +（n N *

∈）在曲线)(x g y =上，

11=a ，对于大于或等于2的任意自然数n 均有

1=--+n n n

n a a a a .

（1）求)(x g y =的表达式；（2）求}{n a 的通项公式；

O A

B C D

E F G H I

图1 图

2009年高考数学第二轮复习压轴题

（3）设)!

2(!

321++

n a a a S n n ，求lim n n S →∞

4.已知数列{}n a 与{}n b 满足下列关系：1

2a a

=（0a >），2

11()2

n n n

a a a +=

，n n n a a b a a

（n N *∈）（1）求数列{}n b 的通项公式，并化简

a a a n n --+1；

（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，当2≥n 时，n S 与a n )3

4(+是否有确定的大小关系？若有，请并加

以证明，若没有，请说明理由.

【参考答案】1.解析：（1）∵函数()2x f x m t =?+的图象经过点A （1，1）、B （2，3） ∴2143

m t m t +=??

+=? 解之得11

m t =??

=-? ∴()21x f x =-

∵函数()2x f x m t =?+的图象经过C （n S n ,） ∴21n n S =-（*

n N

∈）

∴当1n =时，111S a ==当2≥n 时，11

1222n n n n n n a S S ---=-=-= ∵当1n =时，满足12n n a -= ∴数列{}n a 的通项为1

2n n a -= 故：12n n a -=，21n

n S =-（*

n N

∈）

（2）由（1）可知121)1(21log 22

-=+-=+=n n a b n n ，则 ∴

11n n b b +＝

(21)(21)

n n -+＝

1()22121n n -

-+∴1

i i i b b -+∑

＝

1111n n b b b b b b b b ++

＝11111111(1)2

3557

n n -+

-+-++

-+ ＝

(1)2

21n -+（*

n N ∈）

∵11

(1)2

21n -+在*

n N ∈上单调递增

∴当1n =时m in 11(1)221n -

+＝1

∵

021

n >+

∴111(1)2

n -<+ 综上可得

∑=+<

≤

i i i

b 1

2.解析：（1）由题意有2211n n a a +=+∴ 2

1(1)1n a n =+-?＝n

即n a =

（2）∵2

111()n f n n a n a n a =

++++…+

∴111

1()1

2f n n n n n

++++…+

111111

(1)2

3221

22f n n n n n n n +=

+++++++…++

∴1

(1)()21221

f n f n n n n +-=

++++

＝

02122

n n >++-

∴(1)()f n f n +> 即函数()y f n =是递增数列

2009年高考数学第二轮复习压轴题

∴()y f n =的最小值为11(1)11

f ==

（3

）∵11n n n

b a a +=

∴

1)n S =-+-+…＋

∴|2|4n S -≥

即为|

2|4≥ 解之得48n ≥且n N ∈

3.分析：由)(x g 为一次函数)(x f 的反函数得)(x g 也为一次函数，所以可设()g x kx b =+；

由(1)0f =得(0)1g =，从而有1b =；由“点1(,

)n n n

a A n a +（n N *

∈）在曲线)(x g y =上，且

1=-

-+n n n

n a a a a ”确定斜率k ，一旦直线)(x g y =的解析式确定，剩下的问题水到渠成.

解析：（1）∵)(x f 为一次函数，且)(x g 为其反函数 ∴设b kx x g +=)( 由(1)0f =得(0)1g =，即1)(+=kx x g

∵()1g n kn =+且1(,

)n n n

a A n a +（n N *

∈）均在直线b kx x g +=)(上，且

1=-

-+n n n

n a a a a

∴1)1(11

=-+-

+++n

n a a a a k n

n n n ∴1)(+=x x g

（2）∵1(,

)n n n

a A n a +（n N *

∈）均在直线b kx x g +=)(上

∴11+=+n a a n

n ∴当*

N n ∈时，

212

(1)(2)n

n n n a a a n n n a a a ---?

??????

=?-?-?…21＝n!

（3）n S ＝

123!4!

(2)!n a a a n +

+ ＝

1!2!!3!

(2)!

n n +

+…

＝

(1)(2)

n n +

??++…＝

1111112

n n -+

-++

++ ＝

112

n -

∴lim n n S →∞

＝11

lim (

n n →∞

+＝

4.已知数列{}n a 与{}n b 满足下列关系：1

2a a

=（0a >），2

11()2

n n n

a a a +=+

，n n n a a b a a

（n N *

∈）

2009年高考数学第二轮复习压轴题

（1）求数列{}n b 的通项公式，并化简

a a a n n --+1；

（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，当2≥n 时，n S 与a n )3

4(+是否有确定的大小关系？若有，请并加

以证明，若没有，请说明理由. 4.解析：（1）∵n n n a a b a a

-（n N *

∈），2

11()2

n n n

a a a +=

∴1n b +＝

11n n a a a a

+++-＝

()21()2

n n

a a a

a a

a +++

-＝22

()()

n n a a a a +-＝2n b 0> ∴1lg 2lg n n b b +=

∵1113a a b a a

=- ∴1

lg (lg 3)2

n n b -=?，即1

3n n b -= ∴1

313

n n n a a --+=

故

1n n a a a a

+--＝

2n n a a a

-＝1n b +＝1

1n -+

（2）当2≥n 时，1n a a +-＝1

n n a a --+≤

1()10

n a a -（当且仅当2n =时取“＝”）

∴321()10

a a a a -≤

-，431()10

a a a a -<

-，……，)(10

11a a a a n n -<--

∴])2([10

1)2(1121a n a S a n a a S n n ---<-----

∵12a a =，254

a a =

∴651010(2)2(2)2

n n n S a n a S a a n a -

--<---- ∴1

613

1[(2)]18

9(3

n n n S n a --+<-+-

-251()18

n a <+-23()18

n a =+4()3

n a <+

故4()3

n S n a <+

第三讲解析几何型压轴题

解析几何综合题是高考命题的一个热点内容，这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、向量、数列等知识，涉及知识点多，综合性强，题目多变，解法灵活多样，能较好体现高考的选拔功能，因此这类题目常常以压轴题的形式出现.求解这类题目，注意在掌握通性通法的同时，从宏观上把握，微观上突破，在审题和解题思路上下功夫，不断跨越求解征途中可能会遇到的一道道运算难关，最终达到求解目的.

【调研1】若1F ，2F 为双曲线

222

1b y a

=的左、右焦点，O 为坐标原点，

P 在双曲线左支上，M 在右准线上，且满足1F O PM =

，

2009年高考数学第二轮复习压轴题

11OF OP OP OM

OP OM OF OP

??=

.（1）求此双曲线的离心率；（2

）若此双曲线过点N ，求双曲线的方程；（3）设（2）中双曲线的虚轴端点为1B ，2B （1B 在y 轴的正半轴上），过2B 作直线AB 与双曲线交

于A ，Ｂ两点，求11B A B B =

时，直线的方程.

分析：弄清向量表达式11OF OP OP OM

OP OM OF OP

??=

是求解本题的关键！由向量的数量积定义可知cos ,OP OM <> ＝

1cos ,OF OP <>

，即OP 是1F O M ∠的角平分线，联系1F O PM = 可判断四边形1O M PF 是菱形. 解析：（1）由1F O PM =

知四边形1PF OM 是平行四边形

又由11O F O P O P O M

O P O M O F O P

??=

知O P 平分1F O M ∠ ∴四边形1PF OM 是菱形

设焦半距为c ，则有11OF PF PM c === ∴2122PF PF a c a =+=+

由双曲线第二定义可知2

PF e PM = ，即2c a

e c += ∴2e =（1e =-舍去）（2）∵2c e a

∴2c a = ∴双曲线方程为

222

13x y

又∵双曲线过点N ∴

4313a

=，即2

3a = ∴所求双曲线的方程为

（3）由题意知()10,3B ，()20,3B -，则设直线AB 的方程为3y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y

则由2

9y kx x y =-???-=?

?有()2236180k x kx -+-=

∵双曲线的渐近线为y =

∴当k =时，AB

与双曲线只有一个交点，即k ≠ ∵122

63k x x k

-，122

183x x k -?=

∴()1212218

63y y k x x k -+=+-=

-，()2

12121299y y k x x k x x ?=-++=

又∵(

)1113B A x y =

，，()1223B B x y =-

，

∵11B A B B ⊥ ∴()121212390x x y y y y +?-++=即22

1818

939033k k

--+-?+=--

∴k = ∴直线AB

的方程为3y =-

【方法探究】平面向量是高中数学新增内容，兼有代数和几何特性，是高中数学应用最广泛的数学工具之一，解析几何是高中数学的传统重点内容，是高考中的重头戏，而平面向量与解析几何交汇命题是近三年来新高考的一个新亮点.这类综合问题大致可分三类：

（1）平面向量与圆锥曲线符号层面上的整合问题：这类题目是平面向量和圆锥曲线的简单拼盘，在平面向量刚进入高考时，比较常见，近来比较少；

（2）平面向量与圆锥曲线知识层面上的整合问题：用平面向量语言包装解析几何中元素的关系，试题

情境新颖，结合点选取恰到好处，命题手法日趋成熟，如本例求解过程中，明确向量式“1F O PM =

”与

“ 11OF OP OP OM

OP OM OF OP ??=

”含义，还原几何元素“菱形1PF OM ”是求解关键；

2009年高考数学第二轮复习压轴题

（3）平面向量与圆锥曲线应用层面的整合问题：以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题，这类问题往往更具有挑战性. 【调研2】在xoy 平面上有一系列点111(,)P x y ，222(,)P x y ，……，(,)n n n P x y ……，对每个自然数n ,点n P 位于函数)0(2≥=x x y 的图象上．以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切．若11=x ,且n n x x <+1 )(N n ∈．（1）求证数列}1{

x 是等差数列；

（2）设⊙n P 的面积为n S ，n n S S S T +

???++=

21, 求证：2

3π<

n T

分析：本题是数列与圆锥曲线的综合题，求解过程有两个关键点：

①.由⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切，从而构建关于n x 的递推关系式，突破的办法是具体化已知条件 “⊙n P 与

⊙1+n P 彼此外切”为1n n P P +

＝1n n r r ++＝1n n y y ++；

②.

经过一系列演算后得到2

111]3

(21)

n T n =

- ，如何放缩？放缩度是把握问题的关键.

解析：（1） ⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切∴11n n n n P P r r ++=+

1n n y y +=+ 两边平方并化简得1214)(++=-n n n n y y x x

依题意有⊙n P 的半径2

n n n x y r ==，222

11()4n n n n x x x x ++-=?

∵10n n x x +>> ∴112++=-n n n n x x x x ，即

112()n n

n N x x +-

=∈

∴ 数列}1{

x 是以1

11x =为首项，以2为公差的等差数列.

(2) 由（1）问有

11(1)2n

n x x =

+-?，即121

n x n =

-∴2244

(21)

n n n n S r y x n ππππ====

-，

n n S S S T +???++=21])

12(15

11[2

-+++

n π

≤])

12()32(1

313

111[-?-+

+?+

n n π

＝)]}1

213

21(

1()3

11[(211{---++-+-+n n π

＝)]1

1(2

11[--

+n π

＝

2(21)

n -

【方法探究】在04年的湖南、上海、浙江卷， 05年的上海、浙江卷，06年的重庆、山东、湖北、浙江

2009年高考数学第二轮复习压轴题

等卷都有数列与解析几何的综合问题.这类题综合性强，可以从数与形的两个角度考查理性思维能力以及函数与方程、数形结合、特殊化与一般化等数学思想.

这类试题大多以点列的形式出现的，一个点的横，纵坐标分别是某两个不同数列的项，而这两个数列又由点所在的曲线建立联系，从而数列的代数特征与曲线的几何性质熔合.求解这类题目关键在于利用曲线性质建立数列的递推式，转化为代数问题求解.

【技巧点拨】数列的判断与证明是数列的常考点，其求解过程常常从数列通项或递推式入手，通常有两种

方法：①.定义法证明数列每项与它的前项之差（比）是同一个常数，即证1n n a a +-＝d ，d 为常数（

1n n

a a +＝q ，q 为不等于零的常数）；

②.中项法证明每一项都是它的前一项和后一项的等差（比）中项，即证122n n n a a a ++=+

（22

++?=n n n a a a ）. 【调研3】在平面直角坐标系xOy

中，有一个以(10,F

和(2F

为焦点、离心率为

的椭圆，

设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴的交点分别为A ，B ，

且向量OM OA OB =+

求：（1）点M 的轨迹方程；（2）O M

的最小值.

分析：求解本例可以根据以下步骤进行：①求立椭圆的方程，得到曲线Ｃ的方程； ②求过点Ｐ的切线方程，求出点Ａ、Ｂ的坐标；③运用相关点法求点M 的轨迹方程；

④具体化O M

，转化为函数最值问题求解.

解析：

∵椭圆的焦点为(10,F

、(20,F

∴椭圆方程可写为22

221y x a b +=（0a b >>

），其中2232a b a

?+==?，解之得24a =，2

1b =

∴曲线Ｃ的方程为y =

，y '=-

设在曲线Ｃ上的动点00(,)P x y (0

，则0y =

∴过切点Ｐ的切线的斜率为0|x x k y ='==-

4x y -

，过点Ｐ的切线的方程为

0000

4()x y x x y y =--

-+ ∵点,A B 是切线与x y 、轴的交点 ∴Ａ0

,0)x ，Ｂ0

4(0,

2009年高考数学第二轮复习压轴题

设点Ｍ为(,)x y ，则由OM →=OA → +OB →得0

1x x =，0

4y y =∵点00(,)P x y

在曲线Ｃ：0y =上

∴点M 的轨迹方程为

141x

=（1x >，2y >）

(2)由（1）问可知2y ＝

11x

＝2

441

x +

∴2||O M

＝22x y +＝22

441

x x ++

-＝22

4151

x x -+

≥5＝9

（当且仅当2

411

x x -=

，即1x =>

时取等号）故当x =|OM →

|的最小值为3.

【高考前沿】切线是曲线的一个重要几何性质，而导数是求曲线切线的最有力的工具，所以从切线角度与圆锥曲线综合考查，这是高考的一个新趋势，大大丰富了解析几何的研究内容，可能成为以后高考的一个新热点.导数也是求解最值问题的最常用工具，常与解析几何交汇，以最值问题的形式出现，是高考常考常新的热点.

1.P 、Q 、M 、N 四点都在中心为坐标原点，离心率2

2=e ，左焦点)0,1(-F 的椭圆上，已

知PF 与F Q 共线，M F

与F N 共线，0PF MF ?= ，求四边形PMQN 的面积的最大值与

最小值.

2.设向量(1,0)i = ,(0,1)j =

，()a x m i y j =++ ,()b x m i y j =-+ ，且||||6a b += ，03m <<，

0x >，y R ∈. (1)求动点(,)P x y 的轨迹方程；

(2)已知点(1,0)A -，设直线1(2)3

y x =

-与点P 的轨迹交于B 、C 两点，问是否存在实数m ，使得

A B A C ?= ？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.

3.已知曲线C ：22

2(23)1k x k y k +-=+（k R ∈）.

（1）若曲线C 是双曲线，求k 的取值范围；

（2）若曲线C 是焦点在x

，求此双曲线的方程；

（3）对于满足条件（2）的双曲线，是否存在过点B （1，1）的直线l ，使直线l 与双曲线交于M ，N 两点且B 是线段M N 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 【参考答案】1.解析：∵椭圆的中心为坐标原点，离心率2

e ，左焦点)0,1(-F

∴椭圆方程为

y += ∵PF 与F Q 共线，M F

与F N 共线，0PF MF ?=

2009年高考数学第二轮复习压轴题

∴直线PQ 和直线M N 都过椭圆的左焦点)0,1(-F

不妨设PQ 的方程为1ky x =+，设11(,)P x y ,11(,)Q x y ，则12y y +

ky x x y =+???+=?

? ∴22

(2)210k y ky +--= ∴12222k y y k -+=-+，12212y y k -?=+

∴12PQ y y =-=

)2k k

+==+

(1)当0k ≠时,MN 的斜率为1k

，同理可得2

12k

M N k +=

故四边形面积2

14(2)122

52k k S PQ M N k k

＝

12(5)22

52k k

k k

-++

＝2

22252k k

∵2

2529k k

≥ ∴2

2202952k k

≤-

<++

，即

S ≤<

(2) 当0k =时,MN 为椭圆的长轴

,M N =

PQ =∴122

S P Q M N =

综合(1) (2)知,四边形PQMN 面积的最大值为2,最小值为

169

2.解析：(1)∵(1,0)i = ,(0,1)j =

，||||6a b +=

=，即为点(,)P x y 到点(,0)m -与到点(,0)m 距离之和为6

记1(,0)F m -，2(,0)F m （03m <<），则12||26F F m =<∴1212||||6||P F P F F F +=> 又∵0x > ∴P 点的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆的右半部分. ∵26a =，22c m =∴2

9b a c m =-=-∴所求轨迹方程为

=-（0,03x m ><<）

(2)设11(,)B x y =，22(,)C x y = ∴11(1,)AB x y =+ ，22(1,)AC x y =+

∴121212·()1AB AC x x x x y y =++++ 而12y y ?＝1211(2)(2)3

x x -?-＝12121[2()4]9

x x x x -++

∴AB AC ? ＝121212121()1[-2()4]9x x x x x x x x ++++++＝12121

[107()13]9

x x x x +++

若存在实数m ,使得1

A B A C = 成立，则1212107()13=0x x x x +++………………………①

2009年高考数学第二轮复习压轴题

由???????>=-+=0)(199

2),-(31y 22

2x m y x x 得222

(1)4(977)0m x x m --+-=…………………………② ∵0x > ∴22

164(1)(977)0m m =--?->△，2

124010x x m

>-，2

122

9-77010 m x x m

∴2

321940

m =

< 此时虽满足△>0，但2

122

9-7728893080010 40

m x x m

∴不存在符合题意的实数m ,使得1

·3

A B A C =

3.解析：（1）当1k =-、0k =或32

k =时，曲线C 表示直线.

当1k ≠-且0k ≠且32

k ≠

时，曲线C 可化为

111223

k k k

k +

=++- (1)

方程（1）表示椭圆的充要条件是

110223

k k k

k ++?

<- ∴解之得302

k <<

（2）∵ 曲线C 是焦点在x

∴212k a k +=，2123

k b k +=--，从而有211

223312k k k

k e k k

++-

-==+ ∴ 1k = 故曲线C 的方程为2

112

x y -

（3）假设存在直线l ，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则有???

????=-=-12112

122222

121y x y x

∴0)(2

2212221=---y y x x ，即121212122()()()()x x x x y y y y -+=-+

∵B 是线段M N 的中点 ∴221=+x x ，221=+y y

∴ 直线l 的斜率22

121=--=

x x y y k ，即直线l ：21y x =-

又直线l 与双曲线交于M N 两点，由??

???-==-1212

2x y y x 得03422

=+-x x ，此时0832416<-=??-=?，方程无实数根.即直线l 与双曲线12

y x 无交点.

故不存在满足条件的直线l . 点评：本题易忽视直线m 与双曲线交于MN 两点的隐含条件0>?，而得出存在直线l 为12-=x y 的错误结论.

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