重庆大学高数（工学下）期末试题五（含答案）

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重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷

20 — 20 学年 第 学期

(C)y???1 (D) y???C 知识点:微分方程,难度等级:1.

Cx1x

命题人: 开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:

答案: D

分析:将方程改写为考试方式：dy11?,并积分,得通解y???C,故应组题人 密 名姓 弊 作 绝 拒 、 纪 号考学肃严 、 信 守 实 级诚封年、 争 竞 平 公 班、业专 线 院学

考试时间: 120 分dxx2x题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 选(D).

得 分 3. 设空间区域?：x2?y2?z2?R2,则???x2?y2?z2dV?().

?42 (A) ?R4 (B) 3?R4; (C) 3?R4 (D) 2?R4

考试提示 知识点:三重积分计算,难度等级:2. 1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试; 答案: A

2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他4．若L是上半椭圆??x?acost?y?bsint取顺时针方向,则?Lydx?xdy的值为

人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍. ().

(A) 0 (B)

?2ab (C) ?ab (D)??ab 一、选择题(每小题3分,共18分)

知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1.

1. 如果a,b为共线的单位向量,则它们的数量积a?b?().

答案: C

(A) 1 (B) 0 (C) ?2 (D) cos(a,b) 分析: 题中半椭圆面积为?知识点:向量的数量积,难度等级:1. 2ab,要用格林公式,添有向线段

答案:D

L1:y?0(x:?a?a). 分析:a?b?|a||b|cos(a,b)=cos(a,b). 2. 微分方程????ab,??0.故选C.

x2y??1的通解是().

L??L??2dxdy1DL1(A) y?C?1 (B) y?1?C5. 设函数f(x),x?0连

续,并对x?0的任意闭曲线L,有xx 重庆大学2015版试卷标准格式

: 审题人: 命题时间: 教务处制

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?L4x3ydx?xf(x)dy?0,且f(1)?2,则f(x)?().

二、填空题(每小题3分,共18分)

n2n7. 级数?的和为__________.

(2n)!n?1?(A)4x3?12x2?24x?24 (B)4x3?12x2?24x?24 (C)x3?1 (D)x3?1 x知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,微分方程.难度等级:3.

答案:D

?(4x3y)?(xf(x))分析:由条件知,积分与路径无关,有?.即

?y?x4x3?f(x)?xf?(x).A,B选项显然不满足方程,而C含常数,也不能满足

知识点:级数的和.难度等级:2. 答案:e

??n2nn1分析: ??????e.

(2n)!n!(n?1)!n?1n?1n?1??x?acost,?8. ?c(x2?y2?z2)ds?__________,其中c为螺线?y?asint,(0?t?2?)的一

?a?bt.?方程,故选D.验证D满足,或用一阶线性微分方程求出为D. 6. 曲面z?x2?y2包含在柱面x2?y2?2x内部那部分面积

?().

段.

知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1. 答案：

2?(3a2?4?2b2)a2?b2. 3(A) ? (B) 2? (C) 22? (D) 3? 知识点:曲面面积,难度等级:2. 答案:B

分析: 在xOy投影区域D:x2?y2?2x,化为二重积分为??2dxdy=

D解: 弧长的微分为ds?a2?b2dt,于是

?c(x?y?z)ds?a?b22222?2?0(a2?b2t2)dt?2?(3a2?4?2b2)a2?b2. 32?,选B.

9. 过已知点A(1,2,?1)和B(?5,2,7)作一平面,使该平面与x轴平行,则该平面方程为__________.

知识点:平面方程,难度等级:2. 答案:y?2?0.

ijk分析:平面的法向量n?AB,且n?i,取n?AB?i??606?(0,6,0),过

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点A(1,2,?1),平面方程为0?(x?1)?6?(y?2)?0?(z?0)?0,即y?2?0. 10. 函数u?x在点(1,2,?1)处沿a?(1,2,?2)方向的方向导数为______.

yz12. 设?是圆锥面z?x2?y2被圆柱面x2?y2?2ax所截的下部分,则??(xy?yz?zx)dS?__________.

?知识点:函数的方向导数.难度等级:1

1答案：.

6知识:对面积的曲面积分,对称性.难度等级:3.

1323?2. 3解 : a?(1,2,?2)?cos??,cos??,cos???u?x?u?y?y?x(1,2,?1)z答案:642a4. 15zyz?1(1,2,?1)

1?;2(1,2,?1)分析: 曲面关于x轴对称,xy?yz为关于y的奇函数,故只需算

zx的积分值,

?2acos?

?0;?xylnx?zyz?1(1,2,?1)??zxdS??Dxy??x?yx2dxdy?22?2??2d??02r3cos?dr?64152a4.

z?u?xylnx?yzlny?0.

(1,2,?1)?z(1,2,?1)

?u111????. ?a236三、计算题(每小题6分,共24分)

13. 计算积分?c(2a?y)dx?xdy,其中c为摆线

x?a(t?sint),y?a(1?cost)(0?t?2?)

11.设?为平面3x?2y?23z?6在第一卦限的部分的上侧,将

??Rdxdy?Pdydz?Qdzdx化为对面积的曲面积分的结果为

__________.

?的一拱.

知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:2

分析:已知了积分路径的参数方程,直接代入计算积分. 解: 由题设dx?a(1?cost)dt,dy?asintdt.于是

知识点:两种曲面积分之间的转换.难度等级:2. 答案:??(P?Q??352523R)dS. 5分析:第二型曲面化为第一型曲面积分,只需求出有向曲面侧的单位法向量,与被积向量函数作内积即可,平面法向量为

?c(2a?y)dx?xdy??2?0?[(2a?a(1?cost)]a(1?cost)?a(t?sint)asint?dt

?3,2,23?,长度为5故得结果.

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2??a2?0tsintdt2???a2?tcost?sint?0 ??2?a2.z2dxdy2z(x2?y2)????2dV?0. 222222??x?y?z(x?y?z)??又???14. 求xsin?d??(x?2xcos??cos?)dx?0的通解.

32R2?y2?R2?y2xdydz???dydz???dydz 2222222x?y?zR?zR?z?1?2知识点:微分方程,变量代换,一阶线性微分方程.难度等级:2 分析:sin?d??dcos?,若令cos??z,原方程可化为一阶线性方程.

cos?dx解: 将原方程改写为?xsin?d???2cos?dx?xdx. 2x

?2??DyzR2?y2R2?z2R1dzR2?z2??R

R2?y2dy?2?R?R?2??221zR?2[arctan]?RR?RR2 R.cos?dx令y?cos?,则dy??xsin?d??.于是方程化为 2xxdy?2xy?x. dxxdydz?z2dxdy?2???2?R. 22x?y?z2?16. 计算第二类曲线积分

这是一阶线性非齐次方程.由通解公式

y?e?x(?xexdx?C)?21故cos??x?Cxe?x.

22221?Ce?x. 2222ydx?zdy?xdz,其中L为球面?Lx2?y2?z2?R2与柱面对x2?y2?Rx(z?0,R?0)的交线,其方向是面

对着正x轴看去是反时针的.

知识点:对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,对称性.难度等级:3

15. 计算

xdydz?zdxdy222,其中是由曲面及平面x?y?R?222??x?y?z?2分析: 利用斯托克斯公式,合一投影,并注意对称性的使用.

dydzdzdxdxdy???

?x?y?zy2z2x2. z?R,z??R(R?0所围成立体表面外侧)知识点:对坐标的曲面积分,高斯公式.难度等级:3 分析:利用高斯公式并注意对称性. 解:利用高斯公式,并注意对称性,知

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解:

?Ly2dx?z2dy?x2dz???? 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页

??2??zdydz?xdzdx?ydxdy

???2??(x?DxyxyR?x?y222

?y)dxdy1?11由于?2收敛,故级数?(en?1?)收敛.

nn?1nn?1? ??2??xdxdy

Dxy?x2y2?18．求函数z?x?3y?2x在闭域D??(x,y)|??1?上的最大值

94??22和最小值.

xyR2?x2?y2?y是关于y的奇函数)

(∵Dxy关于x轴对称,f(x,y)? ??2?2?cos?d??0?2知识点:二元函数在闭区域上的最值.难度等级:2

分析:先求函数的驻点,得到在区域内部可能的最值点,然后求边界上可能的最值点.

?zx?2x?2?0x2y2解:由?得D内驻点(1,0),且z(1,0)??1.在边界??1上

z?6y?094?y?Rcos?r2dr

43???R?2cos4?d?03 ???4R3. z1??x2?2x?12 z1???x?2?0.

z1(?3)?152313??3?x?3?.

四、解答题(每小题6分,共12分)

17．判断级数?(e?1?)的敛散性.

n?1?1nz1(3)?3.

1n比较后可知函数z在点(1,0)取最小值z(1,0)??1在点(?3,0)取最大值z(?3,0)?15.

知识点:级数敛散性的判断.难度等级:2 分析:取?1n1用比较判别法的极限形式. 2nn?11xxn?lime?1?x?lime?1?1.

x?0x?02x1x22n2?五、 证明题(每小题6分,共12分)

19．设函数F(x,y,z)具有一阶连续偏导数,且对任意实数t有

F(tx,ty,tz)?tkF(x,y,z)(k是自然数),试证曲面F(x,y,z)?0上任一点的切

解: limn??e?1?重庆大学2015版试卷标准格式

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