方程整数解问题

方程整数解问题 姓名 学号

1. 因式分解法 例1. 例2.

练习1.求方程2xy?5?4y?x的正整数解

2. 变量分离法

求方程x2?y2?868的正整数解 求方程xy?x?y?6的整数解

4是整数，则整数a的取值为 a?14 若代数式是正整数，则整数a的取值为

a?1引例1.若代数式例3.

练习2.已知方程xy?3x?5y?77，x，y为整数，则满足条件得所有对（x，y）的组数为

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求方程2(x?y)?xy?7的正整数解

3. 选取主元法（△法） 例4.

已知a2x2?(3a2?8a)x?2a2?13a?15?0（其中a为非负整数）至少有一整数根，

则a=

変题1.若两个实根都是整数，则a= 変题2.若a是整数，则a= 例5.

设关于x的二次方程(k2?6k?8)x2?(2k2?6k?4)x?k2?4的两根都是整数，求

满足条件的所有整数k的值。

変题1.若改整数k为实数，则k的值又如何。 例6.

设m为整数，且4?m?40，方程x?2(2m?3)x?4m?14m?8?0有两个整数根，求m的值及方程的整数根。

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22例7.

已知方程x2?(k?3)x?k2?0的根都是整数，求整数k的值及方程的根。

例8. 当x为何有理数时，代数式9x?23x?2的值恰为两个连续的正偶数的乘积。 例8.

求方程2x2?y2?2xy?4x?30?0的有理数解的个数

2变题1.若改有理数解为正整数解，则解的个数有几个。

练习3.求3x?4xy?3y?35的正整数解

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22练习4.已知k为正整数，关于x的一元二次方程x2?x?10?k(k?1)有一个正整数根，求这个正整数根及k的值

练习5.一直角三角形的两条直角边长为整数，且满足关于x的方程x2?(m?2)x?4m?0，试求m的值及此直角三角形的三边的长。

练习6.当m时什么整数时，关于x的一元二次方程mx?6x?9?0与

2x2?4mx?4m2?4m?5?0的根都是整数。

练习7.求所有正整数a，使得方程x?ax?4a?0仅有整数根。

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2三、韦达定理

例1.求满足下列条件且使关于x的方程kx2?(k?1)x?(k?1)?0的根都是整数的k的值。 ①k是整数 ②k是实数

练习1.求整数k使得关于x的二次方程(k?1)x2?(k?5)x?k?0的根都是整数。

练习2.试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2?(r?2)x?3r?2?0有根且只有整数根。

四、分离参数法

例1.试求所有的正整数a，使方程ax?2(2a?1)x?4(a?3)?0至少有一个整数解。

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