八年级下册数学《勾股定理》勾股定理的认识 知识点整理

勾股定理

一、知识回顾

1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

即如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。那么这个三角形是直角三角形。

3、直角三角形的性质

（1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°→∠A+∠B=90°；

（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

二、典型例题

例1：如图在直角坐标中，点A，点B的坐标分别为（-4，0），（0，3），则AB的长为（ ）

A．2 B．2.4 C．5 D．6

分析：直接根据两点间的距离公式解答即可．

解答：∵点A，点B的坐标分别为（-4，0），（0，3），

故选C．

分析：设等边三角形的边长是a，所以在直角三角形△ABD中，由勾股定理求解。

解答：如图所示设这个等边三角形的边长是a，

例3：（2010·南宁）如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

分析：先根据勾股定理求出AD的长度，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．

解答：过D点作DE⊥BC于E．

∵∠A=90°，AB=4，BD=5，

∵BD平分∠ABC，∠A=90°，

∴点D到BC的距离=AD=3．

故选A． 例4：（2001·甘肃）等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，顶点C的坐标为__________。

分析：由题意知，点C是y轴上，且△AOC是直角三角形，故可由勾股定理可求得OC的长．

解答：由已知可得：

例5：△ABC的三边满足a2+b2+c2=ac+bc+ab，则△ABC是（ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形

分析：分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2再化简得（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2

=0，得出：a=b=c，即选出答案．

解答：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：

2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，

即a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0，

即（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，

解得：a=b=c，

所以，△ABC是等边三角形．

故应选C． 例6：（2012·荆门）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，求PE的长。

分析：△ABC是等边三角形，所以∠ABC=60°，BD是角平分线，所以∠ABD=∠DBC=30°。结合直角三角形的性质：直角三角形中30°所对的边长是斜边长的一半。

解答：∵△ABC是等边三角形

∴所以∠ABC=60°

又BD是角平分线

∴∠ABD=∠DBC=30°

在RT△BQF中，BF=2

∵∠DBC=30°

∴FQ=1/2 BF=1

∴BQ2=BF2-FQ2 =4-1=3，

又点Q是BP的中点

∴PE=1/2 BP=BQ

三、解题经验

在直角三角形中有很多特殊的地方，要们要多做题目来累计经验。灵活运用勾股数可以提高解题效率，当然在解答题中不能直接根据这个得出结论。做此节题目时多画图，多观察。

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