2010版实变函数复习思考题
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实变函数复习题2010版
实变函数复习思考题
一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确答案,并将正确答案的序号填在题后的括
号内.)
1. E是实数全体,则E是( ).
A. 可数; B.不可数; C.有限集; D.不可测集. 2. 有限个可数集的并集是( ).
A.可数; B.不可数; C.有限集; D.以上都不对. 3. 若A是有限集或可数集,B是不可数集,则( ).
A. A?B是可数; B. A?B是不可数; C. A?B?c; D. A?B?B. 4. 设f(x)是定义在E??n上的实函数,则下列式子不成立的是( ).
1??A.E[f?a]??Ef?a?; B.E[f?a]???n??n?1????E?fn?1???a?1?; ?n??C. E[f???]??E[fn?1?n]; D. E[f?a]??E?a?n?1f?a?n?.
5. 设Q是R1中有理数全体,则在R1中Q的导集Q?是( ). A. Q; B. ?; C. R1 ; D. R1\\Q. 6. 设?Gn?是一列开集,G???Gn?1n,则G一定是( ).
A.开集; B.闭集; C. G?型集; D. 开集,也是闭集. 7. 设?G?????是一族开集,G??G???? ,则G一定是( ).
A.开集; B.闭集; C. G?型集; D. 开集,也是闭集. 8. 设?F?????是一族闭集,F??F?,则F???一定是( ).
A.开集; B.闭集; C.F?型集; D. 开集,也是闭集. 9. 设?Fn?是一列闭集,F???Fn?1n,则F一定是( ).
A.开集; B.闭集; C.F?型集; D. 开集,也是闭集. 10. 设Q是?中有理数全体,则mQ?( ).
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实变函数复习题2010版
A.0; B.??; C.1; D.不存在. 11. 关于Cantor集P,下述说法不成立的是( ).
A. P无内点; B. P中的点都为孤立点; C. P中的点都为聚点; D. P是闭集. 12. 设E是任一可测集,则( ).
A.E是开集; B.E是闭集;
C.???0,存在开集G?E,使得m(G\\E)??; D.E是F?型集或G?型集.
13. 设?En?是一列可测集合,且E1?E2???En??,则有( ). ??????A.m??En??limmEn; B. m??En??limmEn;
?n?1?n???n?1?n????????C. m??En??limmEn; D. m??En??limmEn.
?n?1?n???n?1?n??14. 设?En?是一列可测集合,且E1?E2???En??,mE1???,则有( ). ??????A.m??En??limmEn; B. m??En??limmEn;
?n?1?n???n?1?n????????C. m??En??limmEn; D. m??En??limmEn.
?n?1?n???n?1?n??15. 设E?Rn,mE???,?fn(x)?在E上几乎处处收敛于f(x).则( ). A.?fn(x)?在E上处处收敛于f(x);
B.?fn(x)?在E上依测度收敛于f(x);
C. ?fn(x)?在E上一致收敛于f(x);
D. 存在?fn(x)?的子列?fn(x)?,使得?fn(x)?在E上一致收敛于f(x).
ii16. 设f(x)是可测集E上的可测函数,则对任意的实数a,有( ).
A.E[f?a]是闭集; B.E[f?a]是开集; C. E[f?a]是零测集; D.以上都不对.
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实变函数复习题2010版
17. 设f(x)是定义在E上的实值函数.令f(x)?max?f(x),0?,f(x)??min?f(x),0?,则下
??述哪个说法不成立的是( )
A.f?(x)与f?(x)都是定义E上的非负函数; B.f(x)?f?(x)?f?(x),f(x)?f(x)?f(x); C.E[f????0]?E[f??0]??;
D.f(x)在E上可测?f?(x)与f?(x)都在E上可测.
18. 设?fn(x)?是可测集E上的几乎处处有限的可测函数,则下述命题中是( )错误的. A.sup?fn(x)?是可测函数; B.inf?fn(x)?是可测函数;
nnC. 若fn(x)?f(x),则f(x)是可测的; D.若fn(x)?f(x),则fn(x)? f(x). 19. 设在可测集E上fn(x)?f(x),fn(x)?g(x).则( ). A.f(x)?g(x),x?E; B. f(x)?g(x),x?E;
C. f(x)?g(x)a.e.于E; D. ?f(x)dx?E?Eg(x)dx.
20. 设f(x)是可测集E上的可测函数,则f(x)是( ).
A. Lebesgue可积函数; B. f(x)在E上几乎处处连续;
C.存在简单函数列??n(x)?使?n(x)?f(x)a.e于E; D. mE[f???]?0. 21. 设f(x)是可测集E上的非负可测函数,则f(x)( ).
A.是E上的连续函数; B.是E上的勒贝格可积函数;
C.是E上的简单函数; D.在E上的积分确定.
22. 设f(x)是可测集E上的有界可测函数,则 ( ).
A.存在简单函数列??n(x)?使在E上一致收敛于f(x); B.f(x)是E上的勒贝格可积函数;
C. f(x)是E上的黎曼可积函数; D.f(x)在E上的积分确定.
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实变函数复习题2010版
二、填空题:
11??1. 设Ai??1?,1?,i?1,2,?.则?Ai? .
??ii??i?11??2. 设Ai?0,1??,i?1,2,?.则?Ai? .
?i??i?1??????3. eS??An?? ,eS??An?? .
?n?1??n?1???4. 设?An?是Rn中任意一列集合,则limAn? ,limAn? . n??n??5. 设An?0,1?,.则limAn? . ??n?1,2,?n??n??6. 设?An?是一列集合,令Bn? ,则?Bn?是一列互不相交的集合,且?An?n?1???1??Bn?1n.
7. 给出(?1,1)与(??,??)之间的一一对应关系 .
n8. 设E?Rn,x0?R,则称x0是E的内点是指 .
n9. 设E?Rn,x0?R,则称x0是E的外点是指 .
n10. 设E?Rn,x0?R,则称x0是E的聚点是指 .
n11. 设E?Rn,x0?R,则称x0是E的孤立点是指 .
n12. 设E?Rn,x0?R,则称x0是E的界点是指
.
13. 设E?Rn,若 ,则称E是开集. 14. 设E?R,若 ,则称E是闭集. 15. 设E1是[0,1]中的全部有理点,则E1在R内的E1?? ,E1? ,E1? . 1?n第 4 页 共 11 页
实变函数复习题2010版
16. 设E2??(x,y)x2?y2?1?,求E2在R2内的E1?? ,
?E1? ,E1? .
17. 设P表示Cantor集,则P 完全集; P 内点;P? ;mP? .
18. 设(X,d)是度量空间,?Pn??X,P0?X,则limPn?P0是指 n?? .
19. 设E?Rn,则E的L外测度定义为:m?E? 其中 .
20. 设E?Rn,则称E是L可测的是指: .
21. 设E?Rn,?fn(x)?在E上依测度收敛于f(x).则存在?fn(x)?的子列?fn(x)?,使得
i?fni(x)在E上 收敛于f(x).
?22. Rn中可测集的全体所成的集类?是一 代数. 23. 设E表示(0,1)中的无理数构成的点集,则E? .
24. 设E是平面上单位正方形[0,1]?[0,1]中坐标都是有理数的点组成的集合,则
mE?__________.
25. 设f(x)是定义在可测集E?Rn上的广义实值函数,则称f(x)在E上是可测的是指: .
26. 函数f(x)? 是不可测函数,其中 .
s27. 若?(x)的定义域E可分解为有限个互不相交的可测集合E1,E2,?,Es,E??Ei?1i,且当
x?Ei时,?(x)? ,i?1,2,?,s.则称f(x)是简单函数.
28. 设⑴mE??;⑵?fn(x)?是E上一列几乎处处有限的可测函数;⑶limfn(x)?f(x)a.e.于E,
n??且f(x)??a.e.于E.则???0,?E??E,使得mE???,而?fn(x)?在 上一致收敛于f(x).
29. 设f(x)是E上a.e.有限的可测函数,则???0,存在闭子集F??E,使f(x)在 上是连续函数,且m(E?F?)??.
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实变函数复习题2010版
五、计算题:
1.设A2n?1??0,??1??,A2n?(0,n),n?1,2,?,求集列?An?的上限集与下限集. n?3?x?,x?Q[0,1],2. 设f(x)?? 问f(x)在[0,1]上黎曼可积吗?勒贝格可积吗?若可积,则计算
x?Q[0,1].??1,其积分值. 3. limn???10nx224. limn????1?nx1nx2??sinxdx. dx. e?x501?nxn25. limln(x?n)n??0cosxdx.
6. limn?????0xdx.
n7. 设f(x),g(x)是定义在可测集E上的可测函数,且f(x)?g(x)a.e.于E,若f(x)可积,则
??x,x?Q[0,1],f(x)dx这里f(x)??
??x,x?Q[0,1].g(x)也可积,并由此计算?[0,1]8. limn???dt(0,??)t?n?1???tn??x?Q[0,1],x?Q[0,1].n1.
9. 计算?
[0,1]??1,f(x)dx,其中f(x)????0,
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