排列与组合

第五章 排列与组合 （1）

【考点解读】

考点 内容解读 1、.理解分类计重庆市4年高职考试统计（分值） 常考题型 2012 2013 2014 2015 数原理和分步计第一节 数原理，能区分 计数的基本原它们的使用条件理 和方法 2、能运用原理分析解决一些简单的实际问题。 1、.理解排列、组2 2 2 2 计算题 合的概念，能正确识别排列、组合问题 .2掌握排列、组第二节 合数的计算公排列、组合的概式，了解组合数念与计算 的两个性质 3.能用排列、组合的知识处理一些简单的应用题 1、能进一步正确5 7 7 7 选择题 识别排列问题、组合问题 第三节 2、.能用排列组排列、组合的应合的知识解决一用 些简单的有限制条件的应用题 掌握一些常用方法。 【分析解读】 排列与组合在近几年高职考试中以选择题或填空题为主，主要考查： 1、排列、组合的理解，排列问题、组合问题的正确识别； 2、排列数、组合数公式的计算，了解组合数的两个性质

3、用计数原理和排列组合的知识处理一些简单的有限制条件的应用题

第一节 计数的原理 【知识要点】 一、计数原理：

1、分类计数原理（加法原理）：完成一件事件有n类不同办法，在第一类办法中有m1种不的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事总共有N?m1+m2+?+mn种不同的方法。

2、分步计数原理（乘法原理）：完成一件事需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法、、、、、，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事总共N? m1·m2·?mn种不同的方法。

注：两个计数原理的关键是把握住“类”与“步”的关系，若事件各类都能单独完成，则是“分类”，若事件必须要若干步才能完成的，则是“分步” 【典例解析】 【例1】

将六封不同的信投入3个信箱，则不同的投法有（ ） A． 9种 B． 18种 C． 216种 D． 729种

【分析】：每封信都有3种选择，由乘法原理得：3?3?3?3?3?3=36=729

【答案】D 【变式训练】

某长途客车站有6个售票窗口，4名乘客各选一个窗口购票，共有 种不同的选择方

4

法。（答案6） 【例2】

由数字0，1，2，3，可以组成 个没有重复数字的两位偶数

【分析】组成没有重复数字的两位偶数，有两类办法：一类是以0为个位数字，另一类是以2为个位数字；当个位数字是0时，十位数字只有数1，2，3三种方法，当个位数字是2时，由于0不能排在首位，十位数字只有数1，3两种方法，故根据加法原理，共可组成3+2=5个没有重复数字的两位偶数。 【答案】5 【变式训练】

由数字1，2，3，4可以组成 个没有重复数字的两位奇数。（答案6） 【例3】 图书室有3种不同的杂志，4种不同的科技书，5种不同的小说书

（1）从中任借一本，有几种不同的借法？ （2）从中各借一本，有几种不同的借法？

（3）从三类书中借2本不同类的书，有几种不同的借法？ 【分析】 此题主要考虑两个计数原理的区别及综合运用

【答案】解：杂志有3种不同的借法，科技书有4种不同的借法，小说有5种不同的借法。 （1）从中任借一本，由加法原理知共有3+4+5=12种不同的借法

（2）从中各借一本，由乘法原理知共有：3?4?5=60种不同的借法

（3）从中借2本不同类的书，借法可分为三类：杂志与科技书，杂志与小说书，科技书与小说书，而每类又分为二，由两个计数原理知共有3×4+3×5+4×5=47种不同的借法。 【变式训练】

1、苹果5个，梨子7个，芒果3个，（1）若从中任取1个，则不同的取法共有 种，（2）若从中各取1个，则不同的取法有 种；（3）从3类水果中取2个不同类的水果有 种不同的取法。（答案：15；105；71） 2、某班有6名男三好学生，4名女三好学生 （1）从中选一人去颁奖，有多少种选法？

（2）从中选男生、女生各一名去颁奖，有多少种选法？ （3）从中选3人，要求不能同一性别，有多少种选法？ （答案：10；24；96） 【方法点拨】

在解决此类问题时，首先要弄清所提问题是属于分类还是分步，在综合分析问题时，必须做到不重不漏。

【同步精练1】

一、选择题（每题7分）

1、教学楼每层楼有四个楼梯，二、三层有两个楼梯不能过，则从一至四楼的不同走法有（ ）种

A． 32 B． 16 C．20 D．64 2、三本不同的书放四个书架，有（ ）种不同的放法

3A． 3 B． 4 C． P43 D．C4

4

3

3、若x、y分别在0，1，2，??，9中取值，点P(x,y)在第一象限的个数有（ ） A． 81 B．100 C．99 D．91 4、用0，1，2，?．．．，９组成８位电话号码，其中以６为首位的电话号码有（ ）个

A． １０ B． １０ C． １０ D． １０ ５、山前有4条路，山后有3条路，一个人由山前上山，然后下山，他的路线共有（ ）

A． 7种 B．12种 C．28种 D．21种

６、5个人站成一排唱歌，甲只能站在两端，不同的排队方法共有（ ） A．6种 B．10种 C．24种 D．48种

二、填空题（每题8分）

１、某人从甲地到乙地，可以乘火车也可以乘轮船，在这一天的不同时间中，火车3班，轮船4班，则此人的走法有种 选择。

２、一口袋里装有５个小球，另一口袋里装有４个小球，这些小球的颜色各不相同，从两口袋中各取一个小球有 ———种不同的取法。

3、某校学生会由高一学生４人，高二学生５人，高三学生６人组成，现要选派不同年级的２人参加市里组织的活动，有 种不同的选法。

三、解答题 1（10分）、从甲地到乙地，一天中有汽车８班，火车３班，轮船２班，某人一天中乘坐

６

７

８

５

不同班次的汽车、火车、轮船从甲地到乙地有多少种不同的走法？ ．

2（12分）、５位应界中职毕业生，报考三所高校，每位必须报且只报一所高校，有多少种不同的报名方法？

３（12分）、某中职学校高二计算机（1）班6人、计算机（2）班8人、计算（3）班10人参加数学兴趣小组：

（1）选一人当组长，有多少种不同的选法？

（2）从中选出正、副组长各1人，有多少种不同的选法？

（3）推选两位学生参加市数学大赛，要求这两人来自不同班级，有多少种不同的选法？

第二节 排列、组合的概念及计算 【知识要点】 一、排列

1、 定义：从n个不同元素中，任取m（m?n）个不同元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个排列。当m?n时，叫全排列，当m?n时叫选排列。

2.、排列数：从n个不同元素中取出m个不同元素的所有排列的个数，叫做从n个不同

m元素中取出m个不同元素的排列数，记作pn.

3.、 排列数公式：Pnm?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)=

n!

(n?m)!Pnn?n?n?1??n?2??2×1=n！

注：（1）规定0！=1

（2）排列问题一定与元素的顺序有关

二、组合

1、定义：从n个不同元素中，任取m（m?n）个不同元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合。

2、组合数：从n个不同元素中取出m个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同

m元素中取出m个不同元素的组合数，记作Cn。

Pnmn!3、组合数公式：C?=

m!m!(n?m)!mnmn?mmmm?14、组合数的性质：Cn ?Cn,Cn?1?Cn?Cn0注：（1）Cn?1n Cn =1

(2 ) 组合问题与元素的顺序无关

【典例解析】 【例1】计算：

4！-P52C34

【分析】这是关于排列数、组合数公式的计算问题。 【答案】1

2x?1【例2】（2003年高考题）若C8?C8x?3，则x的值为（ ）

A． 1或2 B． 3或4 C． 2或4 D． 1或3

mn?mmm【分析】：这是一个组合数性质2的问题，Cn和Cn都成立！ ?Cn?Cn【答案】

2x?1解：因为C8?C8x?3

所以2x-1=x+3或2x-1+x+3=8 则x=4 或x=2 故选C． 【方法点拨】

mn?mmm根据组合数的性质Cn和Cn满足等式的x的值应有两个。 ?Cn?Cn【变式训练】

x1、（2001年高考题）C5?1是“x=5的（ ）

A．充分条件 B．必要条件

C．充要条件 D．非充分且非必要条件 (答案：B)

2xx?72、若C25，则x= 。 ?C25(答案：7或6)

【例3】(2002年高考题）从7位班委中

（1）选出正副班长各一人，共有种不同的选法？ （2）选2人参加某项活动，共有种不同的选法？ 【分析】这是一个简单的排列、组合的应用问题。 【答案】（1）42；（2）21。 【例4】（2002年高考题）参加世界足球比赛共有32支球队，分成8个小组，每个小组4支球队进行小组赛，小组比赛进行的方式是：每个小组的每支球队之间都要进行一场比赛，那么小组赛阶段总共会进行的比赛场数是（ ）

A． 24 B． 32 C． 48 D． 54 【分析】小组赛每两支球队对应一场比赛，每个小组的比赛场数实质上是一个4选2的组合问题。

2【答案】解：因为每个小组内部赛C4=6场

2所以8个小组共比赛8C4=8×6=48场

故选C．

【方法点拨】排列问题一定与元素的顺序有关，组合问题与元素的顺序无关。 【变式训练】

95961、计算 （1）P32 +4！ （2）5C100-96C100

2、三年级计算机1班七位要好的同学，毕业后约定， （1）互通一次电话，共需打多少次不同的电话？ （2）互写一封信，共需写多少封不同的信？ 3、（2001年高考题）用数字0、1、2、3、4组成不含重复数字的自然数，其中大于10000的奇数共有多少个？ 答案：1、（1）30,(2)0; 2、(1)21,(2)42; 3、36。

【同步精练2】

一、选择题（每题7分）

1、（2003年高考题）由数字1、2、3、4、5这5个数字组成没有重复数字的三位数，那么在这些三位数中，是奇数的共有（ ）

A． 120 B． 48 C．36 D．24 2、（2008年高考题）为迎接今年的北京奥运会，某学校组织班级单循环篮球比赛，全校共有6个班，每班组织一个篮球队，每个队与其他各队比赛一场，则共需比赛的场数是（ ）

A．12 B． 15 C．20 D．30

3、 从10名运动员中选出3名参加比赛，则不同的选法有（ ）

33A．P10 B．C10 C．10 D． 3

310

m4、与Cn 相等的式子是（ ）

A．

n!m!n!n! B． C． D． m!n!(n?m)!m!(n?m)!(n?m)!5、.若n∈N,n＜55, 则乘积（55-n）(56-n)、、、（69-n）等于（ ）

55?n151514PPPP69?n69?n55?n69A． B． C． D．?n

6、把10名学生分成两组，一组6人，一组4人，不同的方法有（ ）种

4464646CC?CCCCP10101010101010A． B． C． D．

二、填空题（每题8分）

2xx?71、若C25，则x= 。 ?C25x562、已知Cx?2?Cx?1?Cx?1，则x= 。

3.、 用排列数符号表示6?7?8?9?10?11? 三、解答题 1（10分）、 用0、1、2、3、4、、、9这十个数字组成五位数，其中奇数有多少个?

2（12分）、某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手。从中选出5名参加一项比赛，那么，最多选一名种子选手的不同选法有多少种？

3（12分）、从5个男同学和4个女同学中各选出2人，

（1）组成学习互动小组，有多少种选法？

（2）担任不同学科的科代表，有多少种不同的选法？

第三节 排列、组合的应用

【知识要点】

1、能进一步区分排列问题与组合问题；

2、较熟练地掌握解决简单的有限制条件的排列与组合问题的常见方法。 【典例解析】

【例1】5名同学照相，下列情况各有多少种不同的排法？

（1）站成两排照相 （2）（2005年高考题）站成一排，甲必须站在最中间 （3）（2004年高考题）站成一排，甲、乙二人相邻而站 （4）站成一排， 甲、乙不能相邻而站 （5）站成一排， 甲必须站在乙的右边 （6）站成一排， 甲不站排头，乙不站排尾

【分析】此题是典型的排列问题，其中（2）--（6）小题应认真分析特殊元素在排列中的位置关系及排法不重不漏。

【答案】解：（1）5人进行排列，故共有P55=5!=5?4?3?2?1=120种

（2）因为甲已经站在指定位置上，剩下的4人进行排列，故共有P44=4！=4?3?2?1=24种

（3）用“捆绑”法把甲、乙看作一个整体，与其它3人进行的全排有P44种，甲、乙二人的全排有P22种，故共有P44P22=48种

（4）解一：甲、乙两人除外，剩余的3人进行的全排有P33种，再用“插空法”，3人产生4个空位，甲、乙两人插定的排法有P4种，故共有P33P4=6?4?3=72种

解二：先不管甲、乙二人是否相邻，5人进行全排，有P55种，再减去甲、乙二人

相邻后的情况P4P2, 共有P55?P44P22=120-48=72种

（5) 甲站在乙的右边与左边的排法一样多，故甲站在乙的右边的排法有

422215P560种 2（6）解一：5人的全排中减去甲排头和乙排尾的方法，由于甲排头且乙排尾的排法被重

543复减掉，故共有P5?2P4?P3 =78种

解二：由于甲不站排头，同时考虑乙不站排尾，可将甲的站法分成两类：甲站排尾

和站在中间，第一类：甲站排尾，则5人共有P4种不同的排法；第二类（分为三步）：甲站在中间的排法有P31种，此时乙也有P31种站法，其它3人的全排有P33。故第二类有P31P31P33113种，所以共有P44?P3P3P3 =24+54=78种

4【例2】用0，1，2，3，4五个数字可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？

【分析】这一个排列问题，个位是0或2或4，该数即为偶数，由于0不能在首位是一个特殊元素，就优先处理0，采用“优先法”故分为两类。第一类：0在个位，有P43个不同的四位偶数。第二类，2或4在个位，分三步：第一步：排个位有P21种，第二步：排首位有P31种，第三步： 5个中选了2个还剩下3个数排中间两位有P32种，故共有P21P31P32。

12【答案】解：共有N=P43?P21P3P3 =60个

【方法点拨】

解排列的方法有：直接法，取“杂”法，其模型有“捆绑法”，“定位法”，“优先法”，“插空法”等。 【变式训练】

1、有n名表演者站成一排表演，规定领唱者必须站在中间，朗诵者必须站在最右侧，此时共有6种不同的排法，求n的值。

2、七位同学组成一排，下列情况各有多少种不同的排法： （1）甲乙相邻；

（2）甲站排头乙站排尾； （3）甲在中间且和乙相邻； （4）甲不在排头乙不在排尾。 3、由0、1、2、3、4、5这六个数字组成四位数，下列情况可以组成多少个不同的四位数？ （1）允许数字重复 （2）不允许数字重复

（3）不允许数字重复且是奇数 （4）不允许数字重复且是偶数

（5）不允许数字重复且是5的倍数 答案：1、n=5；2、（1）2P66，（2）P55，（3）2P55，（4）P77-2P66+P55。

（3）（1）108；（2）300;(3)144;(4)156;(5)108

【例3】平面内有10个点，其中有4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上， （1）可以确定多少条直线？ （2）可以确定多少个三角形？ （3）可以确定多少个四边形？

【分析】这是一个组合问题，两点确定一条直线，不在同一条直线上的三点确定一个三角形，四边形的任意三个顶点不在一条直线上。 【答案】（1）40条； （2）116个；

（3）185个。

【方法点拨】排列问题一定与元素的顺序有关，组合问题与元素的顺序无关。 【例4】（2015）有4个不同的球和6个不同的盒子，现从中选出2个盒子，每个盒子放入2个球，则不同的放法有（ ）

A.60种； ;B.90种 ； ;C.120种 ； ;D,180种。 【答案】B 【变式训练】

一个圆上有10个不同的点， （1）可以确定多少条直线？ （2）可以确定多少条射线？ （3）可以确定多少个三角形？

【同步精练3】

一、选择题（每题7分） 1、（2005）已知5人站一排照相，甲必须站在正中间的排法有（ ） A、 24种 B、 48种 C、96种 D、120种 2、（2007）．用1、2、3、4、5这5个数字组成没有重复数字的三位数，那么在这些三位数中是5的倍数的共有（ ）

A．48个 B．36个 C．24个 D．12个 3、（2011）两个男生两个女生站成一排照相，其中两个男生不能相邻的站法共有（ ）种 A．6 B．12 C．18 D．24

4、2012年春节期间，某小组8人约定，每位同学向小组的另外7位同学每人发一条短信问候，则他们一共发出短信的条数有（ ） A．8 B．28 C．56 D．64 5、（2013）将6本书随机地放在书架上，则其中指定的2本书放在一起的排法有（ ）

A、120种 B、240种 C、360种 D、480种

6、（2014）从数字0,1,2,3中任取3个排成没有重复数字的三位数，则排成三位数的个数为

（ ）

A、18个 B、24个 C、27个 D、64个

二、填空题（每题8分） 1、（2005）如图所示，用火柴摆成正方形图形，则第50个图形需要 根。 2、（2006）从8件产品中任意抽取3件进行检查。如果这8件产品中有2件次品，则抽出的 3件中恰有2件合格品的抽取方法有 种 3、（2008）已知一张小正方形桌子可坐4人，现按题图方式将小桌子拼凑成大桌子坐人，若要32人围坐在一张拼凑之后的大桌子旁，则需要 张小正方形桌子拼凑。

?

三、解答题 1（10分）、某小组由3名女生和7名男生组成，现从中选2人作代表去参加会议，如果要求最多一名女生当选，则有多少种不同选法？

2（12分）、我国有16支男子甲A足球队，每两个队要进行一场比赛，（1）共需安排多少场比赛？（2）如果实行主、客场制，共需安排多少场比赛？

3（12分）、现有6名同学和1名老师排成一排照相， （1）求不同的排法种数；

（2）若甲同学必须和老师相邻，求不同的排法种数； （3）若老师要排在中间，求不同的排法种数。

【单元测试】

一、选择题（每题7分）

1、（2007年高考题）用1、2、3、4、5这5个数字组成没有重复数字的三位数，那么在这些三位数中是5的倍数的共有（ ）

A． 48 B． 36 C． 24 D．12 2、（2008年高考题）从8件产品中任意抽取3件进行检查。如果这8件产品中有2件次品，则抽出的3件中恰有2件合格品的抽取方法有（ ）种

A． 6 B．20 C．30 D．56 3、（2009年高考题）一位教师与四位学生站一排照相，教师必须站在正中的站法有（ ）

A． 4种 B． 5种 C． 24种 D． 120种 4、（2008年高考题）为迎接今年的北京奥运会，某学校组织班级单循环篮球比赛，全校共有6个班，每班组织一个篮球队，每个队与其他各队比赛一场，则共需比赛的场数是（ ）

A．12 B． 15 C．20 D．30 5、（2010年高考题）三名男同学和两名女同学站成一排唱歌，其中两个女同学相邻的站法有（ ）

A．12种 B． 24种 C． 48种 D．120种

6、(2011年高考题)两个男生两个女生站成一排照相，其中两个男生不能相邻的站法有（ ）

A． 6种 B．12种 C．18种 D． 24种 7、从10名运动员中选出3名参加比赛，则不同的选法有（ ）

33A．P10 B．C10 C．10 D． 310

38、某城市的电话号码，由六位数改为七位数（首位数字均不为0，数字可重复），则该城市可增加的电话门数是（ ）

6A．8?9 B．9?10 C．8.1?10 D．2P10

6669、已知P23n?2Pn4?1，则logn25的值为（ ）

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

10、从2、3、4、7四个数字中每次取出两个数字，可以组成真分数的个数是（ ）

A． 6 B． 8 C． 12 D． 24

11、重庆、北京、上海、深圳四个民航之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票（ ）

A． 4 B． 8 C． 12 D． 6 12、5个人站成一排唱歌，甲只能站在两端，不同的排队方法共有（ ）

A．6种 B．10种 C．24种 D．48种

二、填空题（每题7分）

34413、计算：C8= ； ?C82?C9?C1014.、4名男生，3名女生排成一列，要求女生挨在一起，则有 种不同的排法。 15、从0、1、2、3、4、、、9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同的种数是

16、 5名游客投宿6家宾馆，有 种不同的投宿方法。

17、 某班50名同学，暑假期间，每2位同学互发一次电子邮件，共发 次不同的电子邮件。

18、停车场划上12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法 种 三、解答题 19（10分）、由0，1，2，3，4，5六个数字， （1）可以组成多少个无重复数字的三位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的六位偶数？ （3）可组成多少个无重复数字且比200000大的数?

(4) 可以组成多少个无重复数字，且能被5整除的四位数？

20（10分）、100件产品中有5件次品，其余为合格品。 （1）任意抽出4件进行检查，有多少种抽法?

（2）抽出的4件中恰好有2件次品的抽法有多少种？ （3）4件都不是次品的抽取方法有多少？；

（4）抽出的4件中至多有1件次品的抽法有多少种？

21（12分）、 某中职学校高三8个班级的师生为庆祝教师节，每班学生准备了一个节目，已排成节目单。开演前又增加了3个教师节目，其中2个独唱节目，1个朗诵节目。如果将这3个节目插入原节目单中，要求教师的节目不排在第一个和最后一个，并且2个独唱节目

不连续演出，那么不同的插法有多少种？

22（12分）、某小组有4名男生3名女生，现要组成一个男生人数为偶数，女生人数为奇数的环保宣传小组，求组成的方法共有多少种？

23（14分） 、一条铁路上，原有8个车站，现又增加了3个车站，那么这条铁路上要增加多少种不同站间的车票？

24（16分）、 A、B、C、D、E五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A、B两种商品必须排在一起，而C、D 两种商品不能排在一起，有多少种不同的排法？

参考答案

【同步精练1】 一、选择题

1、A; 2、B; 3、A; 4、B; 5、B; 6、D。 二、填空题

1、7；2、20；3、74。 三、解答题 1、2+3+8=13

5

2、3

3、(1)6+8+10=24; (2)24×23=552; (3)188.

【同步精练2】 一、选择题

1、C; 2、B; 3、B; 4、D; 5、B; 6、D 二、填空题

61、7或6；2、6 ；3、P11。

三、解答题

111、C5C8P83=13440；

512、C7+C2C74=91； 23、（1）C5C42=60 2（2）C5C42P44=1440。

【同步精练3】 一、选择题

1、A； 2、D ；3、B ；4、C； 5、B； 6、A 二、填空题

1、151； 2、6； 3、15。 三、解答题

1121、C3+C7 C7222、(1)c16;(2）P16

3、（1）P77； （2）P44

P22； （3）P66

【单元测试】

一、选择题

1、D; 2、C; 3、C; 4、B ;5、C; 6、B; 7、B; 8、B; 9、A; 10、A; 11、C ;12、D。

二、填空题 13、0； 14、P5518、9！。

三、解答题

19、(1)100; (2)312; (3)480; (4)108.

4244120、(1)C100;(2)C295C5;(3)C95;(4) C95+C95C5

3

2 P33； 15、20； 16、65； 17、 P501221、P88P7P8=15805440

123414322、C24C3+ C4C3+C4C3+ C4C3=28 223、P11-P28=54 2224、P22P2P3=24

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