2013届高三数学二轮精品专题卷专题11数列 - 5

2013届高三数学二轮精品专题卷：专题11 数列

考试范围：数列

（1）选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．一个等差数列的前4项是a，A．

1 2xb，b，x，则等于 （ ） 2aB．

1 3C．3 D．2

2．已知数列?an?的前n项和Sn??n2?3n，若an?1an?2?80，则n的值等于 （ ） A．5

B．4

C．3

D．2

S3?S2的值为 （ ）

S5?S33．已知公差不为0的等差数列?an?满足a1,a3,a4成等比数列，Sn为?an?的前n项和，则A．2

B．3

C．

1 D．4 54．已知数列?an?是首项为a1?4的等比数列，且4a1,a5,?2a3成等差数列，则其公比q等于 （ ）

A．1 B．?1 C．1或?1 D．2

5．已知等差数列?an?的前n项和为Sn，且满足A．

1 2S4S3??1，则数列?an?的公差是 （ ） 43B．

1 3C．2 D．3

an?an?2”的 （ ） 26．（理）对于数列?an?，“an,an?1,an?2（n=1,2,3,…）成等差数列”是“an?1?A．必要不充分条件 A．充分不必要条件

B．充分不必要条件[] C．充要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 D．既不充分也不必要条件

（文）在等比数列?an?中，“a2＞a4”是“a6＞a8”的 （ ）

7．设数列?an?是以2为首项，1为公差的等差数列，?bn?是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1?ab2?ab3???ab10等于 （ ） A．1033 A．36

B．1034 B．37

C．2057 C．38

D．2058 D．39

8．对等差数列?an?中，首项a1?0公差d?0，其前n项和为Sn，如果ak?S9，那么k? （ ） 9．已知“*”表示一种运算，定义如下关系： ①1*a?1 ②(n?1)*a?3(n*a)（n∈N*）

则n*a? （ ） D．3n

SS＞0，公比q＞10．如果等比数列?an?的首项a10，前n项和为Sn，那么4与6的大小为 （ ）

a4a6A．3n?2

B．3n?1

A．

S4S6 ?a4a6C．3n?1

B．

S4S6＞ a4a6C．

S4S6＜ a4a6D．

S4S6 ?a4a6二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上） 11．已知等差数列?an?中，S5?15,a9?13，则S11= ． 12．已知等比数列?an?中，a1?12，且有a4a6?4a7，则a3? ． 313．定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列?an?是等积数列且a1?2，前21项的和等于62，则这个数列的公积等于 ． 14．已知数列?an?满足nan?1?(n?1)an?2，且a1?2，则数列?an?的通项公式是 ． 15．设数列?an?，?bn?都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列｛lgan｝与｛lgbn｝的前n项和，且logb5a5? ．

Snn，则?Tn2n?1

（1）解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）

已知点Pn(n,xn)在函数y?2x的图象上． （1）求数列?xn?的前n项和Sn； （2）设yn?lgxn?lg

17．（本小题满分12分） 在数列?an?中，a1?311，an?2?（n≥2，n∈N*），数列?bn?满足：bn?（n∈N*）． 5an?1an?1n?1，求数列?yn?的前n项和Tn． n（1）求证：数列?bn?是等差数列；

（2）试求数列?an?中的最小项和最大项，并说明你的理由．

18．（本小题满分12分）

数列?an?的前n项和记为Sn,a1?t,点(Sn,an?1)在直线y?2x?1上,n∈N*． （1）当实数t为何值时,数列?an?是等比数列？

1（2）在（1）的结论下,设bn?log3an?1,Tn是数列的前n项和,求T2011的值．[来源:学_科_网Z_X_X_K] ｛｝bn?bn?1

19．（本小题满分12分）

已知数列?an?中，a1?1,a1?2a2?3a3???nan?（1）证明数列?nan?(n?2)为等比数列； （2）求数列n2an的前n项和Tn．

20．（本小题满分13分）

宏伟机器制造有限公司从2012年起，若不改善生产环境，按现状生产，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月递增2万元的处罚．如果从2012年一月起投资400万元增加回收净化设备以改善生产环境（改造设备时间不计）．按测算，新设备投产后的月收入与时间的关系如图所示．

（1）设f(n)表示投资改造后的前n个月的总收入，请写出f(n)的函数关系式；

（2）试问：经过多少个月，投资开始见效，也就是说，投资改造后的月累计纯收入多于不改造时的月累计纯收入?

n?1an?1(n∈N*)． 2??

21．（本小题满分14分）

＞4)?an?1?4(an?1（理）已知a为实数，数列?an?满足a1?a，当n?2时，an??．

5?a(a?4)n?1n?1?（1）当a?200时，填写下列表格；

n an 2 3 51 200 （2）当a?200时，求数列?an?的前200项的和S200； （3）令bn?55?3aan＜a＜时，有Tn＜，Tn?b1?b2???bn，求证：当1． n33(?2)（文）已知数列?an?满足a1?1，且an?2an?1?2n（n?2且n∈N*）． （1）求数列?an?的通项公式；

（2）设数列?an?的前n项之和Sn，求Sn,并证明：

Sn＞2n?3． 2n2013届专题卷数学专题十一答案及解析

1．【命题立意】本题以等差数列的定义立意，主要考查等差数列定义，中项公式，或者性质．

【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）建立3个字母的方程；（2）把a,b用x表示．

xx??a???ba?x??b??b2b1??22【答案】C【解析】依题意得?，所以?2bx，即a??3?b?3b，于是有a?3．

???2b?x?x??32??22．【命题立意】本题主要考查数列中Sn与an的关系，通项公式的求法以及解方程思想．

【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）利用Sn求an的方法an?Sn?Sn?1(n?2)；（2）利用通项公式求数列 的项；（3）解方程的思想方法．

【答案】A【解析】由Sn??n2?3n可得an?4?2n，因此an?1an?2?[4?2(n?1)][4?2(n?2)]，即n(n?1)?20，解得n?5，故选A． 3．【命题立意】本题以等差数列立意，主要考查等差数列与等比数列基本量的运算．

【思路点拨】解答本题需要掌握以下关键知识点：（1）等差数列的通项公式（2）等比数列的定义（3）Sn与an的关系．

222【答案】A【解析】设?an?的公差为d，则依题意有a3?a1?a4，即(a1?2d)?a1?(a1?3d)，整理得a1d?4d?0，由于d?0，所

以a1??4d．故

S3?S2a3?2d???2． S5?S3a4?a5?d4．【命题立意】本题以等比数列的立意，主要考查数列基本量的观点和方法．

【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）建立方程；（2）求解方程，取舍值．

2242【答案】C【解析】依题意有2a5?4a1?2a3，即2a1q?4a1?2a1q，整理得q4?q2?2?0，解得q?1(q??2舍去），所以q?1或q??1．

5．【命题立意】本题以等差数列的立意，主要考查数列基本量的观点和方法．

【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）建立方程，求公差；（2）解方程．

34(a2?a3)?43?a2?12【答案】C【解析】由4?3?1，即3S4?4S3?12得3(a1?a2?a3?a4)?4(a1?a2?a3)?12，即6即6d?12，所以d?2．

SS，所以6a3?6a2?12，

6．（理）【命题立意】本题以等差数列的立意，主要考查充要条件．

【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）推理证明；（2）原命题，逆命题．

a?a【答案】C【解析】显然，如数列an,an?1,an?2（n=1,2,3,?）成等差数列，则an?1?an?an?2?an?1，得an?1?nn?2；反之，也

2成立．应为充要条件．

（文）【命题立意】本题以等比数列、不等式的立意，主要考查充要条件．

【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）用基本量转化不等关系；（2）推理和证明．

2【答案】C【解析】C．由a2?a4得a2?a2q2，所以0?q2?1，由a6?a8得a6?a6q，所以0?q2?1，因此“a2?a4”是“a6?a8”

的充要条件．

7．【命题立意】本题以等差数列与等比数列立意，考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式．

【思路点拨】解答本题要熟练掌握下列关键知识点：（1）等差数列与等比数列的通项公式；（2）等差数列与等比数列的前n项和公式．

n?1n?1【答案】A【解析】由已知可得an?n?1,bn?2，于是abn?a2n?1?2?1，

01929因此ab1?ab2???ab10?(2?1)?(2?1)???(2?1)?(1?2?2???2)?10?1?210?10?1033． 1?28．【命题立意】本题以等差数列立意，主要考查等差数列的性质、通项公式．

【思路点拨】解答本题需要掌握以下关键的知识点：（1）等差数列的基本性质；（2）等差数列的通项公式． 【答案】B【解析】因为S9?9a5?9(a1?4d)?36d?a1?36d?a37，所以k?37． 9．【命题立意】本题主要考查新颖情景的信息转换，等比数列通项．

【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）把新颖情景转化为数列的递推关系；（2）应用等比通项公式． 【答案】C【解析】设n*a?an，于是有a1?1,an?1?3an，则数列?an?是等比数列，所以，得n*a?an?a1qn?1?3n?1． 10．【命题立意】本题主要考查等比数列的通项，前n项和公式，比较大小．

【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）转化为基本量首项a1和公比q；（2）对公比q分类处理．

S4S6a1(1?q4)a1(1?q6)SSq2?1?1?q?????5?0；当q?1时，有4?6?4?6?0．综合【答案】C【解析】当0?q?1时，有355a4a6a1q(1?q)a1q(1?q)q(1?q)a4a6q以上，应当选C．

11．【命题立意】本题以等差数列立意，主要考查等差数列的性质与求和．

【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）等差数列的性质S2n?1?(2n?1)an；（2）等差数列前n项和公式． 【答案】88【解析】由S5?5a3?15得a3?3，又a9?13，所以a3?a9?a1?a11?16，于是S11?11(a1?a11)11?16??88． 2212．【命题立意】本题以等比数列立意，考查等比数列的基本性质、等比数列的基本量运算．

【思路点拨】解答本题要掌握以下几个关键的知识点：（1）等比数列的基本性质；（2）整体运算的思想方法．

1【答案】【解析】由等比数列的性质可得a4a66?a52，于是a52?4a72，若设公比为q，则72?q4?，于是q2?1，故

a45a212111a3?a1q2???．

32613．【命题立意】本题主要考查新定义的数列：“等积数列”，求和等知识．

【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分项数为偶数和奇数的情况进行计算；（2）应用分类处理的方法． 【答案】8【解析】设这个等积数列的公积为m，由于a1?2于前21项的和等于62，所以2?11?mmm所以a2?2，于是这个数列各项依次为：2,,2,,2,,?，由

222，

mm?10?62，解得m?8． 214．【命题立意】本题主要考查累加法求数列通项公式、裂项相消法求数列和等知识．

【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）合理地堆递推关系式进行转化；（2）利用累加法求数列的通项公式；（3）利用裂项相消法求数列和．

an?1an22abn?1?bn?an?4n?2【解析】【答案】将nan?1??n?1?an?2的两边同除以n?n?1?，得n?1?n?nn?1，令bn?n，有：，

??n?n?2?nn?121?2?1?b1?2???且b1?2，从而bn?b1????4?，故an?nbn?4n?2． k?1?nk?1k?k?1?k?1?kn?115．【命题立意】本题主要考查等比数列中项性质，对数换底公式．

【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）应用等比数列中项性质；（2）应用对数换底公式．

Slg(a1?a2?a9)lga5lga599???logb5a5?． 【答案】【解析】由题意知9?9T9lg(b1?b2?b9)lgb5lgb51919916．【命题立意】本题主要考查等比数列定义和通项，等比、等差数列前n项和和对数运算．

【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）应用点在曲线上，等比数列定义；（2）应用等比、等差数列前n项和公式．

n【答案】（1）由题意，得xn?2，（3分）所以Sn?2?22?23?????2n?2?1?2n?1?2?2n?1?2.（6分）

n（1）因为yn?lg2?lgn?1n?123n?1?nlg2?lg)（10分） ，（8分）所以Tn?y1?y2?????yn?(lg2?lg)?(2lg2?lg)???(nlg2?lgnn12nn(n?1)lg223n?1n(n?1)lg223n?1?lg(????)??lg(n?1)．?(1?2???n)lg2?(lg?lg???lg)?（12分） 212n212n17．【命题立意】本题主要考查数列的递推关系，等差数列的判断，以及数列最大、最小项的探求．

【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）针对bn?bn?1进行计算；（2）构造函数，获知函数的单调性，据此探求数列?an?中的最大项与最小项． 【答案】（1）∵an?2?11a11a1??n?1，而bn?1?，∴bn?，（3分）∴bn?bn?1?n?1?． ?1（n∈N+）

1an?1?1an?1an?12?an?1?1an?1?1?1an?1?1an?1故数列?bn?是首项为b1?（1）依题意有an?1?15??，公差为1的等差数列．（6分） a1?121115，而bn???(n?1)?1?n?3.5，所以an?1?（8分）函数y?在x＜3.5时，

x?3.5n?3.5bn2y＜0，在(??,3.5)上也为减函数．故当n＝3时，取最小值，a3??1；（10分）函数y?上为减函数．故当n＝4时，an?1?1取最大值3．（12分） n?3.51，在x＞3.5时，y＞0，在(3.5,??,)x?3.518．【命题立意】本题主要考查前n项和与通项的关系，等比数列，对数知识，裂项求前n项和．

【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）应用前n项和与通项的关系；（2）应用裂项方法，求数列前n项和．

【答案】（1）由题意得an?1?2Sn?1，an?2Sn?1?1(n?2),（2分）两式相减,得an?1?an?2an,即an?1?3an(n?2)，所以,当n?2时，

2?an?是等比数列，（4分）要使n?1时，?an?是等比数列，则只需?a1a2t?1?3,从而得出t?1．（6分） t（2）由（1）得知an?3n?1，bn?log3an?1?n，（8分）

T2011?1111???,（10分） bn?bn?1(n?1)nnn?11111111??????(1?)?(?)?????(?)?2011．（12分） b1b2b2011b201222320112012201219．【命题立意】本题主要考查等比数列的定义、通项，数列的求和．

【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）应用等比数列的定义证明，等比数列通项；（2）应用错位相减法，等比数列前n项和公式．

【答案】（1）因为a1?2a2?3a3?????nan?两式相减得nan?列．（6分）

nn?1an?1(n?N?)，所以a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1?an(n?2)，（3分）

22(n?1)an?1n?1n?3(n?2)，因此,数列?nan?从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数an?1?an，所以

nan22

?1,n?1?2n?2(n?2)，故an??2n?2；于是当n?2时，nan?2n?3，所以,当n?2时，

?3,n?2??n11?(n?)3n?1(n?2)，又22（2）由（1）知nan?2?3n?2Tn?1?4?30?6?31?????2n?3n?2，（9分）?3Tn?3?4?31?????2(n?1)?3n?2?2n?3n?1，两式相减得Tn??T1?a1?1也满足上式，所以Tn?11?(n?)3n?1(n?N?)．（12分） 2220．【命题立意】本题主要考查数列的实际应用，等差数列和常数数列，以及不等式的有关推理和运算．考查学生的综合解题能力． 【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）将实际问题数列化，进行翻译转化之；（2）分类列出不等式，研究不等式的解．

【答案】（1）设ai表示第i个月的收入，则由图得a1?101，a5?109，且数列?an?的前五项是公差为2的等差数列，第六项开始是?n2?100n(n?5),?n2?100n(n?5),常数列，（2分）所以f(n)=?（4分）即f(n)=?（6分）

g(5)?(n?5)[g(5)?g(4)](n?5),?109n?20(n?5).?（2）不改造时的第n个月累计纯收入:Sn?68n?n；（8分）

2投资改造后的第n个月累计纯收入:当n≤5时，纯收入为n2+100n?400，由n+100n?400＞Sn?68n?n，解得n＞－8+264，

22由－8+264＞－8+256=8，得n＞8，即前5个月不效．（10分）

2当n＞5时，纯收入(109n?20)?400，由(109n?20)?400＞Sn?68n?n，得n2?41n?420?0，解得n??41?3361?41?572??8. 22而n=9适合上述不等式．所以，必须经过8个月后，即第9个月才见效．（13分）

21．（理）【命题立意】本题主要考查分段数列，前n项和，通项，等比数列，分类求前n项和，不等式证明． 【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点： （1）应用已知关系填表；

（2）分类求前200项和，前50项是等差数列，后面的奇数项均为1，偶数项均为4． （3）奇偶性分析法，求和，放大获得不等式证明． 【解析】（1）（4分）

（2）当a?200n an 2 196 3 192 51 1 200 4 时，由题意知数列?an?的前50项构成首项为200，公

共50项共150项???????????????????(200+196+192+???+4)?(1+4+???+1+4)，

差为?4的等差数列，从第51项开始，奇数项均为1，偶数项均为4．（6分）从而S200∴S200?5475．（8分）

a?a(n为奇数)5＜a＜时，易知an??（3）当1，∴bn?nn??2?3?5?a(n为偶数)?a???2n???5?a??2n(n为奇数)（10分）

(n为偶数)①当n?2k（k∈N*）时，Tn?b1?b2???b2k???a??1??1???2??4????11?4kaaa5?a5?a5?aa5?aa5?aa5?a?3?4???2k?1?2k??(?3???2k?1)?(2?4???2k) 2222222222222?5?a??1?k?k??1????k??1?k?5?3a??1??5?3a???4???4????5?3a?1??1???1?????????∵0??1?????1，∴13?3?34??4?????4?????1?????4，（12分）

②当n?2k?1（k∈N*）时，Tn?b1?b2???b2k?1???5?aa5?aa?3?4???2k?1 22222a5?aa5?aa5?a5?3a???2?3?4???2k?1?2k?2222223a2综上，有Tn?5?3a．（14分） 3（文）【命题立意】本题主要考查数列通项，前n项和的探求，等差数列，等比数列，错位相减法求数列前n项和．

【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）构造等差数列，求通项；2）应用错位相减法，求数列前n项和．（3）恰当缩小，获得所要证明的不等式．

n【解析】（1）?an?2an?1?2(n?2,且n∈N*），?anan?1aanan?1}是等差?n?1?1,即n?n?1?1(n?2,且n?N*),（3分）所以，数列{nn222n22数列,公差d?1,首项

13a11111??(n?1)d??(n?1)?1?n?,?an?(n?)?2n．，（5分）于是n（7分） n222222123n234n?1（2）?Sn??2??2??2???(n?)?2① ?2Sn??2??2??2???(n?)?2 ②（9分）

22222222

5113512(1?2n)111?(n?)?2n?1?1?(3?2n)?2n?3,（12分） ①?②得 ?Sn?1?22?23???2n?(n?)?2n?1?2?22?23???2n?(n?)?2n?1?1?1?2222Sn?(2n?3)?2n?3?(2n?3)?2n,?Sn?2n?3.（14分） 2n

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