2017年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2017年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）

一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2017A1、设)(x f 是定义在R 上函数，对任意的实数x 有1)4()3(-=-?+x f x f ，又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为

◆答案： 2

1- ★解析：由条件知，1)()7(-=+x f x f ，即1)14()7(-=++x f x f ，故)14()(+=x f x f ，即函数)(x f 的周期为14，所以21)5(1)2()100(-=-

=-=-f f f

2017A 2、若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围为 ◆答案： []

13,1+- ★解析：由1cos 22=+y x 得[]3,1cos 212-∈-=y x ，得[]

3,3-∈x ，21cos 2

x y -=， 所以()1121cos 2--=

-x y x ，[]3,3-∈x 可求得其范围为[]

13,1+-。 2017A 3、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110

92

2=+y x ，F 是C 的焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为 ◆答案： 2

113 ★解析：由题意得()0,3A ，()1,0F ，设P 点的坐标为()θθsin 10,cos 3，其中??

? ??

∈2,0πθ，则 ()?θθθ+=??+??=+=??sin 2113cos 321sin 10321OFP OAP OAPF S S S ，可得面积最大值为

2

113。

2017A 4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”，则平稳数的个数 是

◆答案： 75

★解析：考虑平稳数abc 。

①若0=b ，则1=a ，{}1,0∈c ，有2个平稳数；

②若1=b ，则{

}2,1∈a ，{}2,1,0∈c ，有632=?个平稳数； ③若[]8,2∈b ，则a ，{}1,,1+-∈b b b c ，有63337=??个平稳数；

④若9=b ，则{}9,8,∈c a ，有422=?个平稳数；

综上可知，平稳数的个数为7546362=+++。

2017A 5、正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为

◆答案： 10

53 ★解析：设PC AB ,的中点分别为M K ,，则平面α即平面ABM ，则中线()()

2324112214121222222=?-+=-+=PC AC AP AM ， 则2521232

22=??? ??-=-=AK AM KM 。 又棱PC 与平面α的射影线是直线MK ，而2

3,1==KC CM ，所以 10535

4314

5cos =-+=∠KMC ，即为所求。

2017A 6、在平面直角坐标系xOy 中，点集{}1,0,1,|),(-==y x y x K ，在K 中随机取出三个点，

则这三个点中存在两点距离为5的概率为

◆答案： 7

4 ★解析：由题意得K 有9个点，故从中取出三个点共有8439=C 种。

将K 中的点按右图标记为O A A A ,,,,821 ，其中有8对点之间的距 离为5，由对称性，考虑取41,A A 两点的情况，则余下的一个点有

7种取法，

这样有5687=?个三点组（不考虑顺序）。对每个i A （8,,2,1 =i ），K 中恰有53,++i i A A 两点与之的距离为5（这里下标按模8可以理解），因而恰有{}53,,++i i i A A A 这8个三点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为48856=-，进而所求的概率为748448=。

2017A 7、在ABC ?中，M 为边BC 的中点，N 是线段BM 的中点，若3π=∠A ，ABC ?的面积为3，则AN AM ?的最小值为

◆答案： 13+

★解析：由条件知()

+=21，4143+=，则 ??

? ???++=?AC AB AC AB AN AM 4381， 由AC AB A AC AB S ABC ?=?==?4

32134=?AC AB 所以2=?AC AB ，所以383≥+AC AB 443232

?==AC AB 时取等。 则??

? ???++=?AC AB AC AB AN AM 438113+≥。

2017A 8、设两个严格递增的正整数数列{}n a ，{}n b 满足20171010<=b a ，对任意正整数n ，有

n n n a a a +=++12，n n b b 21=+ ，则11b a +的所有可能值为

◆答案： 13，20

★解析：由条件可知，1a ，2a ，1b 均为正整数，且<1a 2a 。由于1191052122017b b b =?=>，

所以{

}3,2,11∈b ，重复使用{}n a 的递推关系可得： 12677889102134232a a a a a a a a a +==+=+=+=

因此()34m od 2512211110101b b b a a ≡==≡，而18342113+?=?，故

()34m od 2621321131111b b a a =?≡?≡①

又<1a 2a ，得1121512213455b a a a =+<，即1155512b a <

② 当11=b 时，①②即()34m od 261≡a ，55

5121

10241

15361

二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2017A 9、（本题满分16分）

设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立，证明：22≤-a b 。 ★证明：记 m kx x x f --=2

)(，[]b a x ,∈，则[]1,1)(-∈x f 。于是 1)(2≤--=m ka a a f ①；

1)(2≤--=m kb b b f ②

1)2

()2()2(

2-≥-+-+=+m b a k b a b a f ③ ①+②-?2③知 ()4)2

(2)()(22

≤+--=-b a f b f a f b a ， 即22≤-a b 。

2017A 10、（本题满分20分）设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求

()??

? ??++++53

53321321x x x x x x 的最小值和最大值。 ★解析：由柯西不等式 ()1553353532

332211321321=???

? ???+?+?≥??? ??++++x x x x x x x x x x x x 当11=x ，02=x ，03=x 时取等号，故所求的最小值为1；

又()()??

? ??++++=??? ??

++++32132132132135553515353x x x x x x x x x x x x ()596318620163146201355534151232123212321321=??

????++≤??????++=????????? ??+++++?≤x x x x x x x x x x x x 当211=

x ，02=x ，213=x 时取等号，故所求的最小值为59；

2017A 11、（本题满分20分）设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2

221==z z ，（其中)Re(z 表示复数z 的实部）

⑴求)Re(21z z 的最小值； ⑵求212122z z z z --+++的最小值。

★解析：⑴对2,1=k ，设i y x z k k k +=，（R y x k k ∈,），由条件知，

()0Re >=k k z x ，()2Re 2==-k k k z y x 因此：

()()()()()2222Re Re 21212122212121221121≥-+≥-++=

-=++=y y y y y y y y y y x x i y x i y x z z 又当221==z z 时，()2Re 21=z z ，这表明)Re(21z z 的最小值为2。

⑵对于2,1=k ，设i y x z k k k +=，（R y x k k ∈,），将k z 对应到平面直角坐标系xOy 中的点()k k k y x P ,，记/2P 是2P 关于x 轴的对称点，则1P ，/2P 均位于双曲线222=-y x 的右支上。

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