类二阶常微分方程组特解形式的探讨z

第２６卷第２期

２００８年６月

徐州师范大学学报（自然科学版）

Ｊ．ｏｆＸｕｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖ．（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）

Ｖ０１．２６。Ｎｏ．２

Ｊｕｎ．，２００８

一类二阶常微分方程组特解形式的探讨

杜增吉

（徐州师范大学数学科学学院，江苏徐州２２１１１６）

摘要：采用待定系数法，给出了非齐次项为，１次一元多项式的三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式，并通过举例验证了特解公式的正确性．

关键词：常系数；微分方程组；通解公式；待定系数法；特解

中图分类号：０１７５．０８

文献标识码：Ａ

文章编号：１００７—６５７３（２００８）０２—０１１１—０３

’

线性微分方程组的求解是常微分方程课程的重要内容之一，求常系数线性微分方程组的特解则是线性微分方程组求解的重点［１－５］，但对于高阶微分方程组的特解研究，目前结果还很少．根据线性非齐次微分方程（组）解的结构定理［１’２］，线性非齐次微分方程（组）的通解等于对应的齐次方程（组）的通解加上非齐次微分方程（组）的一个特解．对于常系数线性微分方程（组）来说，当非齐次项为某些特殊形式时，可用待定系数法［６１求出非齐次方程（组）的一个特解．文献［７］采用降阶法、特征根法和待定系数法，给出了一类二阶常系数微分方程组（其非齐次项仅为二次多项式）的通解公式．本文在文献［７］的基础上，采用待定系数法，给出了文献Ｅ７－１的微分方程组在非齐次项为，ｚ次一元多项式形式时的通解公式，并通过算例验证了微分方程组特解公式的正确性．

１

主要结果

本文讨论如下微分方程组的特解

ｆ口１１／，＋ａ１２∥＋ａ１３一一ｂｌｌｆｌ—ｂ１２＾一ｂ１３＾＝ｔｌ（ｚ），｛口２１／，＋ａｚｚ／，＋ａ２３／，一ｂ２１ｆ１一ｂｚｚｆ２一ｂ２３ｆ３＝如（ｚ），【口３ｌ／，＋口３２／，＋口３３／，一ｂ３ｌ＾一ｂ３２＾一ｂ３３厂３一ｔ３（ｚ），

其中五＝＾（ｚ）（ｉ一１，２，３）是关于ｚ的函数，ｔ；（ｚ）（ｉ一１，２，３）是关于ｚ的一元，２次多项式，ａ＃，ｂ＃（ｉ，Ｊ＝１，２，３）都是常数．为了书写方便，将方程组（１）用矩阵形式表示如下

ＡＦ”一ＢＦ—Ｔ（ｚ），

（２）（１）

‰

其中方程

Ａ一

ｍ

口

３

６ｌ

Ｂ—

ｂ１２ｂ２２ｂ３２

／Ｌ

２

、，

也可

表

翰％一不为

砒舶

口

口

；

３

６２６３

３

肚引ｆｚ，Ｆ＂－＝［萋卜，《卦

（３）

，一ＣＦ—Ａ一１Ｔ（ｚ），

其中Ｃ＝Ａ～Ｂ．

首先给出方程组（３）对应的齐次方程组

Ｆ’一ＣＦ一０

（４）

的通解

收稿日期：２００７—１２—０８

基金项目：国家自然科学基金数学天元基金资助项目（１０６２６００４）；江苏省“青蓝工程”优秀青年骨干教师基金资助项目（ＱＬ２００６１３）；江苏省政府留学奖学金项目；江苏省高校自然科学基金资助项目（０７ＫＪＤｌｌ０２０６）；徐州师范大学自然科学基金重点资

助项目（０６ＸＬＡ０３）

作者简介：杜增吉（１９７２一），男，江苏邳州人。副教授，博士，主要从事常微分方程与动力系统、奇异摄动理论及其应用的研究．

Ｅ－ｍａｉｌ：ｄｕｚｅｒＩｇＪｉ＠１６３．ｃｏｒｎ

１１２

徐州师范大学学报（自然科学版）

第２６卷

ｆ—ＦＴＶ（ｅｘｐ（Ａｘ）Ｃ＇１＋ｅｘｐ（一Ａｘ）Ｃ：），

其中Ａ＝ｄｉａｇ（Ａ。，Ａ。，Ａ。）；而Ａ；（ｉ一１，２，３）是矩阵ｃ的特征值；Ｖ是矩阵ｃ的列特征向量的矩阵；ｃ：，ａ是常向量．

下面研究非齐次方程组的特解．对方程（３），设

ｔｌ（ｚ）

，．。ｌ∥＋ｒｎ－－１１ｚ”１＋…＋ｒ２ｌｚ２＋ｒ１１ｚ＋ｒｏｌＴ（ｚ）＝

ｔ２（ｚ）＾２ｚ”＋ｒ，卜１２Ｘ”１＋…＋ｔ＂ｚ２２２＋ｒ１２ｚ＋ｒ０２ｔ３（ｚ）

ｒ。３２４＋－ｒｎ－－１３ｚ”１＋…＋ｒ２３∥＋，．１３ｚ＋ｒ０３

其中Ｙ＇ｏ；，ｒｖｒ２；，ｒ３。，…，凡。（ｉ一１，２，３）是常数．

根据待定系数法，可设方程（３）的一个特解为

＾＝Ｒ。Ｘ”＋Ｒ，ｌＸ”１＋…＋Ｒ２２２＋Ｒ１ｚ＋Ｒ。，

（５）

ｒ＾１１

＾１２“１３

其中Ｒ。一

ｒ屯ｌ

ｎ２２

“２３

（惫＝０，１，…，咒），％（１，歹＝１，２，３）是常数．

“３１ｒ々３２

“３３

将式（５）代入方程（３），整理并比较Ｘ的同次幂系数，得到下列等式

一ＣＲ。＝Ａ一１（ｒｍ，ｒ。。，ｒｎａ）Ｔ，

一僳，卜１＝Ａ一１（％１。，ｋ１。，ｋｌ，）Ｔ，

ｎ（ｎ一】）Ｒ。一（泛，２一Ａ一１（，一２，，，．，卜≈，ｒｎ－２，）Ｔ，

（，ｚ一１）（行一２）Ｒ。一ＣＲ，３＝Ａ一１（０３，，ｋ３，，ｒｗ－３，）Ｔ，（咒一２）（行一３）Ｒ。一ＣＲ，卜４＝Ａ一１（ｋ４．，ｋ４，，ｒｎ－４，）Ｔ，

２Ｒ２一ＣＲｏ—Ａ～（ｒｏ．，ｒｏ，，ｒｏ。）Ｔ．

整理后得

Ｒ。一一Ｂ～（ｒｎ，，ｒｎ。，＾，）Ｔ，

尺，１＝一Ｂ一１（乍１１，，＿，卜１２，ｒｎ－１３）Ｔ，

Ｒ一２＝一Ｂ一１（。２ｌ，。２２，ｋ２３）Ｔ＋Ｃ－１１３－１ｎ（ｎ一１）（ｒｎｌ，ｒ也，“３）Ｔ，

ｆ／２

２ｌ

Ｒ，ｆ一一Ｂ～（ｒｔｒ－ｆ１’，．，卜ｆ２＇ｋｆ３）ｒ＋∑（一１）件１（Ｃ－１）‘Ｂ一１Ⅱ（ｎ—ｉ＋ｓ）（ｋ删。，ｋ斗２ｆ：，ｋ删。）Ｔ，

ｆ霉１

Ｊ置１

Ｒ。一一Ｂ一１（ｒ。ｌ，ｔ＂０２，ｒ０３）Ｔ＋

班∑㈨

，～

一１

件

，＼

ｒ

一

、，

Ｂ

Ｓ

吃

乱Ⅱ一

吃吃

）

Ｔ

代入（５）式，得方程（３）的特解为

ｆ—Ｖ（ｅｘｐ（Ａｘ）Ｃ７ｌ＋ｅｘｐ（一Ａｘ）Ｃ：）＋五．

注

当以＝２时，方程组（３）的特解为

．

＾＝一Ｂ－１（ｒ２。Ｘ２＋ｒ１１ｘ＋ｒｏ，，ｒ２。ｚ２＋ｒｌｚｚ＋ｒｏ。，ｒ２。ｘ２＋ｒ１。ｚ＋ｒｏ。）Ｔ＋２Ｂ一１ＡＢ一１（ｒ２，，ｒ２。，ｔ－２。）Ｔ，此结果与文献［７］的结论完全一致，所以本文推广了文献［７］中的结果．

２

举例

用本文方法解下列方程组

一

ｚ＋ｙＺ

一

ｚ

一

ｙ

＋＋

Ｚ一

（６）

＋＋

ｚ

＋ｙ一

Ｚ

一扩ｈ六

将方程组（６）写成矩阵形式

ＡＦ”一ＢＦ—Ｔ．

第２期杜增吉：一类二阶常微分方程组特解形式的探讨

１

２

ｔ３

１１３

１

２１

Ｏ

１

０

ＯＯ１

１

．Ｂ＝

—１—１

—１

１

—１

—１１

，，

Ｚ

其中Ａ＝

０Ｏ

１

Ｏ

．Ｐ＝

＂

ｙ

，，

．Ｔ＝１

ｔ

．Ｃ一１＝Ｂ一１＝

１２１２

Ｏ

２

Ｏ

—１

Ｚ

１２

由Ｒ，公式得

Ｒ３（ｔ）一（ｏ，丢，丢）Ｔ，Ｒ２（ｔ）一（ｏ，ｏ，ｏ）Ｔ，Ｒ１（ｚ）＝（吾，２，导）Ｔ，Ｒｏ（ｔ）一（丢，ｏ，丢）Ｔ．

所以方程组（６）的特解为

厂Ｉ＝Ｒ３（ｆ）ｆ３＋Ｒ２（￡）矿＋Ｒ１（ｆ）ｔ＋Ｒｏ（ｆ）一

吾ｔ＋丢争拙丢ｃ３＋号ｔ＋丢

（７）

ｚ

即

ｙ

ｚ

ｔ，一吾ｔ＋丢，￡）＝丢￡３＋２￡，ｔ，一丢ｔ３＋詈ｚ＋丢．

经检验，方程组（７）确是方程组（６）的一个特解．

本文采用待定系数法，在文献［７］的基础上，将其微分方程组的非齐次项改进为一元咒次多项式的形式，得到了改进后的微分方程组的通解公式，并通过算例验证了公式的正确性．本文结果也可通过编写计算机程序进行计算，非齐次项取不同形式时有不同形式的特解，其它形式的特解有待进一步研究．参考文献：

［１］

丁同仁，李承治．常微分方程教程［Ｍ］．２版．北京：高等教育出版社，２００４．［２］王高雄，周之铭，朱思铭，等．常微分方程ｉ－Ｍ］．３版．北京：高等教育出版社，２００６．

［３］化存才．常系数非齐次线性微分方程组特解公式的新推导及其应用［Ｊ］．云南师范大学学报：自然科学版，２００４，２４

（４）：１．

［４］孙丽强．几种常系数线性非齐次方程组的特解的求法［Ｊ］．青岛大学师范学院学报：自然科学版，１９９７，１４（２）：１２．［５］任中普，张晓华．常系数线性非齐次方程组的特解的一个注记［Ｊ］．洛阳师专学报：自然科学版，１９９７，１６（５）：２０．［６］阮炯．常微分方程——方法导引［Ｍ］．上海：复旦大学出版社，１９９１．

［７］吴幼明，罗旗帜．一类二阶常系数微分方程组的通解［Ｊ］．佛山科学技术学院学报：自然科学版，２００２，２０（２）：１０．

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ

ｏｎ

ｔｈｅＰａｒｔｉｃｕｌａｒＳｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏ

ａ

ＫｉｎｄｏｆＳｙｓｔｅｍｓｏｆ

Ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈＣｏｎｓｔａｎｔＣｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

ＤＵＺｅｎｇ－ｊｉ

（Ｓｃｈｏｏｌｏｆ

ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅ，ＸｕｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｕｚｈｏｕ，Ｊｉａｎｇｓｕ，２２１１１６，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙａｐｐｌｙｉｎｇｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｕｎｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｓｄｅｖｏｔｅｄｐａｒｔｉｃｕｌａｒｓｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒ

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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｓｔａｎｔｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ；ｇｅｎｅｒａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒｍｕｌａ；ｍｅｔｈｏｄｏｆｕｎｄｅ—

ｔｅｒｍｉｎｅｄｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ；ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｓｏｌｕｔｉｏｎ

一类二阶常微分方程组特解形式的探讨

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

杜增吉， DU Zeng-ji

徐州师范大学,数学科学学院,江苏,徐州,221116

徐州师范大学学报（自然科学版）

JOURNAL OF XUZHOU NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)2008，26(2)2次

参考文献(7条)

1.丁同仁.李承治 常微分方程教程 20042.王高雄.周之铭.朱思铭 常微分方程 2006

3.化存才 常系数非齐次线性微分方程组特解公式的新推导及其应用[期刊论文]-云南师范大学学报(自然科学版)2004(04)

4.孙丽强 几种常系数线性非齐次方程组的特解的求法 1997(02)5.任中普.张晓华 常系数线性非齐次方程组的特解的一个注记 1997(05)6.阮炯 常微分方程--方法导引 1991

7.吴幼明.罗旗帜 一类二阶常系数微分方程组的通解[期刊论文]-佛山科学技术学院学报(自然科学版) 2002(02)

相似文献(10条)

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对于二元常系数微分方程组给出了解的表达式,利用解的表达式,可以很方便地求出二元常系数微分方程组的解.

2.期刊论文 徐进.XU Jin 常系数齐次线性微分方程组基解矩阵的求解 -江汉大学学报（自然科学版）2005,33(4)

利用约当标准型求解常系数齐次线性微分方程组基解矩阵.给出了一种求解常系数齐次线性微分方程组的解决途径.

3.期刊论文 吴顺唐.WU Shun-tang 关于常系数线性微分方程组特解的求法 -常熟高专学报2001,15(4)

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8.期刊论文 化存才 常系数非齐次线性微分方程组特解公式的新推导及其应用 -云南师范大学学报(自然科学版)2004,24(4)

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9.期刊论文 李全勇.李顺初.迟颖 常系数齐次线性微分方程组边值问题解的相似结构 -四川兵工学报2010,31(4)

针对左边界为第三类条件cx+(1+)x′t=1=Q,右边界分别为Dilichlet条件x(R)=0和Neumann条件x′(R)=0的常系数齐次线性微分方程组的一类边值问题,利用分析、归纳、证明的方法,引入了相似核函数(右边界条件类型不同,对应的核函数不同),得到了能表示右边界在上述2种不同条件下的具有相似结构且形式上统一的解.对进一步揭示该类微分方程组解的结构规律及编制相应的应用分析软件具有极其重要的意义.

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从广义特征向量的定义出发,给出了常系数齐线性微分方程组的一基本解组的形式,运用此基本解组形式解常系数齐线性微分方程组比较简单.

引证文献(2条)

1.陈健.王其申 关于二阶常微分方程组特解的探讨[期刊论文]-阜阳师范学院学报（自然科学版） 2009(4)2.刘文武 一类二阶常微分方程的通解的再讨论[期刊论文]-黔南民族师范学院学报 2008(6)

本文链接：/Periodical_xzsfdxxb-zrkx200802025.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：a39c6a7d-ad33-4795-af60-9dcf0144368b

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