大学物理习题及解答（运动学、动量及能量）

1-1.质点在Oxy平面内运动，其运动方

???2程为r?2ti?(19?2t)j。求：（1）质点的轨迹方程；（2）t?1.0s时的速度及切向和法向加速度。

???1-2.一质点具有恒定加速度a?6i?4j，

??在t?0时，其速度为零，位置矢量r0?10i。

求：（1）在任意时刻的速度和位置矢量；（2）质点在oxy平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图。

1-3. 一质点在半径为r?0.10m的圆周上运动，其角位置为??2?4t3。（1）求在t?2.0s时质点的法向加速度和切向加速度。（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，θ值为多少？（3）t为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？

题3解： (1)由于??2?4t3，则角速度

d????12t2，在dtt = 2 s时，法向加速度和切向

?r?2?2.30?102m?s?2加速度的数值分别为

ant?2s

att?2s?rd??4.80m?s?2dt

(2)当

at?a12?an?at222时，有3at?1232t2?an，即

3(24tr)2?(12t2r)2s?0.29s此时刻的角位置为

??2?4t3?3.15rad(3)要使an?at，则有

(24tr)?r(12t2)2

t?0.55s

3-1如图所示，在水平地面上，有一横截面S?0.20m的直角弯管，管中有流速为v?3.0m?s的水通过，求弯管所受力的大小和方向。

解：在?t时间内，从管一端流入（或流

2?1出）水的质量为

?m??vS?t,弯曲部分AB的

水的动量的增量则为

?p??m?vB?vA???vS?t?vB?vA? 依据动量定理I??p，得到管壁对这部分水的

平均冲力

F?I??Sv?vB?vA??t

从而可得水流对管壁作用力的大小为

F???F??2?Sv2??2.5?103N

作用力的方向则沿直角平分线指向弯管外侧。

3x?ct3-2一物体在介质中按规律作直

线运动，c为一常量。设介质对物体的阻力正比于速度的平方。试求物体由

x0?0运动

到x?l时，阻力所作的功。（已知阻力系数为k）

3x?ct解：由运动学方程，可得物体的

速度

dxv??3ct2dt

按题意及上述关系，物体所受阻力的大小为

F?kv2?9kc2t4?9kc2/3x4/3

则阻力的功为

3-3一质量为0.20kg的球，系在长为2.00m的细绳上，细绳的另一端系在天花板上。把小球移至使细绳与竖直方向成30角的位置，然后由静止放开。求：（1）在绳索从30角到0角的过程中，重力和张力所作的功；（2）物体在最低位置时的动能和速率；（3）在最低位

000???W??F?dx??Fcos180dx???9kc?lll2/34/3x272/37/3dx??kcl7置时的张力。

解：（1）如图所示，重力对小球所作

的功只与始末位置有关，即

W?P?h?mgl?1?cos???0.53J

在小球摆动过程中，张力FT的方向总是与运动方向垂直，所以张力的功

W??F?ds?0

（2）根据动能定理，小球摆动过

程中，其动能的增量是由于重力对它作功的结果。初始时动能为零，因而，在最低位置时的动能为

E?W?0.53J

小球在最低位置时的速率为

PTTkP

v?2Ek?m2WP?2.30m?s?1m

（3）当小球在最低位置时，由牛顿定律可得

mv2FT?P?l

mv2FT?mg??2.49Nl

3-4一质量为m的质点，系在细绳的一

端，绳的另一端固定在平面上。此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动。设质点的最初速率是

v0。当它运动一周时，其速率

为v0/2。求：（1）摩擦力作的功；（2）滑动摩擦因数；（3）在静止以前质点运动了多少圈？

解：（1）摩擦力作功为

W?Ek?Ek0?121232mv?mv0??mv0228 （1）

Ff??mg（2）由于摩擦力是一恒力，且有

W?Ffscos180???2?r?mg，故

（2）

由式（1）、（2）可得动摩擦因数为

23v0??16?rg

32mv0（3）由于一周中损失的动能为8，则在

静止前可运行的圈数为

n?Ek04?圈W3

3-5如图所示，质量为m、速度为v的钢球，射向质量为m?的靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为k的弹簧，此靶

最初处于静止状态，但可在水平面上作无摩擦滑动，求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离。

解：以小球与靶组成系统，设弹簧的最大压缩量为x0，小球与靶共同运动的速率为v1。由动量守恒定律，有

mv??m?m??v （1）

又由机械能守恒定律，有

112112mv??m??m?v12?kx0222 （2）

由式（1）、（2）可得

x0?mm?vk?m?m??

3-6以质量为m的弹丸，穿过如图所示的摆锤后，速率由v减少到v/2。已知摆锤的质量为m?，摆线长度为l，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸

的速度的最小值应为多少？

解：取弹丸与摆锤所成系统。由水平方向的动量守恒定律，有

vmv?m?m?v?2 （1）

为使摆锤恰好能在垂直平面内作圆周运动，

在最高时，摆线中的张力F?0，则

T

h2m?v?hm?g?l （2）

式中v?为摆锤在圆周最高点的运动速率。 又摆锤在垂直平面内作圆周运动的过程中，满足机械能守恒定律，故有

11?2m?v?2?2m?gl?m?vh22

（3）

解上述三个方程，可得弹丸所需速率的最小值为

3-7质量为7.2?10kg，速率为6.0?10m?s的粒子A，与另一个质量为其一半而静止的粒子B发生二维完全弹性碰撞，碰撞后粒子A的速率为5.0?10m?s，求：（1）粒子B的速率及相对

v??237?12m?5glm7?1粒子A原来速度方向的偏角；（2）粒子A的偏转角。

解：取如图所示的坐标，由于粒子系统属于斜碰，在碰撞平面内根据系统动量守恒定律可取两个分量式，有

mvA?m?cos?vBcos??mvA2 （1）

0?m?sin?vBsin??mvA2 （2）

又由机械能守恒定律，有

121?m?21?2mvA???vB?mvA22?2?2 （3）

解式（1）、（2）、（3）可得碰撞后B粒子的速

率为

各粒子相对原粒子方向的偏角分别为

2?2?4.69?107m?s?1vB?2vA?vA??

2?2vA?3vA3v??arccos?22?20?,??arccosB?54?6??4vAvA4vA

3-8如图所示，一个质量为m的小球，从内壁为半球形的容器边缘点A滑下。设容器质量为m′，

半径为R，内壁光滑，并放置在摩擦可以忽

略的水平桌面上，开始时小球和容器都处于静止状态。当小球沿内壁滑到容器底部的点B时，小球和容器的速度各是多少？

解：根据水平方向动量守恒定律（将小球与容器视为系统）以及小球在下滑过程中机械能守恒定律（将小球、容器与地球视为系统）可分别得

mv?m?v?0 （1）

mm?1122mvm?m?vm??mgR22 （2）

式中vm、vm?分别表示小球、容器相对桌面

的速度。由式（1）、（2）可得小球到达容器底部时小球、容器的速度大小分别为

vm?vm??2m?gRm??mm2m?gRm?m??m

补充：

练习四 动量 角动量

一.选择题

1. 质量为m的铁锤竖直落下,打在木桩上并停下,设打击时间为?t,打击前铁锤速率为v,则在打击木桩的时间内,铁锤所受平均合外力的大小为

(A) mv/?t.

(B) mv/? t－mg. (C) mv/? t＋mg. (D) 2mv/?t.

2. 如图4.2所示，摆线长为l的圆锥摆,摆球质量为m，速率为v,圆半径为R,设摆球对中心轴的角动量为Lz,摆球所受重力矩在中心轴上的投影为Mz ,摆球在轨道上运动半周过程中，摆球所受重力冲量的大小为I;则Lz、Mz、I分别为

m R v 4.2

(A) mvR ,mgR ,2mv. (B) mvl ,mgl

?2mv?2??mg?Rv?2.

(C) mvR, 0, ?Rmg/ v. (D) mvl ,mgR, 0.

3.如图4.3所示，一斜面固定在卡车上，一物块置于该斜面上，在卡车沿水平方向加速起动的过程中，物块在斜面上无相对滑动，说明在此过程中摩

m 擦力对物块的冲量

? (A) 水平向前.

(B) 只可能沿斜面向上. (C) 只可能沿斜面向下.

图4.3

(D) 沿斜面向上或沿斜面向下均有可能.

4. 粒子B的质量是粒子A的质量的4倍,开始时粒子A的速度为(3i+4j), 粒子B的速度为(2i－7j),由于两者的相互作用, 粒子A的速度变为(7i－4j),此时粒子B的速度等于

(A) 2i－7j. (B) i－5j. (C) 0.

(D) 5i－3j .

5. 如图4.4所示,一水平刚性轻杆,质量不计，杆长l=20cm，其上穿有两个小球.初始时,两小球相对杆中心O对称放置,与O的距离d=5cm，二者之间用细线拉紧.现在让细杆绕通过中心O的竖直固定轴作匀角速的转动,转速为? 0，在烧断细线让两球向杆的两端滑动.不考虑转轴的摩擦和空气的阻力,当两球都滑至杆端时,杆的角速度为

O ●●(A) ? 0.

d d (B) 2? 0.

l (C) ? 0/2 .

图4.4 (D) ? 0/4.

二.填空题

1. 水流流过一个固定的涡轮叶片 ,如图4.5所示. 水流流过

叶片前后的速率都等于v,每单位时间流向叶片的水的质量保持不变且等于Q , 则水作用于叶片的力大小为 ,方向为 .

2. 如图4.6所示，两块并排的木块A和B,质量分别为m1

和m2,静止地放在光滑的水平面上,一子弹水平地穿过两木块,设子弹穿过两木块所用的时间分别为?t1和?t2, 木块对子弹的阻力为恒力F,则子弹穿出后, 木块A的速度大小为 , 木块B的速度大小为 .

3. 在光滑的水平面上，一根长L=2m的绳子，一端固定于O点，另一端系一质量为m=0.5kg的物体，开始时，物体位于位置A，OA间距离d=0.5m,绳子处于松弛状态，现在使物体以初速度vA=4m /s垂直于OA向右滑动，如图4.7所示，设在以后的运动中物体到达位置B，此时物体速度的方向与绳垂直，则此时刻物体对O点的角动量的大小LB= ，物体速度的大小vB= .

v v 图4.5 A 4.6

O ? d A vB B 图面为水平面 vA 图4.7

B

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