2015北京高考文科数学考试样卷模拟11

2015北京高考文科数学考前练习11命题马老师

姓名：__________分数：___________

评卷人 得分 一、选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分）

1.已知集合

，则

（ ）

A．

B．

C． D．

2.下列函数在

上为减函数的是

A．

B． C． D．

3.在复平面内，复数

的值为（ ）

A．

B．

C． D．

4.执行如图所示程序框图所表达的算法，若输出的x值为48，则输入的x值为（

A． 3 B． 6 C． 8 D． 12

5.若方程3x+9x=36，x+log3x=2的根分别为x1，x2，则x1+x2=（ ）

A． 2 B． 4 C． 6 D． 8

6.若

则“”是“方程

表示开口向右的抛物线”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7.已知数列

为各项为正数的等比数列，且成等差数列，则数列

（ ）

A．单调递增 B．单调递减 C．先递增后递减 D．是常数列 8.在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：

）

则y关于x的函数关系与下列最接近的函数(其中a、b、c为待定系数)是( )

A．评卷人 B． C． D．

得分 二、填空题（本题共6道小题，每小题5分，共30分）

9.已知双曲线

为 。

的一个焦点坐标为(，0)，则其渐近线方程

10.在约束条件下，目标函数z=3x+2y的最大值是 ．

11.若直线y=kx+3与圆x2+y2=1相切，则k= ． 12.已知向量13.函数

.

满足

，

，则

的夹角为 ．

的部分图象如图所示,则

14.已知某班在开展汉字听写比较活动中，规定评选一等奖和二等奖的人数之和不超过10

人，一等奖人数与二等奖人数之差小于等于2人，一等奖人数不少于3人，且一等奖奖品价格为3元，二等奖奖品价格为2元，则本次活动购买奖品的最少费用为＿＿＿＿ 评卷人 得分 三、解答题（本题共6道小题,共80分）

15.已知递增的等比数列{an}前三项之积为8，且这三项分别加上1、2、2后又成等差数

列．

（1）求等比数列{an}的通项公式；

（2）记bn=an+2n，求数列{bn}的前n项和Tn．

16.在△ABC中，角A，B，C（C为钝角）所对的边分别为a，b，c，且cos（A+B+C）=，

a=2，

=2．

（1）求cosC的值； （2）求b的长．

17.如图,四棱锥

是

(1) 求证:

,侧面的菱形,； (2) 求点

为

是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面的中点.

的距离.

到平面

18.某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试，成绩分为A，

B，C，D，E五个等级，成绩数据统计如下图所示，其中“代数”科目的成绩为B的考生有20人．

（Ⅰ）求该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数；

（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分、3分、2分、1分，求该小组考生“代数”科目的平均分；

（Ⅲ）已知参加本次考试的同学中，恰有4人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，求这两人的两科成绩均为A的概率．

19.（本小题满分14分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为

交椭圆于不同的两点

(1)求椭圆的方程； (2)求

的取值范围；

，求证：直线

，且

与

.

，且经过点. 直线

(3)若直线不过点

轴围成一个等腰三角形.

。

20.已知函数

（1）求a的值； （2）求曲线（3）若存在

在

处的切线方程； 使得函数

成立，求实数

的取值范围。

试卷答案

1.B 由题根据集合2.D 3.B 4.B

【考点】： 循环结构． 【专题】： 图表型．

【分析】： 第一次进入循环时，x←2×x，n=1+1=2，满足n≤3，执行循环体，依此类推，最后一次：x←2×x=48，n=1+3=4，不满足n≤3，退出循环体，利用得到最后一次中x的值将以上过程反推，从而得出输入的x值．

解：模拟程序的执行情况如下：

x←2x，n=1+1=2，满足n≤3，执行循环体；

x=2×（2x）=4x，n=2+1=3，满足n≤3，执行循环体； x=2×（4x）=8x，n=3+1=4，不满足n≤3，退出循环体， 由8x=48即可得x=6． 则输入的x值为：6． 故选B．

，不难求得A,B的交集；由题

【点评】： 本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理． 5.【考点】： 根的存在性及根的个数判断． 【专题】： 函数的性质及应用．

【分析】： 将方程3+9x=36两边取对数，得到x+理得出答案．

【解答】： ∵3+9x=36， ∴x=

，

x

x

=2，从而有x﹣4x+1=0，根据韦达定

2

∴x+

又x+log3x=2，

=2，

∴=x，即x﹣4x+1=0，

2

∴x1+x2=4， 故选：B．

【点评】： 本题考查了对数指数的互化，考查了韦达定理，是一道基础题． 6.【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 A 解析：若方程y=（a﹣9）x表示开口向右的抛物线， 则a﹣9＞0，即a＞3或a＜﹣3，

即“a＞3”是“方程y=（a﹣9）x表示开口向右的抛物线”的充分不必要条件， 故选：A

【思路点拨】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 7.D 8.B

2

2

2

2

2

9.略 10.7

【考点】： 简单线性规划． 【专题】： 不等式的解法及应用．

【分析】： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 解：作出不等式组对于的平面区域如图：

由z=3x+2y，则y=，

平移直线y=，由图象可知当直线y=，

经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大，

由，解得，即B（1，2），

此时zmin=3×1+2×2=7， 故答案为：7

【点评】： 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 11.±2

【考点】： 圆的切线方程． 【专题】： 直线与圆．

【分析】： 联立方程组消y的x的一元二次方程，由△=0解方程可得．

解：联立

2

消去y并整理得（k+1）x+6kx+8=0，

2

2

2

22

由直线y=kx+3与圆x+y=1相切可得△=36k﹣32（k+1）=0， 解得k=±2

故答案为：±2

【点评】： 本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．

12.

【考点】： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 【专题】： 平面向量及应用．

【分析】： 利用向量数量积运算及其性质即可得出． 解：向量∴

满足

=

，

，

=

，

化为=，

∴=．

故答案为：．

【点评】： 本题考查了向量数量积运算及其性质，属于基础题． 13.

14.11

略

15.【考点】： 数列的求和；等比数列的通项公式． 【专题】： 等差数列与等比数列．

【分析】： （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出； （2）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出． 解：（1）设等比数列前三项分别为a1，a2，a3，

则a1+1、a2+2、a3+2又成等差数列．依题意得：，

即，

解之得，或（数列{an}为递增等比数列，舍去），

． ，

1

2

n﹣1

∴数列{an}的通项公式：（2）由bn=an+2n得，

0

∴Tn=b1+b2+?+bn=（2+2×1）+（2+2×2）+（2+2×3）+?+（2=（2+2+2+?+2

0

1

2

n﹣1

+2n）

）+2（1+2+3+?+n）

=．

【点评】： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16.【考点】： 余弦定理；正弦定理． 【专题】： 解三角形．

【分析】： （1）已知第二个等式利用正弦定理化简，把a的值代入求出c的值，第一个等式中的角度变形后，利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，即可求出cosC的值； （2）利用余弦定理列出关系式，把a，c，cosC的值代入即可求出b的值．

解：（1）由正弦定理得：===2，即c=2a=4，

∵cos（A+B﹣C）=cos（π﹣2C）=﹣cos2C=﹣2cosC+1=，

2

∴cosC=﹣；

（2）由余弦定理得：cosC=，

把a=2，c=4，cosC=﹣代入得：b=2．

【点评】： 此题考查了正弦、余弦定理，以及诱导公式，熟练掌握定理是解本题的关键． 17.【知识点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．菁G4 G5

(1) 见解析；(2) 解析：(Ⅰ)方法一:取

中点

,连结

,依题意可知△

,△

均为正三角形,

所以所以

平面

,

,又

,又平面

,△,

平面

, ,所以的中点中到平面

,又平面,所以

平面,,连结,所以的距离,

平面

,即,

,平面为三棱锥

平面

的体高.

,

,

. (Ⅱ)当点

,又

为

为棱

的中点时,

,

到平面四点共面,

,,所以

,

平面.

均为正三角形,

, 平面

,

,

平面

,

方法二:连结 又又所以 又

平面平面为

,依题意可知△的中点,所以

,

证明如下: 取棱 在菱形

的距离即点

由(Ⅰ)可知 在

平面中,

的中点,所以

,所以四点共面. (Ⅲ)点

在中,,,边上的高,

所以的面积,

设点到平面的距离为,由得 ,又

,所以, 解得,

所以点到平面的距离为.??????12分

【思路点拨】（Ⅰ）法一：取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，从而AD⊥平面POC，由此能证明PC⊥AD．

法二：连结AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，从而AM⊥PC，DM⊥PC，由此能证明PC⊥AD． （Ⅱ）当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面．取棱PB的中点Q，连结QM，QA，由已知得QM∥BC，由此能证明A，Q，M，D四点共面．

（Ⅲ）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由已知得得PO为三棱锥P﹣ACD的体高，由VD﹣

PAC

=VP﹣ACD，能求出点D到平面PAM的距离．

18.【考点】： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 【专题】： 概率与统计．

【分析】： （Ⅰ）易得小组共80人，可得“几何”科目成绩为A的人数为80×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=6；

（Ⅱ）由平均数的定义可得平均分为：1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075=2.9；

（Ⅲ）记得到成绩为A的8人编号为1﹣8，其中1﹣4号时两科成绩等级都是A的同学，列举可得总的基本事件数共28个，其中两人的两科成绩均为A的共6个，由概率公式可得． 解：（Ⅰ）∵“代数”科目的成绩为B的考生有20， ∴该小组有20÷0.25=80（人）

∴该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数为

80×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=80×0.075=6（人）； （Ⅱ）∵等级A，B，C，D，E分别对应5分、3分、2分、1分，

∴该小组考生“代数”科目的平均分为：1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075=2.9； （Ⅲ）∵两科考试中共有12人次得分等级为A，又恰有4人两科成绩等级均为A， ∴还有4人有且只有一个科目得分等级为A，

记得到成绩为A的8人编号为1﹣8，其中1﹣4号时两科成绩等级都是A的同学， 则在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，构成的基本事件有： （1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（1，7）（1，8），（2，3）（2，4） （2，5）（2，6）（2，7）（2，8），（3，4）（3，5）（3，6）（3，7）（3，8），

（4，5），（4，6）（4，7）（4，8），（5，6）（5，7）（5，8），（6，7）（6，8）共28个， 其中两人的两科成绩均为A的为（1，2）（1，3）（1，4），（2，3）（2，4），（3，4）共6个，

∴所求概率为P==

【点评】： 本题考查列举法求基本事件数及事件发生的概率，涉及分布直方图，属基础题．

19.(1)

（2）

（3）见解析

(1) 由已知椭圆焦点在轴上可设椭圆的方程为，（）

因为，所以， ①

又因为过点，所以， ②

联立①②解得，故椭圆方程为. ??????4分

(2) 将代入并整理得，

因为直线与椭圆有两个交点， 所以(3) 设直线设

，

的斜率分别为

，

和

，解得，只要证明

. ??????8分 即可.

则. ??????10分

所以

所以

，

所以直线

与

轴围成一个等腰三角形． ??????14分

20.

因为，所以， ①

又因为过点，所以， ②

联立①②解得，故椭圆方程为. ??????4分

(2) 将代入并整理得，

因为直线与椭圆有两个交点， 所以(3) 设直线设

，

的斜率分别为

，

和

，解得，只要证明

. ??????8分 即可.

则. ??????10分

所以

所以

，

所以直线

与

轴围成一个等腰三角形． ??????14分

20.

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