8.7 周期函数的傅里叶级数

§8.7 周期函数的傅里叶函数

8.7.1 基本三角函数系简单的周期运动 : 复杂的周期运动 :(谐波函数)

( A为振幅, 为角频率, 为初相 )

An sin n cos n t An cos n sin n t令

(谐波迭加)

an An sin n , bn An cos n , a0 得函数项级数 (an cos n x bn sin n x ) 2 k 1称上述形式的级数为三角级数.2

定理 1. 基本三角级数函数系 正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在

上的积分等于 0 .证:

1 cos nxd x 1 sin nxd x 0 cos k x cos nx dx 1 2

cos(k n) x cos(k n) x d x 0 同理可证 : sin k x sin nx d x 0 (k n ) cos k x sin nx d x 0

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有

1 1dx 2

cos 2 n x d x

2

sin 2 nx d x

1 cos 2n x 1 cos 2n x 2 cos n x , sin n x 2 24

8.7.2 傅里叶级数定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 a0 f ( x) (an cos nx bn sin nx) 2 n 1 右端级数可逐项积分, 则有 ①

② 证: 由定理条件, 对①在 逐项积分, 得 a0 f ( x)dx d x an cos n x d x bn sin n x d x 2 n 1 5

a0

a0 f ( x) cos k x d x cos k x d x 2 a cos k x cosn x d x b cos k x sin n x d x n n n 1

f ( x) d x

1

ak

cos 2 k x d x

(利用正交性)

ak

1

f ( x) cos k x d x ( k 1, 2 , )

类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得 1 bk f ( x) sin k x d x (k 1, 2 , )

a0 f ( x) an cos nx bn sin nx 2 n 1 1 an f ( x) cos nx d x (n 0 , 1, )

①

bn

1

②

f ( x) sin nx d x

( n 1, 2 , )

由公式 ② 确定的

称为函数 的傅里

的傅里叶系数 ; 以的傅里叶级数 .

叶系数为系数的三角级数 ① 称为

8.7.3收敛定理

定理3 (收敛定理, 展开定理)

设 f (x) 是周期为2 的

周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;

2) 在一个周期内只有有限个极值点.则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多.

x 为连续点 f (x) , f (x ) f (x ) , x 为间断点 2 其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )

例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为

1 , x 0 f ( x) 1, 0 x 将 f (x) 展成傅里叶级数.解: 先求傅里叶系数

1

yo

x

1

( 1) cos nx d x 0 1 cos nx d x ( n 0 , 1 , 2 , )10

1

0

1

0

( 1) sin nx d x 0 1 sin nxdx 0

1

0

1

2 1 cos nx 1 cos nx 0 n 1 cos n n n 4 2 n , 当 n 1 , 3 , 5 , 1 ( 1) n n 0 , 当n 2 , 4 , 6 , 1 1 f ( x) sin x sin 3 x sin( 2k 1) x 3 2k 1 ( x , x 0 , , 2 , ) 411

sin 3x sin 5 x sin 7 x sin 9 x f ( x) sin x ] 5 7 3 9 4说明: 1) 根据收敛定理可知,

1

yo

x

1 1 时,级数收敛于 0 22) 傅氏级数的部分和逼近 f (x) 的情况见右图.

1

例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 y 上的表达式为 3 2 2 3 o

x

将 f (x) 展成傅里叶级数. 1 1 0 1 x2 0 解: a0 f ( x) d x x d x 2 2

an

1

f ( x) cos nxdx

x cos nx d x 13

1

0

1 x sin nx cos nx 0 1 cos n 2 n n n 2

, n 2k 1 1 cos n an ( k 1 , 2 , ) 2 n 0, n 2k 1 1 0 ( 1) n 1 bn f ( x) sin nx d x x sin nxdx n ( n 1, 2, ) 1 2 cos x sin x sin 2 x 2 4 2 1 1 2 cos 3x sin 3x sin 4 x 3 4 3 2 1 2 cos 5 x sin 5 x 5 5 ( x , x (2k 1) , k 0 , 1 , 2 , ) 0 ( ) 说明: 当 x (2k 1) 时, 级数收敛于214

2 ( 2k 1) 2

2

8.7.4正弦级数和余弦级数周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数 定理. 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为 正弦级数,它的傅里叶系数为

周期为2 的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,

它的傅里叶系数为

例4. 设

是周期为2 的周期函数,它在

的表达式为 f (x)=x , 将 f (x) 展成傅里叶级数.

解: 若不计周期为 2 的奇函数, 因此

y

an 0bn

(n 0 , 1 , 2 , )

02

2

o

x

f ( x) sin nx d x2

x cos nx sin nx 2 x sin nx d x n 0 n 0 2 2 cos n ( 1) n 1 ( n 1 , 2 , 3 , ) n n

根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:

( 1) n 1 sin nx f (x) 2 o n n 1 1 1 2(sin x sin 2 x sin 3x ) 2 3

y

x

级数的部分

和

n=5 n=4 n=2 n=1 n=3

逼近 f (x) 的情况见右图.

2. 在[0, ]上的函数展成正弦级数与余弦级数 奇延拓 f ( x), x [0 , ] 偶延拓

y

y

o

x

o

x

周期延拓 F (x) f (x) 在 [0 , ] 上展成 正弦级数

周期延拓 F (x)f (x) 在 [0 , ]上展成 余弦级数18

例5. 将函数 数与余弦级数 .

分别展成正弦级

解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓, 2 ( x 1) sin nx d x

0

x cos nx sin nx cos nx 2 n n n 2 1 cos n cos n n

2

0

y

o x

1

( k 1, 2 , )19

bn 因此得

( k 1, 2 , )

y2 x 1 ( 2) sin x 2 sin 2 x 2 sin 3 x sin 4 x 4 3

o x

1

注意: 在端点 x = 0, , 级数的和为0 , 与给定函数 f (x) = x + 1 的值不同 .20

再求余弦级数. 将

作偶周期延拓 , 则有

2

2

0

0 ( x 1) cos nx d x 2 x sin nx cos nx sin nx 2 n n n 2 2 cos n 1 n 0

2 x2 ( x 1) d x x 2 0

y 1

o x

( k 1, 2 , )21

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