必修四数学三角函数第4讲三角函数的图像性质

教学步骤及内容 【考点精讲】 1．“五点法”作图 (1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 ?π??3π?(0,0)，?2，1?，(π，0)，?2，－1?，(2π，0)． ????(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 ?π??3π?，0??(0,1)，2，(π，－1)，?2，0?，(2π，1)． ????2．正弦、余弦和正切函数的图象和性质(下表格中的k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 对称中心 对称轴 R (kπ，0) πx＝kπ＋2 R π???kπ＋2，0? ??x＝kπ ?π??x|x≠kπ＋? 2?? ?kπ??2，0? ??无 单调性 π3π???2kπ＋2，2kπ ＋2?为减 ??π??2kπ－2，2kπ?奇 π?＋2?为增； ?[2kπ－π，2kπ]为增； [2kπ，2kπ＋π]为减 π??kπ－2，kπ＋?增 π?为2??奇偶性 3.函数的周期性 偶 奇 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)．函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0且2ππ为常数)的周期T＝ω，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0且为常数)的周期T＝ω.

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【考向跟踪】 考向一 三角函数周期 【例1】求下列函数的周期： π??(1)y＝sin?2x＋3?(x∈R)； (2)y＝|sin x|(x∈R)． ?? 【训练1】下列函数中，周期为π的函数为( ) ?1π??1π?A．y＝sin?4x＋6? B．y＝sin?2x＋3? ????π?π???C．y＝cos?2x－3? D．y＝cos?4x＋4? ???? 考向二 正弦、余弦的奇偶性 【例2】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin xcos x； cos x(2)f(x)＝； 1－sin x (3)f(x)＝1－cos x＋cos x－1． x＋φ【训练2】若函数f(x)＝sin3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) π2π3π5πA．2 B．3 C．2 D．3 考向三 正弦、余弦函数的单调区间 π??2x－?【例3】求函数y＝2sin的单调区间． 3??? π??π??【训练3】1．已知ω＞0，函数f(x)＝sin?ωx＋4?在?2，π?上递减，则ω的取值范围是( )[来源:学+科+ ?????15??13?A．?2，4? B．?2，4? ???? 2

1??C．?0，2? D．[0,2] ??2．求下列函数的单调递减区间． π??π??(1)y＝2sin?4－x?； (2)y＝cos?2x＋3?． ???? 考向四 正弦、余弦函数的最值(值域) 【例4】1求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值： x(1)y＝3－2sin x； (2)y＝cos3． ?πxπ?2．函数y＝2sin?6－3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) ??A．2－3 B．0 C．－1 D．－1－3 【训练4】求下列函数的值域： (1)y＝cos2x＋2sin x－2； ?ππ?(2)y＝cos2x－sin x，x∈?－4，4?． ?? 考向五 正弦、余弦函数的对称性 ?π?【例5】函数f(x)＝sin?x－4?的图象的一条对称轴是( ) ??ππA．x＝4 B．x＝2

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ππC．x＝－4 D．x＝－2 π??2x＋?【训练5】函数y＝cos图象的一个对称中心是( ) 3????π??π?A．?－12，0? B．?12，0? ?????π??π?C．?6，0? D．?3，0? ???? 考向六 正切函数的图像与性质 【例六】与正切函数有关的定义域问题 求下列函数的定义域： (1)y＝ 【训练6】求函数y＝tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域． k.Com] ?ππ?(1)函数y＝sin x＋tan x，x∈?－4，4?的值域是__________． ?? ?7π??9?(2)比较大小：tan?－4?__________tan?－5π?． ???? 1； (2)y＝lg(3－tan x)． 1＋tan x 4

?πx?【训练7】求函数y＝tan?6－4?的单调递减区间． ?? 【例8】、正切函数的图象及应用 画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性． ?xπ?【训练8】设函数f(x)＝tan?2－3?， ??(1)求函数f(x)的周期，对称中心． (2)作出函数f(x)在一个周期内的简图． 【当堂检测】 ?xπ?1．函数f(x)＝3sin?2－4?，x∈R的最小正周期为( ) ??πA．2 B．π C．2π D．4π 2．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数，又是偶函数[来源:学。科。网Z。X。X。K] D．非奇非偶函数 5

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